高三数学二模试题文
2024年上海静安区高三二模数学试卷和答案
上海静安区2023-2024学年第二学期教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．2024.4一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2．已知i 是虚数单位，复数i2i++=m z 是纯虚数，则实数m 的值为________．3．函数xxy +-=21ln的定义域为________．4．若单位向量a 、b 满足⊥a b，则=-||a ________．5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布),100(2σN （试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间]120,80[的学生人数约为_______．6．已知物体的位移d (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系t d sin 2=，则在时间段)6,2(∈t 内，物体的瞬时速度为s /m 1的时刻=t _______(单位：s)．7．已知等比数列的前n 项和为a S nn +⎪⎭⎫⎝⎛=21，则a 的值为________．8．在下列关于实数b a 、的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)①ab b a 2≥+；②ab b a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+22；③||||||b a b a -≤-；④1222-≥+b b a ．9．正四棱锥ABCD P -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i (=i 0,1,2)个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)11．已知实数)6,0(∈a ，记))(a x x x f -=．若函数)(x f y =在区间[]2,0上的最小值为2-，则a 的值为________．12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点),(y x P 都满足方程022||2||222=+-+-y x y y x x ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,22M 到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．xy O二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13．函数)(cos sin 2R ∈-=x x x y 的最小正周期为…………………………………………()A ．2π；B ．π；C ．23π；D ．2π．14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是………()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．15．设1>a ，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是…………………………()A ．)2,2(；B ．)5,2(；C ．)5,2(；D ．)5,2(．16．如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群．(1)封闭性，即对于任意的G b a ∈,，有G b a ∈*；(2)结合律，即对于任意的G c b a ∈,,，有))(c b a c b a **=**（；(3)对于任意的G b a ∈,，方程b a x =*与b y a =*在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的∈b a ,Z ，方程b a x =+与b y a =+都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法(⨯)不构成群，因为方程10=⨯y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有………………………………………………………………()1自然数集N 关于自然数的加法(+)构成群；2有理数集Q 关于有理数的乘法(⨯)构成群；3平面向量集关于向量的数量积(⋅)构成群；4复数集C 关于复数的加法(+)构成群．A ．0个；B ．1个；C ．2个；D ．3个．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(满分12分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，5=b ，7=c ．(1)求角C 的大小；(2)求)sin(C A +的值．18．(满分15分)共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[)165,160,[)170,165,[)175,170,[)180,175,[]185,180分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19．(满分15分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，32=AB ，2=BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面⊥ABD 平面BCD ．(1)求四面体ABCD 的体积V ；(2)试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l //？ABCD ABCD图1图220．(满分18分)共3个小题，每个小题均是满分6分．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①AC BD =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为22:1(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．21．(满分18分)共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知R ∈k ，记x x a k a x f -⋅+=)((0>a 且1≠a )．(1)当e =a (e 是自然对数的底)时，试讨论函数)(x f y =的单调性和最值；(2)试讨论函数)(x f y =的奇偶性；(3)拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数)(x f y =的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数)(x f y =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)C DAB20米参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21-；3．)1,2(-；4．2；5．1360；6．5π3；7．1-；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d -．