2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考调研检测试题及答案解析
2020-2021学年高考总复习数学(文)第二次诊断检测题及答案解析
最新高考数学二诊试卷（文科）一、选择题1．设命题p：∃x0∈（0，+∞），，则命题p的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），3x＜x3B．∀x∈（0，+∞），3x＞x3C．∀x∈（0，+∞），3x≥x3 D．∃x∈（0，+∞），3x≥x32．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1 C．D．34．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]=2，[﹣2.1]=﹣3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90，100]内的人数分别为（）A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，46．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．已知x＞0，y＞0，若不等式≥恒成立，则实数k的最大值为（）A．9 B．10 C．8 D．78．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x9．定义域为R的函数f（x）=，若函数F（x）=f2（x）+bf（x）+c有且只有3个不同的零点x1，x2，x3，则ln（x1+x2+x3）的值为（）A．6 B．ln6 C．2ln3 D．3ln210．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题11．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ= ．12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|﹣|=|+﹣2|，则△ABC的形状为．13．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．15．已知不等式组（k＞0）表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，≤1恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题16．在平面直角坐标系xOy中，点，其中θ∈R．（1）当θ∈[0，]时，求||的最大值．（2）当，||=时，求的值．17．2014年2月21日《中共中央关于全国深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策，为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调果，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：调查人群态度赞成反对无所谓农村居民2100人120人y人城镇居民600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0.05．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，抽到农村居民和城镇居民各多少人？在抽取的6人中选取2人进行深入交流，求至少有1人为城镇居民的概率．18．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+（﹣1）n（n∈N*）（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；（2）求证：数列为等比数列，并求出{a n}的通项公式．19．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图（2）．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）平面α过直线CM和点B，试作出平面α与△A1BE的交线，并说明作法；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．20．已知椭圆的离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若一条不过原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2恰好构成等比数列．求|OA|2+|OB|2的值．21．已知函数．（1）若函数f（x）的图象在x=e2处的切线与y轴垂直，求实数a的值；（2）a=1，x＞1时，求证：；（3）若，使f（x1）﹣f′（x2）≤a成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设命题p：∃x0∈（0，+∞），，则命题p的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），3x＜x3B．∀x∈（0，+∞），3x＞x3C．∀x∈（0，+∞），3x≥x3 D．∃x∈（0，+∞），3x≥x3【考点】特称命题．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】利用命题p的否定等腰即可得出．【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），，则命题p的否定为：∀x∈（0，+∞），3x≥x3．故选：C．【点评】本题考查了命题的否定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，∴几何体的体积V=××3×1×3=．故选C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．4．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]=2，[﹣2.1]=﹣3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n＞4，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1+[]=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+[]=1，n=2+1=3；第三次运行S=1+[]=2，n=3+1=4；第四次运行S=2+[]=3，n=4+1=5．满足条件n＞4，退出循环，输出S=3．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．5．某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90，100]内的人数分别为（）A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在[50，60）的人数求得本次考试的总人数，根据频率分布直方图可知[90，100]内的人数与[50，60）的人数一样．【解答】解：由频率分布直方图可知，组距为10，[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图可知[50，60）的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则，所以N==25，根据频率分布直方图可知[90，100]内的人数与[50，60）的人数一样，都是2，故选：C．【点评】本题考查了茎叶图和频率分布直方图，茎叶图中，茎在高位，叶在低位，频率分布直方图中要注意纵轴的单位，同时掌握频率和等于1，此题是基础题．6．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考点】等比关系的确定．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C【点评】本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．7．已知x＞0，y＞0，若不等式≥恒成立，则实数k的最大值为（）A．9 B．10 C．8 D．7【考点】函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知不等式分离变量k，然后利用基本不等式求得k的最大值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，则不等式≥恒成立等价于恒成立．∵．当且仅当，即x=y时“=”成立．∴k≤9．故选：A．【点评】本题考查了恒成立问题，体现了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．8．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．9．定义域为R的函数f（x）=，若函数F（x）=f2（x）+bf（x）+c有且只有3个不同的零点x1，x2，x3，则ln（x1+x2+x3）的值为（）A．6 B．ln6 C．2ln3 D．3ln2【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】f（x）的图象关于x=3对称，方程f（x）=3有三个不同的解．利用换元的思想方法，关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c=0只能有一个解，故只能有f（x）=3，图象的对称性，x1+x2+x3=3×3=9，ln（x1+x2+x3）=ln9=2ln3．【解答】解：f（x）=的图象关于x=3对称，且直线y=3与y=f（x）图象交于三个不同点，即方程f（x）=3有三个不同的解．若函数F（x）=f2（x）+bf（x）+c有且只有3个不同的零点x1，x2，x3，则关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c=0只能有一个解，从而只能有f（x）=3，所以x1，x2，x3，就是方程f（x）=3的解，根据图象的对称性，x1+x2+x3=3×3=9，ln（x1+x2+x3）=ln9=2ln3故选：C【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的图象与方程之间的关系，利用数形结合，想到f（x）的图象关于x=3对称是解决本题的关键．10．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故选：D．【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．二、填空题11．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ= ﹣或．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可．【解答】解：将f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），若此时函数关于原点对称，则+φ=kπ，即φ=﹣+kπ，∵|φ|＜π，∴当k=0时，φ=﹣，若k=1时，φ=﹣+π=，故答案为：﹣或【点评】本题主要考查三角函数的图象关系以及三角函数的性质，利用三角函数奇偶性的性质是解决本题的关键．12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|﹣|=|+﹣2|，则△ABC的形状为直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，得到△ABC是直角三角形．【解答】解：∵，，∴，即||=∵，∴，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，∴∠BAC=90°，得△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点评】本题给出向量等式，判断三角形ABC的形状，着重考查了平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识，属于中档题．13．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2 ．【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．已知不等式组（k＞0）表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，≤1恒成立，则实数k的取值范围是（0，1] ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】如图所示，题中不等式组表示的平面区域为图中直线AB上方、直线BC的下方，且y﹣1=k（x﹣1）下方的区域．由此将直线y﹣1=k（x﹣1）绕A（1，1）旋转，观察斜率的变化并计算的值，可得实数k的取值范围．【解答】解：如图示：，根据题意，直线y﹣1=k（x﹣1）经过定点A（1，1）不等式组表示的平面区域为直线AB上方、直线BC的下方，且y﹣1=k（x﹣1）下方的区域∵的最大值为1，即当点P与点A重合时有最大值∴直线y﹣1=k（x﹣1）绕A点顺时针旋转，且满足斜率大于0时，符合题意，因此斜率的范围为（0，1]，即实数k的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最值和参数的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，属于中档题．三、解答题16．在平面直角坐标系xOy中，点，其中θ∈R．（1）当θ∈[0，]时，求||的最大值．（2）当，||=时，求的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）求出向量的坐标，从而可得到，根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式即可得出，根据θ的范围可以求出的范围，从而求出sin的最小值，即得出的最大值；（2）根据=便可得到，而由θ的范围可以得出的范围，从而得出=，而，这样由两角和的正弦公式即可求出的值．【解答】解：（1）；∴==；∵；∴；∴时，sin取最小值；∴的最大值为；（2）时，；∴；∵，∴；∴；∴===．【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标求向量的长度，二倍角的正余弦公式，以及两角和的正弦公式，sin2x+cos2x=1，熟悉正余弦函数在各象限的符号．17．2014年2月21日《中共中央关于全国深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策，为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调果，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：调查人群态度赞成反对无所谓农村居民2100人120人y人城镇居民600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0.05．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，抽到农村居民和城镇居民各多少人？在抽取的6人中选取2人进行深入交流，求至少有1人为城镇居民的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数．（2）先根据分层抽样，求出农村居民和城镇居民的人数，再计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足至少有1人为城镇居民的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵抽到持“反对”态度的人的概率为0.05，∴=0.05，解得x=60．∴持“无所谓”态度的人数共有3600﹣2100﹣120﹣600﹣60=720．∴应在“无所谓”态度抽取720×=72人，（2）由（1）知持“反对”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，农村居民为×6=4人，城镇居民为2人，农村居民有4人，分别记为1，2，3，4，城镇居民为2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），至少有1人为城镇居民的：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b）共9种．故至少有1人为城镇居民的概率为P==【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．18．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+（﹣1）n（n∈N*）（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；（2）求证：数列为等比数列，并求出{a n}的通项公式．【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）对于，令n=1，n=2，n=3即可得出；（2）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简并整理可得，利用等比数列的定义即可证明．【解答】解：（1）对于，令n=1，可得a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1．令n=2，则a1+a2=S2=2a2+1，把a1=1代入解得a2=0．令n=3，则a1+a2+a3=S3=2a3﹣1，把a1=1，a2=0代入解得a3=2．（2）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为．∴，∴数列是首项为=，2为公比的等比数列．∴．∴．【点评】本题考查了“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”、等比数列的定义及其通项公式等基础知识与基本方法，属于基础题．19．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图（2）．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）平面α过直线CM和点B，试作出平面α与△A1BE的交线，并说明作法；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；向量法；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）过M作MN∥BC，交A1E于N，连结BN，则BN即为所求的交线；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量和平面A1BE的法向量，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则=0，得出a，判断是否符合条件0≤a≤3即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BC⊥CD，DE∥BC，∴DE⊥CD，DE⊥A1D，又DC⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，A1D∩CD=D，∴DE⊥平面A1CD，∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE，又A1C⊥CD，CD⊂平面BCDE，DE⊂平面BCDE，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE．（2）解：过M作MN∥BC，交A1E于N，连结BN，如图：则平面BCMN为平面α，直线BN为平面α与△A1BE的交线．（3）∵DE∥BC，∴=，∴CD=2，AD=4．∴A1C==2．以C为原点建立空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（2，2，0），设P（0，a，0）．则0≤a≤3．∴=（2，0，﹣2），=（﹣2，a，0），=（0，3，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面A1DP的法向量为=（x1，y1，z1），平面A1BE法向量为=（x2，y2，z2），则，，∴，，∴令z1=1得=（，，1），令x2=1得=（1，2，）．假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则=0，∴++=0，解得a=﹣2．不符合题意．∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．【点评】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，属于中档题．20．已知椭圆的离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若一条不过原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2恰好构成等比数列．求|OA|2+|OB|2的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理、根的判别式、等比数列、椭圆性质，结合已恬知条件能求出|OA|2+|OB|2的值．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，∴由题意知e==，∴e2==，整理，得a2=4b2，∴a=2b，又∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，∴b==1，∴a=2，故椭圆C的方程为：=1．（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，且△=16（1+4k2﹣m2）＞0，∵k1、k、k2恰好构成等比数列．∴k2=k1k2=，∴﹣4k2m2+m2=0，∴k=±，此时△=16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，），∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2∴|OA|2+|OB|2==[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2=5，∴|OA|2+|OB|2是定值为5．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查代数和为定值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．已知函数．（1）若函数f（x）的图象在x=e2处的切线与y轴垂直，求实数a的值；（2）a=1，x＞1时，求证：；（3）若，使f（x1）﹣f′（x2）≤a成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数证明不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；构造法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的关系建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行转化为lnx＞，构造函数h（x）=lnx﹣2+，求函数的导数，利用函数的单调性证明不等式即可．（3）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+，则在x=e2处的切线斜率k=f（e2）=﹣a+=﹣a+=﹣a+，若函数f（x）的图象在x=e2处的切线与y轴垂直，则﹣a+=0，即a=．（2）当a=1，x＞1时，不等式等价为（﹣x）＜；即（﹣1）（x﹣1）＜；即﹣1＜×；整理得lnx＞==2﹣，设h（x）=lnx﹣2+，则h′（x）=﹣==，∵x＞1，∴h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）为增函数，∴h（x）＞h（1）=ln1﹣2+=﹣2+2=0，则h（x）＞0，即不等式lnx＞成立，则成立．（3）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）﹣f′（x2）≤a即f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高三最后一卷检测题及答案解析
最新高考模拟最后一卷文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．复数122ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i- C ．i D ．i -2．已知直线l 1：ax+ 2y +1=0，l 2：（3－a ）x －y+a=0，则条件“a=1”是“l 1⊥l 2"的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不必要也不充分条件3．已知抛物线)0(2a ＞ax y =的焦点到准线的距离为2，则a =（）A ．4B ．2C ．41 D ．21（第4题图） 4．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．65. 设,43tan π=a ,52cos π=b 0)56sin 1(π+=c ，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >> 6.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为( ) A.41B.43C.94D.169 （第7题图） 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.643 B. 163 C.803 D.433启用前·绝密8. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦9．已知奇函数)(x f y =的导函数()0f x '<在R 恒成立，且y x ,满足不等式0)2()2(22≥-+-y y f x x f ，则22y x +的取值范围是( )A.]22,0[B.]2,0[C.]2,1[D.]22,2[10.已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上。
2020-2021学年高考总复习数学(文)毕业班质量检测试题及答案解析一
