机械振动基础 第四章 多自由度系统

设有可逆线性变换[u]，使得
{x} [u ]{y}
因而有
} [u]{y }, { } [u]{ } {x x y
称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。
系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关， 也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：
1 T 1 })T [ M ]([u ]{y }) ET {x} [ M ]{x} ([u ]{y 2 2 1 1 }T [u ]T [ M ][u ]{y } { y }T [ M 1 ]{y } {y 2 2
新旧坐标系下矩阵的关 系：
1 T 1 } [C ]{x } ([u ]{y })T [C ]([u ]{y }) D {x 2 2 1 1 }T [u ]T [C ][u ]{y } { y }T [C1 ]{y } {y 2 2
1 T 1 U {x} [ K ]{x} ([u ]{y})T [ K ]([u ]{y}) 2 2 1 1 T T { y} [u ] [ K ][u ]{y} { y}T [ K1 ]{y} 2 2
[u]T坐标逆转换
{y}坐标系下 的微分方程解
§4.2 固有频率与振型
——系统的固有频率和振型一一对应。
系统求解的思路：
1) 设系统解为简谐振动： g (t ) A cos(wt )
(t ) [ K ]{u}g (t ) 0 2) 代入微分方程： [M ]{u}g
3) 得到广义特征值问题： ([K ] w 2[M ]){ u} 0
} { f m } [ M ]{ x } { fi } [C ]{x { f s } [ K ]{x}
它们的分量分别为施加于各个自由度上的惯性力、阻 尼力和弹性力。
求解方程：
} [C ]{x } [ K ]{x} { f } x [ M ]{ (0)} {x 0 } {x(0)} {x0}, {x
[ M 1 ] [u ]T [ M ][u ] [C1 ] [u ]T [C ][u ] [ K1 ] [u ] [ K ][u ]
T
} [C ]{x } [ K ]{x} { f } x 将{x}=[u]{y}代入方程： [ M ]{ (0)} {x 0 } {x(0)} {x0}, {x
4) 得到特征方程或频率方程： (w 2 ) [ K ] w 2 [ M ] 0
5) 求得w1，w2并取w1w2 ;
6) 代回广义特征值问题，求得振型{u}。
无阻尼自由振动系统的运动微分方程为：
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
在特殊初始激励下，系统无阻尼自由振动是简谐振动，也 就是固有振动。形式为：
} [C1 ]{y } [ K1]{y} [u] { f } { p} [M1]{ y
T
其中：
{ p} [u] { f } 是新坐标{y}下的广义激励。
T
为求{x}=[u]{y}的逆变换，在其两边左乘[u]T[M]得
[u] [M ]{x} [M1 ]{y}
T
即：
{ y} [M1] [u] [M ]{x}
T
1
坐标系{y}下的初始条件为：
{ y (0)} [ M1 ] [u ] [ M ]{x(0)}
T
1
(0)} [ M1 ]1[u ]T [ M ]{x (0)} {y
问题转化为坐标{y} 微分方程的定解
} [C1 ]{y } [ K1]{y} [u] { f } { p} [M1]{ y
例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。
解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA,yB,y1,y2}T 各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。
(1) 求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力{f}=??? f1=k2; f2=0;f3=-k2;f4=0
2 ET mij i x j x
2 ET m44 m2 2 y2 2 ET M I m12 m21 Ay B y 4 L2 m13 m14 m23 m24 m34 0
由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统 的惯性力、阻尼力和弹性力：
{x} {u} coswt
其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。
将
{x} {u} coswt
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
2
代入方程
2 ( w [M ]{u} [ K ]{u}) coswt 0 得到
(w [M ] [ K ]){u} 0
kij w 2 mij 0
n个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为
} [C ]{x } [ K ]{x} { f } x [ M ]{ (0)} {x 0 } {x(0)} {x0}, {x
分别叫：[…]矩阵 {源自文库}向量 一般 [M][C][K] 不会同时为对角矩阵，方程存在耦合。解 耦是在时域内求解方程的重要一环。