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以3π2=C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有CcB b sin sin =，即.1435sin sin ==c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin(=-=+.1435=………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin =，即.1433sin sin ==c C a A 所以.1413sin 1cos 2=-=A A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222=-+=bc a c b A ，所以.1433sin =A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++，所以1[150.14]0.065x =-⨯=．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=(人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360⨯=(人),620260⨯=(人),610160⨯=(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．因为平面⊥ABD 平面BCD ，ABDEF有AE ⊥平面BCD，则AE =……………………4分所以11122332BCD V S AE ==⨯⨯⨯ △．………2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥．……………………1分证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．因为AE ⊥平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ⊥，则存在l AD ⊥．……………………4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //……………………1分证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D =矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分……………………2分则，圆O 的方程为10022=+y x ；由221tan =C ，10=OE 得220=CE ，30=CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221+=x y ．所以直线OE 的斜率为22-，其方程为x y 22-=，将其代入10022=+y x ，得点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD =+，即222)10(30r r =-+，解得50=r ．所以，圆M 的方程为22250)40(=++y x ，故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤---<≤-+=.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分(2)解1：由点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3220,310，得22arctan 2π-=∠EOF ，CDAB20米E OFxy所以圆弧EF 的长为⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π10≈3.398，……………………2分由点D 的坐标为()0,30，点M 的坐标为()40,0-，得43arctan =∠DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan50≈32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为+220⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π1043arctan 50+9.63≈m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分……………………2分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD =+，即222)10(30+=+r r ，解得40=r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30(=-+-y x ，将直线OG 的方程代入10022=+y x 得，点G 的坐标为()6,8故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---<≤---<≤-+=.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3220,310OE ，)8,6(=OG ，则15283,cos +-==〉〈OG OE OG OE ，即，15283arccos ,+-=〉〈OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos 10+-≈9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π-=∠OND ，所以圆弧GD 的长为⎪⎭⎫ ⎝⎛-34arctan 2π40≈25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为+22015283arccos10+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34arctan 2π40≈63.9m ．………2分CDAB20米EGOxy(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分方案2：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f -⋅-=e e )('，当0≤k 时，0)('>x f ，故函数)(x f y =在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y =在R 上无最值．……………………1分当0>k 时，令0)('=x f ，得k x ln 21=，所以，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈k x ln 21,时，0)('<x f ，函数)(x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k ln 21,上为严格减函数；…1分当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,ln 21k x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y =在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y =为偶函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=---x x a a k ⇔1=k ．