最新第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz ，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标 是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n n n n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为___________．6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的偶函数)(x f y =，当0≥x 时，42)(-=x x f ，则不等式0)(≤x f 的 解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C pxy 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤,02,4,y y x x y 则y x z +=2的最小值为____________．10．已知在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x k x （k 为常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则=k _____________． 11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于21的概率是______________．12．已知数列}{n a 满足n n a a a n 3221+=+++Λ（*N ∈n ），则22122312n a a a n +++=+L __________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0sin =α”是“1cos =α”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；（B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π； （D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l . 17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则 ||c r 的最大值是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知直线l ：b x y +=2与函数xy 1=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，记 △OAB 的面积为S ，则函数)(b f S =是（ ）．（A ）奇函数且在),0(∞+上单调递增 （B ）偶函数且在),0(∞+上单调递增（A ）奇函数且在),0(∞+上单调递减 （D ）偶函数且在),0(∞+上单调递减三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：AC ⊥平面11B BCC ；（2）求异面直线D B 1与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数12cos 2sin 3)(-+=x x x f （R ∈x ）．（1）写出函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 的集合；若不是，也请说明理由； （2）若函数x x a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=41211)(在),0[∞+上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,1(F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线a x ±=，b y ±=所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若OD n OC m OP +=，求证：22n m +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足△BFM 与△BFN 的面积的比值为2，求直线l 的方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{n a 、}{n b 满足：411=a ，1=+n nb a ，211n n n a b b -=+． （1）求1b ，2b ，3b ，4b ；（2）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是等差数列，并求}{n b 的通项公式； （3）设13221++++=n n n a a a a a a S Λ，若不等式n n b aS <4对任意*N ∈n 恒成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．23 5．32π 6．3 7．]2,2[- 8．x y 42= 9．6- 10．2 11．73 12．n n 622+ 13．}30,27,24{14．4-二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分） 因为⊥1CC 平面ABC ，所以AC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥AC 平面11B BCC ． ……………………………………………………（5分）（2）取1CC 点E ，连结DE 、E B 1，则DE ∥AC所以，DE B 1∠就是异面直线D B 1与AC 所成角（或其补角）． …………………（2分） 解法一：由已知，1CC DE ⊥，AC DE ⊥，所以⊥DE 平面11B BCC ，所以△DE B 1是直角三角形，且︒=∠901ED B ， …………………………………………（4分）因为2=DE ，51=E B ，所以，25tan 11==∠BE E B DE B ， ……………………（6分） 所以，异面直线D B 1与BC 所成角的大小为25arctan ． …………………………（7分）解法二：在△DE B 1中，31=D B ，51=E B ，2=DE ， 由余弦定理得，322325492cos 1212211=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠DE D B E B DE D B DE B ． ……………（6分） 所以，异面直线D B 1与BC 所成角的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）162sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ， …………………………………………（3分） 所以，)(x f 的最小小正周期π=T ， …………………………………………（4分） )(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z ∈k ． ……………………………（6分） （2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ， 所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以3π=B ． …………………………（3分） 而23cos =⋅=⋅B ac ，所以，3=ac ， …………………………（5分） 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ， 所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ， 即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）由题意，3)(3≤≤-x g 对),0[∞+∈x 恒成立， 即3412113≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≤-xx a ， ……………………………………………（1分） 令x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，则]1,0(∈t ，原不等式变为242≤+≤-t at ， 故t t a t t 2224-≤≤--， 故minmax 24⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t a t t ， ……………………（3分） 因为t t y --=4在]1,0(∈上是增函数，故54max-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t ， …………………（5分） 又t t y -=2在]1,0(∈t 上是减函数，故12m in=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t ． ………………………（7分） 综上，实数a 的取值范围是]1,5[-． ………………………（8分）22．（1）由已知，1=c ， …………………………………………………（1分） 又2||22=+=c b BF ，故2=a ， ………………………………………………（2分）所以，3222=-=c a b ，所以，椭圆Γ的标准方程为13422=+y x ． ……………（4分） （2）)3,2(C ，)3,2(-D ， ………………………………………………（1分） 设),(00y x P ，则1342020=+y x ， 由已知OD n OC m OP +=，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,)(3,)(200n m y n m x ……………………（4分） 所以，13)(34)(422=++-n m n m ，即2122=+n m 为定值． ……………（6分） （3）2=∆∆BFN BFM S S 等价于2||||=FN FM ， ……………………………………………（1分） 当直线l 的斜斜率不存在时，1||||=FN FM ，不合题意． ……………………………（2分） 故直线l 的斜率存在，设l ：)1(-=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,)1(22y x x k y 消去x ，得096)43(222=-++k ky y k ， ……………………（3分） 设),(11y x M ，),(22y x N ，则221436kk y y +-=+，2221439k k y y +-=， 由2||||=FN FM ，得221-=y y ，则22436k k y +=，)43(292222k k y +=， 从而8432=+k ，25±=k ． …………………………………………（5分） 所以，直线l 的方程为)1(25-±=x y ． …………………………………………（6分）23．（1）由已知，n n n n n n n n b b b b a a b b -=-=+-=+21)2()1)(1(1， 因为411=a ，所以，431=b ，542=b ，653=b ，764=b ． …………（4分）（每个1分） （2）n n b b -=+211，nn n n b b b b --=--=-+2112111， ……………………（2分） 所以，11112111--=--=-+n n n n b b b b ， 所以，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是以4-为首项，1-为公差的等差数列． ……………………（4分）所以，311--=-n b n ，32++=n n b n （*N ∈n ）． ………………………………（6分） （3）因为32++=n n b n ，从而311+=-=n b a n n ， ………………………………（1分） 所以，13221++++=n n n a a a a a a S Λ)4)(3(1651541++++⨯+⨯=n n Λ )4(44141+=+-=n n n ， …………………………………（2分） 解法一：所以，不等式n n b aS <4化为324++<+n n n an ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分） 令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分） 故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分）解法二：)4)(3(8)2(3)1(32442++--+-=++-+=-n n n a n a n n n an b S a n n n ， 若不等式n n b aS <4对任意*N ∈n 恒成立，则当且仅当08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立． ………………………………（4分）设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分）当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。
2020—2021年高考总复习数学(文)毕业班调研质量检测试题及参考答案(精品试题).docx
高三文科数学调考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合2{340}A x xx =+-≤，{21,}B x x n n ==+∈ Z ，则集合B A I 中元素的个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．52．已知i 为虚数单位，复数z 满足10)i 3)(i 2(=+-z ，则=z （ ）A ．i 3-B ．i 3+C ．i 3--D ．i 3+-3．从数字3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于50的概 率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．234．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(3,1)AB =u u u r ，(2,2)AD =-u u u r，则AC BD ⋅=u u u r u u u r（）A ．2B ．2-C ．10-D ．105．将函数4sin(4)6y x π=+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单位，所得函数图像的一个对称中心为（ ）A ．13π(, 0)48B ．π(, 0)8C ．5π(, 0)8D ．7π(, 0)126．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱 B ．53钱 C ．32钱D ．43钱7．已知抛物线22(0)ypx p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为4，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a 的值为（ ）A ．13- B ．13C ．3-D ．38．设函数)(x f y =的图象与lg()y x a =+（a 为常数）的图象关于直线x y -=对称，且9(1)10f =，则(1)f -=（ ）A ．9-B ．9C ．910-D ．109-9．在程序框图中，输入8N =，按程序运行后输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．10D ．12 10．设x ，y 满足不等式组26022030x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪--⎩≤≥≤，若z ax y =+的最大值为22a +，最小值为4a --，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．[]3,2--D ．[]3,1- 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．12π)2210(++B ．6π13C ．(112)π12++D ．(1122)π12++12．已知a 为常数，函数32()3(3)e 1x f x ax ax x =---+在(0,2)内有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．e (, )3-∞B ．2e (, e )3C ．2e e (, )36D ．e (,)3+∞否 输出S 结束k =k +1 否34k T +=-S =S +T 是是 14k T +=k 是偶数？是否2kT =12k +是偶数？k ≤N ? 开始 输入N k =1,S =0 11 12 2正视图侧视图俯视图二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13．设函数121,0()2log (4),04x x f x x x -⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<<⎩，若()4f x =，则实数x =14．已知数列{}na 的前n 项和23n S n n =+，正项等比数列{}nb 中，33b a =，2314n n n b b b +-⋅=*(2,)n n ∈N ≥，则n b =15．已知半径为1的圆1O 是半径为R 的球O 的一个截面，若球面上任一点到圆面1O 的距离的最大值为32R ，则球O 的表面积为16．如图，椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且1PF PQ ⊥，若13||||4PQ PF =，则椭圆的离心率e =三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，函数2()2sin cos23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，在x A =处取到最大值．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若4b =，233c a =，求△ABC 的面积．y QF 1F 2O xP18．（本小题满分12分）2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如右图所示：对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100] 五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算被调查者中不喜欢这种造型的人数，并估计打分的平0 频率组距40 60 80 100 分数0.0060.0250.010 20 0.003均值；（Ⅱ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的关联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有%95以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关?喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计 喜欢动画片 30不喜欢动画片 6合计2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828附：临界值表参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=．19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ,//PD BE ,22AD PD BE ===,60DAB ∠=o ，点F 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点P 到平面ADE 的距离．20．（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ,AN 分别与圆O 交于M ,N 两点．（Ⅰ）若2AMk=,12AN k =-，求AMN △的面积；（Ⅱ）若直线MN 过点(1,0)，证明：AM AN k k ⋅为定值，并求此定值．FEBA PD CyA MO x21．（本小题满分12分）已知函数()e ln 1ax f x m x =--．（Ⅰ）当1,2m a ==时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1,1a m =≥时，证明：()1f x >．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ,DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F ．（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若25AC AB=，求AF DF的值．ABOCD F E23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为33,3 2.x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ,[0,2)ρθθ=∈π．（Ⅰ）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l 的距离最短．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-．（Ⅰ）若不等式()(5)1≥f x f x m -+-有解，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若||1,||3a b <<，且0a ≠，证明：()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭．数学答案（文科）一、 BBDBD DBACA CC二、 13．1- 14．2n15．3π16 16．3517．解析：（Ⅰ）22()2sin cos21cos 2cos233f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131cos2sin 2cos222x x x =++-311sin 2cos 2sin 21226x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ ............... 3分又,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有52366x πππ-≤≤， ................5分所以当262x ππ-=，即3x π=时，函数()f x 取到最大值， 所以3A π=； ................ 6分（Ⅱ）由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-， 即2242311624332a a a =+-⋅⋅⋅，解得：43a =，8c =，................ 9分所以113sin 4883222ABC S bc A ==⋅⋅⋅=△． (12)分18．解析：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，不喜欢这种造型的被调查者共有155020)006.0006.0003.0(=⨯⨯++人， ................ 3分 打分的平均值为：2.6320010.090025.070006.050006.030003.010(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯）；................ 6分 （Ⅱ）如表：喜欢头上长“草”的造型 不喜欢头上长“草”的造型 合计 喜欢动画片 30939不喜欢动画片 5 6 11 合计351550841.3046.41001405015351139)59630(5022>==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，….......... 9分所以有%95以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关．....……12分19．解析：（Ⅰ）连接BD ，取AD 的中点G ，连接,BG FG .因为点F 为PA 的中点，所以//FG PD 且12FG PD =，又//BE PD 且12BE PD =，所以//BE FG 且BE FG =，所以四边形BGFE 为平行四边形， 所以//EF BG ，....................................................................1分 因为四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，所以△ABD 为等边三角形， 因为G为AD的中点，所以BG AD⊥，即有EF AD ⊥，....…… 3分又PD ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以PD BG ⊥，即有PD EF ⊥， (5)分又PD AD D =I ，,PD AD ⊂平面PAD ，所以EF ⊥平面PAD ； (6)FEB APDCG分（Ⅱ）因为22AD PD BE ===，60DAB ∠=o ， 所以3,1,2BG EF BE BD ====， (7)分 111123222,2322333PAD E PAD PAD S AD PD V S EF -=⋅=⋅⋅==⋅=⋅⋅=△△， ...............9分又2222215AE AB BE =+=+=，2222215DE BD BE =+=+=，所以2212(5)122ADE S =⋅⋅-=△，设点P到平面ADE的距离为d，则1233P ADE ADE V S h h -∆=⋅=，..............11分又P ADE E PADV V --=，所以22333h =，3h =．...............12分20．解析：（Ⅰ）由题知1AM AN k k ⋅=-，所以AN AM ⊥，MN 为圆O 的直径，AM的方程为24y x =+，直线AN 的方程为112y x =--，所以圆心到直线AM的距离|4|5d =， ...............2分所以16452455AM =-=，由中位线定理知，855AN =， ...............4分12S =455⨯⨯855165=；...............5分 （Ⅱ）设11(,)M x y 、22(,)N x y ，①当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，代入圆的方程中有：222(1)40x k x +--=，整理得：2222(1)240k x k x k +-+-=，则有212221k x x k +=+，212241k x x k -=+， ...............8分21212121212121212(1)(1)[()1]22222()4AM ANy y k x k x k x x x x k k x x x x x x x x ---++⋅=⋅=⋅=+++++++22222222222222222242(1)(421)3111424444932411k k k k k k k k k k k k k k k k k k --+--++-++====---++++⋅+++； ...............10分②当直线MN 斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，代入圆的方程可得：(1,3)M ，(1,3)N -，303011(2)1(2)3AM AN k k ---⋅=⋅=-----；....11分综合①②可得：AM ANk k ⋅为定值，此定值为13-． ...............12分21．解析：（Ⅰ）当1m =，2a =时，2()e ln 1x f x x =--， 所以21()2e x f x x'=-．所以2(1)e 1f =-，2(1)2e 1f '=-， ...............2分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22(e 1)(2e 1)(1)y x --=--，即22(2e 1)e y x =--．...............4分（Ⅱ）证法一：当1a =，1m ≥时，()e ln 1e ln 1x x f x m x x =----≥． 要证明()1f x >，只需证明e ln 20x x --> 以下给出三种思路证明e ln 20x x -->. 思路1：设()e ln 2x g x x =--，则1()e x g x x'=-．设1()e x h x x=-，则21()e 0x h x x '=+>， 所以函数()h x =1()e x g x x'=-在0+∞（，）上单调递增．因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->， 所以函数1()e x g x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为0()0g x '=，所以01e xx =，即00ln x x =-当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>． 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．故()000001()=e ln 220x g x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．...............12分思路2：先证明e 1x x +≥()x ∈R ．设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-． 因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增．所以()()00h x h ≥=．