武汉大学数学物理方法考试习题

四、例题
e
2txt
2
H n ( x) n t (2) 16.1n! S-L问题 n 0

2 H n ( x) n1 d 2txt (2) : 2( x t )e t dt n 0 (n 1)!
H n ( x) n H n ( x) n 1 2( x t ) t t n! n 0 n 0 ( n 1)!
2、 S-L本征值问题的性质： (1) 有无穷多个本征值：1 2 n
无穷多个本征函数：y1 ( x) y2 ( x) yn ( x) 2 R( ) R( ) (k 2 2 n 2 ) R( ) 0 例： 本征函数： R(a) 0
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二、S-L方程的自然边界条件
16.1 S-L问题
2、S-L方程在以下情况下具有自然边界条件 d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) S-L方程
( 1 ) 当k ( a ) 0和或k ( b ) 0时，在边界x a , x b处， 具有有限性自然边界条件( 见附1 ）。
d 2 dy 例：(1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 dx [(1 x ) dx ] l (l 1) y 0 d dy n 2 x 2 y xy [k 2 x 2 n 2 ] y 0 [ x ] y k 2 xy 0 dx dx x
2
m2 (1 x 2 ) y 2 xy [l (l 1) ]y 0 2 1 x
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x
d dy n 2 2 2 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 x y xy [k x n ] y 0 dx dx x
x 2 y xy [k 2 x 2
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x d dy n 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 n ]y 0 dx dx x
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dx dx
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一、S-L方程
1、定义：
16.1 S-L问题
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) 一S-L方程 dx dx
k ( x) 0, q( x) 0, ( x) 0, 常。
2、任意的二阶方程可化为S-L方程 y( x) p( x) y( x) h( x) y( x) 0, (2) p ( x ) dx ] : d [e p ( x ) dx dy ] e p ( x ) dx h( x) y 0 (3) (2) [k ( x) e dx dx 例： Hermit方程：y 2 xy y 0 (4)
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第十六章 斯－刘问题
问题的引入：
d 2 dy (1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
2
m2 (1 x 2 ) y 2 xy [l (l 1) ]y 0 2 1 x
2 2
试证： 1 e （）
2 txt
2
H n ( x) n t n! n 0

(2)
(3) H n ( x) 2nH n 1 ( x) (2) H n 1 ( x) 2 xHn ( x) 2nH n 1 ( x) 0 (4)
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一、S-L方程
1、定义：
16.1 S-L问题
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) 一S-L方程 dx dx
k ( x) 0, q( x) 0, ( x) 0, 常。
d 2 dy (1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
n 2 0 例： ( 2 ) ( )
Fra Baidu bibliotek
r 2 2rR l (l 1) R 0 r R R(r ) r 0 有限
(1 x 2 ) y 2 xy l (l 1) y 0 y 有限 x 1
Mathematical Methods in Physics 武汉大学
物理科学与技术学院
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Methods in Mathematical Physics 第十六章 斯特母刘维尔问题 Problems of Sturm-Liuville equations
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如：f ( )
m 1
cm J n (k ) cm
n m
0 a2 2 n J n 1 (km a) 2
1
a
n f ( ) J n (km )d
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四、例题
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) 16.1 S-L问题 dx dx
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四、例题

16.1 S-L问题
1 l nx 2l (1) n 1 nx c x sin dx 3) x cn sin , n 2 0 Nl l n l n 1 d n x 2. 已知 H n ( x) (1) n e x e (1) n dx

b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx N
a
2 n mn
(见附2）
a2 2 n J n1 (kln a) ml 如： J n (km )J n (kln )d 0 2 1 b (4) f ( x) cm ym ( x) cm 2 a ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m 1
） 解： 1 k ( x) 1, k (0) k (l ) 1, , q( x) 0, ( x) 1;
n 2 nx 2) ( ) , n 1,2,; X n ( x) sin l l l 1 l 2nx l 2 2 nx N l sin dx [1 cos ]dx 0 l 2 0 l 2
p( x) 2 x, h( x)
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2 xdx e x 2 k ( x) e
d x2 x2 (4) [e y] e y 0 dx
二、S-L方程的自然边界条件
16.1 S-L问题
1、定义：为满足物理上的适定性，物理问 题本身所应具有的边界条件。
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y2
x a ,b
有限
三、S-L本征值问题
1、定义：称
16.1 S-L问题
dy d dx [k ( x) dx ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dy [ y ( x) k ( x)] x a ,b 0 为S-L本征值问题 dx
2
dx
dx
(2) 当k (a) k (b)时，在边界x a, x b处， 具有周期性自然边界条件。
d d n 0 [1 ] n 2 0 d d
2
例：
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( 1 ) 当k ( a ) 0和或k ( b ) 0时，在边界x a ,
H n ( x) n e t (2) n! n 0 16.1 S-L问题 H n ( x) 2nH n1 ( x)
2txt
2

H n 1 ( x) H n ( x) t : 2 (n 1)! n!
n
H n ( x) 2nH n1 ( x)
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附1.证明:
16.1 S-L问题 ）。 x b处具有有限性自然边界条件( 见附1
设y1 ( x), y2 ( x)为(1)的解，且y1 ( x)有限，则 d dy1 [k ( x) ] q( x) y1 ( x) y1 0, (2) dx dx d dy2 [k ( x) ] q( x) y2 ( x) y2 0, (3) dx dx d dy2 d dy1 (3) y1 (2) y2 : y1 [k ( x) ] y2 [ k ( x) ] 0, dx dx dx dx d c [k ( x)( y1 y2 y2 y1 )] 0, ( y1 y2 y2 y1 )] dx k ( x) y2 y1 y2 y2 y1 c y2 ( ) 0 ( C ) 2 2 y1 y1 k ( x) y1 y1 x c y2 y1[ dx c1 ], 当k (a) 0, k (b) 0时, y2 2 x0 k ( x ) y 1
n

n 0
H n ( x) an ( x ) n!
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四、例题
试证： 2) ( H n1 ( x) 2 xHn ( x) 2nH n1 ( x) 0
2 H n ( x) n d 2txt (2) : 2te t dx n! n 0 H n ( x) n1 H n ( x) n 2 t t n! n! n 0 n 0
n n xm xm n 本征值：km , m 1,2, Rm (k ) J n ( ), m 1,2, a a
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三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
16.1 S-L问题
(2) m 0, m 1,2,
(3)
n (k m ) 2 0 如：
四、例题
试证：1 e （）
2txt 2
d n x2 n x 已知 H n ( x) (1) e S-L问题 e 16.1 dx n H n ( x) n t n! n 0
2
2
(1)
证明： 令 e 2txt an ( x)t n , 则
1 d 2txt 2 1 x 2 d n ( x 2 2txt 2 ) an ( x ) e e e t 0 t 0 n n n! dt n! dt tx 1 x 2 d n 2 1 x2 d n x2 e e x e e n n n! d n! d ( x)
X ( x) X ( x) 0 (1) 1.已知S L问题 : X (0) 0, X (l ) 0 (2) 求： 1 k ( x) ?, k (0) ?, k (l ) ?, q( x) ?, ( x) ? ）
2) ?, 本征函数＝？N l ?, , 3）将f ( x) x [0, l ]按上述本征函数展开