专题一：数与式的运算
数与式的运算
解法一：原式=
解法二：原式=
你能评价一下解法一、二的差异吗？
第一讲 习题 A 组 1．二次根式 a 2 a 成立的条件是( ) A． a 0 B． a 0 D． a 是任意实数 2．若 x 3 ，则 9 6 x x 2 | x 6 | 的值是( A．－３ D．９ 3．计算： (1) ( x 3 y 4 z ) 2 (2a 1 b) 2 (a b)(a 2b) B．３ ) C．－９ C． a 0
a a( a b) a a( a b) 1 a b 1 a b
( a b) ( a b) ( a b )( a b )
2 a ab
试对本例的解题技巧做一评价： 【例6】设 x
2 3 2 3 ,y 2 3 2 3
，求 x3 y 3 的值．
思考：此题中让你眼前一亮的技巧是？
3abc 3 abc
引申：同学可以探求并证明： a 3 b 3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 二、根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质如下： 第一讲
2 (1) ( a ) a (a 0)
原式= a
bc ac ab b c bc ac ab
①
a ( a ) b(b) c(c) a2 b2 c2 bc ac ab abc
a 3 b 3 (a b)[(a b) 2 3ab] c(c 2 3ab) c 3 3abc a 3 b 3 c 3 3abc ②，把②代入①得原式=
(2)
(3) (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b)3
2023年中考数学专题练——1数与式
2023年中考数学专题练——1数与式一．选择题（共11小题）1．（2022•泉山区校级三模）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（﹣a3）2＝a6D．a2÷a3＝a 2．（2022•鼓楼区校级二模）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（2a）2÷a＝4a C．（﹣ab）2＝ab2D．a2⋅a2＝2a2 3．（2022•徐州一模）下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a8C．a2+a3＝a5D．a3÷a2＝1 4．（2022•鼓楼区校级一模）2022的倒数是（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−120225．（2022•丰县二模）下列无理数中与3最接近的是（）A．√5B．√6C．√10D．√12 6．（2021•徐州模拟）下列运算中，正确的是（）A．3a+2a＝5a2B．a2•a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣a3）2＝a6 7．（2022•贾汪区二模）有理数﹣2022的相反数等于（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−120228．（2022•邳州市一模）下列运算中，正确的是（）A．x6÷x2＝x3B．（x2）3＝x5C．x2+x3＝x5D．2x2•x＝2x3 9．（2022•徐州一模）数轴上在√3和√10之间的整数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总共为10个汉堡，x杯饮料，y份沙拉，则他们点的B餐份数为（）A．10﹣x B．10﹣y C．x﹣y D．10﹣x﹣y 11．（2022•睢宁县模拟）下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a3b）2＝a6b2D．（2a+3）（a﹣2）＝2a2﹣6二．填空题（共10小题）12．（2022•鼓楼区校级三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多个．（由含n的代数式表示）13．（2022•泉山区校级三模）√4=．14．（2022•丰县二模）太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为．15．（2022•丰县二模）计算：（x2）3•x﹣2＝．16．（2022•丰县二模）数轴上的点A、B分别表示﹣2、3，则点离原点的距离较近（填“A”或“B”）．17．（2022•徐州二模）2021“双十一”全网成交额约9650亿元．将数据“9650亿”用科学记数法表示．18．（2022•邳州市一模）因式分解：b2﹣4b+4＝．19．（2022•徐州一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形有包膜，直径大约是80～160纳米，1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示160纳米＝米．20．（2021•徐州模拟）分解因式：m2+6m＝．21．（2022•贾汪区二模）已知√a+2有意义，则a的取值范围为．三．解答题（共9小题）22．（2022•鼓楼区校级三模）计算：（1）20220﹣（−12）﹣1﹣|3−√8|；（2）（1+1x−2）÷x−1x−2．23．（2022•丰县二模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣4|+（12）﹣1−√273；（2）(1−1a)÷a2−2a+1a．24．（2022•徐州二模）（1）计算：(12)−2−tan45°−(π−3)0+√4； （2）化简：(1−1x+2)÷x 2−1x+2． 25．（2022•贾汪区二模）计算： （1）20220+(12)−1−|−3|+√−83； （2）(x −1x )÷x 2−2x+1x ． 26．（2022•睢宁县模拟）计算： （1）(−2)3−(−3)−(13)−1+√8； （2）a a 2−4÷（1−2a+2）． 27．（2022•邳州市一模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣5|﹣（13）﹣1+√12；（2）a−1a 2÷（1−1a 2）． 28．（2022•徐州一模）计算：（1）|−√3|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（12）﹣1；（2）（1x+1−1x−1）÷2x 2−1． 29．（2022•徐州一模）计算： （1）√12+4﹣1﹣（12）﹣1+|−√3|；（2）(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4．30．（2022•鼓楼区校级二模）计算： （1）|−4|−20220+√273−(13)−1；（2）(a +2a+1a )÷a 2−1a．2023年江苏省徐州市中考数学专题练——1数与式参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2022•泉山区校级三模）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（﹣a3）2＝a6D．a2÷a3＝a 【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；C、（﹣a3）2＝a6，故C符合题意；D、a2÷a3＝a﹣1，故D不符合题意；故选：C．2．（2022•鼓楼区校级二模）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（2a）2÷a＝4a C．（﹣ab）2＝ab2D．a2⋅a2＝2a2【解答】解：a+a＝2a，故A错误，不符合题意；（2a）2÷a＝4a，故B正确，符合题意；（﹣ab）2＝a2b2，故C错误，不符合题意；a2⋅a2＝a4，故D错误，不符合题意；故选：B．3．（2022•徐州一模）下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a8C．a2+a3＝a5D．a3÷a2＝1【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A符合题意；B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；C、a2与a3不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；D、a3÷a2＝a，故D不符合题意；故选：A．4．（2022•鼓楼区校级一模）2022的倒数是（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−12022【解答】解：2022的倒数是12022．故选：C．5．（2022•丰县二模）下列无理数中与3最接近的是（）A．√5B．√6C．√10D．√12【解答】解：∵5＜6＜9＜10＜12＜16，∴√5＜√6＜3＜√10＜√12＜4，与3最接近的是√10，故选：C．6．（2021•徐州模拟）下列运算中，正确的是（）A．3a+2a＝5a2B．a2•a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣a3）2＝a6【解答】解：A、3a+2a＝5a，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D．7．（2022•贾汪区二模）有理数﹣2022的相反数等于（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−12022【解答】解：有理数﹣2022的相反数等于2022，故选：A．8．（2022•邳州市一模）下列运算中，正确的是（）A．x6÷x2＝x3B．（x2）3＝x5C．x2+x3＝x5D．