所以e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号）． 所以要证明e ln 20x x -->，只需证明()1ln 20x x +-->，即证明ln 10x x --≥． 下面证明ln 10x x --≥．设()ln 1p x x x =--，则11()1x p x xx-'=-=．当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增．所以()(1)0p x p =≥．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）． 由于取等号的条件不同，所以e ln 20x x -->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >． 思路3：先证明e ln 2x x ->．因为曲线e x y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e x y =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x =的距离分别为1d ，2d ，则()122AB d d =+．其中1e 2t t d -=，2ln 2t t d -=()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()(0)1h t h >=． 所以1e 222t t d -=>．②设()ln g t t t =-()0t >，则11()1t g t tt-'=-=． 因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增．所以()(1)1g t g =≥．所以2ln 222t t d -=≥．所以12222()2()222AB d d =+>+=． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．22．解析：（Ⅰ）连接OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠， ∴//OD AE..............3分又AE DE ⊥，∴OD DE ⊥，又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线；..............5分（Ⅱ）过D 作AB DH ⊥于点H ，连接BC ，则有HOD CAB ∠=∠，2cos cos 5OH AC HOD CAB OD AB ∠==∠==...............7分设5OD x=，则10,2AB x OH x==，∴7AH x =...............8分由AED AHD ∆≅∆可得7AE AH x ==，又由~AEF DOF ∆∆， 可得75AF AE DF DO ==．...............10分23．解析：（Ⅰ）由2sin ρθ=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=，...............1分所以曲线C的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）， ...............3分因为直线l 的参数方程为33,32x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t得直线l的普通方程为350x y +-=； ...............5分（Ⅱ）因为曲线C 22(1)1x y +-=是以G (0,1)为圆心，1为半径的圆，因为点D在曲线C上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π，...............7分 所以点D到直线l的距离为3cos sin 42d ϕϕ+-=2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，...............8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =，...............9分此时D点的坐标为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ...............10分24．解析：（Ⅰ）因为()(5)32(3)(2)5-≤f x f x x x x x -+=-+--+=， 当且仅当2≤x -时等号成立，所以15≤m -，解得46≤≤m -；...............5分（Ⅱ）证明：要证()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证|3|3||ab ba a->-， 只需证|3||3|ab b a ->-， 即证22(3)(3)ab b a ->-， 又22222222(3)(3)99(1)(9)ab b a a b a b a b ---=--+=--，||1, ||3a b <<，所以22(1)(9)0a b -->， 所以22(3)(3)ab b a ->-，故原不等式成立． ...............10分1．答案：B解析：集合{41}A x x =-≤≤，B 为奇数集，则{3,1,1}A B =--I ，故选B ．2．答案：B 解析：因为1010(3i)2i 2i 3i 2i 3i 3i (3i)(3i)z -=+=+=-+=+++-，故选B ．3．答案：D解析：从数字3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，有34,35,43,45,53,54共6种，则这个两位数不大于50的有34,35,43,45共4种，因此概率4263P ==，故选D ．4．答案：B解析：因为(3,1)(2,2)(5,1)AC AB AD =+=+-=-u u u ru u u ru u u r，(2,2)(3,1)(1,3)BD AD AB =-=--=--u u u r u u u r u u u r ，所以5(1)(1)(3)2AC BD ⋅=⨯-+-⨯-=-u u u r u u u r，故选B ． 5．答案：D解析：函数πsin(4)6y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，解析式变为：πsin(2)6y x =+，再向右平移π6个单位，解析式变为πππsin[2()]sin(2)666y x x =-+=-，7π(, 0)12刚好是图像的一个对称中心，故选D ． 6．答案：D解析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，因为1234552a a a a a +=++=，所以有111239522a d a d a d +=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故选D ．7．答案：B解析：因为142p +=，解得6p =，所以212yx =，则(1,23)M ±，不妨设(1,23)M ，又(1,0)A -，故23031(1)AMk -==--，所以31a -⋅=-，解得13a =，故选B ．8．答案：A解析：由9(1)10f =可得点9, 110-（-）在函数lg()y x a =+的图象上，代入解析式解得1=a ，lg(1)y x =+，又当1y =时，解得9x =，则点(9, 1)在函数lg(1)y x =+的图像上，点(1,9)- -在函数)(x f y =的图象上，(1)9f -=-∴ ，故选A ． 9．答案：C解析：由于程序中根据k 的取值，产生的T 值也不同，故可将程序中的k 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)．∵当k 为偶数时，2kT =；当12k +为偶数，即43,k n n =+∈Z 时，41+=k T ；否则，即41,k n n =+∈Z 时，34k T +=-．故可知：每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即10)8642(21=+++=S ，故选C ．10．答案：A解析：不等式组对应的平面区域是由三条直线260x y +-=,220x y --=和30x y --=围成的三角形，三角形的三顶点坐标分别为(2,2)A 、(3,0)B 、(1,4)C --．由题意可知z ax y =+在点(2,2)A 或线段AB 上取最大值，在点(1,4)C --或线段BC 上取最小值，于是有20a --<≤或01a <-≤或0a =，解得：12a -≤≤，故选A ．11．答案：C解析：由题意可知几何体的形状是组合体．右侧是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2；左侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥．几何体的表面积为：22111(11+2)π2π12+π1+π1+π12+21=+12222⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故选C ． 12．答案：C解析：由已知得0)(='x f 在(0,2)内有两个相异的实根， 又2()36e (3)e 3(2)e (2)(2)(3e )x x x x f x ax ax x ax x x x ax '=----=---=--，即有3e 0x ax -=在(0,2)内有两个相异的实根，即函数ay 3=与e ()(02)x h x x x =<<的图象有两个交点．2e (1)()x x h x x -'=∵ ，()∴h x 在)1 ,0(上单调递减，在)2 ,1(上单调递增，又→x 时，()h x →+∞，且(1)e h =,2e (2)2h =，∴有2e e 32a <<，解得：2e e 36a <<，故选C ．13．答案：1-解析：（1）当0x ≤时，由1211()4()22x --==，解得1x =-，符合题意；（2）当04x <<时，由22log (4)4log 16x -==，解得12x =-，不符合题意，故舍去；综上可得：1x =-． 14．答案：2n解析：∵2*133(1)=2+2,(2,)n n n a S S n n n n n n -=-=+--∈N ≥，∴338a b ==，又22*3114(2,)n n n n b b b b n n +-+⋅==∈N ≥，∴12n n b b +=， ∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，2n n b =． 15．答案：3π16解析：由已知及球的性质可知，球心O 到截面1O 的距离为322R Rd R =-=，∵222R d r =+， 22214∴R R =+，解得：23R =，∴216π4π3S R ==球．16．答案：35解析：由1PF PQ ⊥，13||||4PQ PF =，得：222111135||||||1||||44QF PF PQ PF PF ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由椭圆的定义a PF PF 221=+,122QF QF a +=，知114PF PQ QF a ++=，于是1351||444PF a ⎛⎫⎪⎝⎭++=，解得14||3PF a =，故242||233PF a a a =-=．由勾股定理得2221212||||||PF PF F F +=，从而22242433a a c⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得9522=ac ，故离心率53e =．。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟训练试题及答案解析一
最新高考模拟训练试题文科数学(二)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}21,0,=A x x B x x A B =≤=>⋃则 A.{}01x x <≤ B.{}1x x -≤<0 C.{}1x x ≥- D.{}1x x ≤2.设i 是虚数单位，复数2cos 45sin 45z i z =-⋅=o o ，则A.i -B.iC.1-D.13.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2395212,1a a a a a ⋅===，则A.12B.2 D.24.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的是 A.sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是A.若//,,//m n m n ααβ⋂=则B.若,,m m αβαβ⊥⊂⊥则C.若//,,m n m αα⊥⊥则nD.若,,//m m βααβ⊥⊥则6.已知a b 与均为单位向量，其夹角为θ，则命题1p a b ->：是命题526q ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭：，的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在线段AB 上任取一点P 、以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 A.13 B.12 C.23 D.348.若实数,x y 满足不等式组250,270,0,0,x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩且,x y 为整数，则34x y +的最小值为A.14B.16C.17D.19 9.若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是A.0a <<1B.01a a <<2≠，C.a 1<<2D.2a ≥ 10.已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别是12F F ，，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率的值是A.312+ B.312+ C.131+ D.131+ 第II 卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11.函数12log 1y x =-的定义域是__________. 12.已知数列111,n n n a a a a n +==+中，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值S ，则判断框内的条件是_________.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.14.若函数()()y f x x R =∈满足()()[]()21,1,11f x f x x f x x +=-∈-=-且时，，函数()()()lg 0,10,x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为__________.15.给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-； ②若关于x 的方程()100,1x k x x-+=∈在没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥； ③在ABC ∆中，“cos cos b A a B =”是“ABC ∆为等边三角形”的必要不充分条件；④若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π. 其中正确的结论是__________.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）某校夏令营有3名男同学A,B,C 和3名女同学X,Y,Z ，其年级情况如下表；现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.（I ）用表中字母列举出所有可能的结果；（II ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.17. （本小题满分12分）ABC ∆中，三个内角A,B,C 所对的边分别为(),,,60,31a b c B a c ==-o . （I ）求角A 的大小； （II ）已知623ABC S ∆=+，求函数()cos2sin f x x a x =+的最大值.18. （本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中 ，侧棱垂直于底面，1,2,1AB BC AA AC BC ⊥===，E,F 分别是11,A C BC 的中点.（I ）求证平面ABE ⊥平面11B BCC ；（II ）求证1//C F 平面ABE ；（III ）求三棱锥E ABC -的体积..19. （本小题满分12分）设公差为()0d d ≠的等差数列{}n a 与公比为()0q q >的等比数列{}n b 有如下关系；311332,,5b a b a b a ====.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记{}{}1232012320,,,,,,,,,,A a a a a B b b b b C A B =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋃，求集合C 中的各元素之合.20. （本小题满分13分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线：2x =的焦点重合，12,F F分别是椭圆的左、右焦点，离心率3e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）是否存在直线l ，使得1OM ON ⋅=-uuu r uuu r ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；（III ）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN//AB ，求是否存在λ，使AB =存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分14分）已知()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-.（I ）求函数()[](),20f x t t t +>在上的最小值；（II ）对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）证明：对一切()0,x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立.。
2020-2021学年高考总复习数学(文)高三教学质量检测试题及答案解析一
最新普通高中教学质量检测文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设全集{}10U x x N x *=∈<且 ，已知集合{}2,3,6,8A =，{}50B x x =-≥，则集合=U A B ⋂（）ðA.{}15,7,9，B.{}5,7,9C.{}7,9D.{}5,6,7，8,92．在复平面内，复数122iz i-=-对应的点位于 A.第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3．某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：参照附表，以下结论正确是A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．只有不超过1%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4．已知命题:,sin cos 2p x R x x ∃∈+=，2:,10q x R x x ∀∈++>，则下列命题中正确的是A. p q ∧B.p q ⌝∧C.pq ∨⌝（） D.p q ⌝∧⌝（）（）5. 设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦A.1-B.1C.2-D.26．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于,A B 两点，已知AB 等于虚轴长的两倍，则该双曲线的离心率为2 7. 执行如右图所示的程序框图，输出S 的结果是A.6B.24C.120D.8408.右图是一个四面体的三视图，这三个视图均为腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为 A.32 B.34 C.38D.29.设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值10．关于函数()2sin 223cos 2f x x x =+，下面结论正确的是A.在区间71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减 B. 在区间71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增 C. 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减D. 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增11.已知抛物线x y C 16:2=的焦点为F ，直线1:-=x l ，点A l ∈，线段AF 与抛物线C 的交点为B ,若FB FA 5=,则=FAA.26B.34C.35D.4012．设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C. ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高三期末质量检测试题及答案解析
最新高三质量检测（一）数学（文）试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
3.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干后，再涂其他答案标号，写在本试卷是上无效。
答第Ⅱ卷时，将答案写在答题 卡上，写在本试卷是上无效。
参考公式：球的体积公式：V= 43πR 3（其中R 表示球的半径） 锥体体积公式：V=13sh （其中s 表示锥体底面面积，h 表示锥体的高） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.（1）已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x 2+x=0}，则A ∩B 为（A ）{0，-1} （B ）{-1，1} （C ）{-1} （D ）{0}（2）复数z 满足（－1＋i ）z ＝（1＋i ）2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知向量OA u u u r =（2，2），OB uuu r =（4，1），点P 在x 轴上，则.AP BP u u u r u u u r取最小值时P 点坐标是（A ）（－3，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0）（4）已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4 -2a 27 +3a 8 =0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则 B 2b 8b 11 等于（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 （5）如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 上任意一点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（A ）14 （B ） 13（C ） 12（D ）23（6）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）64 （B ）72（C ）80 （D ）112（7）执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n 等于 开始 （A ）2 （B ）3 （C ）4（D ）5 （8）已知函数y ＝f （x ）的导函数为f ’（x ），且2()'()sin 3f x x f x π=+,则'()3f π=（A ）364π- （B ）362π-（C ）364π+ （D ） 362π+（9）若点P （x ，y ）满足线性约束条件30320,0x y x y ⎧-≤⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩点3)A ，O 为坐标原点，则.OA OP u u u r u u u r的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）-6 （D ）6（10）已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：2222y x a b-（a>0，b>0）渐近线的距离为55 ，点P 是抛物线y 2 ＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（A ）22123y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -=（D ）22132y x -= （11）已知数列{a n }满足a n+1 =a n -a n-1（n ≥2），a 1=1，a 2=3，记S n =a 1+a 2+…+a n ，则下列结论正确的是 （A ）a 100=-1，S 100 =5 （B ）a 100=-3，S 100 =5 （C ）a 100 =-3，S 100 =2 （D ）a 100=-1，S 100 =2（12）已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f ’(x)g(x)>f(x)g ’(x)，且f(x)=a x g(x) （a>0，且a ≠1），(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-若数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生必须做答.第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）如图所示是某公司（共有员工300人）2014年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知， 员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的大约有 __________人．（14）在三棱锥A-BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别 为236222则三棱锥A-BCD 的外接球体积为____________.（15）已知函数222(3)14x f x g x -=-，则f （x ）的定义域为____________.（16）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一 点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,(2,1),(2,cos )a b c q a p b c C ==-r u r ，且q p r u rP .（Ⅰ）求sinA 的值； （Ⅱ）求三角函数式2cos 211tan CC-++的取值范围.（18）（本小题满分12分）如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD=DE=2AB ，F 为CD 的中点．求证：（Ⅰ）AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）平面BCE ⊥平面CDE. （19）（本小题满分12分） 某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生学历的概率.