运筹学灵敏度分析目标规划

3.灵敏度分析
例3.7:
例3.4增加3x1+ 2x2≤15，原最优解不 满足这个约束。于是
Ci
2 3000 0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0 0 0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0 1
-z
m
f
0
…
m
0
σm+1 … σn
其中：f = -∑ ci bi’ j = cj -∑ ci aij’ 为检验数。 向量 b’ = B-1 b
i=1
i=1
A= [ p1, p2, …, pn ], pj’ = B-1 pj, pj’ = ( a1j’ , a2j’ , … , amj’ )T ， j = m+1, … , n
4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中 只需找出满意解就可以。
目标规划问题及其数学模型
目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的 局限性？
1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
偏差变量用下列符号表示： d+——超出目标的偏差，称正偏差变量 d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量
填入最优单纯形表，若 j ≤ 0 则最 优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。 （例子从略）
Chapter5 目标规划
( Goal programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解分析法 求解 方法 目标规划应用举例
目标规划问题及其数学模型
问题的提出：
目标规划是在线性规划的基础上，为适应 经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步 发展起来的一个分支。
例: Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4
= -3
- 2x1 + x2 - 3x3
+ x5 = - 4
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
3.灵敏度分析
进一步理解最优单纯性表中各元素的含义 考虑问题
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
例3.3:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
3.灵敏度分析
例：最优单纯形表
CI CB -3
-2
XB b
X2 2/5 X1 11/5 σ j
-2 X1 0 1 0
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1、b2、b3 的单一变化 因此，设 b1 增加 4，则 x1 ,x5 ,x2
分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解，可得：
x* = ( 4, 3, 2, 0, 0 )T f* = 17
3.灵敏度分析
-3 X2 1 0 0
-4 0 0 X3 X4 X5 -1/5 -2/5 1/5 7/5 -1/5 -2/5 -9/5 -8/5 -1/5
C I
C B -3 -2
X B b X 2 2/5 X 1 11/5 σ j
-2
X 1 0 1 0
-3 -4+ Δ c3 0 0
X 2 1
X 3 X 4 X 5 -1/5 -2/5 1/5
3.灵敏度分析
右端项 b 发生变化
设分量 br 变化为 br + br ，根据
第1章的讨论，最优解的基变量 xB = B-1b，
那么只要保持 B-1(b + b) ≥ 0 ，则最优 基不变，即基变量保持，只有值的变化； 否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。 对于问题 (LP) Max z = cT x
例3.5:
上例最优单纯形表如下
Ci
23 0
CB XB B X1 X2 X3
2 X1 4 1 0 0
0 X5 4 0 0 -2
3 X2 2 0 1 1/2
σj
0 0 -1.5
00 X4 X5 1/4 0 1/2 1 -1/8 0 -1/8 0
3.灵敏度分析
0 0.25 0
这里 B-1 = -2 0.5 1
3.灵敏度分析
增加一个约束
增加约束一个之后，应把最优解带 入新的约束，若满足则最优解不变，否则 填入最优单纯形表作为新的一行，引入一 个新的非负变量（原约束若是小于等于形 式可引入非负松弛变量，否则引入非负人 工变量），并通过矩阵行变换把对应基变 量的元素变为0，进一步用单纯形法或对 偶单纯形法求解。
s.t. Ax ≤ b x ≥0
3.灵敏度分析
最优单纯形表中含有
B-1=( aij ）i=1,…,m; j=n+1,…,n+m
那么
新的xi=(B-1b)i+brair i=1,…, m 。
由此可得，最优基不变的条件是
Max {-bi/airair>0}≤br≤ Min{-bi/airair<0}
3.灵敏度分析
增加一个变量
增加变量 xn+1 则有相应的pn+1 ,cn+1
那么
计算出B-1pn+1 , n+1=cn+1-∑cri ari n+1
填入最优单纯形表,
若 n+1 ≤ 0 则 最优解不变；
否则，进一步用单纯形法求解。
3.灵敏度分析
例3.6: 例3.4增加x6 , p6=( 2, 6, 3 )T, c6=5
j =1,2,……,n
i=1
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ck k’= ck + ck -∑cri arik = k+ ck 只要 k’≤ 0 ,即 ck ≤ - k ，则
最优解不变；否则，将最优单纯形表
中的检验数 k 用 k’取代，继续单
纯形法的表格计算。
3 000
5
CB XB b
X1
X2
X3 X4
X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0 1.5
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 [2]
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 0.25
σj
0 0 -1.5 -1/8 0 1.25
用单纯形法进一步求解，可得：
x* = ( 1,1.5,0,0,0,2 )T f* = 16.5
a21x1 + a2...2x2 + … + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
3、灵敏度分析
无防设，xj = 0 j = m+1, … , n ; xi = bi’ i = 1 , … , m 是基本可行解, 对 应的目标函数典式为：z = -f + m+1xm+1+…+ nxn
不加班。
要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
目标规划问题及其数学模型
线性规划模型存在的局限性：
1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实 际问题中并非所有约束都需要严格满足。
2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中， 目标和约束可以相互转化。
3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要 地位，但现实问题中，各目标的重要性即有 层次上的差别，同一层次中又可以有权重上 的区分。
正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
故恒有d+×d-=0
目标规划问题及其数学模型
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
3.灵敏度分析
例: 下表为最优单纯形表,考虑
基变量系数c2发生变化
Ci
2
3
CB
XB
B
X1
X2
2
X1
4
1
0
0
X5
4
0
0
3
X2
2
0
1
σ j
0
0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5
由于现代化企业内专业分工越来越细，组 织机构日益复杂，为了统一协调企业各部门围 绕一个整体的目标工作，产生了目标管理这种 先进的管理技术。目标规划是实行目标管理的 有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这 些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况， 分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标 的差距为最小。
运筹学
灵敏度分析
2、线性规划问题的进一步研究（2.3）
价值系数C发生变化：
考虑检验数
m
j = cj -∑ ci r=i 1arij
j = 1,2,……,n
1、若 ck 是非基变量的系数： 设 ck 变化为 ck + ck k’= ck + ck -∑ cri arik = k+ ck 只要 k’≤ 0 ，即 ck ≤ - k ，则最优解不变；否则，将最优单纯形 表中的检验数 k 用 k’取代，继续单纯形法的表格计算。