故，1=k 是)(x f y =为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y =为奇函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f -=-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅----；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=++-x x a a k ⇔1-=k ．故，1-=k 是)(x f y =为奇函数的充要条件．……………………3分当1±≠k 时，)(x f y =是非奇非偶函数.(3)①当0<k 时，函数)(x f y =有对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛-0),log(21k ．即，当0<k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=--))((log x k f a )(x f -．………2分证明：当0<k 时，令0)(=x f ，解得)(log 21k x a -=为函数)(x f y =的零点由xx a k a x f -⋅+=)(得，=--))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a -----⋅+x x a a k -⋅-=-)(x f -=．……………………2分②答案1：当0>k 时，函数)(x f y =有对称轴k x a log 21=．即，当0>k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=-)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0>k 时，由xx a k a x f -⋅+=)(得，=-)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a ---⋅+x x a a k +⋅=-)(x f =．答案2：当1=k 时，)(x f y =的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-．………………………………………………1分答案3：当0<k 时，函数)(x f y =的零点为)(log 21k x a -=，即.0)(log 21=⎪⎭⎫⎝⎛-k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y =的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。
2024年上海宝山区高三二模数学试卷和答案
上海宝山区2023-2024学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.抛物线y x 42=的焦点坐标为______.2.已知3tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα_______.3.将()02>a a a 其中化为有理数指数幂的形式为_______.4.已知向量()2,2m a =，()1,1+=m b ，若10=⋅b a ，则实数=m .5.设实数y x 、满足()()()i 1i i 42i i +-=+-+y x y x ()为虚数单位i ，则=+y x .6.有一组数从小到大．．．．排列为：3，5，x ，8，9，10.若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.7.已知集合{}3,12++=a a A ，，且A ∈1，则实数a 的值为.8.在数列{}n a 中，()21lg,211≥-+==-n n na a a n n 且，则=100a _______.9.某公司为了了解某商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价x （元/件）1015202530月销售量y （万件）1110865由表中数据可得回归方程y ax b =+中0.32a ∧=-，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为万件.10.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，以双曲线的右顶点A 为圆心，b 为半径作圆，圆A与双曲线的一条渐近线交于N M 、两点，若60=∠MAN ，则双曲线的离心率为_______.11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O 的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地11n n A A B B ；假设2：视探照灯为点M ，且距离地面20米；假设3：探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M 以某一俯角从1k k A A +侧扫描到1k k B B +侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环(),...3,2,1=k S k .由此，通过调整M 的俯角，逐次扫描形成扇环1S 、2S 、3S L .第一次扫描时，光斑的长轴为EF ，||30OE =米，此时在探照灯M 处测得点F 的俯角为30（如下右图）.记1||k k k A A d +=，经测量知1||80n A A =米，且{}k d 是公差约为1.0米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a 、b 满足：2a b ⋅=，||1b = ，且存在实数t ，使得||2||0a a tb -+≥成立，则由a 构成的空间几何体的体积是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13.已知0>>b a ，则（）.A ．22ba >B ．ba22<C ．2121ba <D ．ba 2121log log >14.已知随机变量X 服从正态分布()20σ，N .若()65=≤a X P ，则()=≤a X P （）.A ．32B ．21C ．31D ．6115.已知直线n m l 、、与平面βα、，则下列命题中正确的是（）.A ．若βα//，α⊂l ，β⊂n ，则n l //B ．若βα⊥，α⊂l ，则β⊥l C ．若α⊥l ，β//l ，则βα⊥D ．若n l ⊥，n m ⊥，则ml //16.数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列{}n2为“某数列”；②对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“某数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n c b a +=.则下列选项中正确的是（）.A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知C A B C A sin sin sin sin sin 222+=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求c a +的最小值，并判断此时ABC ∆的形状.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径.