连续控制器离散化方法

模拟(连续)控制器系统
计算机(离散)控制器系统
离散控制器等效控制系统
采用连续与离散控制器的系统系阶越响应的区别
双线性近似法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内；不改变模 拟控制器的稳定性 后向差分法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内的一个区域内， 稳定的模拟控制器总能映射成稳定的离散控制器，但有可能把 不稳定的模拟控制器影射成稳定的离散控制器 前向差分法把左半S平面映射到Z平面的Z=1的左平面中，一个 稳定的模拟控制器可能影射不稳定的离散控制器。 实际使用时常常使用双线性法和后向差分法。
2、微分近似法
（1）前向差分法
dx(t ) x((k 1)T ) x(kT ) z 1 x(kT ) dt t kT T T z 1 T
s:
z 1 sT s
z 1 Cd ( z ) C ( s ) C ( ) T
（2）后向差分法
s:
dx(t ) x(kT ) x((k 1)T ) z 1 x(kT ) dt t kT T zT
( k 1)T kT
u ( ) d
T [u (( k 1)T ) u ( kT )] 2
T z 1 u ( kT ) 2 z 1 1 T z 1 2 z 1 , s s 2 z 1 T z 1 2 z 1 ) C ( Cd ( z ) C ( s ) T z 1
SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following: 'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only). The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
( s b1 )( s b2 ) ( s bm ) C (s) k ( s a1 )( s a2 ) ( s an ) ( z 1)d 1 ( z eb1T )( z eb2T ) ( z ebmT ) Cd ( z ) kd ( z e a1T )( z e a2T ) ( z e anT )
例：分别用前向差分、后向差分、Tustin法对 进行离散化 （1）前向差分
a aT z 1 a z 1 aT T Cd ( z) 的极点为 1 aT Cd ( z )
C (s)
a , (a 0) sa
稳定条件为 T
2 a
（2）后向差分
aT z a aTz Cd ( z ) aT 1 z 1 1 a z 1 aTz z zT aT 1
10
P( s)
1 s( s 2)
双线性近似法得到数字控制器为：
z 1 2.1 z 0.65 D( z ) 16 z 1 10.76 z 1 z 0.11 10 8 差分方程为： z 1
u (k ) 0.11u(k 1) 10.76e(k ) 7.02e(k 1)
连续控制器离散化方法 前提条件：连续系统中已经设计好了模拟控制器，具有满意 的控制性能。 目标：得到一个具有相近控制性能的离散化数字控制器。 方法：
1使
和
具有相同的响应特征。 脉冲不变性方法：脉冲响应相同 阶跃不变性方法：阶跃响应相同 2 直接对C(s)中的S变量进行近似，得到Cd(z)
1.阶跃不变性方法
Cd ( z) 的极点为
1 aT 1
稳定
（3）Tustin法
aT aT a z 1 2 Cd ( z ) 2 2 z 1 aT aT aT aT a (1 )z ( 1) 1 1 T z 1 2 2 2 z 2 aT 1 2 ( z 1)
例：
1 C ( s) ( s 1)( s 2 s 1)
取采样周期T=0.1，经过零阶采样保持后得到
10 (1.585 z 6.029 z 1.434) Cd ( z ) 3 2 z 0.8 z 2.62 z 0.8187
2
4
具有两个零点：-0.3549，-0.255
阶跃不变性方法实际上就是零阶采样保持，即对C(s)进行零阶 采样保持。 存在的问题： C(s)的极点 影射为Cd(z)的极点 z eiT s i
，没有一个简单的从C(s)的零点映射到Cd(z)零点的关系。 1. C(s)中不稳定的零点可能经过零阶采样保持后变为Cd(z) 稳定的零点。 2. C(s)中无零点，可能经过零阶采样保持后变为Cd(z)不 稳定的零点。
1 z 1 sT z 1 s zT Cd ( z ) C ( s ) C ( z 1 ) zT
3、塔斯廷（Tustin）近似法 Tustin法也称为双线性近似法 考虑一个积分器
y( s) 1 u (s) s y[( k 1)T ] y ( kT ) y[( k 1)T ] y ( kT ) y ( kT )
Cd ( z) 的极点为
aT 2 , (T : 0 , 1 1) aT 1 2 1
稳定
4、零极点匹配法
z e aiT （1）C(s)的所有极点 s ai 映射为Cd(z)的极点 （2）C(s)的所有有限零点 s bi 映射为Cd(z)的零点 z eb T
i
（3）若C(s)的极点数与零点数之差 d 1 即C(s)有d个无限零点 s 映射为Cd(z)的d-1重零点z=-1，另一个映射成 z （4）确定Cd(z)的增益，使满足Cd(1)=C(0)，即静态增益相等
例：已知某系统被控对象的传递函数为 要求设计控制器，使满足性能指标： ①闭环稳定 ②过渡过程时间Ts≤3s ③阶跃响应超调量δ≤5% 设计满足上述要求的数字控制器D(Z)（取采样周期 T=0.2秒，采用双线性近似法） 解： 模拟控制器设计过程略，得到的模拟控制器为：
D( s ) 16 s 2.1 s 8
注：d=n-m，当 d 1 ，才有 ( z 1)d 1 项
上例中，
C ( s) a saLeabharlann Baidu
1 z e aT kd Cd (1) C (0) 1 kd 1 e aT 1 e aT 1 e aT Cd ( z ) z e aT Cd ( z ) kd