2x2•x＝2x3【解答】解：x6÷x2＝x4≠x3，故选项A计算错误；（x2）3＝x6≠x5，故选项B计算错误；x2与x3不是同类项，不能加减，故选项C计算错误；2x2•x＝2x3，故选项D计算正确．故选：D．9．（2022•徐州一模）数轴上在√3和√10之间的整数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵1＜3＜4，9＜10＜16，∴1＜√3＜2，3＜√10＜4，∴在√3和√10之间的整数有2，3共2个，故选：C．10．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总共为10个汉堡，x杯饮料，y份沙拉，则他们点的B餐份数为（）A．10﹣x B．10﹣y C．x﹣y D．10﹣x﹣y【解答】解：∵x杯饮料则在B和C餐中点了x份汉堡，∴点A餐为10﹣x，∴y份沙拉，则点C餐有y份，∴点B餐的份数为：10﹣（10﹣x）﹣y＝x﹣y，故选：C．11．（2022•睢宁县模拟）下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a3b）2＝a6b2D．（2a+3）（a﹣2）＝2a2﹣6【解答】解：∵2a2﹣a2＝a2≠2，∴选项A不符合题意；∵（a﹣b）2＝a2﹣2abb+2≠a2﹣b2，∴选项B不符合题意；∵（﹣a3b）2＝a6b2，∴选项C符合题意；∵（2a+3）（a﹣2）＝2a2﹣a﹣6≠2a2﹣6，∴选项D不符合题意；故选：C．二．填空题（共10小题）12．（2022•鼓楼区校级三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多（2n+1）个．（由含n的代数式表示）【解答】解：根据题意有，第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：1×3+1；第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2×3+1；第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+1；……，第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：n×3+1；n×3+1﹣n＝3n﹣n+1＝2n+1，∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多（2n+1）个．故答案为：（2n+1）．13．（2022•泉山区校级三模）√4=2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2，即√4=2．故答案为：2．14．（2022•丰县二模）太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为 2.5×1017．【解答】解：数据250000000000000000用科学记数法表示为2.5×1017．故答案为：2.5×1017．15．（2022•丰县二模）计算：（x2）3•x﹣2＝x4．【解答】解：（x2）3•x﹣2＝x6•1x2＝x4，故答案为：x4．16．（2022•丰县二模）数轴上的点A、B分别表示﹣2、3，则点A离原点的距离较近（填“A”或“B”）．【解答】解：∵|﹣2|＝2，|3|＝3，∴点A离原点的距离较近，故答案为：A．17．（2022•徐州二模）2021“双十一”全网成交额约9650亿元．将数据“9650亿”用科学记数法表示9.65×1011．【解答】解：9650亿＝965000000000＝9.65×1011．故答案为：9.65×1011．18．（2022•邳州市一模）因式分解：b2﹣4b+4＝（b﹣2）2．【解答】解：b2﹣4b+4＝（b﹣2）2．故答案为：（b﹣2）2．19．（2022•徐州一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形有包膜，直径大约是80～160纳米，1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示160纳米＝ 1.6×10﹣7米．【解答】解：∵1纳米＝10﹣9米，∴160纳米＝160×10﹣9米＝1.6×10﹣7米．故答案为：1.6×10﹣7．20．（2021•徐州模拟）分解因式：m2+6m＝m（m+6）．【解答】解：原式＝m（m+6）．故答案为：m（m+6）．21．（2022•贾汪区二模）已知√a+2有意义，则a的取值范围为a≥﹣2．【解答】解：∵√a+2有意义，∴a+2≥0，解得a≥﹣2，即a的取值范围为a≥﹣2．故答案为：a≥﹣2．三．解答题（共9小题）22．（2022•鼓楼区校级三模）计算：（1）20220﹣（−12）﹣1﹣|3−√8|；（2）（1+1x−2）÷x−1x−2．【解答】解：（1）20220﹣（−12）﹣1﹣|3−√8|＝1﹣（﹣2）﹣（3﹣2√2）＝1+2﹣3+2√2＝2√2；（2）（1+1x−2）÷x−1x−2=x−1 x−2⋅x−2 x−1＝1．23．（2022•丰县二模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣4|+（12）﹣1−√273；（2）(1−1a)÷a2−2a+1a．【解答】解：（1）（﹣1）2022+|﹣4|+（12）﹣1−√273＝1+4+2﹣3＝4；（2）(1−1a)÷a2−2a+1a=a−1a⋅a(a−1)2 =1a−1．24．（2022•徐州二模）（1）计算：(12)−2−tan45°−(π−3)0+√4；（2）化简：(1−1x+2)÷x2−1x+2．【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣1+2＝4；（2）原式=x+2−1x+2•x+2(x+1)(x−1)=x+1 x+2•x+2 (x+1)(x−1)=1x−1．25．（2022•贾汪区二模）计算：（1）20220+(12)−1−|−3|+√−83；（2）(x−1x)÷x2−2x+1x．【解答】解：（1）20220+(12)−1−|−3|+√−83＝1+2﹣3+（﹣2）＝﹣2； （2）(x −1x)÷x 2−2x+1x=x 2−1x ⋅x (x−1)2=(x+1)(x−1)(x−1)2=x+1x−1． 26．（2022•睢宁县模拟）计算： （1）(−2)3−(−3)−(13)−1+√8； （2）a a 2−4÷（1−2a+2）． 【解答】解：（1）原式＝﹣8+3﹣3+2√2 ＝﹣8+2√2．（2）原式=a(a+2)(a−2)÷a+2−2a+2 =a(a+2)(a−2)•a+2a=1a−2． 27．（2022•邳州市一模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣5|﹣（13）﹣1+√12；（2）a−1a 2÷（1−1a 2）． 【解答】解：（1）（﹣1）2022+|﹣5|﹣（13）﹣1+√12 ＝1+5﹣3+2√3 ＝3+2√3； （2）a−1a 2÷（1−1a 2） =a−1a2⋅a 2(a−1)(a+1)=1a+1．28．（2022•徐州一模）计算：（1）|−√3|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（12）﹣1；（2）（1x+1−1x−1）÷2x 2−1． 【解答】解：（1）原式=√3−1+2×√32+2=√3−1+√3+2＝2√3+1；（2）原式＝[x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)]•(x+1)(x−1)2 =x−1−x−1(x+1)(x−1)•(x+1)(x−1)2＝﹣1． 29．（2022•徐州一模）计算：（1）√12+4﹣1﹣（12）﹣1+|−√3|； （2）(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4． 【解答】解：（1）√12+4﹣1﹣（12）﹣1+|−√3| ＝2√3+14−2+√3＝3√3−74；（2）(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4=1−x−3x+3•(x+3)2(x+2)(x−2)=−2−x x+3•(x+3)2(x+2)(x−2) =−x+3x−2．30．（2022•鼓楼区校级二模）计算：（1）|−4|−20220+√273−(13)−1；（2）(a +2a+1a )÷a 2−1a． 【解答】解：（1）|−4|−20220+√273−(13)−1＝4﹣1+3﹣3＝3；（2）(a +2a+1a )÷a 2−1a=a 2+2a+1a •a (a+1)(a−1) =(a+1)2a •a (a+1)(a−1) =a+1a−1．。
期末专项训练 专题一 探索数与式的运算性质及规律
C．a、b 为有理数，则 a＋b＞a－b
D．a、b 为不等于零的有理数，则 ab 与ab同号
7．如果在数轴上表示 a、b 两个实数的点的位置如图所示，那么化简|a－b| ＋|a＋b|的结果等于( B )
A．2a
B．－2a
C．0
D．2b
8．已知多项式 ax5＋bx3＋cx－1，当 x＝－2 时，其值为 5，那么当 x＝2 时，
23．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如 图 1 所示．
(1)仿照图 1，在图 2 中补全 672 的“竖式”； (2)仿照图 1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图 3 所示．若这个两位数的个位数字为 a，则这个两位数为 a＋50 (用含 a 的代 数式表示)．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天收 0.8 元，以后每天收 0.5 元，那么一张光盘在租出的第 n 天(n 是大于 2 的自然数)， 应收租金 0.5n＋0.6 元． 14．如图，已知 a＝4，b＝3，则阴影部分的面积为 8－89π .