（1）求证：P A BP 1⊥；（2）若,60,2=∠=BOP OA 圆柱的体积为π216，求异面直线AP 与B A 1所成角的大小.19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为21，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为21，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为53，若前一次没投进，则该次投进的概率为52.(1)求甲投篮3次得2分的概率；(2)若乙投篮3次得分为X ,求X 的分布和期望；(3)比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）已知双曲线1222=-y x 的左、右顶点分别为B A 、，设点P 在第一象限且在双曲线上，O 为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若,9≤⋅PB P A 的取值范围；（3）椭圆C 的长轴长为22，且短轴的端点恰好是B A 、两点，直线AP 与椭圆的另一个交点为Q ．记POA ∆、QAB ∆的面积分别为1S 、2S .求2221S S -的最小值，并写出取最小值时点P 的坐标.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数()y g x =的表达式为()sin()g x x ω=()0ω>.（1）若1ω=，直线l 与曲线()y g x =相切于点(,1)2π，求直线l 的方程；（2）函数()y g x =的最小正周期是2π，令()()ln h x x g x x =⋅-，将函数()y h x =的零点由小到大依次记为12,,,,n x x x (1,)n n N ≥∈，证明：数列{sin }n x 是严格减数列；（3）已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()(2)()0f x a f x a +=->，对任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =.记()()()F x f x g x =+，1()()()2G x f x g x =++.当ω=π时，是否存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立？若存在，求出符合题意的12x x 、；若不存在，请说明理由.参考答案1.()1,0 2.21 3.45a4.25.26.5.77.08.49.6.110.33211.1512.89π12.解：由已知得22||4||a a tb ≥+ ，所以2223||84||0a tab t b +⋅+≤ 所以存在实数t ，使得不等式224163||0t t a ++≤ 有解，则0∆≥，解得||a ≤又因为2a b ⋅= 且||1b =，所以a 在b 方向上的数量投影是2，所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母的圆锥（如图）故由a 构成的空间几何体的体积218239ππ⋅⋅=13.A 14.A 15.C 16.C17.解：（1）由正弦定理得ac b c a +=+222..........................2分又由余弦定理得2122cos 222==-+=ac ac ac b c a B ...............................4分因为B 是三角形内角，所以3π=B ....................................6分（2）由三角形面积公式3433sin 21sin 21====∆ac ac B ac S ABC π..........................8分得4=ac .........................10分因为42=≥+ac c a ，当且仅当2==c a 时取等号，........................12分所以c a +的最小值为4，此时ABC ∆为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱1OO 中，易知O AB 圆⊥，从而AP 是P A 1在圆O 上的投影.....2分又AB 为圆O 的直径，可得AP BP ⊥.......................4分由三垂线定理，就得P A BP 1⊥.......................6分（2）延长PO 交圆O 于点Q ，连接BQ 、Q A 1、AQ ，易知AP BQ //，BQ A 1∠（或其补角）即为所求的角..........................8分由题知πππ2164112=⋅=⋅⋅=AA AA OA V 解得241=AA .................................10分BQ A 1∆中，34,6,3211===B A Q A QB 由余弦定理得2134322364812cos 1=⋅⋅-+=∠BQ A .......................13分从而601=∠BQ A 所以异面直线AP 与B A 1所成角的大小为60................................14分19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率8321121213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=C p .................3分（2）由题意知X 的所有可能取值为6,4,2,0则()1339025550P X ==⨯=.................4分()1231221328225525525525P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................5分()1321221238425525525525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................6分()1339625550P X ==⨯⨯=.................7分随机变量X 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5096258425825090..................8分期望()98890246350252550E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.................9分（3）设甲三次投篮的得分Y ，则Y =6,4,2,0可求得随机变量Y 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛816834832810所以()3816834832810=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .............11分()3381683483281022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=Y D ...........12分又可算得()25973509625842582509022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=X D .......13分因为()()Y E X E =，()()Y D X D >所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分另解：设甲三次投篮的次数为ξ，3,2,1,0=ξ则()23213=⨯=ξE 设甲的投篮得分为Y ，则ξ2=Y ，从而()()()322===ξξE E Y E 20.