工程电磁场第二章静电场二共9页
电磁场理论第2章：静电场
E
电位的单位是伏(V)， 因此电场强度的单位是伏/米(V/m) 。
第二章
静电场
(周学时2节）
体分布的电荷在场点r处的电位为:
(r )
1 4 0
(r ' )
r r'
V
dV '
(r )
(r )
1 4 0
1 4 0
l (r ' )
r r'
dl'
第二章
静电场
(周学时2节）
例 2 - 1 一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。 解： 取坐标系如图 2 - 2，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐
标原点重合，设电荷线密度为ρl 。
图 2 -2 例 2 - 1 用图
第二章
静电场
(周学时2节）
r ze z r ' a cose x a sin e y r r' (z a )
R P( r , )dV ' r r ' d 3 3 4 0 R 4 0 r r'
整个极化介质产生的电位是上式的积分：
p
(r )
1 4 0
P(r ' ) (r r' ) r r'
3
V
dV '
第二章
静电场
(周学时2节）
1 4 0
若其中的电量为Δq，则电荷体密度为
q dq lim V 0 V dV
其单位是库/米3(C/m3)。这里的ΔV趋于零，是指相对于宏观尺度 而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是 相对于微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒 子， 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。
工程电磁场第二章
29
R远大于d
电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规律有明显不同。点电荷 的电位与R成反比，而电偶极子的电位与R2成反比。
30
31
3.电偶极子的电场强度 在球坐标系中，电偶极子的电场强度
32
33
2 .5导体和电介质 1. 静电场中的导体 在静电平衡条件下，导体内部电位的梯度为零，导体内部电位各处相等，即导 体是一个等电位体，导体表面是一个等位面。导体外表面电场强度只有法向分量， 其切向分量为零，即导体外表面上电场强度的方向与外表面垂直。
2.电位与电场强度的关系 由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分的运算
由电场强度计算电位，是相反的运算，也就是求积分的运算。考虑电场强度的线积分
Q点电位已知
Q点为参考电位， 且=0，则
这就是说，P点的电位等于电 场强度从P点到参考点的线积 分。电场强度是单位电荷受 到的电场力。所以，P点的电 位表示将单位电荷从P点移动 到参考点，电场力所做的功。 电位和电压的单位是伏，V。
体密度
电荷元产生的电场强度与点 电荷相同，是一个无穷小的 量，积分可得整个源区所有 电荷产生的电场强度
5
线电荷、面电荷、体电 荷产生的电场强度
例2-1-1真空中长度为2l的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。求线段外任一点P的 电场强度。 解 根据对称性分析，采用柱坐标系分析比较方便。
坐标的源点位于线段的中心，z轴与线段重合。场点P 的坐标为（r, α, z），取电荷元τdz’，源点坐标为 （0, α’, z’）
可见，R与(x, y, z) 和(x`, y`, z`)都有关系。当源点不变，场点变化时， 的梯度表示为 。当场点不变，源点变化时， 的梯度表示为
第二章恒定电场-工程电磁场导论-冯慈章课件
一、电源电动势与局外场强
电源是一种将其它能量转换成电能的装置； 局外力： f e
局外场强：Ee
方向由电源负极指向正 极
电源电动势： Ee dl
l
库仑场强：E
方向由电源正极指向负 极
Engineering electrical magnetic field
二、恒定电场
导电媒质中的恒定电场； 通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的 恒定电场。
J1 J 2 J I / S E1 E2 J / p1 p2 P p1Sd , P2 p2 S 2d 1 P2 2 P 1
图2-4 平行板电容器的电场 功率的一个计算例子
2.2电源电动势与局外场强
Engineering electrical magnetic field
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4. 元电流段的概念 元电流是元电荷dq以速度 v 运动形成的电流
C m s A m
νdV (体电流元) JdV
dq
νdS (面电流元） KdS νdl (线电流元） Idl
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm’s Law)
dq I dt
2.1.2 电流密度（Current Density)
1. 电流面密度 J 体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 电流
J v
I J dS
S
J的大小 垂直于电流方向的平面 里，单位面积上通过 的电流强度。
A m2 J的方向与电流方向相同 ；
J2
en 2
2
1
1 J1
静电场2
理论上，当场源电荷分布在有限区域内时，通常选取无 穷远处为电势能的零点。 电荷 在电场中 a点的电势能 零电势能的位置也可任 意选取,若取 则
即： 在a点的电势能, 等于将 场力所做的功。 从a点移至电势能零点,电
4、电势和电势差
电荷
但比值
在电场中a 点的电势能
与 无关