解：(1)厂家直销利润：30x－20x－1200＝10x－1200 委托商场销售利润：24x －20x＝4x (2)当 x＝300 时，直销 300×10－1200＝1800(元)；批发 4×300＝1200(元)， ∵1800＞1200，故选择直销获利较多． (3)当 x＝200 时，两种销售方式都可以，获利一样多．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 7:56:38 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
数与式的运算
（4）必会乘法公式
平方差公式 完全平方公式 立方和公式 立方差公式
(a b)(a b) a2 b2
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
三数和平方公式 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) 两数和立方公式
4、 0.01 10 2 2 2 (32 23 )
8 x 27
1 3 1 1 1 2 1 1 1 （3） m ( m m ) m 3 4 6 9 8 27 2
（4） a b(a 2 ab b 2 )(a b)(a 2 ab b 2 )
a b
6
6
(1) (4 m)(16 4m m 2 )
x ( x 1) x 1 2 x x
练习
1、如果分式 A. 5
2、分式 x6 ，当 x x 8
x 5 x
2
0 ， 则x的值为（ B. 5
D
） C. 1或5 D. 5或5
8
时无意义，当 x
6
时值为零。
a3 a2 b 2 3、 ( ) ( ) ( ) 2b b 2
x2 y2 5、 ax bx ay by
2x x2 4、 x 2 x 1 x 1
幂的运算法则
a m a n a m n a m a n a m n (a ) a 1 p a p a
m n 0 mn
(m, n为正整数) (m, n为正整数，且 m n，a 0) (m, n为正整数 )
1 1 1 2 1 1 2 (2) ( m n)( m mn n ) 5 2 25 10 4
初高衔接第一课时数与式的运算
Hale Waihona Puke 典例题例4.1 简化：1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150;
2
30 ×
3
2
2
3
2 ÷ −2 2
1
2
.
解：
1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150 = 8 6 − 18 6 + 12 6 − 10 6 = −8 6.
2
30 ×
8
3
3
2
2
5
2
2
3
÷ −2
30 × × = −
所以 −
+
2 2 − 2.
=
+ − 2
+ − 2 −2+ −2
+ −
= 2 + 1.
= 2 − 2 + −2 = 2 + 1 − 2 + 2 − 1 =
初高衔接
行，运算中要运用公式 = ≥ 0, ≥ 0 .而对于二次根式的除法，
通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法
与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。
2 二次根式 2 的意义:
, ≥ 0
2
= =
−, < 0
初高衔接
2 完全平方 ± 2 = 2 ± 2 + 2 .
通过证明得到的乘法公式：
1 立方和公式 + 2 − + 2 = 3 + 3 ;
2 立方差公式 − 2 + + 2 = 3 − 3 ;
3 三数和平方公式 + + 2 = 2 + 2 + ��2 + 2 + + ;
初三升高一数学暑假班衔接课：01—数与式的运算-教师版
高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）1 / 27在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）3 / 274 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版） 是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【难度】★★【答案】0<x 或4>x【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，5 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【难度】★★【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值；（4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，6 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=.综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1 图2 图3 图4 （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ；③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ；④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x ；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得.B AO B (A)O B A O oA O o7 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）【巩固训练】1.解绝对值方程：321-=---x x x ． 【难度】★★ 【答案】4=x【解析】分类讨论：x ＜1，1≤x ＜2，x ≥2，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．解：当x ＜1时，原方程等价于1﹣x ﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=2（不符合范围，舍）； 当1≤x ＜2时，原方程等价于x ﹣1﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=0（不符合范围，舍）； 当x ≥2时，原方程等价于x ﹣1﹣（x ﹣2）=x ﹣3．解得x=4， 综上所述：x=4．本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，此外也可以通过数形结合来解题．二、乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+； （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；8 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版） （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．引申：n 次方差公式；()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式； 由这个公式易得())(n n b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ．【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -．9 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．（2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式2231)2([+-+=x x222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯4328139x x x =-++．（4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++； （2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++ =22(68)(58)x x x x ++++ =2(2)(4)(58)x x x x ++++10 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）（2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++-- =22226(1)7(1)36x x x x -+-- =22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+ =22(232)(383)x x x x --+- =(21)(2)(31)(3)x x x x +--+．【巩固训练】1．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．【难度】★★ 【答案】1- 【解析】()()()()()1552525131353333531152,52,52,52332233333333-=-++-=-+++++=-+++++=-+++=-=⇒-=⇒+=-==+=-ab b ab a b a b a ab b a b a b a b a ab ab b a b a 原式即令2．已知96333=-+z y x ，4=xyz ，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．【难度】★★★ 【答案】911 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）【解析】()()()()[]()()()()9123333310812963222222222233333333=-+∴=-++++-++++-+=-+-++++-+=+---+=+-+=+=+-+z y x xy yz xz z y x xy yz xz z y x z y x z y x xy z y x z y x z y x xyzxy y x z y x xyzz y x xyz z y x 解：3．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-． 【难度】★★【答案】令a x y =+，b xy =，则原式=2(1)(2)(2)b a a b -+-- =221222a b a b ab ++-+- =2(1)a b -- =2(1)x y xy +-- =2[(1)(1)]x y --- =22(1)(1)x y --三、二次根式1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．2a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩【例7】试比较下列各组数的大小：（1；（2和【难度】★★【答案】见解析【解析】（11===，===，>，．（2）∵===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜【例8】化简：（1（21)x<<．12 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）13 / 27【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）原式===2=2=．（2）原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【难度】★★ 【答案】C【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1(2222+-+=+++=n n n n n n数与式的运算（教师版）方法二：可利用特值法将A、B、D一一排除。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
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解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
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初升高衔接课程 数与式的运算因式分解一元二次方程
第一讲数与式的运算第二讲因式分解知识篇数与式的运算1、实数；2、代数式；3、乘法公式；4、分式；5、二次根式因式分解1、提取公因式；2、运用公因式；3、分组分解法；4、十字相乘法；5、配方法笔记:归纳小结:数与式的运算1 、已知 的公式表示试写出用21121,,111R ，R R R R R R R ≠+=2、设X=,3232-+ Y=,3232+- 求33Y X +的值3、化简下列各式1）221-32-3）（）（+ 2）22x -2x -1）（）（+ （X ≥1）4、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a2+b2+c2的值。
分解因式1、提公因式法，运用公因式法（1）3a3b-81b4（2）a7-ab62、分组分解法（3）2ax-10ay+5by-bx （4）ab(c2-d2)-(a2-b2)cd （5）x2-y2+ax+ay （6）2x2+4xy+2y2-8z23、十字相乘（7）x2-7x+6 （8）x2+13x+36（9）x2+xy-6y2（10）(x2+x)2-8(x2+x)+12 （11）12x2-5x-2 （12）5x2+6xy-8y24、配方法（13）x2+12x+16 （14）a4+a2b2+b45、其他方法添项、拆项法、分解因式（15）x 3-3x 2+4 （16）(x 2-5x+2)(x 2-5x+4)-8二、因式分解的应用 1、已知a+b=32，ab=2，求代数式 a 2b+2a 2b 2+ab 2的值2、计算12345678921234567890-123456789112345678902）（ab o作业篇一选择1、二次根式，a -=2a 成立的条件是 （ ）A 、a ＞0，B 、a ＜0，C 、a ≤0，D 、a 是任意实数2、若x ＜3，则6x 6x -92--+x 的值是 （ ） A 、-3， B 、3， C 、-9， D 、93、数轴上有两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则线段AB 的长度是 （ ） A 、a-b ， B 、a+b ， C 、b -a ，D 、b +a4、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A 、a+b ＞a ＞b ＞a-b ， B 、a ＞a+b ＞b ＞a-b C 、a-b ＞a ＞b ＞a+b ， D 、a-b ＞a ＞a+b ＞b5、若等于，则yy x y x322x =+- （ ） A 、1， B 、45， C 、54， D 、56二化简1、19183-232）（）（+ 2、313-1+3、1-32-23121++4、38a -5、aa 1-⨯三、已知x+y=1，求x 3+y 3+3xy四、若2)1()1(22=++-a a ，求a 的取值范围。
专题1 数与式的运算
