材料力学--第5章.

求积分： 由于A和FN均相等，则：
轴向拉压杆的轴向变形公式
EA为杆的抗拉刚度
横向变形： 各向同性材料： 式中负号表示：当沿轴向（x轴）伸长变形时，沿横向（y、z 轴）缩短变形，反之，沿横向伸长变形。
变形能：
例题：5-3 p76
例：一实心圆截面锥形杆，左右两端的直径分布为d1和d2， 如不计杆件的自重，试求轴向拉力F作用下杆件的变形。
静定问题:因杆件尺寸误差,会使结构空间形状与原设计相比发生 偏差，但不会引起应力；
超静定问题:因杆件尺寸误差,不仅会使空间结构、形状与原设计 相比发生偏差，而且会在构件内引起应力；
第五章 轴向拉压
内容提要
轴向拉压杆的内力 轴向拉压杆的应力 圣维南原理 应力集中 轴向拉压杆的变形 变形能 轴向拉压超静定问题 稳定应力 装配应力 构件受惯性力作用时的应力计算
5.1 轴向拉压杆的内力
定义：受到外力或其合力作用线与杆轴线重合，沿轴线方向将发生 伸长或缩短变形，这种变形称为轴线拉伸或压缩，也叫轴向拉压。
应力分布不均匀：
应力集中：在外力作用下，弹性体形状或截面尺寸发生突变的局部区域应力 急剧增大，这种现象称为——；
理论应力集中因数k：
其中：分子表示截面最大应力
分母表示同一截面上的平均应力；
5.4 轴向拉压杆的变形 变形能
轴向变形
原长为l，伸长后为l1；则伸长量为△l= l- l1 ；
由公式：
主要变形是纵向伸长或缩短 ；
5.2 轴向拉压杆Biblioteka Baidu应力
平面假设：受轴向力作用的杆件，其横截面变形前是平面，假设变形后仍为 平面 ，只是两截面的距离发生了改变，称为—。 特点：杆变形后两横截面沿杆轴线作相对平移，纵向线段的伸长都相同， 即拉杆在其任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。 由于假设材料是均匀的，杆分布内力集度又与杆的变形程度有关，所以拉 杆在横截面上的分布内力也是均匀分布。于是，横截面上各点处的正应力都 相等。
这就是本例的几何方程。 变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为:
N1=RA, N2=RB(压) 。
△
△
Ⅱ. 温度应力 ·装配应力
温度要引起物体的膨胀或收缩； 静定结构，杆件可以自由变形，当温度均匀变化时，构件不会引
起应力；但对超静定结构，构件变形受部分或全部约束，温度变 化时要引起应力； 温度应力：由温度变化所引起的应力，称为——；
超静定问题（SIP） :结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力学 平衡条件不能唯一确定的问题，或称静不定问题。相应的结构叫超 静定结构（SIS）;
实例:如图：
由上可见,超静定问题的未知力个数超过了独立的平衡方程的个 数。其差值叫超静定次数（静不定次数)。解SIP需补充方程才能 唯一确定未知力。
解：设距左端x的横截面的直径设为D（x），由三角形相似得：
5.5 轴向拉压超静定问题 温度应力 装配应力
Ⅰ.超静定问题及其解法 Ⅱ. 温度应力·装配应力 Ⅲ.综合问题
Ⅰ.超静定问题及其解法
静定问题（SDP） : 结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力学平 衡条件就能 唯一确定的问题。相应的结构叫静定结构（SDS）;
受力特点: 在杆的每一个截面上,仅存在轴向内力一个分量。若为直 杆,外力的合力必须沿杆轴线作用；
如果两个Ｐ力是一对离开端截面的力，则将使杆发生纵向伸长，这 样的力称为轴向拉力; 如果是一对指向端截面的力，则将使杆发生 纵向缩短，称为轴向压力；
变形特点：轴向伸长(拉)或缩短(压),并伴随横向收缩或膨胀。即纵 伸横缩，纵缩横伸。
……………………..（1）
……………………..（2）
例：刚性梁固定在3根钢和铝圆杆的顶端如图所示，初始杆高250mm，初始 温度为t1=20 ℃ ，且各杆中无初应力，然后在梁上作用150kN/m的均布载荷 且温度升高到t2=80 ℃ ，求各杆横截面上的应力。已知钢和铝的弹性模量及 线膨胀系数分别为E1=200Gpa，a1=12*10-6/℃； E2=70Gpa，a2=23*10-6 /解℃：.
应力公式:
式中，FＮ为轴力，Ａ为杆的横截面面积。
例子5-1 5-2 p71页
1、受力分析 2、列平衡方程分段求轴力 3、用正应力在截面分布公式求拉压应力
5.3 圣维南原理 应力集中
圣维南原理：外力作用会对杆端附近各截面的应力分布产生影响，对远离杆 端的各个截面影响甚小或者没有影响，这一规律称为——；
思路：
力学方面+变形方面+物理方面
力学方面即建立静力学平衡方程；变形方面即建立变形协调方程； 物理方面即变形与力之间的关系式。
理论和实践证明:无论超静定次数为多少，总能找到相应数量的补充 方程来求解 。
例子：p78 5-4；5-5
例 图(a)所示为两端固定的钢
杆,已知l1=1.0m,l2=0.5m,
……………………..（1）
…………………………………….…..（2）
………………….…………..（3）
……………………..（4） 将（4）代入（3），再利用（2）得到：
………..（5）
由（1）和（5）解得： 两根杆上的应力为：
装配应力：对超静定结构，加工误差在构件内引起应力，这种 由装配而引起的应力称为——；该应力是构件在载荷作用前具 有的，称为初应力；
这些补充方程一般是根据变形后,约束条件不被破坏来建立的。 由于约束条件的限制,各杆件之间的变形必存在一些联系——变 形协调条件——构件体系的变形协调原则:杆件不破坏,彼此不相 分离,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影响结构形状 的相对位移。由此可建立相应的变形几何方程
在线弹性范围内，由胡克定律将变形与杆件的内力联系，得到 变形几何方程——补充方程,然后与静力学平衡方程一起求解， 即可求出结构的所有未知力。
A=20cm2,P=300kN,E=200 GPa，试求钢杆各段应力和变 形 解：。1、列静力平衡方程
以整根杆为研究对象,画出 受力图如图(b),静力平衡方程 为：RA+RB=P (a) 2、建立补充方程
(杆受力后,C截面下移至C1截面,结果AC段伸长△ l1,而CB段缩短△ l2,杆两端
l l ＝| 固定总长不变,即 △ l＝0 。因此,有:△ 1 △ 2|