解：（1）两条渐近线方程为02=±y x .............................1分()()1,2,1,221-==n n 设两条直线夹角为θ，则313312cos =⋅-=θ........................2分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为31...............................3分（2）设()()0,1,,1111>>y x y x P ，由已知得()()0,101B A 、，-..................4分()11,1y x P A ---=，()11,1y x PB --=，则912121≤+-=⋅y x PB P A 得102121≤+y x ..............................6分又点P 在双曲线上，有122121=-y x 即()122121-=x y 从而()10122121≤-+x x 得421≤x .又点P 是双曲线在第一象限的点，所以(]4,121∈x .()(]10,123122121212121∈-=-+=+=x x x y x OP (]101，OP ................................9分（3）椭圆C 中1,2==b a ，焦点在y 轴上，标准方程为1222=+x y ..................10分设()()0,0,,2222>>y x y x Q ，直线AP 的斜率为()0,>k k 则直线AP 的方程为()1+=x k y 联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122x y x k y 得()02222222=-+++k x k xk 该方程的两根分别为1-和22222k k x +-=同理可得22122k k x -+=所以121=⋅x x .........................12分记2121111y y S S POA =⨯⨯==∆222221y y S S QAB =⨯⨯==∆..........................13分则()()2522112124142221222122212221-+=---⨯=-=-x x x x y y S S 21251225222121-=-≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x当且仅当212122x x =即221=x 时取等号，.....................15分所以2221S S -的最小值为21-，此时点P 的坐标为()22，.................16分另解:1,12211+=+=x yk x y k AQ AP 因为AQ APk k =，所以112211+=+x yx y 即22221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x y 又()122121-=x y ，()222212x y -=，代入上式化简得11112211+-=+-x x x x ，整理得121=⋅x x 21.解（1）1ω=时，()sin ,g x x =则'()cos g x x =..................1分从而'(cos022k g ππ===..................3分所以直线l 的方程是1y =..................4分（2）由22ωπ=π，可知1ω=，则()sin ln h x x x x =-（0x >），.......................5分当()0h x =时ln sin xx x=.......................6分①当01x <<时，ln sin 0,0xx x><，此时函数()y h x =没有零点；.....................7分②当1x ≥时，因为2ln 1ln ()'x x x x -=，可知ln x y x=在[]1,e 上严格增，在[,)e +∞严格减又sin y x =在[1,]2π上严格增，在[,]2e π严格减，所以[1,]x e ∈时，x y sin =在e x =时有最小值sin e ，xxy ln =在e x =时有最大值ln 1e e e =因为1sin e e >所以ln sin x x x=在[1,]e 上没有交点，即()sin ln h x x x x =-在[1,]e 上没有零点.......................9分所以函数()y h x =的零点n x 满足12n e x x x <<<<< ，.因为ln x y x =在[,)e +∞严格减，所以1212ln ln ln n nx x x x x x >>>> .又因为ln sin nn nx x x =，所以数列{sin }n x 是严格减数列........................10分（3）因为[]()(2)(4)(4)f x f x a f x a f x a =-+=--+=+，所以()y f x =是以4a 为周期的周期函数.................11分因为任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =，所以当x a =时，()y f x =在[0,2]a 上有唯一的最大值1...............................12分由ω=π得()sin g x x =π，()()sin ,()()cos F x f x x G x f x x =+π=+π................13分假设存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立，即[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立故，当()14x a ka k Z =+∈时，1()f x 取得最大值1；当()122x m m Z 1=+∈时，1sin x π取得最大值1由422a ka m 1+=+，可知4182m a k +=+①时，()11max ()sin 2f x x +π=...................15分又因为()y f x =是奇函数，所以当x a =-时，()f x 在[20]a -，上有唯一的最小值1-故，当()24x a na k Z =-+∈时，2()f x 取得最小值1-；当()212x t t Z =+∈时，2cos x π取得最小值1-由412a na t -+=+，可知2141t a n +=-②时()22min ()cos 2f x x +π=-.....................17分若[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立，则由①②得41218241m t k n ++=+-，即(41)(41)(21)(82)m n t k +-=++因为,,,m n k t Z ∈，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分。
2024届上海市松江区高三二模数学试题及答案