专题01数与式的运算本专题在初中、高中扮演的角色初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别n的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离； 例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x = . （1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5，∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5，∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5．（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若x对应的点在5的右边，可得203x=；若x对应的点在－2的左边，可得103x=-，∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是103x=-或203x=.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简.a-2b解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：.(1) −1<a<3；(2).(1)①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y=2+2a，根据题意得：xy=(3−a)(2+2a)>0，解得−1<a<3；(2)∵−1<a<3，∴当−1<a<3时，高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b ab +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b aab b a b +-+=+； （2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】 （1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- （1）3（2）4ab-8b 2解：（1）原式=4+1+（-8）÷4 =5-2=3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)=a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2=4ab-8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-（1）8 （2）－6x+13(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4)=x 2-6x+9-x 2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示） (1)ab;(2)a b ;(3)2a b. 解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ； （2）2x ＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （3）20x ＝x x 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭．高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 212x ++，22x y ++1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2(1) 56-;(2)（1）×3﹣6＝﹣＝﹣（2）x 4﹣4x＝2x 4x2x ．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．不正确，见解析解：不正确，正确解答过程为：【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+，其中，．2a a b -． 解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+ =()()()()()2a b a b b a b a b a b a b a 2b ---++⋅+--=2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a ba 2b -⋅-- =2a a b -， 当+3，-3时，原式22=33．高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 像a b c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0．21x x -,1. 解：原式＝()()()221-211121x x xx x x x x ---=-+210x x +﹣＝，21x x ∴＝﹣，∴原式＝1.【变式训练】化简：22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）y x +2122442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）=2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+-=y x +21.【能力提升】已知：112a b -=，则ab b a bab a 7222+---的值等于多少？43-.解：∵112a b -=，∴a-b=-2ab ，则2ab 2ab44ab 7ab 3--=--+专题验收测试题1．如图，若实数m ＝﹣7+1，则数轴上表示m 的点应落在（）A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段CD 上D ．线段DE 上B∵实数m+1，23<<∴﹣2＜m＜﹣1，∴在数轴上，表示m的点应落在线段BC上．故选：B．2．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66 B（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．3．已知1-1xx=，则221xx+等于（）A．3 B．2 C．1 D．0 A∵1-1 xx=，∴21-1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即221-2+1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴221-=3x x．故选A ． 4．设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：① a 是无理数；② a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a 是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是 A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①③④C根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为a = 根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a 可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．∵216<a 18<25=，∴4<a =，故说法③错误．∵2a 18=，∴根据算术平方根的定义，a 是18的算术平方根，故说法④正确． 综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C ．5．定义一种关于整数n 的“F ”运算：一、当n 为奇数时，结果为3n ＋5；二、当n 为偶数时,结果为2k n（其中k 是使2k n为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n ＝58,第一次经F 运算是29,第二次经F 运算是92,第三次经F 运算是23,第四次经F 运算是74……，若n ＝449,求第2020次运算结果是（ ） A ．1 B ．2C ．7D ．8A设449经过n 次运算结果为n a ，则11352a =，2169a =，3512a =，41a =，58a =，61a =，⋯，21n a ∴=，218(2n a n +=且n 为整数）．∵2020为偶数，20201a ∴=．故选：A6．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为1a ，第2幅图形中“•”的个数为2a ，第3幅图形中“•”的个数为3a ，…，以此类推，则123191111a a a a ++++…的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760C∵第一幅图中“•”有1133a =⨯=个；第二幅图中“•”有2248a =⨯=个； 第三幅图中“•”有33515a =⨯=个；∴第n 幅图中“•”有()2na n n =+（n 为正整数）个∴111122n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴当19n =时123191111a a a a ++++ (1111)3815399=++++11111324351921=++++⨯⨯⨯⨯ 1111111111112322423521921⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324351921⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11111222021⎛⎫=⨯+-- ⎪⎝⎭589840=．故选：C 7．定义新运算，*(1)a b a b =-，若a 、b 是方程2104x x m -+=（0m <）的两根，则**b b a a -的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关A根据题意可得()()22**11b b a a b b a a b b a a -=---=--+，又因为a ，b 是方程2104x x m -+=的两根，所以2104a a m -+=，化简得214a a m -=-，同理2104b b m -+=，214b b m -=-，代入上式可得()()222211044b b a a b b a a m m ⎛⎫⎛⎫--+=--+-=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．8．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足()()122018232019Mx x x x x x =++++++，()()122019232018N x x x x x x =++++++，则M ，N 的大小关系是()A ．M N <B ．MN >C ．MN D ．M N ≥B根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，∴1p q x -=，∴()()12201823201920192019()Mx x x x x x p q x pq p x =++++++=•+=+•； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++++++=+•=+•；∴20192019()MN pq p x pq q x -=+•-+•=2019()x p q •- =201910x x •>；∴MN >；故选：B.9．下列运算正确的是( )A ．1a b a b b a -=--B ．m n m na b a b --=- C ．11b b a a a+-=D ．2221a b a b a b a b+-=--- D根据分式的减法法则，可知：a b a b b a ---=a b a b a b +--=a ba b +-，故A 不正确；由异分母的分式相加减，可知m n a b -==bm an bm anab ab ab --，故B 不正确；由同分母分式的加减，可知11b b a a a+-=-，故C 不正确； 由分式的加减法法则，先因式分解通分，即可知2221a b a b a b a b+-=---，故D 正确.故选：D. 10．已知a ，b 为实数且满足1a ≠-，1b ≠-，设11=+++a b M a b ，1111=+++N a b ．①若1ab =时，M N ；②若1ab >时，M N >；③若1ab <时，M N <；④若0a b +=，则0M N ≤．则上述四个结论正确的有（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4D对于①，可知(1)(1)2(1)(1)(1)(1)a b b a a b ab M a b a b +++++==++++，2(1)(1)a b N a b ++=++，若1ab =时，M N ，正确；对于②，也可分析得到；对于③④同样如此.11．若11122299919991a +=+，22233399919991b +=+，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．无法确定A∵11122299919991a +=+，22233399919991b +=+， ∴1112222223339991999199919991a b ++-=-++ =()()()()()211133322222222299919991999199919991++-+++=()()111333222222333999999999999199291++-⨯+=()()()1112222222223339999999999991999211⨯+-++⨯＞()()111222222222333999999999999199291+⨯-⨯+＞0，∴a b >．故选A ．12．已知实数x ，y ，z 满足1x y ++1y z ++1z x +＝76，且z x y x y y z z x+++++＝11，则x +y +z 的值为（ ）A ．12B ．14C ．727D ．9A11z x y x y y z z x ++=+++， 11114z x y x y y z z x∴+++++=+++， 即14x y z x y z x y zx y y z z x ++++++++=+++，11114x y y z z x x y z∴++=+++++， 而11176x y y z z x ++=+++， 1476x y z ∴=++，12x y z ∴++=．故选：A ．13．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a ba b+-的值为( )A B ．C ．2D ．±2A∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ， ∵a ＞b ＞0，∴a+b=a-b=∴a ba b +-= A.14有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A15．已知a的最小值为()A．0 B．3 C．D．9B根据题意，由，可知当（a﹣3）2=0，即a=3时，代数的值最小，为故选B．16．