——求解一种方法是寻找一个新广义坐标系，使得系统 的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵。也就是 解耦。 ——新坐标系与原坐标系存在线性变换关系，因此，要 寻找一个可逆线性变换矩阵[u]，将质量矩阵、阻尼矩 阵和刚度矩阵变换为对角矩阵。
——为此，我们讨论线性变换前后多自由度系统运动微 分方程的关系。
k11=k2; k21=0;k3l=-k2;k41=0
坐标{x}={yA,yB,yl,y2}T
(2)求[K]的第二列：yB↑ k12＝0， k22＝k4， k32=0， k42=-k4
(3)求[K]的第三列。设yl ↑ k13＝-k2， k23＝0， k33=k2+k1， k43=0 (4)求[K]的第四列。设y2 ↑ k14=0， k24=-k4， k34=0， k44＝k2+k4
刚度矩阵[K]的元素kij的意义 ：
在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、 各自由度上所受到的外力关系为：
{ f } [ K ]{x}
—— 如系统第 j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状 态需要在各个自由度施加外力，其中在第 i 个自由度上施 加的外力就是kij。
第4章 多自由度系统
将具体的结构简化成：多个以各种方式相连接的离散 质量、弹性元件和阻尼元件组成的离散振动系统。 这种系统称为多自由度振动系统。描述它振动的运动 微分方程为常微分方程组。
1 F1 (t ) k1 x1 c1 x 1 k 2 ( x1 x2 ) c2 ( x 1 x 2 ) x m1 2 F2 (t ) k 2 ( x2 x1 ) c2 ( x 2 x 1 ) k3 x2 c3 x 2 x m2
3) 得到矩阵
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是对称矩阵。
针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为：
M ET 2 A y B I y B y A 1 1 y 2 2 1 m2 y 2 m1 y 2 2 2 L 2
广义特征值问题
方程有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即： 这就是频率方程。
这是以w2为未知数的n次代数方程，解之可得n个根，w1， w2 ，.. .. .. wn 。依次代入广义特征值问题方程可以得到n 个方程
T
{ y (0)} [ M1 ] [u ] [ M ]{x(0)}
T
1 1
(0)} [ M1 ] [u ] [ M ]{x (0)} {y
T
此时，方程解耦了！
思路：
{x}坐标系下 的微分方程 和初试条件 耦合，不能求 解 {x}坐标系下 的微分方程解
[u]坐标转换
解耦
{y}坐标系下 的微分方程 和初试条件 微分方程相 互，可求解
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [M ]{ x
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 3) 用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。
§4.1 运动微分方程
{ f } [K ]{e j } k11 k12 k21 k22 k kj2 j1 k k n1 n2 k1 j k2 j k jj knj k1n 0 k 2n 0 k jn 1 0 knn k1j k 2 j k jj knj
系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。 为使系统保持{ej}的变形状态，所加的外力为：
{ f } [K ]{e j } k11 k12 k21 k22 k kj2 j1 kn 1 kn 2
k1 j k2 j k jj knj
1 T } [ M ]{x } ET {x 2 1 T } [C ]{x } D {x 2 1 T U {x} [ K ]{x} 2
2D 2 ET cij mij i x j x i x j x
2U kij xi x j
2) 求偏导
2 ET 2 ET mij m ji xi x j x j xi 2D 2D cij c ji xi x j x j xi 2U 2U kij k ji xi x j x j xi
k2 0 [K ] k2 0 0 k4 0 k4
坐标{x}={yA,yB,yl,y2}T
k2 0 k1 k2 0 k4 0 k3 k 4 0
三种求[K]的方法：？？ 牛顿法、求偏倒法（能量法）、定义法。
定义法和牛顿法比较麻烦，一般用能量法比较方便： 用求偏倒的方法写[M] [C] [K]矩阵： 1) 写系统的动 能、能量耗散 函数和势能
k1n 0 k 2n 0 k jn 1 0 knn
k1 j k2 j k jj knj
[K]的定义：外力{f}正好是刚度矩阵[K]的第 j 列。
2 ET M I m11 2 2 A y 4 L 2 ET M I m22 2 2 B y 4 L m33 ET m1 2 1 y
2
2
2
坐标系 {x}={yA,yB,y1,y2}T
M 4 M [M ] 4 I L2 I 2 L 0 0 M I 2 4 L M I 2 4 L 0 0 0 0 m1 0 0 0 0 m2
得到，新坐标系{y}下的运动微分方程：
} [C][u]{y } [ K ][u]{y} { f } [M ][u]{ y
两边左乘[u]T ，根据：
[ M 1 ] [u ]T [ M ][u ] [C1 ] [u ] [C ][u ]
T
得到：
[ K1 ] [u ]T [ K ][u ]