配方法在初级中学数学中的应用

-`

教学过程.

一、考试中考点出现形式

形式1：用配方法解方程：2210x x +-=

说明：此种类型题是配方法的最基础的应用，也是常见的题型，如果掌握了配方法解一元二次

方程的一半步骤，那么该种类型题没有难度.

形式2：；利用配方法比较代数式大小：若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，

则M N -的值（ ） Ａ、一定是负数 Ｂ、一定是正数

Ｃ、一定不是负数 Ｄ、一定不是正数

说明：此种类型题本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小，中等难度.

形式3：配方法在求最大值、最小值中的应用：若x 为任意实数，求742

++x x 的最小值

说明：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三

-`

项式最值的一种常用方法，为中等难度题.

形式4：配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用：求二次根式322

+-a a 中字母a 的取值范围

说明：此种类型题是经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解，属于中等难度.

形式5：配方法用于证明：证明方程85210x x x x -+++=没有实数根

说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了，此种类型题难度较大.

-` 二、知识讲解

考点/易错点1

配方法: 把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式222

a a

b b a b

±+=±可以将一元二次方程化

2()

为形如2

ax b c c

+=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配()(0)

方法”．它的理论依据是完全平方公式222

±+=±．

2()

a a

b b a b

-` 考点/易错点2

“配方法”解一元二次方程的一般步骤：

1、方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

2、移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

3、配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2

()

+=的形式；

ax b c

4、若0

c<，则原方程无实数根即原方程无解．c≥，用“直接开平方法”解出；若0

-`

三、例题精析

【例题1】

【题干】配方法解方程2210x x +-=． 【答案】12112

x x ==-，．

【解析】方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=，配方，得2111

216216

x x ++

=+，即2

19416x ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭．开方，得12112x x ==-，．

-`

【例题2】

【题干】若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）

Ａ、一定是负数 Ｂ、一定是正数 Ｃ、一定不是负数 Ｄ、一定不是正数

【答案】B.

【解析】22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++

2222107851a b a a b a =+-+----

29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．

故选Ｂ.

-`

【例题3】

【题干】若x 为任意实数，求742

++x x 的最小值.

【答案】3.

【解析】

3)2(3)44(74222++=+++=++x x x x x ∵0)2(2≥+x ，∴33)2(2≥++x ， 因此，742

++x x 的最小值为3.

-`

【答案】全体实数.

【解析】2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a ，因为无论a 取何值，都有

0)1(2≥-a ，所以a 的取值范围是全体实数.

-`

【例题5】

【题干】证明方程85210x x x x -+++=没有实数根． 【答案】如解析．

【解析】8

5

2

10x x x x -+++=85

221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22

4132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．

-` 四、课堂运用

【简单题】

1、若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．

【答案】x2＋9y2≥6xy.

【解析】∵x2＋9y2－6xy＝(x－3y)2≥0，

∴x2＋9y2≥6xy.

-`

2、利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求它的最大值．

【答案】当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－34.

【解析】－x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＋14－1

＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋122－34，

∵－⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋122

≤0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34<0，

即无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－34.