已知m、n m，n）为（）A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是Cm、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．17．已知31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187……．则3+32+33+34+…+32019的末位数字是____．9．∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187……，∴尾数四个一循环，∴每四个的尾数和是0．∵2019÷4=504…3，∴3+32+33+34+…+32019的末位数字是9．故答案为：9．C，最小正方形的周长是18．如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是12C，则12C C =_____.432如图，设,AB x BC y ==，最大正方形标记为0号，被分割成的11个正方形标记为1-11号，其中最小正方形标记为11号，各个正方形的边长求解过程如下： 0号：1号+2号得x y +5号：1号-2号得y x -3号：2号-5号得()2x y x x y --=-4号：0号-2号-3号得(2)22x y x x y y x +---=- 7号：3号-4号得2(22)43x y y x x y ---=- 6号：4号-7号得22(43)56y x x y y x ---=- 10号：0号-1号得x9号：0号-4号-6号-10号得(22)(56)86x y y x y x x x y +-----=- 8号：10号-9号得(86)67x x y y x --=- 11号：6号-7号得56(43)810y x x y y x ---=- 或9号-6号得86(56)1411x y y x x y ---=- 因此x 和y 满足等式：8101411y x x y -=- 整理得：1924x y =所以最大正方形（0号）的周长1434()6C x y y =+=最小正方形（11号）的周长214(1411)3C x y y =-=则12432C C =.19．对于整数a ，b ，c ，d ，定义a d b c ＝ac ﹣bd ，已知1＜1d 4b＜3，则b+d 的值为_______．±3根据题意，得1<4–bd <3，化简，得1<bd <3， a ，b ，c ，d 均为整数，∴db =2， ∴当d =1时b =2或当d =–1时b =–2， ∴b +d =3或b +d =–3．20． 已知21x y =⎧⎨=⎩，是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n 的平方根为______．±3把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组得：2821m n n m +=⎧⎨-=⎩①②，①×2-②得：5m =15， 解得：m =3，把m =3代入①得：n =2，则m +3n =3+6=9，9的平方根是±3， 故答案为：±3 21．若m 满足关系式35223x y m x y m +--+-199199x y x y =---+m =________．201由题意可得，199-x-y ≥0，x-199+y ≥0， ∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．=0，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③得，1993520230x y x y m x y m +=⎧⎪+--=⎨⎪+-=⎩①②③，②×2-③×3得，y=4-m ， 将y=4-m 代入③，解得x=2m-6，将x=2m-6，y=4-m 代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201． 故答案为：201．22．若214x x x++=，则2211x x ++= ________________.8∵214x x x ++=可化为13x x +=，2211x x ++化为211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴原式=211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=32-1=823．已知22143134m n m n =--+，则11m n+的值等于______． 1322143134m n m n =--+221(2)(6)04m n -++=，则20m -=，60n +=， 所以2m =，6n =-， 所以11111263m n +=-=． 故答案是：13． 24．已知函数1x f xx，那么1f _____．2+因为函数1x f xx，所以当1x =时， 211()2221f x ．25．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =..原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x == 26．观察下列等式：1)131====-====回答下列问题：（1（2；（3+…．（1（2；（3）1 （12575752227575 527755=（222121212121n n n n n 2222212121n n n n 22212121n n n n 22221n n2121n n（3）由（22121121n n n n3153757573 =153757573 31537573717573175 531270=（1）求实数,a b 的值；（2的整数部分为x ，小数部分为y①求2x y +的值；②已知10kx m =+，其中k 是一个整数，且01m <<，求k m -的值．（1）7a =；21b =；（2）①4（10=，2490a -=且70a +≠，∴30a b -=，2490a -=且70a +≠， 即7,21a b ；（2）∵162125，∴45<<，即的整数部分为4，小数部分为4，①244)4x y +=+=；②∵12<<，∴8109<<，又∵104kx m k m =+=+，k 是一个整数，且01m <<，∴2,10242k m ==-⨯=∴2(2k m -=--=28．已知下面一列等式： 111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：（2）验证一下你写出的等式是否成立；（3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++. （1）一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x+. （1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；…，知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立；（3）11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x =+. 29．对有理数a 、b 、c ，在乘法运算中，满足：①交换律：ab ba =；②对加法的分配律：()ca b ca cb +=+.现对a b ⊕这种运算作如下定义，规定：a b a b a b ⊕=⋅++.（1）这种运算是否满足交换律？（2）举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律？（1）运算满足交换律；（2）加法的分配律不满足．（1）∵a b a b a b ⊕=⨯++，b a b a b a ⊕=⨯++，∴a b b a ⊕=⊕，∴该运算满足交换律；（2）根据规定，()()()a b c a b c a b c +⊕=+⨯+++a c b c a b c =⨯+⨯+++，∵a c a c a c ⊕=⨯++，b c b c b c ⊕=⨯++， ∴a c b c a c a c b c b c⊕+⊕=⨯+++⨯++2a c b c a b c =⨯+⨯+++， ∵2a c b c a b c a c b c a b c ⨯+⨯+++≠⨯+⨯+++，∴()a b c a c b c +⊕≠⊕+⊕，∴对加法的分配律不满足．30．李狗蛋同学在学习整式乘法公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：（1）探究：()()a b a b -+=____；()()22a b a ab b -++=___；()()3223a b a a b ab b -+++=_____；（2）猜想：()()1221...n n n n a b a a b ab b -----++++=______（n 为正整数，且2n ≥）； （3）利用上述猜想的结论计算：98732222...2221-+-+-+-的值．（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）341 （1）()()22a b a b a b -+=-，()()22322223a b a ab b a a b ab a b ab b -++=++---33=-a b ，()()32234322332234a b a a b ab b a a b a b ab a b a b ab b -+++=+++----44a b =-，故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；（2）根据（1）的结果可知：()()1221...n n n n a b a a b ab b -----++++=n n a b -， 故答案为：nn a b -； （3）原式987236278922(1)2(1)...2(1)2(1)2(1)(1)=+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+- 98723627891[2(1)][22(1)2(1)...2(1)2(1)2(1)(1)]3=⨯--⨯+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+-10101[2(1)]3=⨯-- 10213-= 102413-= 341=．。
专题1.数与式(解析版)
2019年中考数学典题精选系列专题01 数与式1．3月30日，我区航空经济产业功能区2019年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行．参加此次集中开工仪式项目共计71个，总投资超过249亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都．用科学记数法表示249亿元为（）A．249×108元B．24.9×109元C．2.49×1010元D．0.249×1011元【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将249亿用科学记数法可表示为2.49×1010．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【答案】C.3．按如图所示的运算程序运算，能使输出的结果为7的一组x，y的值是（）A．x＝1，y＝2 B．x＝﹣2，y＝1 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣3，y＝1【答案】C【解析】【分析】将各项中的x与y代入程序计算，即可得到结果．【详解】A、当x＝1，y＝2时，原式＝2﹣2＝0，不符合题意；B、当x＝﹣2，y＝1时，原式＝8+1＝9，不符合题意；C、当x＝2，y＝1时，原式＝8﹣1＝7，符合题意；D、当x＝﹣3，y＝1时，原式＝18+1＝19，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．4．下列整数中，比小的数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】可根据有理数大小比较的方法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．通过比较直接得出．【详解】∵-3＞-π，0＞-π，1＞-π，-4＜-π故选D．【点睛】本题考查有理数比大小，深刻理解有理数中正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．5．已知23ab=，则代数式a ba+的值为（）A．52B．53C．23D．32【答案】B【解析】由23ab=得到：a=23b，则代入可得2533b ba bb b++==．故选：B．6．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算求出每个式子的值，再根据结果判断即可．【详解】A 、与不是同类项，故本选项错误；B 、，故本选项错误；C 、，故本选项正确；D 、，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．7．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n =（n为不小于2的整数），则a100=（）A ．B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解析】根据表达式求出前几个数后发现：每三个数为一个循环组．用100除以3，根据商和余数的情况确定a100的值即可．解：根据题意得，a 2==2，a 3==﹣1，a 4==，a 5==2，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， ∵100÷3=33…1，∴a 100是第34个循环组的第一个数，与a 1相同， 即a 100=．故选A ．8．已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C ．【解析】由a ﹣b=3，得到a=b+3，则原式=（b+3）2﹣b 2﹣6b=b 2+6b+9﹣b 2﹣6b=9．故选C ．学科*网 9．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对任意正整数n ，我们可得到同理可得那么， 23420162017••••••i i i i i i ++++++。
初高中衔接数学专题训练
