第十二讲 常数项级数审敛内容提要与典型例题

5.比较法 6.比值法 7.根值法
2、正项级数及其审敛法
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界. (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 (3) 极限审敛法 设un 0, vn 0 若un与vn 是同阶无穷小
则 un与 vn同敛散
特别 若un ~ vn （等价无穷小） 则 un与 vn同敛散 (4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
1 n ln( n 2) n n , 由于 lim n n 1, n 1 n u n lim n . lim ln( n 2) 1, n n a
1 当 a 1 即 0 1 时, 原级数收敛； a 1 当 0 a 1 即 1 时, 原级数发散； a ln( n 2) 当 a 1时, 原级数为 , 1 n n 1 (1 ) n ln( n 2) lim , 原级数也发散． n 1 n (1 ) n
1 un的敛散性不定
1 ln q ln n un
ln un q ln n
1 un q n 故由比较法知
1 nq 收敛 un 收敛 1 ln ⑵ 由 lim un 1 知 N ,当n N n ln n 1 ln 1 un ln r ln n r 1 有 un ln n 1 ln un r ln n un r n 1 而 r 发散 故由比较法知 un 发散 n
lim Sn A u1 n n 1 即 ( un1 un ) 收敛 进而 ( un1 un ) 收敛 n 1 n1 u1 vn 收敛 由比较法得
n1
lim un A
例9 设正数数列

an 单调减少，级数 ( 1)n1 an
( 1)n1 an
1 ln un un 0 例10 已知 lim n ln n 证明 ⑴ 1 un收敛
⑵ 1 un发散 ⑶
证⑴
1 ln un 由 lim 1 知 对 1 n ln n 1 ln un q 1 N , n N 有 ln n
收敛
un1 un un 0 证 记 vn 1 则 vn un1 un1 un1 un vn 且 u1 而正项级数 ( un1 un ) 的部分和
Sn ( uk 1 uk ) un1 u1
又
n
n 1
un
k 1
单调增加且有界 故由单调有界原理知 存在
例4 判断级数
( 1) 是否收敛？如果收敛， n1 n ln n
n


是条件收敛还是绝对收敛？
1 1 , 解 n ln n n
1 而 发散, n1 n ( 1)n 1 发散, n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛． ( 1)n n ln n 是交错级数, 由莱布尼茨定理： n 1 ln n ln x 1 lim lim lim 0, n n x x x x
3n lim n n n!2
由级数收敛的必要条件得
3n lim n 0 n n!2
例2 设
lim nan a 0 试证
n
an
发散
证 不妨设 a > 0
由极限保号性知
an 由于 lim nan lim a 0 n n 1 n a 故由比较法的极限形式得
N
当n N时 an 0
例3 若
A
B C
un vn 都发散 (un vn ) 必发散
[| un | | vn |]
n n

n
发散
则
D 以上说法都不对
v u
必发散
必发散
例3
(1)
判断级数敛散性 :
1 n (n ) n 1 1 nn n n nn , 解 un 1 n 1 n (n ) (1 2 ) n n 1 1 n 1 n2 n lim (1 2 ) lim[(1 2 ) ] e 0 1; n n n n 1 1 1 n x lim n lim x exp{lim ln x } x x n x 1 exp{lim } e 0 1; x x
而 bn (bn an ) an 即
收敛
bn 可表为两个收敛级数 (bn an ) an 之和 故 bn 收敛
例6 设 an 0, bn 0 且 an1 bn1 an bn 若 bn 收敛 则 an 也收敛
an1 an a1 证 由题设知 bn1 bn b1
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
3、交错级数及其审敛法
Leibniz定理
4、任意项级数及其审敛法 绝对收敛，条件收敛 附： 正项级数与任意项级数审敛程序
un发散
N
un
un 0
Y lim n u n
un 收敛
un1 lim un
0 un vn
Y N
1
当 整数 无论为何值
lim | Vn | lim | sin(
n n
总有
| sin | 0

lim Vn 0
n
n 级数发散
) |
当 整数 Vn ( 1)
n
当n 时 sin 非增地趋于 0 n 由Leibniz审敛法知 Vn 收敛 n1 sin | Vn | n | | lim lim | | 但 n 1 n n n 1 而 发散 故由比较法的极限形式 n 1 n
| a | 1