上海市松江区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 2y x 的定义域是．2.在复平面内，复数z 对应点的坐标是 1,2，则i z ．3.4.已知点5.已知7x 6.7.8.9.已知1F 10.11.已知0 的取值范围是．12.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,,30 ，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合04A x x ，2,B x x n n Z ，则A B （）.A 1,2；.B 2,4；.C 0,1,2；.D 0,2,4．14.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x ，则下列说法错误的是（）.A 变量x 、y 之间呈正相关关系；.B 可以预测当8x 时，y 的值为6；.C 3.9m ；.D 由表格中数据知样本中心点为 3.5,2.85．15.已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b ．若a 、b 是函数2y ax bx c 的两个零点，则a 的取值范围是（）.A 12．16.设n S ,2k N k ，则12S S ,2k N k ，则12S S .A .C 三、17.设 f x 为 ．（1）（2）， 32f A，求角C ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD 平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；（2）若2AB ，60DAB ，PD ，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小．19.现有甲、乙、，且每人能否闯（1）（2） E X ；（3）丙第20题图如图，椭圆22:12y x 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆 上．（1）求线段MN 的长；（2）若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ 的面积；（3）是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．已知函数 ln f x x x a （a 为常数），记 y f x x g x ．（1）若函数 y g x 在1x 处的切线过原点，求实数a 的值．（2）对于正实数t ，求证： ln 2f x f t x f t t a ；（3）当1a 时，求证： e cos xg x x x．上海市松江区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案一、填空题1．(2,)2．2i3．0.24．1225．216．37．58．4910．(1,2)11．10,1212．1540二、选择题13．D14．C15．B16．C三、解答题17．解：（1）2()sin sin222f x x x x1cos 1=sin()2262x x x .……3分因为函数()y f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以2 T ，即22,1T.所以1()sin(62f x x .……6分（2）由3()2f A，得13sin(),sin()16226A A .2(0,)3A A.……9分，由sin sin a b A B ,sin B，化简得sin 2 B 所以角4 B .……12分所以角23412C .……14分218．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以//CD AB ，解法2：如图建系，由题可得：2AC BD ，则A， 0,1,0B ， 0,1,0D ， 0,1,P ， 0,1,E ，……8分所以 0,2,BE ， DA， 0,0,DP，设平面PAD 的法向量为 ,,z n x y，由00n DA n DP，得00y ，解得0y z，取1x ，可得平面PAD 的一个法向量为n.……12分设直线BE 与平面PAD 所成角的大小为090，x yzO3则1sin cos 22n BE n BE，解得30 ,所以，直线BE 与平面PAD 所成角的大小为30 .……14分19．解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件A ， 甲乙丙各自闯关成功的概率分别为134p ，223p ，312p ，每人能否闯关成功相互独立，解法1： 3323212311144343224P A解法2： P A 123111231(1)(1)(1)143224p p p ．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目X 的可能取值是1、2、3，11P X p ， 1221P X p p ， 12311P X p p ，所以X 的分布是： 11212123111p p p p p，……7分所以 1121212122(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p ．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人员数目Y 的分布是： 33232123111p p p p p，则 323223E Y p p p p ，所以 121232322323E X E Y p p p p p p p p ，21313213220p p p p p p p p ……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小．……14分4521.(1)因为 ln +g x x x ，所以 22'g x x x x ，所以 '11g a ．……2分又因为 1ln11a g a ，所以 g x 在1x 处的切线方程为： 11y a x a ．点 0,0O 代入切线方程可得12a ．……4分(2)设函数 0h x f x f t x t ，ln ln +2h x x x t x t x a ，0x t .ln 1ln 1ln x h x x t x t x.……6分令 0h x ，得：2102x x t t x t t x t x ． h x 在,2t t 上严格递增；在0,2t 上严格递减； h x 的最小值为2t h，即总有： 2t h x h ．……8分而 ln +2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a∴ ln 2f x f t x f t t a ．……10分6(3)当1a 时，即证1e ln cos xx x x x，（0x ）由于 cos 1,1x ，故e e cos 1x x x x x，只需证1e ln 1xx x x ，……12分令 1e ln 10xk x x x x x，只需证明 0k x .而 22211e e 111x x x x k x x x x x’，……14分因为0x ，所以1e 0x ，令 '0k x 得：01x ，令 '0k x 得：1x ，所以 k x 在1x 处取得极大值，也是最大值，……16分所以 max 12e<0k x k ，故 0k x 在 0,x 上恒成立，结论得证.……18分。
淮南市(二模)2023届高三第二次模拟考试数学试卷及答案
淮南市2023届高三第二次模拟考试学试题数本试卷分为第I卷（选择题〉和第E卷〈非选择题〉两部分．考试时间120分钟．第I卷，．．．．．．． 3、N··一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1己知全集U=R ，集合A＝�eRly＝�｝，则CuA=<D . {x i x 三－1}C .{x lx 豆－1}B .{x lx <O }A .{x lx <-1}2己知复数z 满足（2-i)·z = i2023,(i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于〉A.第一象限B.第二象限c.第三象限 D.第四象限3.四位同学各自在“五一”劳动节五天假期中任选一天参加公益活动，则甲在5月1日、乙不在5D .-25c 土25月1日参加公益活动的概率为（4 B. -54己知函数f(x )=A s 叫ω＋的，［A ＞阳〉喇〈立的相邻两个对称中心距离为2且图\2)象经过Ml 乏，A i ，若将f(x ）图象上的所有点向右平移至个单位长度得到函数g(x ）的图象，飞。
