第二讲 函数和函数的连续性答案

一、 函数的极限与连续性例1 已知当10≤<x 时，x x x f sin )(=，对于其它)(,x f x 满足)1(2)(+=+x f k x f ，试求常数k ，使)(x f 在0=x 连续。

解：当]0,1(0-∈<x 时，则]1,0(1∈+x ，于是)1sin(1(2)1(2)(++=+=+x x x f k x f ），所以⎩⎨⎧≤<≤<--+=+10011(2)(sin )1sin(x x x k x x f xx ），因k k x f x x -=-+=-+→-21(2lim )00()1sin(0）， 1lim lim )00(ln sin 0sin 0===+++→→x x x x x e x f ，所以由)00()00(-=+f f ，即12=-k 得1=k .例3、设)(x f 在],[b a 上连续，且有反函数存在，证明)(x f 在],[b a 上严格单调. 证：假设)(x f 在],[b a 上非严格单调，则存在321x x x <<，使得)()()(321x f x f x f ≥≤或)()()()(3221x f x f x f x f ≤≥且。

（1）若)()()(321x f x f x f ≥≤，取)(})()({m ax 231x f M x f x f <<，，由于)(x f 在],[21x x 上连续，由介值定理存在),(211x x ∈ξ使得M f =)(1ξ,又)(x f 在],[32x x 上连续，由介值定理存在),(322x x ∈ξ使得M f =)(2ξ,此即21ξξ≠，但M f f ==)()(21ξξ，这与)(x f 有反函数矛盾。

（2）若)()()()(3221x f x f x f x f ≤≥且，取})()(in{)(312x f x f m m x f ，<<，由于)(x f 在],[21x x 上连续，由介值定理存在),(211x x ∈ξ使得m f =)(1ξ,又)(x f 在],[32x x 上连续，由介值定理存在),(322x x ∈ξ使得m f =)(2ξ,此即21ξξ≠，但m f f ==)()(21ξξ，这又与)(x f 有反函数矛盾。

例4、设)(x f 定义在],[b a 上且只有第一类间断点，证明)(x f 在],[b a 上有界. 证明：反证法.假设)(x f 在],[b a 上无界，即对任意的M ，存在],[0b a x ∈，使M x f >|)(|0.由M 的任意性，取M=n ，相应地存在],[b a x n ∈，使得n x f n >|)(|，此第二讲 函数的连续性时即有∞=→∞)(lim n n x f .又因为],[,b a x n n ∈∀，存在收敛的子列}{}{n n x x k⊂且],[lim 0b a y x k n k ∈=+∞→，若0y 是)(x f 连续点，则∞==→∞)(lim )(k 0k n x f y f ，矛盾，若0y 是)(x f 的第一类间断点，则)0()(),0()(0000--+-y f y f y f y f 其值都是一个有限数,存在子列}{}{kkn nx x ⊂'使)(lim )0(k 0k n x f y f '=+→∞或)(lim )0(k 0k n x f y f '=-∞→,但∞='∞→)(lim k k n x f ，因而∞='-=+-→∞)(lim )()0()(000knk x f y f y f y f ，或∞='-=--→∞)(lim )()0()(000kn k x f y f y f y f 此也构成矛盾！故)(x f 在],[b a 上有界.例5、设)(x f 为],[b a 上的增函数，其值域为)](),([b f a f ，证明)(x f 在],[b a 上连续. 证明：反证法.假设)(x f 在],[0b a x ∈处间断，由于)(x f 在],[b a 上单调增，故0x 只能是第一类间断点，则)0()(00--x f x f 及)()0(00x f x f -+中至少有一个大于零，不妨设0)0()(00>--x f x f ，由)(x f 的单调性知，)(x f 无法取到)0(0-x f 和)(0x f 之间的数值，这与题设)(x f 的值域为)](),([b f a f 矛盾，从而)(x f 在],[b a 上连续. 例6、设)(x f 在),[b a 上连续且无上界，对)(),,[),(x f b a d c ⊂∀在),(d c 上无最小值，证明在)(x f 在),[b a 上严格递增。

证明：由)(x f 在),[b a 上连续且无上界，知)(x f 只能在b x =的左邻域内无上界，（否则与连续矛盾）.假设)(x f 在),[b a 上不是严格递增，即),[,21b a x x ∈∃,且21x x <,但有)()(21x f x f ≥，由于)(x f 只能在b 的左邻域内无上界，故存在b x x x <<323，，使得)()(23x f x f >，此时有)()()(123x f x f x f ≤>，由于)(x f 在],[31x x 上连续，故有最小值)(0x f 存在，其中),(310x x x ∈，即)(x f 在),(31x x 上取到了最小值，与题设条件矛盾，所以)(x f 在),[b a 上严格递增。

