一次函数和二次函数-PPT课件
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
一次函数与二次函数
(1)注意k≠0这一条件，当k＝0时，函数为y＝b，它不再
是一次函数，其函数图象是平行于x轴或与x轴重合的一条
直线．
(2)b为任意的常数.特别地，当b＝0时，函数y＝kx(k≠0) 为正比例函数．
[例1] 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，试求m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
开口向下．
二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)的图象是一条抛物线， 对称
3．二次函数的单调性及最值 (1)当 a＞0
b 递减 时，函数在－∞，－2a上______，
4ac－b ＝________. 4a
b 递增 ，并且当 在 －2a，＋∞ 上 ______ 2
[例3] (12分)已知f(x)为一次函数且满足4f(1－x)－2f(x－1)
＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值，并比较f(2 012)和
f(2 013)的大小．
[思路点拨] 首先用待定系数法求解析式，再研究其性质．
[精解详析] 由已知可得.
设 f(x)＝kx＋b(k≠0).
x x 解析：由 y1>y2，得不等式 ＋2> ＋3，解得 x>6. 2 3 ∴当 x∈(6，＋∞)时，y1>y2.
答案：(6，＋∞)
6．已知一次函数y＝(a＋1)xa
2－ 3
＋b是奇函数，且在定义
域R内单调递减，求a，b的值． 解：因为函数是一次函数，所以a2－3＝1，解得a＝±2. 又一次函数是减函数，所以a＋1<0，即a＝－2.
4＝－3k＋b， 则 2＝－k＋b， k＝－1， 解得 b＝1.
∴一次函数解析式为 y＝－x＋1. 其图象如图.
九年级数学中考一次函数反比例函数二次函数复习人教版PPT课件
1、正比例函数与一次函数的关系:
正比例函数
y=kx(k≠0)
一次函数
(b=0)
y=kx+b(k≠0)
图象与性质: 都是一条直线
k>0
k<0
y
y
b>0
b>0
(0,b)
b=0
b=0
b
b<0 b<0
x
x
b
正比例函数是特殊的一次函数
2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的位置及 增减性:
当k>0时
y
当k<0时
3.一次函数与正比例函数之间的关系: 正比例函数是当b=0时的特殊的一次函 数.
（一）、一次函数:
由于两点确定一条直线，因此在今后作 一次函数图象时，只要描出适合关系式的 两点，再连成直线即可 .
一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交
点（0，b），直线与 x 轴的交点（- b ，0）
k
画正比例函数y=kx的图象时，只要描 出点（0，0）， （1，k）即可
oA
x
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b<0
b=0 o
x
b<0
• y随x的增大而增大; y随x的增大而减小.
3、特殊的一次函数——正比例函数y=kx（k≠0）的 性质：
<1>正比例函数y=kx的图象必经过原点； <2>当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增 大而增大； <3>当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增 大而减小．
k
k
y Y=kx+b
(o,b) Y>0
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
一次函数反比例函数及二次函数课件
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的 图象特征，分析不等关系成立的条件.
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
高中数学 第二章 函数 2.2.1 一次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件
题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
题型四
反思(fǎn sī)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此k的取值确定了直线
第十七页，共三十七页。
M 目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
UBIAODAOHANG
题型一
题型二
题型三
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
题型四
解:(1)因为函数 y=(2m-3)x+(3n+1)的图象经过第一、二、三象
点为(0,b),其中 − ,b 分别称为直线 y=kx+b(k≠0)的横截距、纵截距,
尤其要注意: − ∈R,b∈R,千万不要把它们理解成距离.
12/8/2021
第五页，共三十七页。
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
因为函数值是固定的常数b,没有(méi yǒu)增减变化,函数图象是一条水平的直
线,所以常数函数在定义域上不是单调函数.
(5)奇偶性:对于y=kx+b(k≠0),当b=0时为奇函数,当b≠0时为非奇非偶函数;
而对于y=b,当b≠0时为偶函数,当b=0时既是奇函数又是偶函数.
名师点拨通过上面的分析,可知y=b是函数,而式子x=a(a是一个固定的常数)虽
二次函数
概念
我们把y ax2 bx ca 0叫二次函数； 定义域R， 4ac b 2 4ac b 2 值域a 0时，y ; a 0时，y ; 4a 4a 解析式： 一般式：y ax bx ca 0
2 2
顶点式：y ax h k 其中顶点为 h, k
4a 2b c 1, a 4, a b c 1, 解之得 b 4, 4ac b 2 c 7. 8, 4a
所以所求二次函数为y=-4x2+4x a( x m) 2 n,因为f 2 f 1 , 2 (1) 1 所以抛物线对称轴为x . 2 2 1 所以m , 又根据题意知函数有最大值为n 8, 2 1 所以y f ( x) a x 8.因为f 2 1, 2 1 所以a 2 8 1.解之得a 4. 2 1 所以f ( x) 4 x 8 4x 2 4x 7. 2
共 57 页
9
2.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)
内是单调函数,则实数a的取值范围是
( ) B.2≤a≤3 D.-3≤a≤-2
A.a≤2或a≥3 C.a≤-3或a≥-2
答案:A
解析:对称轴x=a,由题意可知:a≤2或a≥3,故答案为A.