与
及
有关。
定义：a 点的电势
静电场的环流定理
静电场中, 场强沿任意闭合回路的线积分的值等于零，静 电场的重要性质之一。
静电场力是保守力，静电场是保守力场。 3、电势能 W
静电场力是保守力，可以引入电势能W。电场力的功等于 电势能增量的负值，即
式中
电势能。
分别为q0在 a 点和 b 点的
注意：
* 电势能是属于系统的； * 电势能是个相对量。
第6章
电 势
Electric Potential
§6-3 电势和电势差
1、静电场力的功
试验电荷 在 算电场力的功
的电场中从a点经任意路径移到b点,计 在ab上任取位移元 在 上的元功 ,
从a到b电场力的总功
静电场力是保守力 电场力做功与路径无关,只与始末位置有关。 2、静电场的环路定理
电场力做功与路径无关,用数学式子表示为 所以
② 写出 在场点产生的电势
③ 整个带电体在场点的电势
上述积分是标量积分，故电势的计算较电场的计算容易。
例1 求长度为L，带电量为
q 的均匀带电直线延长线上一点 P
的电势。
解：
取导线左端为原点, 建坐标如图 在x处取电荷元 , dq 在P点产生的电势
整条导线在P点的电势
例2 均匀带电圆环，带电量为
点电荷系产生的静电场中任一点(P点)的电势
工程电磁场第二章静电场二精品文档8页
第2章 静电场(二)2.1 静电场的唯一性定理及其应用静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。
静电场求解方法：(1) 直接由电场强度公式计算；(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。
唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。
2.1.1 唯一性定理静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。
2.1.2 导体边界时，边界条件的分类(1) 自然边界条件：有限值参考点=∞→ϕr r lim(相当于指定电位参考点的值)(2) 边界衔接条件：σϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=nn 221121 (该条件主要用于求解区域内部)(3) 导体表面边界条件(a) 给定各导体表面的电位值。
(第一类边界条件)(b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。
该条件相当于给定了第二类边界条件。
在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。
Sn ∂∂-=ϕεσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。
相当于给定了第三类边界条件。
思考？为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。
条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。
2.1.3 静电场唯一性定理的意义唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4 等位面法1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。
2 等位面法成立的理论解释：等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：(1)边界k 的等位性不变；(2)边界k 内的总电荷量不变。
(相当于给定了第二类边界条件)3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。
精选工程电磁场——静电场——第2讲资料
V
V
有 D dS q 高斯定律的积分形式（一般形式） S
第一章
构成方程
D 0E P
静电场
在各向同性介质中 P 0 e E D 0E P 0E e0E r0E E
其中 r 1 e —相对介电常数，无量纲量。
0r —介电常数 F/m
图 介质分界面
根据 E dl 0 l
则有 E1tl1 E2tl1 0
E2t E1t E 的切向分量连续。
第一章
2. D 的衔接条件
静电场
包围点 P 作高斯面 ( L 0)。
图 介质分界面
根据 D dS q S
则有 D1nS D2nS S
在电场作用下，自由电荷可以在导体内部自由运动；
运动结束时，到达静电平衡状态。
达到静电平衡后：
导体内电场强度 E 为零，静电平衡；
导体是等位体，导体表面为等位面；
电场强度垂直于导体表面; 电荷分布在导体表面。
第一章
同轴电缆的电场应该是什么样？
静电场
图 同轴电缆
第一章
静电场
图 同轴电缆的电场分布
第一章
1
4π 0
V
'
P(r') eR R2
dV
'
第一章 图 电偶极矩产生的电位
静电场
1
4π 0
V
'
P(r') eR R2
dV
'
eR R2
' 1 R
1 R
1 P(r') ' 1 dV '
4π 0 V '
第02章静电场(1)优秀课件
静电场特性的进一步认识：
（1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正 负电荷的总和。 （2）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。
（3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中 的静电场和重力场一样，它是一种保守场。
（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度， 或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电 场强度等三种计算静电场的方法。