例7、证明非常值的连续周期函数必有最小正周期.证：设)}()(,,0|{x f t x f R x t t S =+∈∀>=，令S T inf =,即T 为集合S 的下确界，显然0≥T .由下确界的定义，必存在单调下降的S t n ⊆}{，使得T t n n =∞→lim .又由)(x f 的连续性，首先对R x ∈∀，有)()(lim )lim ()(x f t x f t x f T x f n n n n =+=+=+∞→∞→，即T 为)(x f的周期，下证S T ∈，即0>T 。

假如0=T ，则0lim =∞→n n t ，对R x ∈∀，存在正整数n 和n k ，使n n n x t k x +=，n n t x <≤0， 因而0lim n =→∞n x ，所以)(])1[(])1([)()(n n n n n n n n n n n x f x t k f x t k t f x t k f x f ==+-=+-+=+=故)0()(lim )(f x f x f n n ==→∞，这与)(x f 是非常值函数矛盾，所以0>T ，故S T ∈，即T 是周期连续函数)(x f 最小正周期.例8、设)(x f 在),(b a 内每一点的左右极限都存在，且),(,b a y x ∈∀，都有2)()()2(y f x f y x f +≤+，证明)(x f 在),(b a 上连续. 证明：任取),(0b a x ∈，则对),(b a y ∈∀有 2)()()2(00y f x f y x f +≤+，令+→0x y ，)0()2(,20000+→+≥+x f y x f x y x ，而2)0()(2)()(000++→+x f x f y f x f ， 所以2)0()()0(000++≤+x f x f x f ，即)()0(00x f x f ≤+ （1）类似地，令令-→0x y ，得2)0()()0(000-+≤-x f x f x f ，即)()0(00x f x f ≤- （2）另一方面在2)()()2(y f x f y x f +≤+中，令0,,00>-=+=h h x y h x x ，且令+→0h ，得 )]0()0([21)(000-++≤x f x f x f ，而)()]0()0([21000x f x f x f ≤-++因此 )]0()0([21)(000-++=x f x f x f ，即 )0()0()(2000-++=x f x f x f而由（1）和（2）可知，0)()0()0()(00000≤-+=--≤x f x f x f x f所以)()0()0()(0000x f x f x f x f =+-=，，即)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续.二、 函数的连续性及其性质例1 设)(x f 是]1,0[上的非负连续函数，且0)1()0(==f f 。

求证：对任意的实数)1,0(∈r ，必存在)1,0[0∈x ，使得]1,0[0∈+r x ，且).()(00r x f x f +=解：构造辅助函数)()()(r x f x f x F +-=，显然在]1,0[上连续，且0)()0()0()0(<-=+-=r f r f f F ，0)1()1()1()1(>-=--=-r f f r f r F因此0)-1()0(<r F F ，再由连续函数的零点定理得，存在)1,0[)1,0(0∈-∈r x ， 使得0)()()(000=+-=r x f x f x F .例2 设)(x f 是),(+∞-∞上的连续函数，存在+∞=±∞→)(lim x f x ，且)(x f 的最小值a a f x f x <=+∞-∞∈)()(min ),(，求证：))((x f f 至少在两个点处取到)(x f 的最小值)(a f 。

分析：若能证明存在21ξξ≠，使得)()(21ξξf a f ==，则有)())(())((21a f f f f f ==ξξ. 为证)()(21ξξf a f ==成立，就要利用介值定理，寻找a b >1，使)()(1b f a a f << 同时寻找a b <2，使)()(2b f a a f <<.解：(i)由+∞=+∞→)(lim x f x ，则必存在a b >1，满足a b f >)(1，于是有)()(1b f a a f <<，由)(x f 的连续介值定理，存在),(11b a ∈ξ，使得a f =)(1ξ，从而).())((1a f f f =ξ (ii)由+∞=-∞→)(lim x f x ,必存在a b <2，满足a b f >)(2，于是有)()(2b f a a f <<，由)(x f 的连续函数的介值定理得，存在),(22a b ∈ξ，使得a f =)(2ξ，从而)())((2a f f f =ξ，因而))((x f f 在21,ξξ处取到了)(x f 的最小值)(a f 。