）6则函数g(x ）的单调递减区间是〈 B.[k π中π刽k eZ［叶，kπ叶ke ZA.D.[k 什叶十εZC.[k 7r,ktr +f J.k eZ〉〉汩。
A ..!_52,r5.在A ABC中，己知LACB＝一－，BC=4,AC=3,D是边AB的中点，点E满足3一－3一－1一一一一一『A E=-AB+-AC，则CD·DE=()4 4A.－三B.l c ..!.8 2 86.我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等，在《算学启蒙》中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有I,3, 6, 10, 15, ...，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有L4, 9, 16, ...，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是〈（参考公式：川山·＋n2＝巾＋俨1))A.4,11B.5,12 c.6,137.如圈，αiβ，αnβ＝l,Aeα，Beβ，点A,B在棱l上的射影分别是码，B i，若AA1=BB1 =2, AB=4，则异面直线AB1与A1B所成角的余弦值为D.7,14A.主B.I第7题图5521c.一D.一338.定义在R上的函数f(x）满足f(-x)+f(x)+2cosx=0，当x�O时，J'(x)>sinx，则不等式f(x)+2cosx>f（π－x）的解集为A.(J, +co)B.（斗） c.（－咒） D.（一∞，π）二、多项选择踵I;I 尔踵共4,J、踵，每小题5分，共20分．在每小踵给出的选项中，有多项符合匾目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.己知单位向盘a,b ，则下列命题正确的是（A. (;i+b ）土（;i -b )B剖＝（－手，J.b -(coC若｜二－bl 川，记向盘二，5的夹角为θ，则θ的最小值为子’－－‘’霄『－．－D 若（a.b) ＝二，则向盘b栩如上的投影向盘是γ飞’I 3IO.己知圆M 的方程为：x 2+y 2+ax ＋咿－2a-4=o,(a εR ），点P(l,l ），给出以下结论其中正确的有（A.过点P 的任意直线与圆M都相交B若因l M 与直线川＋川无交点则ae （÷棉）C.四M 面积最小时的圆与圆Q:x 2+ y 2 +6x-10y+16=0有三条公切线D.无论。
2024届上海普陀区高考数学二模试卷及答案
普陀区2023 -2024学年第二学期高三数学质量调研2024.4考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得票分.1.已知复数1i z =+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点的坐标为______.2.已知R a ∈，设集合{1,,4}A a =，集合{1,2}B a =+，若A B B =，则a =______.3.若3cos 35πθ⎛⎫−=⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 4.已知()2~4,2X N ，若(0)0.02P X <=，则(48)P X <<=______. 5.若实数a ，b 满足20a b −≥，则124ab+的最小值为______.6.设2012(1)(1,N)nn n x a a x a x a x n n +=++++≥∈，若54a a >，且56a a >，则1ni i a ==∑______.7.为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.若表中数据可用回归方程 2.3(118,N)y x b x x =+≤≤∈来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为______.（精确到整数）8.设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是______.9.若向量a 在向量b 上的投影为13b ，且|3|||a b a b −=+，则cos ,a b 〈〉=______.10.已知抛物线2y =的焦点F 是双曲线Γ的右焦点，过点F 的直线l 的法向量(1,3)n =−，l 与y 轴以及Γ的左支分别相交A ，B 两点，若2BF BA =，则双曲线Γ的实轴长为______.11.设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki ii m t S==−∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++，则(2024)f =______.12.已知R a ∈，若关于x 的不等式(2)e 0xa x x −−−>的解集中有且仅有一个负整数，则a 的取值范围是______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A 、B ，白球标记为C ，则它的一个样本空间可以是（ ）A .{,}AB BC B .{,,}AB AC BC C .{,,,}AB BA BC CBD .{,,,,}AB BA AC CA CB14.若一个圆锥的体积为3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为2π，则该圆锥的侧面积为（ ）AB .2πC .D .15.直线l 经过定点(2,1)P ，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，动圆M 在OAB △的外部，且与直线l 及两坐标轴的正半轴均相切，则OAB △周长的最小值是（ ）A .3B .5C .10D .1216.设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +−−<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A .①成立②成立B .①成立②不成立C .①不成立②成立D .①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤S ABCD −ABCD 2SA SB ==E F SC 17.（本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分8 分如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1 的正方形， ， 、 分别是、BD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ； （2）若二面角S AB D −−的大小为2π，求直线SD 与平面ABCD 所成角的大小. 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0ϕπ<<，它的最小正周期为π.（1）若函数12y f x π⎛⎫=−⎪⎝⎭是偶函数，求ϕ的值；（2）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，6A π=，2B f ϕ−⎛⎫=⎪⎝⎭，求b 的值.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.