量纲分析与相似原理
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
水力学第六章 量纲分析和相似原理
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm
Pp Pm
Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t
tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm
Ep Em
第十二章 量纲分析与相似原理
解：
F
(
hf L,, D,Fra bibliotek, , ,
g)
0
的个数N()=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个1 ，因hf和L量纲都是长度。
取v、 D、 为基本变量，则
2
v D x2 y2 z2
[ML1T 1] [L / T ]x2 [L]y2 [M / L3 ]Z2
大小比 值相等。
f
F1 F2
m1a1 m2a2
3L Lt 2
2L2u
初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何的，运动的和动力几方面。如固体边界上的法线流速
为零，自由液面上的压强为大气压强等。
• 流动相似的含义：
几何相似是运动相似的前提与依据； 动力相似是决定二个水流运动相似的主导因素； 运动相似具有几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
量为（n-m）个无量纲数。
定理的解题步骤：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各
个物理量及其关系式：
f(x1, x2,xn ) 0
（2）确定基本量纲：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为
基本量纲的代表，一般取m=3。
定理的解题步骤：
（3）确定 数的个数N（ ）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理
• 几何相似 • 运动相似 • 动力相似 • 初始条件和边界条件一致
• 几何相似
几何相似：即原型和模型及其流动所有的线性变量的比值均相等。
L1 l L2
A1
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
009量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段来研究流体运动规律的物理本质。
工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察实验；另一种是工程性的模型实验。
实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。
借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模型实验，从而减少实验费用。
而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合，选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据的整理和分析变得比较容易。
因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。
一、量纲分析一、量纲分析基本概念物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用dim 表示。
一个物理量可以用不同的单位度量，但量纲却是唯一的。
例如长度、宽度、高度、厚度、深度都可以用米、英尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲L 。
由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系，在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。
基本量纲是相互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间（M 、 L 、T ）作为基本量纲。
在一般的力学问题中，任意一个物理量B 的量纲都可以用M ， L ，T 这三个基本量纲的指数乘积来表示dim B =M αL βT γ在量纲分析中，有一些物理量的量纲为1 ，称为无量纲量，用M 0L 0T 0表示。
无量纲量就是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成的综合表达。
例如雷诺相似准数的量纲dim Re = dim （υvl）=000121T L M T L L LT =-- 为一个无量纲的量。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
第五章 量纲分析与相似原理
除以 v2 除以 d
2
F f2 d , 2 v v
F f3 2 2 v d vd
F
d
v
MLT 2 ML3 ML1T 2 L LT 1
二、使用π定理的具体步骤
1)找出影响某物理现象的n个独立物理变量
2)从n个变量中选择m个基本变量，基本变量的条件为 其量纲中包括n个变量中所有的基本量纲。m一般等于这 些变量所涉及的基本量纲的个数。基本变量应选取最简 单，最有代表性和容易测量的物理量，如物体的长度， 流体的密度和粘度，相对速度等。
量纲分析与相似 原理
流体力学 张殿新
相似理论
两个同一类的物理现象其相应物理量成一定比例，则 称两个现象相似。确定两个现象是否相似的理论称为相似 理论。 一、力学相似的基本概念 力学相似是指两个流动系统中相应点处的各物理量 彼此之间互相平行（指向量物理量，如速度与力等），并 且互相成一定的比例（指向量或标量物理量的数值，标量 如长度与时间等）。 1、几何相似
2 2 作用在两立方体上的惯性力分别为 FIm m Lm 和
2 2 FIn n Ln ，于是，可得
p n
2 n
p m
2 m
以符号 Eu 表示比值，得
Eu p
2
称为流动的欧拉数。故欧拉数表征压差和惯性力的相对 比值。 原型水流和模型水流压力和惯性力的相似关系可以 写为
FIn FPn FIn ； FGn FIn ； Fn Fm FIm FPm FIm FGm FIm
1、欧拉相似准则 如果两个相似流动中起主导作用的力是压力，那 么要在压力作用下使原型与模型流动动力形似,则
FPn FPm FIn FIm
量纲分析和相似原理
，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
i x x x xi
x y z 1 2 3
i 1,2,n m
(4)确定量纲一π参数：由量纲和谐原理解联立指数
方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各量纲一
π参数。
(5)写出描述现象的关系式φ(π1,π2,……,πn-m)=0 ,
解π参数。
设变量共5个，其中x1、x2、x3为三个基本量(m=3), 则x1、x2、x3可与余下的x4，x5组合成2个(n-m=2) 量纲一π1、π2。
三 物理方程量纲的一致性