共 57 页
10
3.若对于一切实数x,不等式x2+(a-
2
共 57 页
25
(2)当a=1时,f(x)=(x-1)2+2其图象为开口向上且对称轴为x=1 的抛物线. 当t>1时,ymax=f(t+1)=t2+2,
ymin=f(t)=t2-2t+3.
高中函数的应用ppt课件ppt课件ppt
在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02
通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。
一次函数和二次函数-课件ppt
去．故选B.
答案：B
◆高考总复习•数学•(文科)◆
4．若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足
0<α<1<β<2，实数t的取值范围是______．
解析：令 f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4，
∵α，β 满足 0<α<1<β<2，
∴f0f1<0， f1f2<0.
∴74<t<5.
◆高考总复习•数学•(文科)◆
(3)当t<1<t＋1，即0<t<1时，f(x)在区间[t,1]上是减函数，在
区间[1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋3＝2， (i)当1－t≥t＋1－1，即0<t≤ 时1 ，f(t)≥f(t＋1)，
2
∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， (ii)当1－t<t＋1－1，即 1 <t<1时，f(t)<f(t＋1)，
∞)⇔－ b ≤0⇔b≥0.故选A.
2
2
(2)∵f(x)＝x2＋bx＋c，a＝1，∴抛物线开口向上．又f(2＋t)＝
f(2－t)，故x＝2是其对称轴，即当x＝2时，f(x)取最小值，且f(1)
＝f(3)．而当x≥2时，f(x)是增函数，∴f(2)<f(1)<f(4)．故选A.
答案：(1)A (2)A
函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[α，β]上的最值一般分为三种情况讨
◆高考总复习•数学•(文科)◆
二、二次函数定义及其性质 1．二次函数的定义：_____形__如__y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_，_ b， _c_为__常__数__且__a_≠_0_)_的__函__数__叫__一__元__二__次__函__数________. 2．二次函数的三种表示形式为： (1)一般式：____y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)______； (2)顶点式：___y_＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠_0_)______； (3)零点式：___y_＝__a_(x_－___x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠_0_) ___.
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例 课件
x2
300x
20
000 0
x
400，
60 000 100x x 400.
(2)当0≤x≤400时，f(x)=- 1(x-300)2+25 000,
【典例训练】
1.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元，
但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，
市场对该机器的需求量为1 000台，销售收入(单位：万元)函 数为：R(x)=5x- 1 x2(0≤x≤10)，其中x是产品的数量(单位：
2
百台),则利润f(x)表示为产量的函数为________.
【解析】1.由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万
元，代入y=xα中，即3α=27，解得α=3，故函数关系式为
y=x3.所以当x=5时，y=125.
答案：125
2.(1)由题意可得R=kr4(k>0)；
(2)由r=3，R=400，可得krR=4
400，则流量速率R的表达式为
81R=400ຫໍສະໝຸດ .r42.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电 脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公 司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的 电脑8台.已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和 30元，乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元. (1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A地和B地两地的总运费 为y元，求y关于x的函数关系式; (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.
(2)若使y≤1 000，即20x+960≤1 000，得x≤2. 又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N. ∴x=0,1,2，即有3种调运方案. (3)∵y=20x+960是R上的增函数，又0≤x≤6且x∈N， ∴当x=0时，y有最小值，为960. ∴总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地，从乙地调运 8台至B地，调运4台到A地，运费最低为960元.
3.1.1 函数的概念 课件(共30张ppt)
3.1.1 函数的概念
函数符号y＝f(x) 是由德国数学 家莱布尼兹在18世纪引入的． 显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2 中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的 真子集;在问题4中,值域 B4={0.3669,0.3681,0.3817, 0.3569,0.3515, 0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集 B4={r｜0＜r≤1}的真子集．
3.1.1 函数的概念
一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于 集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应 关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函 数 (function).记作: y=f(x),xA.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 (range).
3.1.1 函数的概念
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义 域是R,值域也是R,对应关系f把 R中的任意一个数 x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx当a＞0时,B { y| 4ac b2 } ;当a<0时, 4a
3.1.1 函数的概念
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是 R,值域是B={y | y≤25}.对应关系f把R中的任意一个 数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10}, 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝ x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0<x<10},y的 取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长 方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).