初高中衔接数学专题训练★ 专题一 数与式的运算1、解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4 （3）327x x ++-<2、计算：（1）221()3x + （2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3） 42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+（5）()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-3、已知2310x x -==，求331x x +的值．4、已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．5、计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥ （3）（4）3÷(6)(8) ÷6、设x y==33x y+的值．7、化简：（1）11xxxxx-+-（2）222396127962x x x xx x x x++-+---+ 8、设x y==22x xy yx y+++的值．9、当22320(0,0)a ab b a b+-=≠≠，求22a b a bb a ab+--的值．10、设x=，求4221x x x++-的值．★ 专题二因式分解1、把下列各式分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab - （3）2222()()ab c d a b cd ---（4）2222428x xy y z ++- (5) 2524x x +- (6) 2215x x --(7) 226x xy y +- (8) 222()8()12x x x x +-++ (9) 21252x x --(10) 22568x xy y +- （ 11）3234x x -+ (12) 2222()()ab c d cd a b -+-(13) 22484x mx mn n -+- (14) 464x + (15) 32113121x x x -+-(16) 3223428x xy x y y --+2、已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．3、现给出三个多项式，1212-+x x ，13212++x x ，x x -221，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4、已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系1、若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2B ．2-C ．12D ．922、若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ． 5、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．6、已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．7、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．9、已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．10、若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．★ 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数1、函数y kx m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）xA ．xB ．xC ．xD ．2、已知()12,A y 、()2,3B x -，根据下列条件，求出A 、B 点坐标．(1) A 、B 关于x 轴对称；(2) A 、B 关于y 轴对称；(3) A 、B 关于原点对称． 3、已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。
初高衔接专题1 数与式的运算
绵阳开元中学高2019级“初高中数学衔接” 专题一：数与式的运算制卷：王小凤 学生姓名一．绝对值 【知识归纳】绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 【练习提高】1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b =________；若21=-c ，则c =________. 2．选择题：下列叙述正确的是( )A ．若a b =，则a b =B ．若a b >，则a b >C ．若a b <，则a b <D ．若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（5x >）．二．乘法公式【知识归纳】我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【练习提高1】1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164m m =++( )；(3 ) 2222(2)4a b c a b c +-=+++ ( )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于( )A ．2mB ．214mC ．213m D ．2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值( ) A ．总是正数 B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数 三．二次根式【知识归纳】 一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.2．二次根式2a 的意义:2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <． 解： （1）1223b b =；（2）2(0)a b a b a b a ==≥；（3）633422(0)x y x y x y x ==-<．例2 计算：3(33)÷-．解:3(33)÷-＝333-＝3(33)(33)(33)⋅+-+＝33393+-＝3(31)6+＝312+．例3 比较大小：1211-和1110-； 解： ∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++，1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．例4 化简：20042005(32)(32)+⋅-．解：20042005(32)(32)+⋅-＝20042004(32)(32)(32)+⋅-⋅-＝2004(32)(32)(32)⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041(32)⋅-＝32-．例 5 化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x+-<<． 解：【练习提高2】 1．填空：（1）1313-+＝__ ___； （2）若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___； （3）4246543962150-+-=__ ___； （4）若52x =，则11111111x x x x x x x x +--++-+=++-+--______ __． 2．等式22x xx x =--成立的条件是( ) A ．2x ≠ B ．0x > C ．2x > D ．02x <<3．若22111a ab a -+-=+，求a b +的值．4．比较大小：2－ 3 5－4（填“＞”，或“＜”）．四．分式 【知识归纳】 1．分式的意义：形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当0M ≠时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯； A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式:像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯；（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知 1111223910+++⨯⨯⨯11111(1)()()223910=-+-++- 1110=-＝910．例3 设ce a=，且1e >，222520c ac a -+=，求e 的值．解：在222520c ac a -+=两边同除以2a ，22520e e -+=， ∴()()2120e e --= ∴112e =<，舍去；或2e = ∴2e =．【练习提高3】1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．若223x y x y -=+，则xy＝( ) A ．1 B ．54 C ．45 D ．653．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．（2）原式=21()x x -1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．（1）原式5454=-+22(5)2252=-⨯⨯+ 2(25)=- 25=- 52=-．。
初高中数学衔接 第1课 数与式的运算 1
初高中数学衔接第1课数与式的运算 1初高中数学衔接第1课数与式的运算1初高中数学衔接第1课数与式的运算(1)第1课数与式的运算（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．⎧a，a>0，即|a|＝⎧⎧0，a＝0，⎧绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．【例1】在数轴上表示|x＋1|与|x－1|的几何意义．【基准2】化简：(1)|3x－2|；(2)|x＋1|＋|x－3|；x－4x＋4；【例3】解下列方程：(1)|x－1|＝1；(2)|x2－1|＝1.【基准4】求解以下不等式．(1)|2x＋3|≤2；(2)|x－1|＋|x－3|>4.(4)t＋4t＋4.【基准5】图画出来以下函数的图象．(1)y＝|x|；(2)y＝|x－2|＋|x＋2|.1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.3．立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.4．立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.5．三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)．6．两数和立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.7．两数高立方公式：(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.【基准6】因式分解．(1)x3－1；(2)x3＋1.【例7】计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．【基准8】未知：x＋y＝1，谋x3＋y3＋3xy的值．【例9】已知：x2－3x＋1＝0，求x3＋1【基准10】设x＝2323，y2－3x3＋y3的值．1．以下描述恰当的就是()a．若|a|＝|b|，则a＝bb．若|a|>|b|，则a>bc．若a3．如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________.4．化简：|x＋1|－|x－2|.5．解方程3|x＋1|－1＝5.6．求解不等式|x2－1|≤2.7．画出下列函数的图象．(1)y＝－|x＋1|(2)y＝|x|＋|x－1|8．排序：(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；9．未知：x2－5x＋1＝0，谋x3＋1(2)(x2＋2xy＋y2)·(x2－xy＋y2)2；(4)(a－4b)(1＋4b2＋ab)．10．已知：a＋b＋c＝0，求b＋c－aa＋c－b＋a＋b－c．未知：a>0，a2x＝3，求：a3x＋a3x11a＋a－12．已知：a2－4a＋1＝0a2a＋5a＋113．未知：a＋b＋c＝0，谋a(1b＋1c＋b1c1a＋c(11a＋b)．14．未知：a＋b＋c＝0.澄清：a3＋a2c＋b2c－abc＋b3＝0.例1解|x＋1|为a、b两点间的距离，如图|x－1|为a、b两点间的距离，例如图⎧3x－2(x≥23基准2求解(1)|3x－2|＝⎧⎧－3x＋2(x⎧－2x＋2(x≤－1(2)|x＋1|＋|x－3|＝⎧)⎧4(－1⎧⎧2x－2(x≥3)(3)原式＝(x－2)＝|x－2|＝⎧⎧⎧x－2(x≥2)－x＋2(x(4)原式＝(t＋2)＝t2＋2.例3解(1)x＝0或x＝2；(2)x＝0或x＝2.例4解(1)52x≤－12；(2)x>4或x例6解(1)(x－1)(x2＋x＋1)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)．例7解(x3＋1)(x3－1)＝x6－1.基准8求解原式＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＋3xy＝(x＋y)2＝1.基准9求解由x2－3x＋1＝0得：x1∴x3＋1x3[(x12－3]＝18.例10解xy＝1，x＋y＝14，x3＋y3＝2702.强化训练1．d2.±5±43.±43或－1⎧－3(x≤－1)4．解|x＋1|－|x－2|＝⎧⎧2x－1(－1⎧⎧3(x≥2)5．求解x＝1或x＝－36．求解3≤x≤37．求解8．解(1)64＋m3；(2)(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6；(3)－3a2b－3ab2；183－8b3)＝143－16b3.9．解x＋1x5，(x＋11x)[(x＋x2－3]＝110.10．求解原式＝1111a＋b＋c－2bc－2ac＋－2ab2[abc＝0.11．求解原式＝a2x－1＋a＝3－1＋1712．求解a＋1a＝4，a2＋1a14，原式＝11a2＋11913．求解原式＝acbbcababbb－1＋aaa－1＋cc＋c14．证明原式＝a2(a＋c＋b)－a2b－abc＋b2c＋b3＝－ab(a＋c＋b)＋ab2＋b2c＋b3＝b2(a＋b＋c)＝0.。
高一数学：数与式的运算
数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331x x +的值． 解：0132==-x x 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅abcc b a ab c c ac b b bc a a 222)()()(++-=-+-+-= ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥||a =0,0)a b =≥≥ 0,0)a b =>≥ 【例6】化简下列各式：1)x +≥解：(1) 原式=2|1|211-+==(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(3) +解：(1) 原式6=-(2) 原式(3) 原式=-=-+说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(或被开方数有分母(形式(，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中22-)．【例8】计算：(1) 21)(1+-+解：(1) 原式=22(1()21a b a --++=--+(2) 原式++=说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y ==33x y +的值．解：77 14,1x y x y xy ==+=-⇒+==原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x x xx x x ++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x +-------===+-+-+ 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1a =-成立的条件是( ) A ．0a > B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是( ) A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(2) a+-5．化简：102m +- 0)x y >>B 组1．若112x y -=，则33x xy yx xy y +---的值为( )： A ．35B ．35-C ．53-D ．532．计算：(1) -(2) 1÷-3．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求 6．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设12x =，求4221x x x ++-的值． 8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11．化简或计算：(1)(2)-(4)÷+-习题答案 A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2)22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2 12a b ----5．B 组1． D 2．a c b +--+．4．3,2-5．±6． 37．3-8．4328243216x x x x -+-+ 9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z ---+++11．3,3-。