n
绝对收敛
发散
分情况说明
a 1 级数成为
p1
1 np n 1
p1

ห้องสมุดไป่ตู้
收敛
发散
n
a 1 级数成为
p 1 绝对收敛
( 1) np n 1
p1

条件收敛
例12 对 , 的值，研究一般项为 2 n n Vn sin 的级数的敛散性 n 解 n Vn sin[ n ( ) ] ( 1) sin( ) n n 由于当 n 充分大时， sin( ) 定号 n 故级数从某一项以后可视为交错级数
k n 1
f ( k ) uk
n
uk 1
k 1

f ( x )dx uk
k 1
1 n 1
即

Sn1 S1
f ( x )dx Sn
1
故 例8 设
un 与
n1

f ( x )dx
1
同敛散
un

是单调增加且有界的正数数列
un 试证明 (1 ) un1 n 1
第十二讲 常数项级数审敛
内容提要与典型例题
常数项级数审敛
一、主要内容
1、常数项级数
常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在).
n
收敛级数的基本性质
级数收敛的必要条件:
常数项级数审敛法
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
当 0时

sin n

sin n n 1


发散
Vn
n 1

条件收敛
0 Vn 0
级数显然收敛
关于常数项级数审敛
正项级数 由级数收敛的必要条件要使
un 0
un
收敛必须
但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有 的却发散，问题的实质是级数收敛与否取决于 un 0 的阶 因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更 基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则 更能说明问题的实质，使用起来也更有效
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．
例5 设
试证
a n cn bn 收敛
n
都收敛 且
an bn cn
证
由 an bn cn 知
因
0 bn an cn an
an c 都收敛 故正项级数 (cn an ) 收敛 再由比较审敛法知 正项级数 (bn an )
N
vn收敛 un发散 un收敛 vn发散
1
Y
un 发散
N
un
un 0
Y
un 收敛
| un |敛
N
Y
un绝对收敛
用检比 法
用比较法 条 件 收 敛
用L—准则或考察部分和
N
N
un收敛
Y
二、典型例题
例1 求极限
3n 解 考察正项级数 un n!2n n 1 n un1 3 n!2 lim lim n 1 n u n ( n 1)!2 3n n 3 lim 01 n 2( n 1) n 3 由检比法 n 收敛 n!2
un1 lim 和 lim n un 作为 un 变化快慢 n u n n 的一种估计 得到检比法和检根法，检比法 和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数
而
⑶ 如 u n
1 n(ln n) p
1 ln ln n p ln(ln n) un lim lim 1 n ln n n ln n
但
p 1时 un收敛
p 1时 un发散
a n 的敛散性 ( p 0, a常数) 例11 讨论 p n 1 n n
n1


n
n
1 n
;
lim un 1 0,
n
根据级数收敛的必要条件， 原级数发散． ln( n 2) ( 2) (a 0). 1 n 1 ( a ) n n n ln( n 2) 1 n u lim lim n ln( n 2) , lim 解 n n n 1 a n a n n n 2 时, n 2 e , 从而有
而 例7
a1 an bn b1
bn
收敛
由比较法得
an
收敛
Cauchy积分审敛法
设
y f ( x ) 0 单调减少 un f (n) 则

un
n 1

与

1
f ( x )dx
同敛散
证
由 f(x) 单调减少知
k 1
uk 1 f ( k 1)
n
f ( x )dx
解

对级数 n 1 un1 n p lim lim ( ) | a || a | n u n n 1 n
n
a np
a a 收敛 p | a | 1 p n 1 n n 1 n an a n 发散 | a | 1 p p n 1 n n 1 n
n 1

发散 考察 ( 1 )n 的敛散性 n 1 1 a n 证 记 un ( 1 )n 由 an 单调减少 an 0 1 an 故由单调有界原理知 lim an A 存在 n 且

A 0
若 A 0 由Leibniz审敛法得 交错级数
收敛 与题设矛盾 A 0 n 1 1 1 n u lim lim n 1 n n 1 a 1 A n 1 n 由检根法知 (1 a ) 收敛 n 1 n
1 1 lim lim n 0, n n ln n n ln n 1 n f ( x ) x ln x ( x 0), 1 f ( x ) 1 0 ( x 1), 在 (1, ) 上单增, x 1 1 即 单减, 故 当 n 1 时单减, x ln x n ln n 1 1 un un1 ( n 1), n ln n ( n 1) ln( n 1)