（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：2222y x a b-（a>b>0）的离心率为 22 ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，过点F 1的1直线l 交椭圆C 于E ，G 两点，且△EGF 2的周长为2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），当25PA PB -<u u u r u u u r 时，求实数t 的取值范围.（21）（本小题满分12分） 设函数f （x ）=ae x （x+1）（其中，e=2.71828……），g （x ）=x 2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.（Ⅰ）求函数f （x ），g （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在[t ，t+1]（t>-3）上的最小值；（Ⅲ）若∀x ≥-2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，求实数k 的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD= A 13C ，AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F.（Ⅰ）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC 的边长为2，求A ，E ，F ，D 所在圆的半径.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=.（Ⅰ）写出直线l 的参数方程；（Ⅱ）设l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，求点P （1，1）到A ，B 两点的距离之积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.（Ⅰ）求不等式f(x)≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围.参考答案一.选择题：CDDDC BCADC AA 二.填空题（13） 72 （14 （15）{x |x >1} （16）43三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 17.（本小题满分12分）解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. ………………6分 (2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2cos 2C －sin 2C1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C ＋1的取值范围为(－1，2]． ………………12分18. （本小题满分12分）证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . ………………6分 (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . ………………12分19. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A ， 由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人. 则61()==305P A .答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………6分 （Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A 1，A 2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B 1，B 2，B 3， 50岁以上具有研究生学历的教师为C ，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2）， （A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C ），（B 2，B 3），（B 2，C ）， （B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ． 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………12分 20. （本小题满分12分）解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a＝22， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. 又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. ………………6分(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t 1＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t 1＋2k 2. ………………8分∵点P 在椭圆C 上，∴8k 22[t 1＋2k 2]2＋2－4k 2[t 1＋2k 2]2＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 41＋2k 22－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)． ………………12分21. （本小题满分12分）解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b . 由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线． ∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2. …………6分 (2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2， 由f ′(x )<0得x <－2， ∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增， 在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3， ∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎨⎧－2e －2－3<t <－22e tt ＋1t ≥－2…………9分(3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0. ∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立， ∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k；由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增．①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增，F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e2(e 2－k )<0，不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0.③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增．F (x )min ＝F (ln 1k)＝ln k (2－ln k )>0，满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]． …………12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲(Ⅰ)证明:∵AE=AB, ∴BE=AB,∵在正△ABC 中,AD=AC,∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD ≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC, …………5分 即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D 四点共圆. (Ⅱ)解:如图,取AE 的中点G,连接GD,则AG=GE=AE, ∵AE=AB, ∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G 是△AED 外接圆的圆心,且圆G 的半径为.由于A,E,F,D 四点共圆,即A,E,F,D 四点共圆G,其半径为. …………10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩…………5分 (2）把直线312112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x得22231(1)(1)4,(31)202t t t +++=+-= 122t t =-，则点到,A B 两点的距离之积为2。
2020-2021学年高考总复习数学(文)高三教学质量检测试题及答案解析
最新高三年级教学质量检测试卷数 学（文）命题者：江浩丰 祝建丰 姚灵芝 审题者:徐金明考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2．试卷共4页，三大题，共20小题.满分150分，考试时间120分钟. 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效. 参考公式：球的表面积公式 24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高试卷Ⅰ一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的．） 1.设集合{}245A y y x x ==-+，集合{}210B x x =-=，则A B =I （▲）.A {}1-.B {}1 .C {}1,1,5-.D ∅2.设3p x <：，13q x -<<：，则p 是q 成立的（▲） .A 充分必要条件 .B 充分不必要条件 .C 必要不充分条件 .D 不充分不必要条件 3.已知直线()12:20,:62160l mx y l x m y +-=+--=，若12//l l ，则实数m 的值是（▲）.A 32-.B 2.C 322-或.D 322或- 4.设函数21log (2),1()2,1x x x f x x +-<⎧=⎨≥⎩ ，则2(6)(log 3)f f --=（▲）.A 1.B 7 .C 1- .D 25.已知,a b r r是任意的两个向量,则下列关系式中不．恒成立的是（▲） .A a b a b +≥-r r r r .B a b a b ⋅≤⋅r r r r.C ()2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r .D ()3322333a b a a b a b b -=-⋅+⋅-r r r r r r r r6. 设1F ，2F 是双曲线12222=-b y a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()()0OP OF OP OF +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r（O 为坐标原点），且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（▲）A ．32+B ．32+C ．36+D ．36+ 7．已知集合{})(),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈),(11,存在M y x ∈),(22,使 得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合:①{}(,)lg M x y y x == ② {}(,)cos sin M x y y x x ==+③1(,)M x y y x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭ ④{}(,)3xM x y y e ==-其中是“Ω集合” 的所有序号是（▲） .A ②③ .B ②④ .C ①②④ .D ①③④8．如图，已知棱长为4的正方体''''ABCD A B C D -，M 是正方形''BB C C 的中心，P 是''AC D ∆内（包括边界）的动点，满足PM PD =,则点P 的轨迹长度是（▲）A ．112B ．142C ．11D ．14第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空每小题6分，单空每小题4分，共36分．把正确答案填在答题卡中的横线上．） 9. 若sin()6πα-=45-，则cos()3πα+=▲ ； cos(2)3πα-=▲ . 10．已知某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 ▲ ； 表面积是▲ ．11．若实数,x y 满足不等式组20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则；z y x =-最小值是▲ ．4xz y =+的最大值是▲12.已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是▲ ； 221aba +的最大值是▲. 13.若ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ,且20,||||OA AB AC OA AB ++==u u u v u u u v u u u v v u u u v u u u v,则CA CB ⋅u u u v u u u v= ▲ .14.已知,b c ∈R 二次函数2()2f x x bx c =++在区间()1,5上有两个不同的零点，则()()15f f ⋅的取值范围__▲ _.15. 定义(,),(2a b a bM a b a b ++-=∈、R )已知数列{}n a 满足()120,1a a a a =>=，12*2(,2)()n n nM a a n a ++=∈N 若201520163a a a -=，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为▲．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）已知2()3sin cos cos f x x x x =⋅+（I ）试求函数()f x 的单调递增区间；（II ）△ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3()2f C =求223(3)ABCc ab b ++V 的最小值.17．（本题满分15分）在数列{}n a 中，11a =，11*20()n n n n a a a a n +++-=∈N（I ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式; （II ）若()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数t 的取值范围.18. (本题满分15分) 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AB BC ⊥，侧面PAB ABCD ⊥底面，3PA AD ==，6BC =,33PB = （I ）若PC 中点为E ，求证：//DE PAB 平面； （II ）若60oPAB ∠=，求直线DC 与平面PAB 成角的余弦值．19. (本题满分15分)如图，过抛物线24x y =的对称轴上一点()()0,0P m m >作直线1l ，1l 与抛物线交于,A B 两点.（I ）若0OA OB ⋅<u u u r u u u r(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；（II ）过点P 且与1l 垂直的直线2l 与抛物线交于C,D 两点, 设AB CD 、的中点分别为M N、求证：直线MN 必过定点,并求出该定点坐标（用m 表示）.20. (本题满分15分)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，,,a b c ∈R（I ）当1a =时，()0f x <的解集与不等式112x >-的解集相同，求函数()f x 的解析式； （II ）若1x ≤,1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围；（III ）在（II ）条件下若b ax x g +=λ)()1(>λ,求证：当1≤x 时，λ2)(≤x g ．数 学（文）参考答案一、 选择题1.B2.C3.A4.A5.D6. D7. B8.D二、填空题9.45;725-10．23;323++11.4- ; 1 12．16;314- 13.314.()0,16; 15.7255三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.解：（I）21()cos cos sin(2)62f x x x x x π⋅+=++Q222262k x k πππππ∴-+≤+≤+36k x k ππππ∴-+≤≤+()f x ∴的单调递减区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦………………………………7分（II ）13()sin(2),sin(2)122,622662f C C C C k k Z πππππ=++=∴+=∴+=+∈Q ，,0,.66C k k Z C C ππππ∴=+∈<<∴=Q22224(13)4(134ABC a b ab c ab b a b S ab b a ⎤++-++⎤⎦==++-≥-⎢⎥⎦V ，当且仅当2a b =时，取等号 . ………………………………………………14分 17．解：（I ）由()11302n n n n a a a a n --+-=≥得：()11122n n n a a --=≥……3分 又111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2等差数列 ∴112(1)21n n n a =+-=-，即：121n a n =-…………………..6分 （II ）法1:∵()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，即11102121tn n ⎛⎫-≥ ⎪+-⎝⎭恒成立∴2412(1)n t n -≤-对任意2n ≥的整数恒成立……………8分设()24122(1)n n c n n -=≥-，则221222232232311222n n c n n n n n n c n n n n n n++--+--====+>--- ∴当2n ≥时，{}n c 为递增数列………………………………………………. 12分∴2152n c c ≥=所以t 的取值范围为：15(,]2-∞……………………………………………….15分法2∵()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，即11102121tn n ⎛⎫-≥ ⎪+-⎝⎭恒成立∴2412(1)n t n -≤-对任意2n ≥的整数恒成立令1,n m -=∴248332422m m t m m m++≤=++ 令()3242f m m m =++∵()*22,,+2m m N f m ⎛⎫≥∈∞ ⎪ ⎪⎝⎭在单调递增 ∴()()min 1512t f m f ≤==所以t 的取值范围为：15(,]2-∞18证明（I ）取PB 的中点F ，连结AF ，EF∴//EF AD 且EF AD =，∴ADEF 为平行四边形。
2020-2021学年高三数学(文科)高三第一次调研考试及答案解析
高三年级第一次调研考试 数学（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}A =-，2{ ,}B y y x x x A ==-∈，则AB =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,0}- 【答案】A【解析】∵{0}B =，{0}AB =．2．若平面向量(,1)m =a ，(2,1)=b ，且(2)-a b ∥b ，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】2(4,1)m -=--a b ， ∵(2)-a b ∥b∴42m -=-，∴2m =． 3．设i 为虚数单位，已知11i1iz -=+，213i 2z =-+，则1z ，2z 的大小关系是（ ） A ．12z z < B ．12z z = C ．12z z > D ．无法比较【答案】B 【解析】∵11i 211i2z -===+， 213i 12z =-+=，∴12z z =．4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（ ） A ．1.78小时 B ．2.24小时 C ．3.56小时 D ．4.32小时【答案】C【解析】(10.1230.250.170.08)2 3.56⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． 5．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列说法错误的（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．2x π=是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在(,)44ππ-上单调递增 D ．()f x 的值域是[0,1] 【答案】C【解析】∵22()cos sin cos 2f x x x x =-=，∴()f x 在[0,)4π上单调递减，故错误．6．直线(1)()y k x k R =+∈与不等式组220,220,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(,2][2,)-∞-+∞C ．11[,]22-D ．11(,][,)22-∞-+∞【答案】A【解析】直线(1)y k x =+恒过点(1,0)P -，∴PB PA k k k ≤≤，即22k -≤≤．7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．8．函数()cos f x x x =在[,]ππ-上的大致图像为（ ）【答案】B【解析】∵()cos f x x x =为奇函数，∴排除A ．xyOPA B–2–112–2–112C D AB P∵()cos f ππππ==-，∴排除C ．()cos sin cos (1tan )f x x x x x x x '=-=-，∵(0,)4x π∈，()0f x '>，()f x 在(0,)4π单调增，∴D ． 9．已知22ππα-<<，且sin cos αα+=，则α的值为（ ）A ．12π-B ．12πC ．512π-D ．512π【答案】A【解析】∵sin cos 2αα+=，∴1sin()42πα+=， ∵22ππα-<<，∴3444πππα-<+<，∴46ππα+=，∴12πα=-．10．已知,,A B C 是球面上三点，且6AB =，8BC =，10AC =，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为（ ）A ．1003πB ．2003πC ．4003πD ．4009π【答案】C【答案】48π【解析】∵222AC AB BC =+，∴90ABC ∠=．∴ABC ∆的外心为AC 的中点D ，∴OD ⊥平面ABC ． ∵222OA AD OD =+，∴22215()2R R =+,∴21003R =，240043S R ππ==．11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于（ ） A ．25 B ．23 C ．45 D ．43【答案】C【解析】直线AB 的方程为2p y x =-， 由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．12．已知0a >，若函数2324ln ,0()34,0a x x x f x x a x x ⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩，且()()2g x f x a =+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）B A DOA ．1(,1]2B ．(1,2]C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】D【解析】当1a =时，234ln ,0()34,0x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩，234ln 2,0()()232,0x x x g x f x a x x x ⎧-+>⎪=+=⎨-- ≤⎪⎩，当0x >时，2()4ln 2g x x x =-+．42(()2x x g x x x x-+-'=-=，x ∈时，()0g x '>，)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在x =2ln 20g =>，∵0x +→时，()0g x <，2()0g e <， 0x >时，()g x 有两个零点．当0x ≤时，3()32g x x x =--，2()333(1)(1)g x x x x '=-=+-，(,1)x ∈-∞-时，()0g x '>，(1,0)x ∈-时，()0g x '<， ()g x 在1x =-处取得极大值(1)0g -=， 0x ≤时，()g x 有唯一零点．综上，1a =时，()g x 有三个零点，排除B ，C ．当2a =时，238ln ,0()124,0x x x f x x x x ⎧- >⎪=⎨-- ≤⎪⎩，238ln 4,0()()212,0x x x g x f x a x x x ⎧-+>⎪=+=⎨- ≤⎪⎩，当0x >时，2()8ln 4g x x x =-+．82(2)(2)()2x x g x x x x-+-'=-=， (0,2)x ∈时，()0g x '>，(2,)x ∈+∞时，()0g x '<， ()g x 在2x =处取得极大值(2)8ln 20g =>，∵0x +→时，()0g x <，4()0g e <， 0x >时，()g x 有两个零点．当0x ≤时，32()12(12)g x x x x x =-=-， 0x ≤时，()g x 有两个零点．综上，2a =时，()g x 有四个零点，排除A ．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．下列四个函数中：①y =2log (1)y x =+；③11y x =-+；④11()2x y -=，在(0,)+∞上为减函数的是_________(填上所有正确选项的序号) 【答案】①④14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是______．【答案】全胜【解析】∵比赛为三胜三负，∴丁全胜．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据：sin150.2588=，sin 7.50.1305=）【答案】24【解析】由程序框图可知：16．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(5,0)B -和(5,0)C ，顶点A 在双曲线221916x y -=的右支上，则sin sin sin C BA -=______．【答案】35【解析】依题意，,B C 为双曲线的焦点， ∴2AB AC a -=，2BC c =，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin sin C B A -=2325AB AC a a BC c c -===．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足138a a +=，2412a a +=． