高中数学 2.4 等比数列阅读材料—等比数列素材 新人教版必修5

等比数列

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如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q≠0). 注：q=1时，{a n }为常数列.

简介与公式

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometric sequence).这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0). 注：q=1时，{a n }为常数列.

（1）等比数列的通项公式是：a n =a 1q

n －1

等比数列通项公式 若通项公式变形为a n =1a q

·q n (n ∈N *),当q>0时，则可把a n 看作自变量n 的函数，点(n,a n )是曲线y=1a q

·q n 上的一群孤立的点. （2）求和公式：S n =na 1(q=1).

S n =a 1(1-q n

)/(1-q)

=(a 1-a 1q n )/(1-q)

=(a 1-a n q)/(1-q)

=a 1/(1-q)-[a 1/(1-q)]·q n . 1n n n 1a a q S 1q

a (1q )=(q 1).1q -=

--≠-

任意两项a m ，a n 的关系为a n =a m ·q n-m ；在运用等比数列的前n 项和时，一定要注意讨论公比q 是否为1.

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：

a 1·a n =a 2·a n-1=a 3·a n-2=…=a k ·a n-k+1，k ∈{1,2,…，n}.

（4）等比中项：a q ·a p =a r 2，a r 则为a p ，a q 的等比中项.

记πn =a 1·a 2…a n ，则有π2n-1=a n 2n-1，π2n+1=2n 1

n 1a ++. 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任意一个正数C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂n a

C ，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一

个正项等比数列与等差数列是“同构”的.

等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.

等比中项公式：n n 1n 1n

a a a a +-=或者a n-1·a n+1=a n 2. （5）无穷递缩等比数列各项和公式：

无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n 无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和.

(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比：

{a n }是公比为q 的等比数列.

①若A=a 1+a 2+…+a n ，

B=a n+1+…+a 2n ，

C=a 2n+1+…+a 3n ，

则A ，B ，C 构成新的等比数列，公比Q=q n .

②若A=a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2，

B=a 2+a 5+a 8+…+a 3n-1，

C=a 3+a 6+a 9+…+a 3n ，

则A ，B ，C 构成新的等比数列，公比Q=q.

性质

（1）若m ，n ，p ，q ∈N *，且m+n=p+q ，则a m ·a n =a p ·a q .

（2）在等比数列中，依次每 k 项之和仍成等比数列.

（3）“G 是a ，b 的等比中项”“G 2=ab （G≠0）”.

（4）若{a n }是等比数列，公比为q 1，{b n }也是等比数列，公比是q 2，则

{a 2n }，{a 3n }…是等比数列，公比为q 12，q 13…

{ca n }，c 是常数，{a n ·b n }，{n n a b }是等比数列，公比分别为q 1，q 1q 2，12

q q . （5）等比数列中，连续的、等长的、间隔相等的片段和为等比数列.

（6）若{a n }为等比数列且各项为正，公比为q ，则log 以a 为底a n 的对数成等差数列，公差为以a 为底q 的对数.

（7）等比数列前n 项之和S n =a 1(1-q n )/(1-q)=a 1(q n

-1)/(q-1)=

a 1q n /(q-1)-a 1/(q-1).

注意：上述公式中q n 表示q 的n 次方.

（8）由于首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式可以写成a n ·q/a 1= q n ，与它的指数函数y=a x 有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.

求通项公式的方法

（1）待定系数法：已知a n+1=2a n +3，a 1=1，求a n .

构造等比数列a n+1+x=2（a n +x ）.

a n+1=2a n +x ，∵a n+1=2a n +3，∴x=3.

所以n 1n a 3a 3

+++=2. ∴{a n +3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以，a n +3=（a 1+3）·q n-1=4·2n-1,a n =2n+1-3.

(2) 定义法：已知S n =a·2n +b,求a n 的通项公式.

∵S n =a·2n +b ，∴S n-1=a·2n-1+b ，

∴a n =S n -S n-1=a·2n-1（n ≥2）.

应用

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式—复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金·(1+利率)存期.