按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为
E
将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为
E(r) V
4π(r0)r(rrr3)dV
若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么
可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别
为
(r)4π10
S(r)dS
自由空间中静电场的电场强度的环量处处为零，因此其电场 线是不可能闭合的，否则沿一条闭合电场线的电场强度的线积 分会因电场强度E与线元dl的方向处处一致而使环量不为零。由 此可以证明，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。
自由空间中的静电场是保守场。
例1 计算点电荷的电场强度。
点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的 结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的 电场强度一定与球坐标的方位角及无关。
(r) q 4π0r
求得电场强度 E 为
E 4 π q 0 1 r 4 π q 0 r 2e r 4 π q r 0 r 3
若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度E为
EV 4π (r0 )re2 rdV4πq0r2er
武汉工程大学工程电磁场第2章 静电场(二)
D 2 2 2 2 x0 R0 x0 R0 2
2
x0 －x0 d
2 R 0 R0 d x0 2d
静电场的唯一性定理及其应用
第二种情形：设封闭导体壳的内 表面为S2，对于壳内区域而言它是 一个边界面。首先，S2是一个等位 面。其次，如在壳内紧贴S2作一高 斯面S，则有
S n dS q1
（电位移矢量 D 的通量为q1）
以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅 决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯 一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可 以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外 电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。
2.1
静电场的唯一性定理及其应用
1、唯一性定理
唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件 给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉 普拉斯方程的解是唯一的。
◇ 可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理 ◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论 依据。
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
E
0
h
R'
q
q 1 1 4 0 R R '
电磁场与电磁波 第2章静电场
如果是一个闭合路径，则W=0 电场强度的环路线积分恒为零，即
应用斯托克斯定理
因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义
单位正实验电荷在电场中移动电场力做功
两点间的电位差定义为两点间的电压U，即
单位：V
电位函数不唯一确定，取
故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为 通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的电位为
在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
D 1 n D 2 n 1 E 1 c1 o 2 E s 2 c2 os
E 1 t E 2 t E 1 si1 n E 2 si2n
图2.3.3 分界面上E线的折射
t电位函数 表示分界面上的衔接条件
Ax Ay Az
对应静电场的基本方程 E 0 ，矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?
2.3.2 分界面上的边界条件
1、 电位移矢量D的衔接条件 以分界面上点P作为观察点，作一
小扁圆柱高斯面（ L 0）。
图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律
根据 DdSq
V ' P d ' V S 'P e n d ' S 0
• 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 p 0。
• 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为
(r) 4 1 0 V '( r f r 'p )d' V S '( r f r 'p )d' S E (r ) 4 1 0 V '( f r p r )'3 r( r ')d' V S '( f r p r ) '3 r( r ')d' S
工程电磁场__课后答案(王泽忠_全玉生_卢斌先_著)_清华大学出版社课后题解