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若12311119991000n S S S S +++⋅⋅⋅+=，求n 的值． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵138a a +=，2412a a +=，∴112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩．∴21(1)2n n n dS na n n -=+=+．（2）由（1）知211111n S n n n n ==-++， ∴1231111nS S S S +++⋅⋅⋅+1111111(1)()()()223341n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1999111000n =-=+， ∴999n =．18．（本小题满分12分）某房地产公司新建小区有,A B 两种户型住宅，其中A 户型住宅每套面积为100平方米，B 户型住宅 每套面积为80平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，下表是这24套住宅每（2）该公司决定对上述24套住宅通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？B 户型A 户型 4.2.3.【解析】（1）茎叶图如下：A 户型销售价格的中位数是2.93.13.02+=． B 户型销售价格的中位数是3.94.14.02+=．（2）若选择A 户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，∴成功购房的概率是82123=； 若选择B 户型抽签，则每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房， ∴成功购房的概率是61122=； ∵2132>，∴该员工选择购买A 户型住房的概率较大． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，且侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠=． （1）求证：1AB BC ⊥；（2）若AB AC ⊥，11AB BB =，且该三棱柱的体积为26，求AB 的长．【解析】（1）取BC 的中点M ，连结1,AM B M ， ∵AB AC =，M 是BC 中点，∴AM BC ⊥． ∵侧面11BB C C 是菱形，且160B BC ∠=，∴1B M BC ⊥．∵1AMB M M =，AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M ，∴BC ⊥平面1AB M ．∵1AB ⊂平面1AB M ，∴1AB BC ⊥． （2）设AB x =，依题意可得,2AC x BC x ==，∵M 是BC 中点，∴1126,2,2AM x BB x B M x ===． ∵11AB BB =，∴12AB x =，∴22211AB B M AM =+，即1B M AM ⊥．A 1C 1B 1CBAMABCB 1C 1A 1由（1）知1B M BC ⊥，且AM BC M =，∴1B M ⊥平面ABC ，,即1B M 为三棱柱111ABC A B C - 的高，∴三棱柱111ABC A B C -的体积31()2V Sh x x x ==⋅⋅==，解得2x =，即 2AB =．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E 的中心在原点，经过点(0,1)A ，其左、右焦点分别为12,F F ，且120AF AF ⋅=．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0)的直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与圆222:(0)O x y r r +=>相切于点Q ，求r 的值及的面积．【解析】（Ⅰ）设椭圆E 方程为22221(0)x y a b a b+=>>,∵椭圆E 经过点(0,1)A ，∴1b =．∵120AF AF ⋅=，且12AF AF =， ∴1c b ==，2222a b c =+=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）设直线l的方程为(y k x =+，由22(12y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)620k x x k +++-=，①∴22222)4(21)(62)8(1)k k k ∆=-+-=-， ∵直线l 与椭圆相切，∴0∆=，解得1k =±．代入①中得2340x ++=，解得x =，代入直线l的方程得y =(P ． ∵直线l 与圆222x y r +=相切，∴r ===，∵OP ==6PQ ==，∴1124OPQ S PQ r ∆=⨯⨯=．21．（本小题满分12分）已知函数()(,,xf x e ax b a b R e =++∈是自然对数的底数）在点(0,1)处的切线与x 轴平行．（1）求,a b 的值；（2）若对一切x R ∈，关于的不等式()(1)f x m x n ≥-+恒成立，求m n +的最大值． 【解析】（1）()xf x e a '=+，由题意可知(0)10f a '=+=，(0)11f b =+=， ∴1a =-，0b =．（2）由（1）知()xf x e x =-，∴不等式()(1)f x m x n ≥-+恒成立， 可转化为x e mx n ≥+恒成立．令()xg x e mx n =--，()xg x e m '=-．当0m ≤时，()0g x '>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，没有最小值，故不成立． 当0m >时，令()0g x '=，解得ln x m =．令()0g x '<，解得ln x m <， 令()0g x '>，解得ln x m >，∴当(,ln )x m ∈-∞时，()g x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()g x 单调递增． ∴当ln x m =时，()g x 取得最小值(ln )ln 0g m m m m n =--≥， 即ln m m m n -≥，令()ln h m m m m =-，则()1ln h m m '=-， 令()0h m '=，解得m e =．当(0,)m e ∈时，()h m 单调递增；当(,)m e ∈+∞时，()h m 单调递减． 故当m e =时，()h m 取得最大值()h e e =， ∴e m n ≥+，即m n +的最大值为e ．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆； （2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠，∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知三圆221:4C x y +=，222:((1)4C x y +-=，32cos :(12sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）有一公共点(0,2)P ．（1）分别求1C 与2C ，1C 与3C 异于点P 的公共点M 、N 的直角坐标；（2）以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点,,O M N 的圆C 的极坐标方程．【解析】（1）曲线3C的普通方程为22((1)4x y +-=，由22224((1)4x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩由22224((1)4x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴相异于点A的公共点为(1)M -)，1)N -．（2）线段OM OM 的中垂线为2y =-，线段ON的中垂线为2y =-，由22y y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩，半径为2，∴圆C 的方程为22(2)4x y ++=，化为极坐标方程得4sin 0ρθ+=．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩， 解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+， 令35a +=，解得2a =，或8a =-．。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟检测题及答案解析
最新高三数学测验题（文科）1本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M（A ）{}1 （B ）{}1,1- （C ） {}1,0 （D ）{}1,0,1- 2、复数2(1)1i i +-＝A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i -3、已知平面γβα,,，直线c b a ,,，则下列命题正确的是（A ）若,,γβγα⊥⊥则βα//；（B ）若,,c b c a ⊥⊥则b a //； （C ）若,,αα⊥⊥b a 则b a //； （D ）若,//,//ααb a 则b a //．4、如图所示，某几何体的三视图相同，均为圆周的41，则该几何体的表面积为 （A ）π43 （Ｂ）π45（Ｃ）π （Ｄ） π25、执行右图的程序框图，则输出的结果为 （A ）66（Ｂ）64（Ｃ）62（Ｄ）606、设y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ，则y x z -=2的最大值为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）07、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为（ ）21，是21之间的一定点，并且点到21的距离分别为，是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 （A ）2 （B ）3 （C ）6 （D ）49、已知21,F F 分别是双曲线1:2222=-by a x C 的左，右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（A ）3 （Ｂ）3 （Ｃ）2 （Ｄ）210、已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为A ．4B ．6C ．8D ．10第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2020-2021学年高考总复习数学(文)高三质量检测试题及答案解析
最新高三质量调查（三）数学（文）一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，则复数i i -3等于（ ） （A ）i 2321+-（B ）i 2321+ （C ）i 4341+-（D ）i 4341+ 2．函数122)(+=x x f ，[]2,1-∈x 的值域为（ ） （A ）[]8,2 （B ）[]8,4（C ）[]3,1 （D ）[]3,23．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出k s ,的值依次为（ ）（A ）32,63 （B ）64,63（C ）63,32 （D ）63,644．已知圆O ：122=+y x ，直线l ：0=++c by ax ，则222c b a =+是圆O 与直线l 相切的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若12,123423+=+=S a S a ，则q 等于（ ）（A ）3- （B ）3（C ）1- （D ）16．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，2=AD ，6=BC ，若以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于点E ，则DE 等于（ ）（A ）3 （B ）32（C ）4 （D ）87．要得到函数x y cos =的图象，只需将函数)32sin(π+=x y 的图象上所有的点得 分评卷人的（ ）（A ）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 （B ）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 （C ）横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 （D ）横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 8．如果不等式a x x +-<|1|2的解集是区间)3,3(-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）)7,(-∞ （B ）]7,(-∞（C ）)5,(-∞ （D ）]5,(-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）9．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法 从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书 本．10．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--401042x y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最小值为 ．11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ．12．抛物线)0(42>=a ax y 的焦点恰好是双曲线C ：12222=-by a x 的两焦点间线段的一个三等分点，则双曲线的渐近线方程为 ．13．在ABC ∆中，3,2,3π=∠==C BC AC ，D 是AB 边上的一点，且DB AD 2=，则=⋅AB CD ．14．已知不等式9)1)((≥++y a x y x 对任意正实数y x ,都成立，则正实数a 的最小值是 ．得 分 评卷人三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
2020—2021年高考总复习数学(文)高三质量检测试题及参考答案(精品试题).doc
届高三质量调查（三）数学（文）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，则复数ii -3等于（）（A ）i 2321+-（B ）i 2321+ （C ）i 4341+-（D ）i 4341+ 2．函数122)(+=x x f ，[]2,1-∈x 的值域为（）（A ）[]8,2（B ）[]8,4 （C ）[]3,1（D ）[]3,23．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出k s ,的值依次为（）（A ）32,63（B ）64,63（C ）63,32（D ）63,644．已知圆O ：122=+y x ，直线l ：0=++c by ax ，则222c b a =+是圆O 与直线l 相切的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若12,123423+=+=S a S a ，得分评卷人则q 等于（）（A ）3-（B ）3 （C ）1-（D ）16．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，2=AD ，6=BC ，若以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于点E ，则DE 等于（ ）（A ）3（B ）32（C ）4（D ）87．要得到函数x y cos =的图象，只需将函数)32sin(π+=x y 的图象上所有的点的（）（A ）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度（B ）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度（C ）横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度（D ）横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度8．如果不等式a x x +-<|1|2的解集是区间)3,3(-的子集，则实数a 的取值范围是（）（A ）)7,(-∞（B ）]7,(-∞（C ）)5,(-∞（D ）]5,(-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）9．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书本．10．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--401042x y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最小值为 ．11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ．12．抛物线)0(42>=a ax y 的焦点恰好是双曲线C ：12222=-b y a x 的两焦点间线段的一个三等分点，则双曲线的渐近线方程为 ． 13．在ABC ∆中，3,2,3π=∠==C BC AC ，D 是AB 边上的一点，且DB AD 2=，则=⋅AB CD ． 14．已知不等式9)1)((≥++ya xy x 对任意正实数y x ,都成立，则正实数a的最小值是 ．三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
2020-2021学年高考总复习数学(文)5月份高考调研试题及答案解析
最新高三调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．29．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B． C．D．10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣）∪（）B．（﹣]∪[）C．[] D．（）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：寿命（天）频数频率[100，200）20 0.10[200，300）30 y[300，400）70 0.35[400，500）x 0.15[500，600）50 0.25合计200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= ，y= ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为．17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n 均成立．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集为R，集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∁R B={x|x≤﹣1或x＞5}则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数z满足（3﹣4i）z=25，可得z===3+4i．对应点为：（3，4），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=cos（﹣）=＞0，排除C，当cos（2x﹣）=0，得2x﹣=+kπ，即x=+，∵x∈[﹣，]，∴x=或﹣，排除A，B，故选：D【点评】本题主要考查三角函数图象的判断，根据三角函数的单调性是解决本题的关键．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，f（x）=x3是奇函数，在区间[﹣1，1]上是单调递增，不正确；对于B，f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不正确；对于C，f（﹣x）=ln=﹣f（x）是奇函数，∵=﹣1+在区间[﹣1，1]上是单调递减，∴f（x）=ln在区间[﹣1，1]上是单调递减，正确；对于D，f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，在区间[﹣1，1]上不是单调递减，不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是关键．5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的底面的面积是=2，由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是2，∴三棱锥的体积是=故选C．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面位置关系可得：l与α平行相交或l⊂α，即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出；③利用线面平行的判定定理可得：l∥m或为异面直线，即可判断出正误；④利用线线与线面位置关系即可判断出：可得l∥m、相交或为异面直线，进而判断出正误．【解答】解：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α不成立（m没有给出是平面内的任意一条直线），例如可能l⊂α，l∥α，l与α相交但是不垂直等；②若l⊥α，l∥m，由线面垂直的判定定理可得m⊥α，正确；③若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；④若l∥α，m∥α，则l∥m、相交或为异面直线．其中，正确命题的个数是1．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c===a，则有e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣）∪（）B．（﹣]∪[）C．[] D．（）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的最值，不等式有f（x1）≤g（x2）等价为有f（x）max≤g（x）min即可．【解答】解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+≤，当x＞1时，f（x）=﹣log3x＜0，则函数f（x）max=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|≥|k﹣x+x﹣1|=|k﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则|k﹣1|≥，即k﹣1≥或k﹣1≤﹣，即k≥或k≤，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，求出函数的最值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a的方程求得a值．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，∴a×1+2（a﹣1）=0，即a+2a﹣2=0，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是50π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，则a2+b2=25，b2+c2=34，c2+a2=41，得a2+b2+c2=50．于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=50．故外接球的表面积为S=4πR2=50π．故答案为：50π．【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能．．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为﹣【考点】程序框图．【专题】规律型；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出a值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始a=3，i=1；第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a=﹣2，i=6；…；∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2015，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期是关键．15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意可得（a，b）的所有结果共有36种，每种结果等可能出现，再利用列举法求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，∵关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根，∴△=a2﹣4b＞0，a=1时，不成立；a=2时，不成立；a=3时，b可以取1，2；a=4时，b可以取1，2，3；a=5时，b可以取1，2，3，4，5，6；a=6时，b可以取1，2，3，4，5，6．满足条件的基本事件个数m=17，∴关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率：p==．故答案为：．【点评】本题考查关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：寿命（天）频数频率[100，200）20 0.10[200，300）30 y[300，400）70 0.35[400，500）x 0.15[500，600）50 0.25合计200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= 30 ，y= 0.15 ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为 4 ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率=，利用频率分布列能求出x，y的值．（2）由频率分布表先求出x，再求出优等品、正品、次品的比例，从而能求出按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），由此能求出n的最小值．【解答】解：（1）由频率分布表得：x=200×0.15=30，y==0.15．故答案为：30，0.15．（2）由已知得x=200×0.15=30，∴由频率分布表得到：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品、次品的比例为50：100：50=1：2：1，∴按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），∴n的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查频率分布表中未知数的求法，考查按三个等级分层抽样所得的结果相同的n的最小值的求法，是基础题，解题时要注意频率分布表和分层抽样的性质的合理运用．17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x3﹣x2+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在{1，2]内f′（x）＞0，则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：．