量纲和谐原理(theory of dimensional omogeneity)： 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。 物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律性： 1．物理方程中各项的量纲应相同。 2．任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组 成的方程而不会改变物理过程的规律性。 3．物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各 量纲之间的规律性，不会因所选择的基本量纲不同而 发生改变。
应该指出：量纲分析并没有也不可能给出流 动问题的最终解，它只提供了这个解的基本 结构，函数的数值关系还有待于实验研究。
§4-3 流动相似性原理
采用模型试验和理论分析相结合的方式是解决问题 的有效途径之一，在把模型中的实测资料引用到原型中 产生下述问题： (1) 如何设计模型才能使模型和原型中的流动相似？ (2) 如何把模型中观测的流动现象和数据换算到原型 中去？ 相似原理提供了解决这两个问题的理论基础。
量纲分析和相似理论
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
相似性原理和量纲分析
tp tm
lp lm
vp vm
t
v2 l
4
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
5
达朗伯定理： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
6
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的
24
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表
名称
长度比尺λl 流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λυ=1
λl λl-1 λl-3 λl
比尺 雷诺准则
λυ≠1
λl λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
弗劳德准则
λl λl1/2 λl0 λl5/2
25
名称
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
20
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
16
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
量纲分析和相似原理
第十二章量纲分析与相似原理实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。
因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。
量纲分析与相似原理是指导分析问题和模型试验的重要方法，通过量纲分析和相似原理可以合理地、正确地组织试验，简化试验以及整理试验成果。
对于复杂的流动问题，借助量纲分析可以寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构，量纲分析是分析流动问题的有力工具和方法。
相似原理则是模型试验的理论依据，也是分析水力学问题的有效方法之一。
要求掌握正确组合无量纲量的方法，掌握根据不同的水流进行模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺的换算与模型设计。
第一节量纲分析一、量纲和单位量纲：表征物理量按其性质不同而划分的类别，即量纲表示的是物理量的种类。
量纲也称因次（Demension）。
单位：度量各种物理量数值大小的标准。
即单位是度量某一物理量的基值，预先人为选定的。
同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。
具体的“数值”和“单位”就准确地表示出了该物理量的大小。
从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的864001。
由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。
量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。
二、 基本量纲与诱导量纲量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲是指具有独立性的量纲。
该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。
如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。
基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。
相似原理和量纲分析
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
量纲分析与相似原理
任务一 了解利润分配
• 4.收益是企业承担社会责任的物质基础 • 社会是企业赖以生存的基础, 企业的生存和发展都离不开社会这个大
环境。企业的人力和物力资源离不开社会的支持, 同时企业的产品要 提供给社会, 也必须获得社会的承认, 从而取得收入, 实现利润。因此, 企业必须在向社会不断索取的同时回馈社会。一方面, 企业必须按章 纳税, 支持整个国家的发展建设; 另一方面, 企业还应该积极参与各种 捐赠、赞助活动, 为社会建设贡献自己的力量。而回报社会的前提条 件就是企业利润的实现。没有利润, 一切都是空谈。因此, 企业必须努 力加快发展步伐, 开源节流, 争取创造更加丰厚的利润, 积攒更多为社 会做贡献的资本。
价格和公司价值, 股利相关理论的主要观点有以下几种。 • (1) “手中鸟冶理论。 • 该理论认为, 用留存收益再投资给投资者带来的收益具有较大的不确
定性, 并且投资的风险随着时间的推移会进一步加大。因此, 厌倦风险 的投资者会偏好确定的股利收益, 而不愿将收益留存在公司内部去承 担未来的投资风险。该理论认为公司的股利政策与公司的股票价格是 密切相关的, 即当公司支付较高的股利时, 公司的股票价格会随之上升, 公司价值将得到提高。
• 假定条件包括以下几个: • (1) 市场具有强式效率。 • (2) 不存在任何公司或个人所得税。 • (3) 不存在任何筹资费用。 • (4) 公司的投资决策与股利决策彼此独立。
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任务二 股利政策的选择
• 2.股利相关理论 • 与股利无关理论相反, 股利相关理论认为, 企业的股利政策会影响股票
• 在流体力学中经常会出现需要处理的与流体流动有关的物理量，可以 用量纲来定性地描述这些物理量的种类和性质，如长度、时间、应力 和速度等，而定量地描述物理量则需要一个数量和一个公认的测量单 位，如长度的单位用m、mm 、ft，时间的单位用h、min 和s等。
量纲分析与相似原理
取样探子
将每批所选取的样品合并在一起充分混匀，然后用四分法缩分至不少 于500g，分装在两个清洁、干燥并具有磨口塞的广口瓶或带盖聚乙烯瓶 中，贴上标签。注明生产厂家、产品名称、批号、采样日期和采样人姓名。 一瓶供试样制备，一瓶密封保存2个月以备。
在分析之前，应将所采的一瓶样品粉碎至规定粒度(一般要求不超过 1mm~2mm)，混合均匀，用四分法缩分至100g左右，置于洁净、干燥 瓶中，作质量分析之用。
明渠均匀流
1 R2/3J 1/2
n
第二节 量纲分析法
一、瑞利法（Rayleigh）
瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。
具体分析步骤如下：
1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
f (q1, பைடு நூலகம்2,, qi ,qn ) 0
2、 其中某个物理量可以表示为其他各物理量的幂函数乘积形式
qi Kq1a q2b qnp1
3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物
理量的幂指数a，b，……p，代入指数方程式即得各物理量之
间的关系式。
qi q1aq2b qn1 p
一、肥料种类及取样方法
植物生长的三要素？
植物生长，几乎需要所有的化学元素，但最主要的是N、P、K三要素。
由何而来呢？
N、P、K
肥料 肥料的作用？
热法磷肥(迟效磷肥)：磷矿石和其他配料(如白云石、滑石等)或不加配料，经 高温煅烧分解所制造的磷肥。如钙镁磷肥、钢渣磷肥等。因其所含磷化物难 溶于水，施用后经长时间后可被土壤中有机弱酸缓慢溶解而被植物吸收，故 又称为“迟效磷肥”。
磷肥的组成较为复杂，往往一种磷肥中同时含有几种不同性质的 含磷化合物。磷肥的主要成分是磷酸的钙盐，有的还含有游离的磷酸。
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Δp，u，d，ε，ρ，μ，l，共7个
第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取3个）。
选ρ 、u 、d 第3步、列П表达式求解П数
① П1=ρa u bd cΔp M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
惯性矩，惯性积 动量，动量矩 能量，功，热 功率 表面张力系数 比热 导热系数 （比）熵 （比）焓，内能 注： 为温度量纲
dim Ix dim Ixy L4 dim I MLT 1
dim L ML2T 1
dim E dim W dim Q ML2T 2
dim P ML2T 3
dim MT 2
Π定理
充要条件 方法
n个物理量
r个独立
基本量
选r个独立
基本量
n-r个导出量
x1 =φ(x 2，x 3, ……, x r ) П1 =f (П2, П3, ……, Пn-r )
组成n-r个
独立Π数
量纲分析方法等
第五节 量纲分析与相似原理
5.4.2 量纲分析法 不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管恒定流动，分析 压强降低与相关物理量的关系。 一般步骤：
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
量纲分析概念
一个方程中多项量纲必须齐次； 一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以 按量纲齐次性原理作分析。
类比：角色分析
第五节 量纲分析与相似原理
5.4.1 П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的 是布金汉（E.Buckingham,1914):
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
M : a 1 0
L
:
3a b c 1 0
T : b 1 0
解得： a = -1 , b = -2 , c = 0
П1=ρa u bd cΔp
1
P
1 u 2
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
1. Re 数(雷诺数)
Re
ul
惯性力 粘性力
ma
Adu / dy
圆管流动
u 平均流速
l
管直径
钝体绕流 平板边界层
Re 1 Rer 2300
Re 1
来流速度
截面宽度
外流速度
距前缘距离
低雷诺数粘性流动
区分粘性流动层流与湍流态 边界层外无粘流
dim cp dim cv L2T 2 1 dim k MLT 3 1
dim s ML2T 2 1 dim i dim e L2T1
第五节量纲分析与相似原理
5.2 量纲齐次性原理 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时， 每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。
忽略重力的伯努利方程
1 2
v2
p
1 2
v02
p0
无量纲化伯努利方程
Cp
p p0
1 2
ρ
v02
1( v v0
)2
（沿流线） （沿流线）
第五节 量纲分析与相似原理
第五节 量纲分析与相似原理
5.4 量纲分析与П定理
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的 物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用 无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物 理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分 析和实验研究。
英
制
量纲幂次式
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
常用导出量纲：根据基本定律或定义式导出，任一量纲 可表示成：[x]=[LaTbMc]
• 例：速度的量纲：[u]=[LT-1]
•
加速度量纲：[a]=[LT-2]
• 力的量纲：[F]=[MLT-2]（F=ma）
• 压强的量纲：[P]=[MLT-2L-2]=[ML-1T-2]
u 2 z p const （沿流线）
2g
dim
u2 2g
LT 1
2
LT 2
1
L
dim z L
dim
p
g
ML-1T 2
ML3 1 LT 2 1 L
dim 常数 L
第五节量纲分析与相似原理
5.3 物理方程的无量纲化
无量纲量：如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无 量纲（量纲为一）量。 无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数）， 也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成。
• 粘度的量纲：[μ]=[MLT-2L-2]/[LT-1L-1]=[ML-1T-1] （τ=μdu/dy)
第五节 量纲分析与相似原理
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
粘度系数
dim v LT 1 dim Q L3T 1
dim g LT 2 dim m MT 1
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L
解得：a = b = 0， c = -1
3
d
（相对粗糙度）
④ П4 =ρa u bd c l (同上)
4
l d
（几何比数）
4．列П数方程 1 f ( 2 , 3, 4 )
p
l
即
f (Re, , )
1 u2
dd
2
或
p 1 u 2 f (Re, , l )
2
dd
第五节 量纲分析与相似原理
5.5 常用的相似准则数
dim ML3
dim ML2T 2
dim F MLT 2
dim L ML2T 2
dim p dim dim K ML1T 2
dim ML1T 1
dim v L2T 1
其他量 角速度，角加速度 应变率
dim T 1 dim xx dim T 1
dim T 2
第五节 量纲分析与相似原理