第二章 静电场 (注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑） 2-1 在边长为 a 的正方形四角顶点上放置电荷量为 q 的点电荷， 在正方形几何中心处放置电 荷量为 Q 的点电荷。问 Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。 解 如图建立坐标系，可得
2 1 2 1 q 1 Q 2 + e x + × × × ex 2 2 πε 4πε 0 2 4 2 2 / 2 a a a 0 q 1 2 1 Q 2 1 2 + e y + Eyey = × × × ey 2 2 4πε 0 2 4 πε 2 a 2 a a / 2 0 2 2 + Q 据题设条件，令 q1 + = 0， 4 2 q 解得 Q = − 1 + 2 2 4 2-2 有一长为 2l ，电荷线密度为 τ 的直线电荷。 1）求直线延长线上到线电荷中心距离为 2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为 2l 处的电场强度和电位。 解 1）如图（a）建立坐标系，题设线电荷位于 x 轴上 l ~ 3l 之间，则 x 处的电荷微元在坐 Exex =
11
电磁场题解
则 A 、 C 间 和 D 、 B 间 的 电 场 强 度 不 变 ， 电 压 也 不 变 ， 即 U AC = U DB = U / 3 ，
τdy (− e r ) ， dϕ = τdy 2 4πε 0 r 4πε 0 r
ϕ (2l ,0) = 2∫ dϕ =
0
α
τ 4πε 0
∫
α
0
1 dθ 1 π 0.24τ τ ln tan tan −1 + = = 2 4 πε 0 cosθ 2πε 0 2
电磁场与电磁波第二章静电场
S
该点的某一轴旋转一周所扫 o
出的锥面所限定的空间
》如果以o’球心，R为半径作球面，若立体角的锥面
在球面上截下的面积为S，则立体角为： S / R2(sr)
整个球面对球心的立体角为 4
》任意面元对某点o’
d
dS cos
R2
dS (r r) r r 3
整个曲面S对点o’
dS
R
(r r) dS S r r 3
E ( C )
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点 作为参考点，且令参考点的电位为零。
总结：选择电位参考点的原则
• 应使电位表达式有意义 • 同一问题只能有一个参考点 • 应使电位表达式最简单 • 电位参考点电位一般为0
六、点电荷与分布电荷的电位函数
点电荷： (r ) q
40 r r
R r r
q
r
0
y
0
8.854 1012
1
36
109 F
/
m
分布电荷：对于实际带电体，应看成是连续分布在 一定区域内，如一段线，一个面，一个体积。 电荷密度：定量描述电荷的空间分布情况
体电荷密度：
V
q lim V 0 V
dq dV
q 为体积元 V 上的电荷
面电荷密度： S
q lim S0 S
cosez
l 4 0
cosdez
将两式积分得
E
E z
e
l 4 0
ez
l 4 0
2 sind
1
2 cos d
1
e
l 4 0
(cos 1
cos 2 )
ez
l 4 0
静电场二(场强计算)PPT课件
(5)
对（5）式的讨论： 1）、由（5）式知：圆环轴线上每点E的大小是逐点不同的。 2）、在x=0 处，E0 =0
3）、当
x>>R时，E
q 。（点电荷的场） 4 0 x 2
推广：均匀带电圆盘在垂直于盘面轴线上任一点P的场强。(带电面密 度σ，圆盘半径R,场点到盘心的距离为x)
y
dq 2ydy
+
无限大均匀带电平面的场为匀强场
+σ
-σ
+
-
A +
-
B
+
-
若无限大均匀带电平面处于介电系数为εr的电介质中
求电荷是连续分布的带电体场强的基本步骤是：
1）将带电体分割成许多电荷元，使用点电荷的场强公式，在适 当的坐标系中写出某一电荷元的元场强。
2）根据场强叠加原理，将元场强进行矢量叠加。在这一过程中， 关于对称性的分析很重要，它可使计算大为简化。因此解此类 题的关键之一是如何灵活运用场的叠加原理。
P dE
dE
dqx 4 0 ( x2 y2 )3
/
2
+
x
o+
+
E
R 0
xdy 2 4 0 ( x 2 y2 )3/ 2
x
E (1
)i
2 0
R2 x2
推广：无限大均匀带电平面的场强
带电圆盘在中心轴线上的场 E圆盘 20 (1
x )
R2 x2
方向垂直于盘面
+
+ 0+
x
+
当 R 时， E无限大 2 0
cos2 )
j
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第2章 静电场(二)2.1 静电场的唯一性定理及其应用静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。
静电场求解方法：(1) 直接由电场强度公式计算；(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。
唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。
2.1.1 唯一性定理静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。
2.1.2 导体边界时，边界条件的分类(1) 自然边界条件：有限值参考点=∞→ϕr r lim(相当于指定电位参考点的值)(2) 边界衔接条件：σϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=nn221121(该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件(a) 给定各导体表面的电位值。