【优质】初三九年数学：《专题十九)二次函数与一次函数的综合应用》ppt课件
当 y＝－3 时，由－12x2＋32x＋2＝－3，解得 x＝－2(舍去)或 x＝5，此时 D
点坐标为(5，－3)．综上可知存在满足条件的点 D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5， －3) (3)∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝ 5，BC＝2 5，∴AC2 ＋BC2＝AB2，∴△ABC 为直角三角形，即 BC⊥AC，
如图，设直线 AC 与直线 BE 交于点 F，过 F 作 FM⊥x 轴于点 M，由题意
可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2 5，∴OAMO＝ACCF，即O1M＝
2
5 ，解得 5
OM＝2，FOMC＝AACF，即F2M＝3
5 ，解得 5
FM＝6，∴F(2，6)，且
B(4，
0)，可得直线 BE 的表达式为 y＝－3x＋12，联立直线 BE 和抛物线表达式可得
4. (滨州中考)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴，y轴交于点A(－4， 0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C. (1)求直线y＝kx＋b的函数表达式； (2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的 距离为d，求d关于x的函数表达式，并求d取最小值时点P的坐标； (3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动， 求CE＋EF的最小值．
5. (深圳中考)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋2 经过点 A(－1，0)，B(4，0)， 交 y 轴于点 C；
(1)求抛物线的表达式(用一般式表示)；
(2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S△ABC＝23S△ABD？若 存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；
初中函数的概念ppt课件
二次函数的定义
形如y=ax^2+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函 数称为二次函数。
二次函数的图像
二次函数y=ax^2+bx+c 的图像是一个抛物线。
二次函数的性质
当a>0时，抛物线开口向 上，有最小值；当a<0时 ，抛物线开口向下，有最 大值。
03 函数的应用
函数在生活中的实际应用
人口增长模型
提供工具。
04 函数的扩展知识
复合函数的概念
定义
如果y是u的函数，而u是x的函数，那么y关于x的函数叫做由基本函 数f(u)和g(x)构成的复合函数。
表示方法
y = f(u)，u = g(x)
分解
把一个复合函数分解成若干个基本初等函数，并分别指出各基本初等 函数在复合函数中的作用。
函数的奇偶性
THANKS 感谢观看
微积分
函数是微积分的基础，可以用来研 究物体的运动、变化和趋势等。
统计学
函数可以用来描述数据的分布特征 ，为统计分析提供工具。
函数在物理问题中的应用
力学
函数可以用来描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
热力学
函数可以用来描述温度、压力等 物理量的变化情况，为热力学研
究提供工具。
电学
函数可以用来描述电流、电压等 物理量的变化情况，为电学研究
函数的定义通常包括定义域和值域，定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变 量的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法有三种：表格法、图 象法和解析式法。
图象法是用图形来表示函数关系，它 直观形象，可以反映函数的单调性、 增减性等性质。
表格法是最简单的一种表示方法，它 将自变量和因变量的对应关系列成表 格，适用于简单的函数关系。
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去．故选B.
答案：B
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4．若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足
0<α<1<β<2，实数t的取值范围是____x＋4，
∵α，β 满足 0<α<1<β<2，
∴f0f1<0， f1f2<0.
∴74<t<5.