第一讲 数与式的运算
第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn mn m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331xx +的值．解：0132==-x x 0≠∴x 31=+∴x x 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+xx xx xx xx说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abb ac acc a b bcc b a +⋅++⋅++⋅abccb a abc c acb b bca a 222)()()(++-=-+-+-=①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥(2) 2||aa =(3)(0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4)(0,0)b b a b aa=>≥【例6】化简下列各式： (1)22(32)(31)-+-(2)22(1)(2) (1)x x x -+-≥解：(1) 原式=|32||31|23311-+-=-+-=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：请注意性质2||a a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1)323+(2)11ab+(3) 3282x x x -+解：(1) 原式=23(23)3(23)63323(23)(23)--==--+-(2) 原式=22a b a b ab abab++=(3) 原式=2222222223222x x xx x x x x x x x -⋅+⨯=-+=-⨯说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如323+)或被开方数有分母(如2x )．这时可将其化为a b形式(如2x 可化为2x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如323+化为3(23)(23)(23)-+-，其中23+与23-叫做互为有理化因式)．【例8】计算： (1) 2(1)(1)()a b a b a b ++-+-+(2)a a a aba ab+-+解：(1) 原式=22(1)()(2)2221b a a ab b a ab b +--++=--++(2) 原式=11()()a a a a b a a b a ba b+=+-+-+()()2()()a b a b aa ba b a b ++-==-+-说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设2323,2323x y +-==-+，求33x y +的值．解：22(23)23743,743 14,12323x y x y xy ++===+=-⇒+==--原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简11x x x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x ++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x xx x x x x x x x xx x xx x x x x x xx ++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A m BB m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x x xx x x++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1．二次根式2a a =-成立的条件是()A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <，则296|6|x x x -+--的值是( ) A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)： (1) 38a -(2) 1a a⋅-(3)4ab a b b a-(4)11223231+-+-5．化简： (1)219102325m m m mmm+- (2)222 (0)2x yx y x y xx y--÷>>B 组1．若112x y-=，则33x xy y x xy y+---的值为( )：练 习A ．35B ．35-C ．53-D ．532．计算：(1) ()()a b c a b c +---(2) 111()23÷-3．设11,3232x y ==-+，求代数式22x xy yx y+++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b baab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求y x xyxy+的值．6．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设512x -=，求4221x x x ++-的值．8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11．化简或计算：(1) 113(184)2323-+÷-(2) 22122(25)352⋅--++(3)2x x x yx xy y xy yxx yy+++---(4) ()()b ab ab a b a a bab bab aab-++÷+-++-第一讲 习题答案 A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2()22212a b a a a a b+-------5． 2m m xy B 组1． D 2．2,3223a c b ac +--+ 3． 1336-4．3,2-5．23±6． 37．35-8．4328243216x x x x -+-+ 9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z ---+++11．433,,,3x yb a y+--。
专题01 数与式的运算
专题1：数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ． 例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x +2|=3的解为 ； （2）解不等式：|x －2|＜6； （3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9； （4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x =. 【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3 解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8． （3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边． 若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5， ∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5， ∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5． （4）在数轴上找出|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x 的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在-2的左边或5的右边．若x 对应的点在5的右边，可得203x =；若x 对应的点在－2的左边，可得103x =-， ∴方程|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解是103x =-或203x =. 【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【答案】a-2b 【解析】解：由数轴知：a ＜0，b>0，|a|＞|b|， 所以b-a>0，a-b ＜0 原式=|a|-（b-a ）-(b-a) =-a-b+a-b+a =a-2b【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围； (2)化简：.【答案】(1) −1<a <3；(2). 【解析】 (1)①+②得：5x =15−5a ，即x =3−a ， 代入①得：y =2+2a ，根据题意得：xy =(3−a )(2+2a )>0， 解得−1<a <3； (2)∵−1<a <3， ∴当−1<a <3时，高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +---【答案】（1）3 （2）4ab-8b 2 【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4 =5-2 =3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2) =a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2 =4ab-8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+-- （2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【答案】（1）8 （2）－6x+13 【解析】(1)原式=1+16-9=8； (2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4) =x 2-6x+9-x 2+4 =-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求： （1）50x 的值； （2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2)a b ;(3)2a b . 【解析】解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ； （2）2x＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（3）20x＝xx 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 212x ++，22x y ++，1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2【答案】(1) 56-;(2) 【解析】（1））×3﹣＝＝﹣（2）x 4﹣4x＝2x 4x2x ．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【解析】解：不正确，正确解答过程为：.【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2ba b-+，其中，．【答案】2a a b -．【解析】 解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2ba b-+=()()()()()2a b a b b a b a ba b a b a 2b ---++⋅+--=2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a b a 2b-⋅--=2a a b-， 当3，-3时，原式22．高中必备知识点4：分式1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A MB B M ⨯=⨯； A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0． 【答案】21x x-,1. 【解析】解：原式＝()()()221-211121x x xx x x x x---=-+210x x +﹣＝， 21x x ∴＝﹣， ∴原式＝1.【变式训练】化简：22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2）【答案】yx +21【解析】22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）=2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+-=yx +21. 【能力提升】已知：112a b-=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？【答案】43-.【解析】解：∵112 a b-=，∴a-b=-2ab，则2ab2ab44ab7ab3--=--+专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a2【答案】C【解析】A、a8÷a4＝a4，故此选项错误；B、a2•a＝a3，故此选项错误；C、﹣3a2+(﹣2a)2＝a2，故此选项正确；D、a4与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误，故选C．2．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【答案】B【解析】∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选B．