【点评】此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系：当n=1时，a1=S1，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，计算即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n=（﹣），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2；当n＞1时，由S n=n2+n，可得S n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1=n2﹣n，两式相减，可得a n=S n﹣S n﹣1=2n，综上可得a n=2n；（Ⅱ）b n==（﹣），前n项和为T n=（1﹣++﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+），由于（+）＞0，则T n＜成立．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意保留和消掉的项，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，运用三角形的面积公式可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）acosC=（2b﹣c）cosA，即为acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，∵B∈（0，π）∴sinB≠0∴cosA=，∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，∴△ABC的面积S=bcsinA=bc≥，∴当且仅当b=c=2时，S取得最大值，且为．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题意可得C1E∥FA，又E是棱A1A的中点，可得F为棱CC1的中点，即可得解．（Ⅱ）由题意可证∠FAC=∠A1CC1，从而可求A1C⊥AF，证明AB⊥平面A1ACC1．即可证明A1C⊥AB，从而得证A1C⊥平面ABF．【解答】解：（Ⅰ）∵C1E∥平面ABF，C1E⊂平面A1ACC1，平面ABF∩平面A1ACC1=AF，∴C1E∥FA，∵E是棱A1A的中点，∴F为棱CC1的中点，∴=；…6分（Ⅱ）设AB=AC=a，则AA1=，∵，∴∠FAC=∠A1CC1，∵∠A1CC1+∠A1CA=90°，∴∠FAC+∠A1CA=90°，∴A1C⊥AF，∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1．∵A1C⊂平面A1ACC1，∴AB⊥A1C．∴A1C⊥AB，A1C⊥AF，∴A1C⊥平面ABF．…13分．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n 均成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（2）由（1）知，x＞0时，不等恒成立，则x＞0时，恒成立．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．【解答】解：（1）当a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+=f'（x）=0，解得x=或x=1因为x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）f'（x）=△=a2+12＞0，则方程3x2+ax﹣1=0有两个异号的实根，设这两个实根为x1，x2，且x1＜0＜x2．∴0＜x＜x2时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x2]上为减函数，f（x2）＜f（0）=0．∴a＜﹣2不符合要求．∴a的取值范围为[﹣2，+∞）．（3）证明：由（1）知，x＞0时，不等式﹣2lnx+恒成立，∴x＞0时，恒成立，令，得整理得：∴令k=1，2，3…，n，得…，将上述n个不等式的左右两边分别相加得，∴对一切正整数n均成立．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由于椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，检验m=0也成立；（3）由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|y M﹣y N|，化简整理，再令m+=t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．【解答】（1）解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，∴b=，c=a，a2﹣b2=c2，∴解得a2=3，b2=2，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，联立椭圆方程，消去x，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（，﹣），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），k MN=，直线MN的方程为y+=（x﹣），即为y=（x﹣1），令x﹣1=0，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点H，且为H（，0）当m=0，即有x=1，可得直线MN也过定点H；（3）解：由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|y M﹣y N|=（1﹣）•|﹣﹣|=2||=2||可令m+=t（t≥2），由于6t+的导数为6﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S==在[2，+∞）递减，即有t=2即m=1时，S取得最大值，且为．则△FMN面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用．。
2020-2021学年高三数学(文科)调研统一考试试题及答案解析
机密★启用前普通高中调研统一测试 高三数学〔文史类〕★祝测试顺利★ 考前须知：1 .本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.答卷前,请考生认真阅读做题卡上 的考前须知.考生务必将自己的姓名、考号填写在做题卡上指定位置,贴好条形码或将考号对 应数字涂黑.用2B 铅笔将试卷类型〔A 〕填涂在做题卡相应位置上.2.答复第I 卷时,每题选出答案后, 用2B 铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸和做题卡上的非做题区 域均无效.3 .答复第II 卷时,用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在做题卡上每题对应的做题区域内, 写在试题卷、草稿纸和做题卡上的非做题区域均无效.4.考生必须保持做题卡的清洁.测试结束后,请将本试题卷和做题卡一并上交.第I 卷12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的.1 .集合 A = {0,1} , B = { —1 , 0, a2 + a —1},且 A B,那么 a 等于A. 1B. —2或 1C. —2D. —2 或—1,「一 心_ z 1 , 一 2 .复数z 满足—— i ,那么z 等于 z 1A. 1 + i B, 1-i C. i D. — i3 .平面向量 a = (1 , 2) , b = (-2, m ),且 a // b,那么 | 2 a + 3b | =A. 2而B. 3店C . 4而D, 5754 .等比数列{a n }的公比为3,且口 出10,那么a 2%a 4的值为A. 27B. 81 C, 243 D. 729 5 .函数y f(x 1)是奇函数,且f (2) = 1 ,那么f (―4)= A. 1 B. 3C. - 1D. - 3是减函数〞的一个函数是、选择题：本大题共 6. 同时具有性质 “①最小正周期是4 ;②x —是图像的一条对称轴; 3一2 5 .③在区间(―,—)±3 614.右图是一个空间几何体的三视图,面积为 ▲.那么该几何体的表第II 卷.填空题：本大题共 4小题,每题5分,共20分.请将答案填在做题卡对应题号 的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.13.观察以下各式：a + b =1 , a 2 + b 2 = 3, a 3 + b 3 = 4, a 4+ b 4 = 7, a 5+ b 5 = 11 ,…,那么a 8 +b 8=▲A. y sin(2x —)B. y cos(2x67.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是圆.22A. x 12yB. x 6y一) C. y cos(— —)D. y sin(— 一) 6 2 32 322(x 3) y 4的圆心,那么抛物线的方程是22C. y 12xD. y 6x328.设函数f(x) x axx 1在点〔1 , f 〔1〕〕的切线与直线 x + 2y —3 = 0垂直,那么实数a 等1 . 18 . 2 C. 3 D. 49 .假设m 、n 是两条不同的直线,、、是二个不同的平面,那么以下命题中为真命题的是A.假设m, ,那么mC .假设,,那么〞 x y 1 > 010.实数x 、y 满足条件 4x 3y 12W 0,那么z y 2> 0B. 0 m , 0 n, mJ n ,那么D. m , m J ,那么2xy 1的最大值为 x 111. x >0 , y >0 ,2y t 2t 恒成立,那么实数t 的取值范围是A. [-4, 2]B. (-4, 2)C , (0 , 2)D, (0, 4)1 x — 12.假设 f(x) x x2 、1a, x > —/的三个零点为 1a, x —2X I 、x 2、x 3,那么X I X 2X 3的取值范围是B. 〔O 4〕第n 卷包括必考题和选考题两局部.第 第22 - 24题为选考题,考生按要求做答.13 — 21题为必考题,每个试题考生都必须做答.俯现圄x 1 ,2 , x w 015.f(x) 0,贝U f (2021)=f(x 1) f (x 2), xcos( ——)16. 假设tan 2 tan —,贝U -------------- 10—55 sin( g)三.解做题：解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17 .(本小题总分值12分)在△ ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且b2、c2是关于x的一元二次 2 2 一一,一方程x (a bc)x m 0的两根.(1)求角A的值；(2)假设a ",设角B .AABC周长为y,求y f()的最大值.18 .(本小题总分值12分)在四棱锥P—ABCD 中,侧面PCD,底面ABCD , PDXCD ,底面ABCD是直角梯形,AB // CD , / ADC = 90 , AB = AD = PD = 2,CD=4 .(1)求证：BCL平面PBD;(2)设E是侧棱PC上一点,且CE = 2PE,求四面体P- BDE的体积.19 .(本小题总分值12分)｛a n｝为等差数列,且a3 + a4 = 3(a I + a 2), a2n- 1 = 2 a n.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设数列｛b n｝的前n项和为S n,且S n m a n n 1 (m为常数).令c n = b2n (n C N*),求数2列｛c n｝的前n项和T n.20 .(本小题总分值12分)3 y2x2-、一, 2 一』一 2椭圆C I：与T 1(a b 0)的离心率为三,且过定点M(1, —).a b 2 2(1)求椭圆C的方程；.. (1)(2)直线l： y kx — (k R)与椭圆C交于A、B两点,试间在y轴上是否存在定点P, 3使得以弦AB为直径的圆恒过P点？假设存在,求出P点的坐标,假设不存在,说明理由.21 .(本小题总分值12分)函数f (x) ln x .a(1)假设曲线g(x) f(x) — 1在点(2, g (2))处的切线与直线 x + 2y —1 = 0平行,求实数 a x 的值.(2)假设h(x) f(x) 处」)在定义域上是增函数,求实数 b 的取值范围. x 1(3)设 m 、n C R*,且 m w n,求证：―—n m n请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,那么 按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在做题卡上将所选题号后的方框涂黑.22 .(本小题总分值10分)选彳^4—1:平面几何选讲AB 为半圆O 的直径,AB = 4, C 为半圆上一点,过点C 作半圆的切线 CD ,过A 点作AD XCD 于D,交半圆 于点 E, DE = 1 . (1)证实：AC 平分/BAD; (2)求BC 的长.23 .(本小题总分值10分)选彳4> 4 — 4 :坐标系与参数方程x 3 4cox曲线C I 的参数方程为 x 3 4 (为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴y 4 4sin为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为 4sin .(1)把C I 的参数方程化为极坐标方程； (2)求C I 与C 2交点所在直线的极坐标方程.24.(本小题总分值10分)选彳^4 —5:不等式选讲.函数 f(x) |x 1| |x 2| 5 . (1)求函数f (x )的定义域A;(2)设 B = { x [ — 1< x <2},当实数 a 、b C ( B R[A )时,证实：怛万立 |1 -ab | .ln m In n |^^|-12分高三数学(文史类)参考答案及评分标准说明1 .本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分 标准的精神进行评分.2 .评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要由于考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误, 影响了后继局部,但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面局部的给分,这时原那么上不应超过后面局部应给分数的一半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分.3 .解做题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. .选择题：BCCDC DCADA BC三.解做题:18. (1)证：■「PDLCD,平面PCD ,平面ABCD ,平面PCD 与平面 ABCD 相交于CD二.填空题：13. 4714. 64 4 16. 317. (1)解：在^ ABC 中,依题意有:b 2bc,222b c acosA -----------------2bc又 A (0, ) , • • A (2)解：由a 芯,A—及正弦定理得:3bsin B csin C asin A_ 22b 2sin B 2sin ,c 2sin C 2sin(一 B) 2sin( 一 )3 32 .故 y a b c 3 2sin 2sin(—— )3 即 y 2 3sin( —)3由 02—得：一 一 5— 3 6 66•二当 一一,即 一时,y max 373 . 6 2 32分 4分 6分8分10分. PD,平面 ABCD, PDXBC在△ ABD 中,/ A = 90 , AB = AD = 2 ,BD 2/,/ ADB = 45 在△ ABD 中,/ BDC = 45222BD 2DC 2BC 2cos45 --------------------------2BD DC由 BD 2 + BC 2 = 16 = DC 2知 BDXBC. PDXBC, BD 、PD 相交于 D,,BC ,平面 PBD(2)解：过 E 作 EF// PD 交 DC 于F,由⑴知EF,平面ABCD- 1 —S',BCD 2 CD V 8, , V p BDE 一9由 a 2n —1 = 2a n 得：a 1 + (2 n - 1)d - 1 = 2[ a 1 +由CE = 2PE 得：空 PD V P BDE V P BCD V E BCD CE PC 1 PD 3 S .'BC D EF 431 日 Q —EF S BCD3-S BCD 9匚 10分19. (1)解：由 a 3 + a 4 = 3( a 1+ a 2)得：a 1 + 2da i +3 d =3( a 1 + a 1 + d )2a 1 = d ①2分(n — 1)d ]由①②得：a 1 = 1 , d =2n- 1(2)解: 当n>2时,% S n Sn1a n 1 2n (m a n 1 2nJ)n 22n 1一 C n b 2n 2n 2T n 0 2 (4)0 2n 1(n 1)(1)n1 if 2 IM (n 1)1 n 1()n1 4 1 T n 4 III (n2)(n 两式相减得：~T n4中2I I/ 1 \ n 1 /(-)(n 41)1 n1)叩1 (“工 410分(n15n12分,BD 2 2, DC = 4BC 2 2 AD 12分6分20. (1)解：由 2 2a 1,椭圆C 的方程为 y kx (2)解：由 2 2y 5 2y 2 54x 2 5b 25 2 5 413 2 4x 5 2得：9(2 k 1 4)x 2 12kx 43 0 立 设A (x i, y i ), B (x 2, y 2),那么X i 、X 2是方程①的两根 12k-- X 1 x 2 ----------- 2 ----- 9(2 k _4) 设 P (0, p ),那么 PA ,X 1X 2P A PB 43 z~2- 9(2kp), PB4) (“ , X 1X 2 y 1y 2 p(w y 2) p 2 X 1X 2 V2 P) ,, 1、八 1、 (kX 1)(kX 2)332ppk(X X 2)手(18p 245)k 236 p 224p 39假设P A PB ,那么 24)0 2 2 2 .. 、即(18p 45)k 36p 24p 39 0 对任意 一 2 一 一 .18p 45 0 -36p 2 24p 39 0 此方程组无解,,不存在定点满足条件 ke R 恒成立 10分12分a ,、 21 . (1)解：g(x)ln x 一 1 , g (x) x g (x )在点(2 , g (2))处的切线与直线 X + 2y-1 = 0 平行(2)证：由 h(X) In x h (X ) 1 b (X 1) b (X 1)(x 1)2+ 00)上恒成立2 _x 2(1 b)x x(x 1)2••• h (X )在定义域上是增函数,, h(x)x0 在(0,. .b<2,即b 的取值范围是(一8, 2] ⑶证：不妨设m > n > 0 ,.「CD 是圆的切线,,OC ±CD. AD ± CD , AD // OC , ・•. D DAC = / OCA 故/ DAC = / OAC , 即AC 平分/ BAD(2)解:由(1)得:BC连结CE,那么/ DCE = CE , B BC = CE /DAC = / OAC ,, ・、2 , .、2 2 . 2 2. 2 一 八2 、, 2、 ••• 4(a b) (4 ab) 4a 4b a b 16 (b 4)(4 a ). 一一^ 一 …2 — 2. _. a 、b C {x | — 1< x <1}, (b 4)(4 a ) 0, ■、2 , .、2••• 4(a b) (4 ab) ,同烈|1他|成立10分ln m ln n2 | m n即证 -----m nln m ln n22(- 1) n m 1 nm lnn10分设 h(x) ln x 2(x 1)x由(2)知 h (x )在(1 ,(x 1)+8)上递增,h (x )> h (1) = 0二一m故ln - n m 2(— 1) n m 1 n। ln m产|成立12分22. (1)证：••• OA=OC・ ./ OAC = /OCACE DE AB BC CE AB AB DE CE 10分23. (1)解：由 4cox 4sin 消去.得: (x 23)(y 24)16即x 1 2 2 y 6x 8y cos sin 0 代入得极坐标方程为 cos 8 sin 9 0 (2)解: 2由x 2 x 由 2 y 2y4sin 得C 2的普通方程为: 6x 8y 9 0 4y 0 得：6x 4y 9• .C I 、 C 2的交点所在直线方程为 ,其极坐标方程为： 6 cos 4 6x 4y sin 94y 010分24. (1)解：| x + 当xW — 2时,得-5>0x< —4,当一2 < x <—1 时,得 x< 4,当 x> — 1 时,得 x>1CDE^A ACD ,△ ACD^AABCb C { x | — 1< x < 1}2 43n 134 3n 1••T n9 91. A = { x | xw —4 或x> 1}(2)证：B00A = { x | —1< x < 1},,a、要证‘严|1 日|,只需证4(a b)2 (4 ab)2。
2020-2021学年高考总复习数学(文)毕业班质量检查模拟试题及答案解析
最新普通高中毕业班质量检查文科数学试题（满分150分 考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|M x y ==,集合{|sin }N y y x ==,则M N =I A ．[1,0]- B.[1,1]- C. [0,1] D.∅2．采用系统抽样方法从960人中，抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的32人中，做问卷C 的人数为A.7 B ．9 C ．10 D ．153．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为A ．2B ．3C ．4D ．64．已知向量(sin(),2)x ϕ=+a ，(1,cos())x ϕ=+b ，函数()()()f x =+⋅-a b a b ，则()f x 的最小正周期是A ．1B ．2C ．πD ．2π5．已知a R ∈，i 是虚数单位，命题p ：在复平面内，复数121iz a =+-对应的点位于第二象限；命题q ：复数2i z a =-的模等于2.若p q ∧是真命题，则实数a 的值等于A ．1-或1B ．C ．D ．6．已知3cos 5α=-，且π(,π)2α∈，则πtan()4α-=A ．17- B.7- C.17D.7 7．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是A.110B.310C.710D.9108．已知直线:1l xy -=与圆22:2210M x y x y +-+-=相交于A ，C 两点，点B 和点D 分别在圆M上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为AB ．CD ．9．执行如图所示的程序框图，若输出的63S =，则输入a 的值可以是A ．6B ．7C ．8D ．9 10．已知曲线1()e e x xf x =-与直线y kx =有且仅有一个公共点，则实数k 的 最大值是A ．-1B ．0C ．1D ．211．已知球O 是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为四棱锥S ABCD -与一个高为6的正四棱柱1111ABCD A B C D -则球O 的表面积为A.100π3B. 64πC. 100πD.500π312．已知函数4log 3(0),()1() 3 (0),4x x xx f x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩若()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，则12||x x -=A ．3ln 2-B ． 3ln 2C ．D ．3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数y x ,满足20,1,1,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是. 14．若关于x 的方程220x mx -+=在区间[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，若在双曲线C 的右支上存在一点P 满足123PF PF =，且212PF PF a ⋅=-u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为.16．在钝角△ABC 中，已知2sin 21A A +=,则sin cos B C ⋅取得最小值时，角B 等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，且342S =，263716a a a a ⋅=⋅． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2211(log )(log )n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1132n T ≤<．18．（本小题满分12分）某房地产公司的新建小区有A ，B 两种户型住宅，其中A 户型住宅的每套面积为100平方米，B 户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，下表是这20中位数；（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A 、B 户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是线段PC 的中点，14AF AB =u u u r u u u r ．（Ⅰ）求证：EF CD ⊥；（Ⅱ）求点F 到平面ADE 的距离．20. （本小题满分12分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，动点M 满足4AM =，线段MB 的垂直平分线与线段AM 相交于点N ，设点N 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；PABCDEF（Ⅱ）设动直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥(其中O 为坐标原点)，试问：是否存在定圆222(0)x y r r +=>，使得该圆恒与直线l 相切？说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln m f x m x x =+（其中m 为常数），且1x =是()f x 的极值点．（Ⅰ）设曲线()y f x =在11(,())e ef 处的切线为l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求证：()4()f x f x '>．请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙1O 与⊙2O 相交于,A B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O ，⊙2O 于点,D E ，DE 与AC 相交于点P ． （Ⅰ）求证:AD ∥EC ；（Ⅱ）若AD 是⊙2O 的切线，且6PA =，2PC =，9BD =，求AD 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：y kx =(0)x ≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求||||OA OB ⋅的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|||21|f x x a x =-+-()a ∈R . （I ）当1a =时，求()2f x ≤的解集；（II ）若()|21|f x x ≤+的解集包含集合1[,1]2，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案及评分标准一、选择题：1.C2.A3. A4.C5.D6. B7. C8.A9.B 10.D 11. C 12.D 二、填空题：13. [1,3]-14.15. 16.π12三、解答题：17. 