巧用向量方法解决最值问题

巧用向量方法求解决最值问题
梁常东1
蒋晓云
2
（1钦州师专数学与计算机科学系 广西 钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）
在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。

1 利用向量的数量积求最值
设向量),,(y x m = ，),(b a n = 则n m
与的数量积为：
()by ax n m n m n m +=∠⋅=⋅
,cos ，从而有：
n m n m
⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m （1）
()2
2
22
22
22)( , b a by ax y x n
n m m ++≥+⋅≥即 ,当且仅当同向时取等号与n m （2） 完全类似地，设向量),,(z y x m = ，),,(c b a n = ，则n m
与的数量积为：
~
cz by ax n m ++=⋅
，从而也有：n m n m ⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m ；
()2
22
22
222
22)(c b a cz by ax x y x n
n m m ++++≥++⋅≥即 ，当且仅当同向时取等号与n m 。

在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用
向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：
例1设y x,∈R +
,且102=+y x ,求函数22y x w +=
的最小值。

解:设)2,1(),y (x,==n m
,由定义有：5,,1022
2
22
=+==+=⋅n y x m y x n m
从而 ()2222
2
n
n m m y x w ⋅≥=+==20510
2
=,当且仅当n m 与同向,即021>=y x 时取等号，所以当5.2,5==y x 时，2
2y x w +=取得最小值20。

例2 设 0,,321>c c c 且c 332221=++x c x c x c ()
为正的常数c , 求函数y=2
332
222
21x c x c x c ++的最小值。

解: 设),,(),,,(321332211c c c n x c x c x c m ==
,则
()()3
2123212
33222122223
322
22
1
1c c c c c c c x c x c x c n n m m x c x c x c y ++=
++++=⋅≥=++= 】
当且仅当n m
与同向时,即0321>==x x x 取等号，所以当321x x x ==3
21c
c c c ++=
时，
y 取得最小值3
212
c c c c ++。

例3 若+
∈R z y x ,,,且1=++z y x ，求 ()()()
24
2424
111x x z z z y y y x w ---
++=
的最小值。

解：设
()()()
,1,
1,12
2222
2⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---=x x z z z y y y x m (
)
)1(,)1(,)1(222x x z z y y n ---=
()()()()(
)
(
)(
)(
)
222222222222
2222222111111x x z z y y z y x n
n m m x x z z z y y y x w -+-+-++=⋅≥=-+-+-= ）（）（）（ ()()()813
33332
23
332222=++-++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++≥++-++++=⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x z y x z y x z y x z y x （*） 即()()()
8
1
111 ,,22
2222222≥-+-+-=∈+
x x z z z y y y x w R z y x ）（）（）（，总有对任意的，
当3
1
=
==z y x 时，（*）后一个不等式取等号，这时w 刚好取得最小值
8
1。

2 利用向量的三角不等式求无理多项式的最值
向量三角不等式主要有以下四个:
.
(1)n m n m +≥+,当且仅当n m 与同向时取等号； (2)n m n m
-≥+,当且仅当n m
与反向时取等号； (3)n m n m -≤-,当且仅当n m 与反向时取等号； (4)n m n m
-≤-,当且仅当n m
与同向时取等号。

利用这些不等式来求一类无理式的最值，常可以简化运算，收到事半功倍的效果。

关键
是注意它们在什么条件下等号成立。

例4 当x 为何值时，函数261013422+-++-=x x x x y 有最小值，并求出这个
最小值。

分析：因函数261013422+-++-=
x x x x y 含有无理式，利用凑配技巧来求最
值比较麻烦，下面利用向量的数量积来求解。

解: 将函数变形为()()2222)1(532-+-++-=
x x y ，
设)1,5(),3,2(--=-=x n x m
， 则有()()2222)1(532-+-++-=
x x y =5432
2=+=-≥+n m n m
，
当且仅当n m
与反向，即
01352<-=--x x 时取等号；所以4
17
=x 时，原函数的最小值为5。

：
例5 已知实数y x ,满足条件10=+y x ，求42522+-+=y x z 的最大值。

解: 4)10(254252222+--+=+-+=
x x y x z ,
令 )2,10(),5,(--==x n x m
则
1093104252222=+=+≤-=+-+n m n m y x
（**）
,,R y x ∈对任意的总有1094254252222≤+-+≤
+-+=y x y x z
当且仅当n m
与反向，即
01352<-=--x x 时（**）取等号，即当350=x ，3
20
-=y 时，42522+-+y x 有最大值为109，且42522+>
+y x ，这时
42522+-+=y x z =
42522+-+y x 取到最大值109。

例6 已知y x ,是小于1的数，求
()()()()222222221111y x y x y x y x z -+-+
-++
+-+
+=的最小值。

分析: 因为43214321x x x x x x x x
+++≥+++，问题转化为如何设4,3,2,1,=i x i
，使=z 4321x x x x
+++，且4321x x x x
+++中不含y x ,，还要保证这4个向量同向，此时才能取等号。

解: 设)1,1(),1,(),,1(),,(4321y x x y x x y x x y x x --=-=-==
,则
()()()()43212
22222221111x x x x y x y x y x y x z +++=-+-+-++
+-+
+=
2222224321=+=+++≥x x x x
,当2
1==y x 时，上述4个向量同向，函数Z 取
得最小值为22 。