3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x3【答案】B【解析】A、不是同类项，无法计算，故此选项错误；B、正确；C、故此选项错误；D、故此选项错误；故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a6【答案】B【解析】解：A、a3+a4，无法计算，故此选项错误；B、a4•a5＝a9，正确；C、4m•5m＝20m，故此选项错误；D、a3+a3＝2a3，故此选项错误．故选：B．5．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a3÷a﹣1＝a2②（2a3）2＝4a5③（12ab2）3＝16a3b6④2﹣5＝132⑤（a+b）2＝a2+b2A．2道B．3道C．4道D．5道【答案】C【解析】①a3÷a﹣1＝a4，故此选项错误；②（2a3）2＝4a6，故此选项错误；③（12ab2）3＝18a3b6，故此选项错误；④2﹣5＝132，正确；⑤（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，故此选项错误； 则错误的一共有4道． 故选：C ．6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】B 【解析】设第n 次跳到的点为a n （n 为自然数），观察，发现规律：a 0=1，a 1=3，a 2=5，a 3=2，a 4=1，a 5=3，a 6=5，a 7=2，…， ∴a 4n =1，a 4n+1=3，a 4+2=5，a 4n+3=2． ∵2019=504×4+3， ∴经2019次跳后它停的点所对应的数为2． 故答案为：2．7．下列计算中，正确的是 A ．24±= B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=【答案】B 【解析】 解：A.42=，故A 错误；B. a a ≥，正确；C. 235a a a =，故C 错误；D. 211-=-，故D 错误； 故选：B ．8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ） A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a 【答案】C 【解析】 解：A 、11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯⎪⎝⎭，单项式乘多项式；B 、2（x ﹣y ）＝2x ﹣2y ，单项式乘多项式；C 、0.11010.33x x --=，根据分式的性质； D 、a （b ﹣1）＝ab ﹣a ，单项式乘多项式； 则变形依据与其它三项不同的是C ， 故选：C ．9．下列运算正确的是（ ） A ．a 5﹣a 3＝a 2 B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2 C ．2212a2a-=D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3【答案】D 【解析】A 、a 5﹣a 3，无法计算，故此选项错误；B 、6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝6x 3y 2÷9x 2＝23xy 2，故此选项错误； C 、2a ﹣2＝22a，故此选项错误； D 、（﹣2a ）3＝﹣8a 3，正确． 故选D ．10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ） ①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】解：①a 2•a 3＝a 5，错误； ②（a 3）2＝a 6，正确； ③（ab ）3＝a 3b 3，正确； ④a 5÷a 5＝1，错误． 故选：B ．11．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____． 【答案】﹣2． 【解析】∵a 与b 互为相反数， ∴a+b=0，∴a 2+ab-2=a(a+b)-2=0-2=-2. 故答案为：-2.12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________． 【答案】6 【解析】解：2222242816510165(2)162(21)(4)a a a a a a a a a a a =++++=++=+++++，∵a 2+2a=-2，∴原式=25(2)165(2)166a a ++=⨯-+=，故答案为：6.13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______． 【答案】-2 【解析】解：（﹣2）2019×0.52018＝（﹣2×0.5）2018×（﹣2）＝﹣2 故答案为：﹣214．已知23xy=⎧⎨=-⎩是方程组23ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a2﹣b2＝_____．【答案】1 【解析】解：∵23xy=⎧⎨=-⎩是方程组23ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，∴232 233a bb a-=⎧⎨-=⎩①②，解得，①﹣②，得a﹣b＝15 -，①+②，得a+b＝﹣5，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣5）×（15-）＝1，故答案为：1．15．已知关于x、y的方程组31223x y ax y a+=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x•9y＝___．【答案】1 9 .【解析】解：将两方程相加可得2x+2y＝﹣2，则32x•9y＝32x•32y＝32x+2y＝3﹣2＝19，故答案为：19．16．计算：（x﹣y）2•（y﹣x）3+（y﹣x）4•（x﹣y）＝_____．【答案】0【解析】原式＝﹣（x ﹣y ）5+（x ﹣y ）5＝0， 故答案为：017．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值． 小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．【答案】小亮说的对,理由见解析 【解析】2（x+1）2﹣（4x ﹣5） =2x 2+4x+2﹣4x+5， =2x 2+7，当x=时，原式=+7=7； 当x=﹣时，原式=+7=7． 故小亮说的对．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝3 【答案】x 2﹣3，9. 【解析】(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)， ＝x 2﹣4+4x 2﹣4x +1﹣4x 2+4x ， ＝x 2﹣3，当23x =(2331239=-=-=．19．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值．【答案】5【解析】 解： ∵13a a+=（a ＞1）， ∴21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝9，化简得221a a+＝7， 两边平方，可得441a a+＝49﹣2＝47，∵21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝221a a +﹣2＝7﹣2＝5，且a ＞1，∴1a a-=， ∴242241111()()()()a a a a aa a a-⨯+⨯+⨯-7×47×5＝20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 【答案】3x 2﹣9x +4，7 【解析】(x +2)(x ﹣2)+(x ﹣2)2+(x ﹣4)(x ﹣1)， ＝x 2﹣4+x 2﹣4x +x 2﹣5x +4， ＝3x 2﹣9x +4， 当x 2﹣3x ＝1时， 原式＝3x 2﹣9x +4， ＝3(x 2﹣3x )+4， ＝3×1+4， ＝7．21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明该等式成立．【答案】（1）第5个等式为：6666 55⨯=+；（2）第n个等式为：11(1)(1) n nn nn n++⨯+=++．【解析】解：（1）∵第1个等式为：222=11⨯+2，第2个等式为：333=22⨯+3，第3个等式为：444=33⨯+4，∴第4个等式为：54×5＝54+5，第5个等式为：65×6＝65+6；（2）第n个等式为：n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）．证明如下：∵n+1n×（n+1）＝2n+n+n+1n＝2n+nn+n+1n＝n+1n+（n+1），∴n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）．化类，通过观察得出第n个等式为：n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）是解题的关键．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
九年级数学数与式知识点
九年级数学数与式知识点数与式是数学九年级的一个重要知识点，它涉及到数的基本运算和运算性质，以及常见的代数式的简化与运算。
本文将深入介绍九年级数学中数与式的相关知识，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、数的基本运算数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法是将两个或多个数合并成一个数，减法是通过减去一个数来找到与其和相等的另一个数，乘法是将两个或多个数相乘得到一个数，除法是通过将一个数分成若干等份，每份的大小为另一个数来找到商。
在进行数的运算时，有一些基本运算性质需要牢记：1. 交换律：加法和乘法满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b× a。
2. 结合律：加法和乘法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a × b) × c = a × (b × c)。
3. 分配律：乘法对加法满足分配律，即a × (b + c) = a × b + a ×c。
二、代数式的定义与性质代数式是由数和运算符号构成的式子，其中可能包含变量。
代数式的求值是将变量用具体的数值代入，计算得到一个确定的数值结果。
代数式的一些重要性质如下：1. 对称性：代数式中的数和变量可以交换位置，结果不变。
例如，a + b = b + a。
2. 积的性质：两个数的积等于它们的乘积。
例如，a × b = b × a。
3. 幂的性质：乘积的幂等于各因子的幂的乘积。
例如，(a × b)²= a² × b²。
4. 分式的性质：除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。
三、代数式的简化与运算代数式的简化是将复杂的代数式通过各种运算性质化简成简单形式的过程。
代数式的运算包括整数指数幂的运算、代数式的加法、减法、乘法和除法运算等。
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★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ．[2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；(2)= ；(3) = ； (4)= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，如2m n pm n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4． 例2 计算： （1）221()3x +（2）2211111()()5225104m n m mn n -++ （3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值． 例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3）（4）例6设x y ==33x y +的值． 例7 化简：（1）11xx x x x-+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1． 解不等式327x x ++-<2．设x y ==22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4．设x =，求4221x x x ++-的值． 5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1) 3÷(2)(4) ÷1 A 0 C |x －1||x －3|答案：例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；① 若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <；② 若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >． 综上所述，原不等式的解为13x <<．解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =；①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x－3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．所以原不等式的解为x ＜0，或x ＞4． 例2（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=33331111()()521258m n m n -=- （3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=- （4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++例3 解：2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x +-+=++-=-=例4 解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab +++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abcabc-=-例5 解：（1）原式6==-（2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式=（4） 原式===例6 解：77 14,1x y x y xy ===+=-⇒+== 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．【巩固练习】1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．35．444222222222x y z x y x z y z ---+++6．()(((13,23,4-。