(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。
该条件相当于给定了第二类边界条件。
在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。
Sn∂∂-=ϕεσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部)(c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。
相当于给定了第三类边界条件。
思考？为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。
条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。
2.1.3 静电场唯一性定理的意义唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4 等位面法1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。
2 等位面法成立的理论解释：等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：(1)边界k 的等位性不变；(2)边界k 内的总电荷量不变。
(相当于给定了第二类边界条件)3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。
解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。
现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。
解释：(注意边界正方向的取向)边界S 2为等位面；边界S 2上的总电荷量不变。
2.2 平行双电轴法1 问题的提出：以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。
导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。
本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。
2. 两根细导线产生的电场设 电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q 。
电场分布为平面场，根据叠加原理，说明：式中Q 表示电位参考点。
ρ表示由电荷到P 点的矢径。
以y 轴为参考点, C=0, 则 *确定等位线方程：22222)()(Ky b x y b x =+-++ 等位线方程为圆： 222222)12()11(-=+-+-K bKy b K K x圆心的坐标： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=0,)11(22b K K h 圆的半径为：122-=K bKa当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。
a 、h 、b 三者之间的关系满足:应该注意到: 线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。
即-- a 为等位线的半径；2b 两电轴间的距离；h 为等位圆圆心到坐标原点的距离。
附：〖反演〗没C 为一定圆，O 为圆心，r 为半径，对于平面上任一点M ，有一点M ’与它对应，使得满足下列两个条件： (1)O 、M 、M ’共线；(2)OM ·OM ’=r 2；则点M ’称为点M 关于定圆C 的反演点，C 称为反演圆，O 称为反演中心，r 称为反演半径。
M 和M ’的关系是对称的，M 也是M ’的反演点。
M 与M ’的对应称为关于定圆C 的反演。
*确定电力线方程： 根据 ϕ-∇=E 及E得E 线方程为 4)2(12212Kb K y x +=-+说明：电力线方程表明， E 线为圆，其圆心位于y 轴上。
K 1的不同取值确定不同的电力线。
3 电轴法的基本思想由三个思考题，引出电轴法的解题思想。
(1)若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？ (2)、感应电荷是否均匀分布？(3)、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
得出电轴法的思想：电轴法：用置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法，称为电轴法。
电轴法解题的过程：(1)根据圆柱导体的半径a 和两导体间的距离2h 求出等效电轴的位置b ；(2)设电轴上电荷线密度等于圆柱导体上单位长度的电荷量；(3)由电场计算公式22220120)()(ln 2ln 2yb x y b x P +-++==πετρρπετϕ(0电位参考点位于y 轴)4 例题例1．试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。
解：(1)建立体系，取0电位参考点(2)确定电轴的位置，22a h b -= (3)计算电场和电位分布：例2 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。
试决定电轴位置。
C解：21212222221212,,h h b h h d a h b a h b 确定⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=例3 试确定图示偏心电缆的电轴位置 解：例4 已知一对半径为a ,相距为d 的长直圆柱导体传输线之间电压为U 0 ，试求圆柱导体间电位的分布。