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由263716a a a a ⋅=⋅，得224516a a =，所以216q =， 因为数列{}n a 各项都为正数，所以4q =， (2)分所以2311(1)21S a q q a =++=，又342S =,所以12a =， (4)分所以数列{}n a 的通项公式是121242n n n a --=⋅=，………………6分（II ）由（I ）得21212211111()(log 2)(log 2)(21)(21)22121n n n b n n n n -+===-⋅-+-+， ………8分所以12n n T b b b =+++L 11111111(1)(1)23352121221n n n =-+-++-=--++L ， ……………10分 因为1042n >+， 所以1112422n T n =-<+， ………………11分又1111111()()02462424246n n T T n n n n +-=---=->++++， 所以{}n T 关于n 单调递增 所以113n T T ≥=， 综上所述：1132n T ≤<． ………………12分18．解：（Ⅰ）………………3分A 户型住宅每平方米销售价格的中位数为1.021.10.9=+； ………………4分 B 户型住宅每平方米销售价格的中位数为 1.521.61.4=+． (5)分(II)若选择A 户型抽签，限于总价120万元的购买力，每平方米的价格不得高于1.2万元，因此，有能力购买其中的7套，所以成功购房的概率是710； ………………7分若选择B 户型抽签，同样限于总价120万元的购买力，则每平方米的价格不得高于1.5万元， 因此，有能力购买其中的5套，所以成功购房的概率是51102=， ………………9分因为71102>，所以选择A 种户型抽签，能使购房成功的概率更大． ………………10分此次购房每平方米的平均单价为0.971.11.10.70.90.80.80.9=++++++万元． (12)分19.解：（Ⅰ）在侧面PCD 中，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 中点，∴1DE =，过E 作EH DC ⊥于H ， ………………2分连结FH ，∵底面ABCD 是正方形，14AF AB =u u u r u u u r ，即12AF =，∴AFHD 是矩形，∴FH DC ⊥， ………………3分又EH DC ⊥，EH FH H =I ,∴DC ⊥面EFH ， ………………5分 又∵EF ⊂面EFH ，∴DC EF ⊥． ………………6分 （II ）由（I ）知，FH ∥平面ADE ,∴点F 到平面ADE 的距离等于点H 到平面ADE 的距离， ………………7分 ∵底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，∴AD ⊥侧面PDC ， 即AD ⊥侧面DEH ，∴AD DE ⊥，13A DEH DEH V S AD -=⋅⋅， 在三棱锥H ADE -中，设点H 到平面ADE 的距离为d ，则13H ADE ADE V S d -=⋅⋅，………9分HPABCDE F由于H ADE A DEH V V －－＝，∴13DEH S AD ⋅⋅13ADE S d =⋅⋅， ∴DH EH AD AD DE d ⋅⋅=⋅⋅，∴122=21d ⋅⋅， ………………11分∴d =F 到平面ADE． ………………12分20.解：（Ⅰ）因为点N 在线段MB 的垂直平分线上，所以NB NM =， ………………1分所以4NA NB NA NM AM AB +=+==>，所以点N 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………3分设此椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2224,1,a a b =⎧⎨-=⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以曲线C 的方程为22143x y +=． ………………4分（II ）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 方程为y kx m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=， (5)分由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， ………………6分所以△2222644(34)(412)0k m k m =-+->，……（*）122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+． ………………7分则22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++222224128(1)()03434m kmk km m k k-=+⨯+⨯-+=++， 解得2212127k m +=，代入可知不等式（*）成立， (9)分所以原点O 到直线l的距离为d === 所以直线y kx m =+与圆22127x y +=相切． ………………11分当直线l 垂直于x 轴时，不妨设点P 在x 轴上方， 根据椭圆的对称性，易得直线OP 的方程为y x =±，由221,43,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=±⎩得(,P , 所以原点O 到直线l，因此直线l 与圆22127x y +=相切． 综上所述：存在定圆22127x y +=，使得该圆恒与直线l 相切. ………………12分21．解法一：（Ⅰ）由已知可得22()m m f x x x'=-，则(1)00f m '=⇒=或1m =，而当0m =与条件不符（舍去），∴1m =．………………2分所以1()ln f x x x =+，21()(0)x f x x x-'=>， 从而1()e 1e f =-，21()e e ef '=-，故切线l 的方程为：21(e 1)(e e )()ey x --=--，………………4分l 与坐标轴的交点分别为2(,0)eA ，(0,2e 2)B -，所以切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为1||||2ABO S OA OB ∆=⋅2e 2e-=． ………………6分（Ⅱ）对于21()(0)x f x x x-'=>， 当01x <<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=，当1x >时，()0f x '>．∴()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞递增，故min (())()(1)1f x f x f ===极小值． ………………8分又211()(0)f x x x x '=-+>，令1(0)t x x =>，则2211()()()(0)24f x h t t t t t '==-+=--+>，从而max 11(())()24h t h ==，即max (4())4(2)1f x f ''==．………………10分故()14()f x f x '≥≥，但()f x 与4()f x '不同时取得最值， 所以上式等号不同时成立，即()4()f x f x '>成立． (12)分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）对于21()(0)x f x x x-'=>，当01x <<时，()0f x '<； 当1x =时，()0f x '=，当1x >时，()0f x '>．∴()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞递增，故min (())()(1)1f x f x f ===极小值． ………………8分令211()()(0)h x f x x x x '==-+>，则323212()(0)xh x x x x x-'=-=>，当02x <<时，()0h x '>；当2x =时，()0h x '=；当2x >时，()0h x '<．∴()h x 在(0,2)上递增，在(2,)+∞递减， 故max 1(())()(2)4h x h x h ===极大值，即max 1(())(2)4f x f ''==， 即max (4())4(2)1f x f ''==．………………10分故()14()f x f x '≥≥，但()f x 与4()f x '不同时取得最值， 所以上式等号不同时成立，即()4()f x f x '>成立．………………12分22．解：（Ⅰ）证明：连接AB ，∵AC 是⊙1O 的切线，∴BAC D ∠=∠， ………………3分又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴AD ∥EC ． ………………5分（Ⅱ）设BP x =，PE y =，∵6PA =，2PC =，∴12xy =，① ………………6分∵AD ∥EC ，∴962DP AP x PE PC y +=⇒=， ∴39x y =-,②………………7分由①②可得，34x y =⎧⎨=⎩或⎩⎨⎧-=-=112y x （舍去）………8分∴916DE x y =++=， ∵AD 是⊙2O 的切线，∴2916AD DB DE =⋅=⨯， ………………9分 ∴12AD =. ………………10分23．解：（Ⅰ）由1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=， 所以1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． ………………3分由2cos sin ρθθ=得22cos sin ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．………5分 （Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为θα=， …………6分且tan k α=∈，联立2cos ,ρθθα=⎧⎨=⎩得1||2cos OA ρα==， ………………7分 联立2cos sin ,ρθθθα⎧=⎨=⎩得22sin ||cos OB αρα==， ………………9分所以122sin ||||2cos 2tan 2cos OA OB k αρρααα⋅=⋅=⋅==(2,∈，即||||OA OB ⋅的取值范围是(2,． ………………10分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的参数方程cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩其中t 为参数， 将cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩代入1C :2220x y x +-=，得22cos 0t t α-=， 设点A 对应的参数为A t ，则2cos A t α=， ………………7分同理，将cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩代入2y x =，得22sin cos t t αα=， 设点B 对应的参数为B t ，则2sin cos B t αα=， ………………9分 所以2sin ||||2cos 2tan 2cos A B OA OB t t k αααα⋅=⋅=⋅==，∵k ∈，∴||||OA OB ⋅的取值范围是(2,． ………………10分24. 解：（I ）当1a =时，()|1||21|f x x x =-+-，()2f x ≤⇒|1||21|2x x -+-≤，上述不等式可化为1,21122,x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,21212,x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,4.3x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ ………………3分 ∴102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， ∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤.………………5分 （II ）∵()|21|f x x ≤+的解集包含1[,1]2， ∴当1[,1]2x ∈时，不等式()|21|f x x ≤+恒成立， ………………6分 即|||21||21|x a x x -+-≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，∴||2121x a x x -+-≤+， 即||2x a -≤，∴22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，………………8分 ∴max min (2)(2)x a x -≤≤+， ∴512a -≤≤，所以实数a 的取值范围是5[1,]2-． ………………10分。
2020—2021年高考总复习数学(文)5月份高考调研试题及参考答案(精品试题).docx
年高三调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C． D．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．29．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣）∪（） B．（﹣]∪[） C．[] D．（）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：寿命（天）频数频率[100，200）20 0.10[200，300）30 y[300，400）70 0.35[400，500）x 0.15[500，600）50 0.25合计200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= ，y= ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为．17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n ＜．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b ﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E 是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n均成立．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集为R，集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x ≤5}，∁R B={x|x≤﹣1或x＞5}则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数z满足（3﹣4i）z=25，可得z===3+4i．对应点为：（3，4），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C． D．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=cos（﹣）=＞0，排除C，当cos（2x﹣）=0，得2x﹣=+kπ，即x=+，∵x∈[﹣，]，∴x=或﹣，排除A，B，故选：D【点评】本题主要考查三角函数图象的判断，根据三角函数的单调性是解决本题的关键．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，f（x）=x3是奇函数，在区间[﹣1，1]上是单调递增，不正确；对于B，f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不正确；对于C，f（﹣x）=ln=﹣f（x）是奇函数，∵=﹣1+在区间[﹣1，1]上是单调递减，∴f（x）=ln在区间[﹣1，1]上是单调递减，正确；对于D，f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，在区间[﹣1，1]上不是单调递减，不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是关键．5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的底面的面积是=2，由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是2，∴三棱锥的体积是=故选C．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面位置关系可得：l与α平行相交或l⊂α，即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出；③利用线面平行的判定定理可得：l∥m或为异面直线，即可判断出正误；④利用线线与线面位置关系即可判断出：可得l∥m、相交或为异面直线，进而判断出正误．【解答】解：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α不成立（m没有给出是平面内的任意一条直线），例如可能l⊂α，l∥α，l与α相交但是不垂直等；②若l⊥α，l∥m，由线面垂直的判定定理可得m⊥α，正确；③若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；④若l∥α，m∥α，则l∥m、相交或为异面直线．其中，正确命题的个数是1．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c===a，则有e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣）∪（） B．（﹣]∪[） C．[] D．（）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的最值，不等式有f（x1）≤g（x2）等价为有f（x）max≤g（x）min即可．【解答】解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+≤，当x＞1时，f（x）=﹣log3x＜0，则函数f（x）max=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|≥|k﹣x+x﹣1|=|k﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则|k﹣1|≥，即k﹣1≥或k﹣1≤﹣，即k≥或k≤，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，求出函数的最值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a的方程求得a值．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，∴a×1+2（a﹣1）=0，即a+2a﹣2=0，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是50π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，则a2+b2=25，b2+c2=34，c2+a2=41，得a2+b2+c2=50．于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=50．故外接球的表面积为S=4πR2=50π．故答案为：50π．【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能．．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为﹣【考点】程序框图．【专题】规律型；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出a值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始a=3，i=1；第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a=﹣2，i=6；…；∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2015，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期是关键．15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意可得（a，b）的所有结果共有36种，每种结果等可能出现，再利用列举法求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，∵关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根，∴△=a2﹣4b＞0，a=1时，不成立；a=2时，不成立；a=3时，b可以取1，2；a=4时，b可以取1，2，3；a=5时，b可以取1，2，3，4，5，6；a=6时，b可以取1，2，3，4，5，6．满足条件的基本事件个数m=17，∴关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率：p==．故答案为：．【点评】本题考查关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：寿命（天）频数频率[100，200）20 0.10[200，300）30 y[300，400）70 0.35[400，500）x 0.15[500，600）50 0.25合计200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= 30 ，y= 0.15 ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为 4 ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率=，利用频率分布列能求出x，y的值．（2）由频率分布表先求出x，再求出优等品、正品、次品的比例，从而能求出按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），由此能求出n的最小值．【解答】解：（1）由频率分布表得：x=200×0.15=30，y==0.15．故答案为：30，0.15．（2）由已知得x=200×0.15=30，∴由频率分布表得到：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品、次品的比例为50：100：50=1：2：1，∴按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），∴n的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查频率分布表中未知数的求法，考查按三个等级分层抽样所得的结果相同的n的最小值的求法，是基础题，解题时要注意频率分布表和分层抽样的性质的合理运用．17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．我们易得若函数在区间D上单调递增，则M应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x3﹣x2+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在{1，2]内f′（x）＞0，则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：．【点评】此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n ＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系：当n=1时，a1=S1，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，计算即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n=（﹣），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2；当n＞1时，由S n=n2+n，可得S n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1=n2﹣n，两式相减，可得a n=S n﹣S n﹣1=2n，综上可得a n=2n；（Ⅱ）b n==（﹣），前n项和为T n=（1﹣++﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+），由于（+）＞0，则T n＜成立．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意保留和消掉的项，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b ﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，运用三角形的面积公式可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）acosC=（2b﹣c）cosA，即为acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，∵B∈（0，π）∴sinB≠0∴cosA=，∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，∴△ABC的面积S=bcsinA=bc≥，∴当且仅当b=c=2时，S取得最大值，且为．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E 是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题意可得C1E∥FA，又E是棱A1A的中点，可得F 为棱CC1的中点，即可得解．（Ⅱ）由题意可证∠FAC=∠A1CC1，从而可求A1C⊥AF，证明AB⊥平面A1ACC1．即可证明A1C⊥AB，从而得证A1C⊥平面ABF．【解答】解：（Ⅰ）∵C1E∥平面ABF，C1E⊂平面A1ACC1，平面ABF∩平面A1ACC1=AF，∴C1E∥FA，∵E是棱A1A的中点，∴F为棱CC1的中点，∴=；…6分（Ⅱ）设AB=AC=a，则AA 1=，∵，∴∠FAC=∠A1CC1，∵∠A1CC1+∠A1CA=90°，∴∠FAC+∠A1CA=90°，∴A1C⊥AF，∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1．∵A1C⊂平面A1ACC1，∴AB⊥A1C．∴A1C⊥AB，A1C⊥AF，∴A1C⊥平面ABF．…13分．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n均成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a 的取值范围；（2）由（1）知，x＞0时，不等恒成立，则x＞0时，恒成立．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．【解答】解：（1）当a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+=f'（x）=0，解得x=或x=1因为x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）f'（x）=△=a2+12＞0，则方程3x2+ax﹣1=0有两个异号的实根，设这两个实根为x1，x2，且x1＜0＜x2．∴0＜x＜x2时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x2]上为减函数，f（x2）＜f（0）=0．∴a＜﹣2不符合要求．∴a的取值范围为[﹣2，+∞）．（3）证明：由（1）知，x＞0时，不等式﹣2lnx+恒成立，∴x＞0时，恒成立，令，得整理得：∴令k=1，2，3…，n，得…，将上述n个不等式的左右两边分别相加得，∴对一切正整数n均成立．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由于椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，检验m=0也成立；（3）由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|y M﹣y N|，化简整理，再令m+=t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．【解答】（1）解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，∴b=，c=a，a2﹣b2=c2，∴解得a2=3，b2=2，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，联立椭圆方程，消去x，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（，﹣），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），k MN=，直线MN的方程为y+=（x﹣），即为y=（x﹣1），令x﹣1=0，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点H，且为H（，0）当m=0，即有x=1，可得直线MN也过定点H；（3）解：由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|y M﹣y N|=（1﹣）•|﹣﹣|=2||=2||可令m+=t（t≥2），由于6t+的导数为6﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S==在[2，+∞）递减，即有t=2即m=1时，S 取得最大值，且为．则△FMN 面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