那么
()
A．f(2)<f(1)<f(4)
B．f(1)<f(2)<f(4)
C．f(2)<f(4)<f(1)
D．f(4)<f(2)<f(1)
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解析：(1)∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈R)的对称轴x＝－ b ，
2
∴函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数⇔－ b ∉(0，＋
2
答案：(1)C (2)B
点评：二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质， 在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质．
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变式探究
2．(1)函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件是 ()
A．b≥0
B．b≤0
C．b>0
D．b<0
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，
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考点二 二次函数的单调性与对称性
【例2】 函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增
函数，则m的取值范围是 ( )
A．[－8，＋∞)
B．[8，＋∞)
C．(－∞，－8]
D．(－∞，8]
(2)(2012·湛江二中月考)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m
(5)当___b_＝__0__时，该函数是偶函数；当___b_≠_0___时，该函 数是非奇非偶函数．
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4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在闭区间[p，q](p<q)上的最值 问题(以a>0的情形为例)．
(1)若 q≤－2ba，则该函数的最大值为___f_(p_)___，最小值为___f_(q_)___．
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(法三)依题意知，f(x)＋1＝0的两根为 x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)·(x＋1)，即f(x)＝ax2－ ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8， 即 4a－2a－1－a2 ＝8，
4a
解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
答案：D
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3．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为 R，则a的取值范围是( )
A．a＝－1或3
B．a＝－1
C．a＞3或a＜－1
D．－1＜a＜38
解析：依题意知函数f(x)为一次函数，所以a2－2a－3＝0，
解得a＝－1或a＝3.当a＝3时，f(x)＝1，值域不为R，故舍
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3．一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质： (1)定义域为R.当a>0时，值域为__[_4_a_c4－_a_b_2_，_＋ __∞__)__；当a<0 时，值域为__(－ __∞__，__4_a_c4_－a__b2_]___． (2)图象是抛物线，其对称轴方程为__x_＝__－__2_ba___；顶点坐 标是___(－ __2_ba_，_4_a_c4_－a_b_2_) ___；
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课前自修
知识梳理
一、一次函数及其性质 函数y＝ax＋b(a≠0)叫做一次函数．当____a_>_0__时，该函数 在R上是增函数；当_____a_<_0_时，该函数在R上是减函数．由于 一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、最小值一定在 端点取得． 若函数f(x)＝ax＋b在x∈[p，q]时恒为正(负)，则在p，q处 的函数值满足___f_f((_pq_))_00_((_00_)),______． 若函数f(x)＝ax＋b在x∈[p，q]上与x轴有交点，则在p，q 处的函数值满足_f_(_p_)f_(_q_)≤_0____．
2
∴f(x)max＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上所述，
f(x)max＝tt22＋－22，t＋t>3，12，t≤21，
t2＋2，t≤0， f(x)min＝2，0<t<1，
t2－2t＋3，t≥1.
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点评：讨论二次函数的区间最值问题：(1)注意对称轴与区
间的相对位置；(2)注意相应抛物线的开口方向．具体地说，二次
答案：74，5
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考点探究
考点一 求二次函数的解析式
【例1】 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝－ 2，截x轴上 的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数f(x)的解析式．
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解析：∵二次函数的对称轴为 x＝－ 2， 可设所求函数为 f(x)＝a(x＋ 2)2＋b(a≠0)， 又∵f(x)截 x 轴上的弦长为 4， ∴f(x)过点(－ 2＋2,0)和(－ 2－2,0)，f(x)又过点(0，－1)，
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三、一元二次方程根的分布问题
研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三 个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式； (2)相应二次函数区间端点函数值的符号； (3)相应二次函数图象——抛物线的对称轴x＝－ b 与端点
2a
的位置关系．
设x1，x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根， 则x1，x2分布范围与二次方程系数之间的关系见下表：
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考点三 求二次函数的最值值域
【例3】 求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[t，t＋1](t∈R) 上的最大值与最小值．
解析：∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x-1)2＋2，∴其对称轴为x＝1. (1)当t＋1≤1，即t≤0时，f(x)在区间[t，t＋1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2. (2)当t≥1时，f(x)在区间[t，t＋1]上是增函数， ∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋3， f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2.
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(3)当t<1<t＋1，即0<t<1时，f(x)在区间[t,1]上是减函数，在
区间[1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋3＝2， (i)当1－t≥t＋1－1，即0<t≤ 时1 ，f(t)≥f(t＋1)，
2
∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， (ii)当1－t<t＋1－1，即 1 <t<1时，f(t)<f(t＋1)，
__f___(22_b)a_若_．p＋2 q
≤
－
b 2a
<q
，
则
该
函
数
的
最
大
值
为
___f_(p_)___
，
最
小
值
为
(3)若 p≤
__f___2_ba__．
－
b 2a<
p＋2 q，
则
该
函
数
的
最大
值
为
___f_(_q_)__
，
最
小值
为
(4)若 p>－2ba，则该函数的最大值为___f_(q_)___，最小值为__f_(p__)___．
解析：(法一)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 依题意有4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1， 解之，得ba＝＝4－，4，
c＝7，
∴所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
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(法二)设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线对称轴为 x＝2＋2－1＝12.∴m＝12. 又根据题意函数有最大值为 n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1. 解之，得 a＝－4. ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
∴42aa＋＋bb＝＝－0，1.
解得a＝12， b＝－2.
∴f(x)＝12(x＋ 2)2－2.
点评：已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系 数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法 简捷．
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变式探究
1．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大 值是8，试确定此二次函数．
2
答案：A
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2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则f(x)在区间
(－∞，0]上是
()
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．以上答案都不对
解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以mm－ 2－11≠＝00，， 得 m＝
－1，所以 f(x)＝－2x2＋1，根据图象判断，选项 D 正确.
(3)当a>0时，开口向_上___；当a<0时，开口向__下__；
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(4)当a>0时，在区间__(－__2_ba_，__＋__∞__)_上是增函数；在区间 _(_－_∞__，__－__2b_a_) _上是减函数；