解：1 确定电轴的位置2 设电轴上电荷密度为±τ，任一点的电位为： 注意：式中的ρ2，ρ1分别为负电轴和正电轴到观察点P 的距离。
3 :0τϕϕ解出由B A U -=4 场中任一点的电位为：2.3 无限大导电平面的镜象一、镜象法1.平面导体的镜像通过比较两种边值问题的比较引出无限大导体平面的镜象法： (1)点电荷位于无限大导体平面上方，边值问题：02=∇ϕ 除 q 所在点外的区域 0=ϕ 导板及无穷远处⎰=⋅sq d S D S 为包围 q 的闭合面(2)点电荷及其镜象位于两无限大平面两侧，上半空间的边值问题02=∇ϕ 除 q 所在点外的区域04400=-=rq rq πεπεϕ 对称面及无穷远处⎰=⋅sq d S D S 为包围q 的闭合面二、无限大导电平面镜象法的特点用应用 无限大导体平面镜象法的特点：1 镜象电荷位于被研究的场域之外，与场源电荷关于平面对称；2 镜象电荷所带的电量与边界面原来所具有的总电荷量大小相等，符号相同，与场源电荷量大小相等，符号相反；3 被研究场域的边界电位值为0。
三、无限大导电平面的应用1 点电荷对夹角为直角的两相联导电平面的镜象；2 点电荷对夹角为α的两相联无限大导电平面的镜象；3 长直圆柱导体对于导电平面(或地平面)的镜象；D例2-3 架空地线避雷原理。
带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E 0，由于大气电场的影响将导致高度为l 处的高压输电线A 的电位升高。
若在A 的上方架设有架空地线G ，半径为r 0，G 是经过支架接地的，则在架空地线G 上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。
将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A 处的电位。
试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A 处电位的变化。
定性解释： 定量计算：设:架空地线上单位长度的感应电荷量为τ，架空地线的半径为r 0，其等效电轴与地线中心重合。
架空地线的电位为：02ln 2000=+hr h E πετ → 地线上单位长度的电荷量: hr hE 2ln 2000πετ-=高压输电线上的电位:架设架空地线前后,架空线电位比:当m r m l m h 004.0, 10 ,110===时, %1.610=ϕϕ2.4 球形导体表的镜象2.4.1 接地导体球对点电荷的镜象设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
边值问题：2000r ϕϕϕ→∞∇===导球面 (除q 点外的导体球外空间)设匀镜象电荷q ’位于球内，球面上位一点的电位为0,即： 其中由上式或知，球面上的电位只是b 和θ的函数，位取两θ值，(0，180)则：'0'0q q d R R bq q d R R b ⎧-=⎪⎪--⎨⎪-=⎪++⎩ 得： 2'R b d b R q q q d d=== 由叠加原理，接地导体球外任一点P 的电位与电场分别为注意：1 镜像电荷等于负的感应电荷（符号与数量均相同）， 但小于场源电荷量。
2 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。
接地导体球外的电2.4.2 不接地导体球对点电荷的镜象解: 边值问题在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置 •在球内有两个等效镜象电荷。
•正负镜像电荷绝对值相等。
• 正镜像电荷只能位于球心。
任一点电位及电场强度为： 补充题：试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?例2-4 空气中有一内外半径分别为R 11和R 22的导体球壳原不带电，其内腔介质为ε0，若于壳内距球心为b 处置点电荷q ，求球壳内外的电场强度和电位。
解:1 计算球内的场，设球壳的电位为0 2计算球外的场球外表面的电荷均匀分布，球壳外电场具有球对称性。
2.5 无限大介质交界面的镜象边值问题：210ϕ∇= 上半平面 220ϕ∇= 下半平面112''''''qq q q q q εεε+=-= 得1212212'2''q q q qεεεεεεε-=+=+ 讨论与引伸1 介质1中的电场是由q 与q ’ 共同产生，其有效区在上半空间，q ’是等效替代极化电荷的影响。
2 介质2中的电场是由q 〃 决定，其有效区在下半空间，q 〃是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。
思考题？为求解图示，区域1与 区域2的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置？例2-5 离河面高度为h 处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量为τ，且导线半径R<<h 。
设河水的电容率为80ε0，求水中的电场强度。
2.6 电容与电容的计算一、电容1 电容器的电容ABdefU qC ≡单位：法位F ，F F μ1106=- pF F 11012=- 2 独立导体的电容说明：电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。
二、电容计算思路： 三，电容计算1 平行板电容的电容2 球形电容器的电容3 单层介质圆柱形电容器的电容4 双层介质圆柱形电容器的电容 讨论：A 总电容相当于两个电容器串联的总电容B 内外层介质场强最大值的位置，最大场强相等时有： 1122R R εε=2.7 双输电线的电容0b ,≈ 导线的半径为R 0，轴线间距离为d 。