2020—2021年高考总复习数学(文)高三教学质量检测试题及参考答案(精品试题).docx
届高三年级教学质量检测试卷数 学（文）命题者：江浩丰 祝建丰 姚灵芝 审题者:徐金明 考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷.考试结束后，将答题卷上交. 2．试卷共4页，三大题，共20小题.满分150分，考试时间120分钟.3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效. 参考公式：球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高试卷Ⅰ一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的．） 1.设集合{}245A y y x x ==-+，集合{}210B x x=-=，则A B =I （▲）.A {}1-.B {}1.C {}1,1,5-.D ∅2.设3p x <：，13q x -<<：，则p 是q 成立的（▲） .A 充分必要条件 .B 充分不必要条件 .C 必要不充分条件 .D不充分不必要条件3.已知直线()12:20,:62160l mx y l x m y +-=+--=，若12//l l ，则实数m 的值是（▲）.A 32-.B 2.C 322-或.D 322或- 4.设函数21log (2),1()2,1xx x f x x +-<⎧=⎨≥⎩ ，则2(6)(log 3)f f --=（▲）.A 1 .B 7 .C 1- .D 2 5.已知,a b r r是任意的两个向量,则下列关系式中不．恒成立的是（▲） .A a b a b+≥-r r r r.B a b a b⋅≤⋅r r r r.C ()2222a ba ab b -=-⋅+r r r r r r.D ()3322333a ba ab a b b -=-⋅+⋅-r r r r r r r r6. 设1F ，2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()()0OP OF OP OF +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r（O 为坐标原点），且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（▲）A ．322+ B ．32+ C ．362+ D ．36+7．已知集合{})(),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈),(11,存在M y x ∈),(22,使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合: ①{}(,)lg M x y y x ==②{}(,)cos sin M x y y x x ==+③1(,)M x y y x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭ ④{}(,)3x M x y y e ==-其中是“Ω集合” 的所有序号是（▲）.A ②③.B②④ .C ①②④ .D ①③④8．如图，已知棱长为4的正方体''''ABCD A B C D -，M 是正方形''BB C C 的中心，P 是''ACD ∆内（包括边界）的动点，满足PM PD =,则点P 的轨迹长度是（▲）A ．112B ．142C ． 11D ．14第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空每小题6分，单空每小题4分，共36分．把正确答案填在答题卡中的横线上．） 9. 若sin()6πα-=45-，则cos()3πα+= ▲ ；cos(2)3πα-= ▲ .10．已知某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是▲ ； 表面积是 ▲ ．11．若实数,x y 满足不等式组20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则；z y x =-最小值是▲ ．4xz y =+的最大值是 ▲ 12.已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122ab⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ▲ ；221aba +的最大值是 ▲ . 13.若ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ,且20,||||OA AB AC OA AB ++==u u u v u u u v u u u v v u u u v u u u v,则CA CB ⋅u u u v u u u v= ▲ .14.已知,b c ∈R 二次函数2()2f x x bx c =++在区间()1,5上有两个不同的零点，则()()15f f ⋅ 的取值范围__▲ _. 15. 定义(,),(2a b a bM a b a b ++-=∈、R)已知数列{}n a 满足()120,1a a a a =>=，12*2(,2)()n n nM a a n a ++=∈N 若201520163a a a -=，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）已知2()3sin cos cos f x x x x =⋅+（I ） 试求函数()f x 的单调递增区间；（II ）△ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3()2f C =求223(3)4ABCc ab b S ++V 的最小值.17．（本题满分15分）在数列{}n a 中，11a =，11*20()n n n n a a a a n +++-=∈N（I ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式;（II ）若()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数t 的取值范围.18. (本题满分15分) 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD，AB BC⊥，侧面PAB ABCD ⊥底面，3PA AD ==，6BC =,33PB =（I ）若PC 中点为E ，求证：//DE PAB 平面；（II ）若60o PAB ∠=，求直线DC 与平面PAB 成角的余弦值．19. (本题满分15分)如图，过抛物线24x y =的对称轴上一点()()0,0P m m >作直线1l ，1l 与抛物线交于,A B 两点.（I ）若0OA OB ⋅<u u u r u u u r(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；（II ）过点P 且与1l 垂直的直线2l 与抛物线交于C,D 两点, 设AB CD 、的中点分别为M N 、 求证：直线MN 必过定点,并求出该定点坐标（用m 表示）.20. (本题满分15分)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，,,a b c ∈R （I ）当1a =时， ()0f x <的解集与不等式112x >-的解集相同，求函数()f x 的解析式；（II ）若1x ≤,1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围；（III ）在（II ）条件下若b ax x g +=λ)( )1(>λ,求证：当1≤x 时，λ2)(≤x g ．数 学（文）参考答案一、 选择题1.B2.C3.A4.A5.D6. D7. B8.D 二、填空题9.45;725- 10．23; 323++ 11. 4- ; 1 12．16;314- 13.3 14. ()0,16; 15.7255三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.解：（I ）21()3sin cos cos sin(2)62f x x x x x π=⋅+=++Q222262k x k πππππ∴-+≤+≤+36k x k ππππ∴-+≤≤+()f x ∴的单调递减区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ (7)分 （II ）13()sin(2),sin(2)122,622662f C C C C k k Zπππππ=++=∴+=∴+=+∈Q ，,0,.66C k k Z C C ππππ∴=+∈<<∴=Q222234(13)3(3)43(13)5334ABC a b ab c ab b a b S ab b a ⎡⎤++-++⎡⎤⎣⎦==++-≥-⎢⎥⎣⎦V ，当且仅当2a b =时，取等号 . ………………………………………………14分17．解：（I ）由()11302n n n n a a a a n --+-=≥得：()11122n n n a a --=≥……3分又111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2等差数列∴112(1)21n n n a =+-=-，即：121n a n =-…………………..6分（II ）法1:∵()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，即11102121t n n ⎛⎫-≥⎪+-⎝⎭恒成立∴2412(1)n t n -≤-对任意2n ≥的整数恒成立 (8)分设()24122(1)n n c n n -=≥-，则221222232232311222n n c n n n n n n c n n n n n n++--+--====+>--- ∴当2n ≥时，{}n c 为递增数列……………………………………………….12分∴2152n c c ≥=所以t 的取值范围为：15(,]2-∞ (15)分法2∵()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，即11102121t n n ⎛⎫-≥ ⎪+-⎝⎭恒成立∴2412(1)n t n -≤-对任意2n ≥的整数恒成立令1,n m -=∴248332422m m t m m m++≤=++ 令()3242f m m m =++∵()*322,,+2m m N f m ⎛⎫≥∈∞ ⎪ ⎪⎝⎭在，单调递增 ∴()()min 1512t f m f ≤==所以t 的取值范围为：15(,]2-∞18证明（I ）取PB 的中点F ，连结AF ，EF∴//EF AD 且EF AD =，∴ADEF 为平行四边形。
2020—2021年高考总复习数学(文)毕业班学习质量检测试题及参考答案(精品试题).docx
届高三质量检测 文 科 数 学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内表示复数z ＝cos2＋i sin3的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{3，22log (3)a a ＋}，B ＝{a ，b}，若A∩B ＝{2}，则集合A ∪B 的所有元素的和等于 A ．1 B ．5 C ．6 D ．1或63．执行如图所示的程序框图，输出c 的结果是A ．13B ．21C ．17D ．154．已知直线ax －by ＋c ＝0（abc ≠0）与圆O ：221x y ＋＝相离，且｜a ｜＋｜b ｜＞｜c ｜，则以｜a ｜，｜b ｜，｜c ｜为边长 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在5．从六个数1，3，4，6，7，9中任取4个数，则这四个数的平均数是5的概率为 A ．120B ．115 C ．15 D ．166．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．2B ．3C ．163D ．67．已知点A （1，1），B （2，1），C （1，2），若λ∈[－1，2]，μ∈[2，3]，则｜λAB uu u r＋μAC uuu r ｜的取值范围是 A ．[2，10] B ．[5，13]C ．[1，5]D ．[2，13]8．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y－1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相 交于点M ，则｜MP ｜2＋｜MQ ｜2的值为 A ．102B ．10C ．5D ．109．将函数y ＝4cos x ＋2sin x －78（x ∈R ）图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值为A ．8π B ．6π C ．4π D ．3π10．已知一个实心铁质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形，俯视图是半径为3 的圆，将3个这样的几何体熔成一个实心正方体，则正方体的表面积为A．54323πB．5433πC．543212πD．54312π11．已知函数y＝sin xx在（0，π）上是A．增函数B．减函数C．既是增函数又是偶函数D．既是减函数又是偶函数12．已知双曲线22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，c是半焦距，P是双曲线上异于顶点的点，满足ctan∠PF1F2＝atan ∠PF2F1则双曲线的离心率e的取值范围是A．（1，1＋2）B．（2，1＋2）C．（1＋2，1＋3）D．（1＋2，＋∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知命题p：若2x－1＞0，则x＞1，命题q：若2x－1＞0，则x ＜－1，写出命题p∨q为________．14．已知实数x ，y满足约束条件36020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥－－≤≤3，则变量z ＝x ＋y 的取值范围为____________． 15．已知函数f （x ）＝122log 020x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ＞－－ ≤，则不等式f （x ）≤0的解集为____________． 16．已知函数f （x ）＝22ln ()x x m x＋－，若存在x ∈[1，2]，使得()f x x '＋()f x ＞0，则实数m 的取值范围是___________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，满足2n S ＋n a ＝2n ＋2n ＋2 n ∈N ﹡，数列{n b }满足n b ＝n a －n ．（Ⅰ）求数列{n b }的通项公式； （Ⅱ）求数列{n n b }的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC＝PA ＝2，∠BAC ＝90°，D ，E 分别为AB ，PC 的中点，BF ＝2FC ．（Ⅰ）求证：PD ∥平面AEF ；（Ⅱ）求几何体P－AEF的体积19．（本小题满分12分）某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机数表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如下表．（Ⅰ）将学生编号为：001，002，003，……，499，500，若从第5行第5列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机用表的第4行至第7行）12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 3016 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76（Ⅱ）若数学的优秀率为35％，求m ，n 的值．（Ⅲ）在语文成绩为良的学生中，已知m ≥13，n ≥11，求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率．20．（本小题满分12分）已知F 是抛物线C ：2y px ＝2（p ＞0）的焦点，⊙M 过坐标原点和F点，且圆心M 到抛物线C 的准线距离为32．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知抛物线C 上的点N(s ，4)，过N 作抛物线C 的两条互相垂直的弦NA 和NB ， 判断直线AB 是否过定点?并说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝12ln x xe e x x－＋，x ＞0．（Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）函数g （x ）＝()x x f x e ，求证：g （x ）＞xxe 对x ＞0恒成立．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点P 的直线交圆O 于A ，B 两点， PE 是圆O 的切线，CP 平分∠APE ，分别与AE ，BE 交于点C ，D ． （Ⅰ）CE ＝DE ； （Ⅱ）CA CE＝PE PB．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xOy 中，曲线C 上的点M 满足：M 到原点O 的距离与M 到直线y ＝－p （p ＞0）的距离之比为常数e （e ＞0），直线l ：ρ＝4cos sin θθ－2．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程，并说明曲线C 的形状；（Ⅱ）当e ＝1，p ＝1时，M ，N 分别为曲线C 与直线l 上的两上动点，求｜MN ｜的最小值及此时M 点的坐标．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜x ＋3｜－m ＋1，m ＞0，f （x －3）≥0的解集为（－∞，－2]∪[2， ＋∞）．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若x ∃∈R ，f （x ）≥｜2x －1｜－2t ＋52t 成立，求实数t 的取值范围。
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最新度第二学期高三年级学业质量调研
数学文
一、填空题 1.函数2
()x f x +=
的定义域为. 2.已知线性方程组的增广矩阵为11334a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫
⎪⎝⎭
，则实数a =.
3.计算2123lim
1
n n n →∞+++++L =. 4.若向量a r 、b r 满足||1,||2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为π
3
，则||a b +=r r .
5.若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||
z z i
+的虚部为.
6.61
()x x
-的展开式中，常数项为.
7.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a c b a c a
b
b
--=
，则角C 的
大小是.
8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为.
9.已知变量,x y 满足530,0x y x y x y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥≥⎩
，则23x y +的最大值为.
10.已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如右图所示，则其左视图的面积是.
11.已知双曲线2
2
14
y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=u u u u r u u u r ，则||
||
PM PF =u u u u r
u u u r . 12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有.（用数字作答） 13.若关于x 的方程54
(5)|4|x x m x x
+--
=在(0,)+∞内恰有四个相异实根，则实数m 的取值范围为.
14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内
挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：
已知椭圆的标准方程为22
1425
x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），
其体积等于.
二、选择题
15.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）
A.||
2x y = B.ln y x = C.13
y x = D.1y x x
=+ 16.已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“π
3
α<
”是“3k < ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
17.设x ,y ,z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A.22
11
x x x x
+
+≥ 312x x x x +++C.1
||2x y x y
-+
-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤ 18.空间中n 条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n 至多等于
A 、2 B.3 C.4 D.5 三、解答题
19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，11
12
AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.
(1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.
20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB (假设OM 、ON 这两面墙都足够长).已知|PA |=|PB |=10 (米),π
4
AOP BOP ∠=∠=
,OAP OBP ∠=∠.设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S . (1)将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； (2)求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.
21.已知函数2()log (21)x
f x ax =++，其中a ∈R .
(1)当a ＝－
1
2
时，求证：函数()f x 是偶函数； (2)已知a >0，函数()f x 的反函数为1
()f x -，若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为
21log 3+，求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值.
22、已知数列{}n a 和{}n b 满足：12a =，1(1)(1),n n na n a n n n +=+++∈*
N ,且对一切n ∈*N ,
均有
12n
a n b
b b =L . (1)求证：数列{
}n
a n
为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和n S ； (3)设()n n
n n n
a b c n a b -=
∈*N ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求正整数k ，使得对任意n ∈*N ，均有k n T T ≥
23.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距
为F 与短轴的两个端点组成一个正
三角形.若直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y ，且在椭圆C 上存在点M ，使得：
3455
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r
（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；
(3)求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H .
19、（1）证明：因为直三棱柱111ABC A B C -中，CC 1⊥平面ABC ，所以，CC 1⊥BC ， 又底面ABC 是直角三角形，且AC ＝BC ＝1，所以AC ⊥BC ， 又1AC CC I ＝C ，所以，BC ⊥平面ACC 1A 1，所以，BC ⊥DC 1 （2）11C BDC B CDC V V --=
＝1112113
23
⨯⨯⨯⨯=
20（1）在三角POB 中，由正弦定理，得：
10
3sin()sin
44
OB ππθ=
-，得OB ＝10（cos sin θθ+） 所以，S ＝121010(cos sin )sin 2
θθθ⨯⨯⨯+＝2
100(sin cos sin )θθθ+，
（2）S ＝2100(sin cos sin )θθθ+＝2
50(2sin cos 2sin )θθθ+
＝50(sin 2cos 21)θθ-+＝502)504
π
θ-
+
所以，
21、（1）当a ＝－
12时，21
()log (21)2
x f x x =-++，定义域为R ， 21()log (21)2
x
f x x --=++2112lo
g ()22x x x +=+
＝
221log (21)log 22x x x ++-＝21
log (21)2
x x -++＝()f x ，偶函数。
22、（1）证明：由1(1)(1),n n na n a n n n +=+++∈*
N ，两边除以(1)n n +，得
111n n a a n n +=++，即111n n a a
n n
+-=+， 所以，数列{}n a
n
为等差数列
2(1)11n
a n n n
=+-⨯=+，所以，(1)n a n n =+
23、（1）223c =，所以3c =，
又右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，所以，2a b = 因为2
2
2
a b c =+，解得：2,1a b ==，
所以，椭圆方程为：2
24
x y +＝1。