专题一：数与式的运算

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】 1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即

||a = ．

[2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]

两

个

绝

对

值

不

等

式:

||(0)x a a <>⇔

；

||(0)x a a >>⇔

．

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=

[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]

33a b =- (立方差公式)

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2

= ；(2)

= ；(3) = ； (4)

= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作

0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根．

[3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为

x =4．分式

[1]分式的意义 形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A

B

为分式．当M ≠0

时，分式

A

B

具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B

就叫做繁分式，如2m n p

m n p

+++，

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4． 例2 计算： （1

）2

2

1

()3

x +

（2）2211111

()()5225104

m n m mn n -

++ （3）4

2

(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）2

2

2

22

(2)()x xy y x xy y ++-+

例3 已知2

310x x -==，求3

31

x x +

的值． 例4 已知0a b c ++=，求111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值．

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1）

（2）

1)x ≥

（3）

（4）

例6

设x y =

=

33

x y +的值． 例7 化简：（1）11x

x x x x

-+

- （2）222

396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式

=

22

2(1)1

1(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1

(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++====

-⋅-+-++-

-+-⋅ （2）解：原式

=222

3961161

(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)

x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--

22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)

x x x x x x x x x x +-------===+-+-+

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再

进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

【巩固练习】

1． 解不等式

327x x ++-<

2．

设x y ==22

x xy y x y +++的值．

3． 当2

2

320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22

a b a b b a ab

+--的值．

4．

设x =

，求42

21x x x ++-的值． 5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-

6．化简或计算：

(1) 3÷

(2)

(4) ÷

1 A 0 C |x －1|

|x －3|

答案：

例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；

① 若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <；

② 若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >． 综上所述，原不等式的解为13x <<．

解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等

式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．

解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．

（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =；

①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x

－3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

所以原不等式的解为x ＜0，或

x ＞4． 例2（1）解：原式=2

2

1[()

]3

x ++

222222111

()()()2(22()333

x x x x =

++++

⨯+⨯⨯

4

3

281339

x x x =-+

-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=3

3

33

1

111()()5

2

1258

m n m n -=

- （3）原式=2

4

2

2

23

3

6

(4)(44)()464a a a a a -++=-=- （4）原式=2

2

22

2

2

2

()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+

3326336()2x y x x y y =+=++

例3 解：

2310x x -== 0x ∴≠ 1

3x x

∴+

= 原式=222

21111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x +-+=++-=-=

例4 解：

0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-