（1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件B 为“大货车从中间直行车道通行”，求()P AB ；（2）用X 表示张先生每周工作日出行事件A 发生的次数，求X 的分布及期望[]E X .20.（本题满分18 分）本题共有 3 个小题，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分.设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，Γ的离心率是短轴长的4倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBF S ∆的值；（3）设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于函数()y f x =，1x D ∈和()y g x =，2x D ∈，设12D D D =，若1x ，2x D ∈，且12x x ≠，皆有()()()()1212(0)f x f x t g x g x t −≤−>成立，则称函数()y f x =与()y g x =“具有性质()H t ”.（1）判断函数2()f x x =，[1,2]x ∈与()2g x x =是否“具有性质(2)H ”，并说明理由；（2）若函数2()2f x x =+，(0,1]x ∈与1()g x x=“具有性质()H t ”，求t 的取值范围； （3）若函数21()2ln 3f x x x=+−与()y g x =“具有性质(1)H ”，且函数()y g x =在区间(0,)+∞上存在两个零点1x ，2x ，求证22122x x +>.参考答案一、填空题 1.()1,1− 2. 2 3.354.0.485. 26. 10237. 578. q=39.310.2 11. 7 12.211,23e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题13.B 14. C 15. C 16. D 三、解答题 17.（1）证明略（2）3π18.（1）23π（2）19.（1）16（2）分布列：01234532808040101243243243243243243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，期望5320.（1）2212x y +=（2）1（3）21.（1）具有，说明略 （2）[)2,+∞（3）证明略。
2024届上海市长宁区高三下学期二模数学试卷(解析版)
2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。
江西省南昌市2023届高三二模数学(文)试题(含答案)
江西省南昌市2023届高三二模数学〈文〉试题学校姓名：班级－考号：一、单选题l.己知集合A={xl ι4x-5豆叶，B = {xjlog 2 x ＜牛则A r B =( ) A.(-1,4)B.[-1,4]c.[-l,5]D.(0,4)2.己知复数z满足（z+i)i=l+z ，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C 第三象限D.第四象限7π3.执行如l到所示的程序框图，若输入x ＝τ，则输出y的值为（）开始每�d－2A ..fj B.－一－l－2C D.24已知数列｛a 小若a ,+a zn ”I =4n-6，则。
7= ()A.9B.l lc.13 D.155.己知α＝log, 0.4, b = l og 0., 0.2, c = 0.4°·2，则（〉A.C>a>bB.c>b ＞。
C.b>c>aD.a>c>b6.己知函数f（对＝2•;n，，命题p :3码，与ε（0，π），使得f (x,)+ f （毛）＝2，命题q:Vx,,Xz el －�，.＇.： I，当引〈乓时，都有！（，飞）＜f(x 2），则下列命题中为真命趣的是（〉飞Z 2)A.pvqB.p,-...qC.pA （「q)D.(-p )A(-q)7.己知抛物线C:y 2=4x 的准线为l，点Mf是抛物线上一点，若因M过点A(3,0）且与革线l相切，则因M与y轴相交所得弦长是（A. 2../2B. 2./3c.4 D.2./5P-ABC 的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，贝I]三棱锥P-ABC 的体积为（〉’...＋ (7)A／主视BA..!_B.14－3户UD.豆39.己知如t J ｛饨，｝的前峭的积为T,，，若a.＝＿＿！！＿＿，则汇的最大值为〈〉2n-5A.豆3B.2c .1D . .!_310.在“ABC 中，角A,8, C所对的边分别为α，b,c ，若a 2,b 2,C 2成等差数列，且J JJC 的丽积为号，则叫＝（A.tB. 2A吨－qJCD.三411.己知函数f(x)= X 3＋旷＋bx+c 的三个零点分别为1，抖，毛（O<x,＜与），若函数/(x + I）为奇函数，则／（2）的取值范围为（〉A. [0,1]B.(0,1)c.(0,2)D.[0,2J12.己知M是因C : (x-1)2 + y 2= 4上的动点，以点M为圆心，IOMI为半径作圆M,设圆M 与圆C 交于A,B 两点，则下列点中，直线AB 一定不经过（）、飞’EE，，／AU4－5／fa『B’飞、A、、It－－／l －2 ， －A －qtM fttlk口υc肚子）、、IBEE－J 5－4AU／FIll－－、D二、填空题13.f(x）是以2为周期的函数，若xe[O,I J时，I＜心＝2‘，则／（3）＝一一一一··14.某红绿灯十字路口早上9点后的某分钟内10辆汽车到达路口的时间依次为（单位：在n,l, 2, 4, 7, I L 16, 21, 29, 37, 46，令A(i)(i = I, 2, 3, · ·, 10）表示第i辆车到达路口的时间，记B(i)= A(i)-A (i-l)(i = 2, 3, ·, 10），则B (i ）的方差为－15.圆锥曲线都具有光学性质，女日双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发敞的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截而因是一条双曲线的部分，AP 是它的一条对称轴，F 是它的FBC 90？，贝I]1亥双曲线的离心率等于一一一一··A16.己知正四面体的棱长为2币，现截去四个金等的小正四面体，得到如图的八丽体，若这个八面体能放进半径为J6的球形容！击cl才，则截去的小正四面体的楼长最小值为．三、解答题17.如｜因是瞅f(x）＝叫叫（仙O叫司的部分图象己知AB·A印y, 步BA x(1）求ω：（�）＝子求伊创胖.r18.如阂，在四棱锥P-ABCD中，已知底iii ABCD是边长为4的菱形，平面PABJ_平π面ABCD，且ζPAB=LDAB＝一，PAJ_PB，点E在结段附上，BE=2PE.3c(1）求证：AB.LDE;(2）求点E jlj平丽PAD 的距离19.一地质探测队为探测一矿中金属键的分布悄况，先设了l个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为儿，其中x = i (i = 1,2,3,4,5），并得到了各采样点金属锐的含量Y ；，得到一组数据（码，只），i =1,2,3,4,S ，经计算得到如下统计量的值：主只＝62，主（λ；-x ）（川）＝47，主li;""4.烈主（川)2,::: l饥�：（u, -u)(y, -y) "'19.38，其中问＝I叫，（i = 1,2,3,4,5).(1）利用相关系数判断y =a+bx 与y ＝α＋blnxl!)J l l 一个更适宣作为y关于x的回归模型：(2）建立y关于x的回归方程．参考公式：回归方程y ＝α＋bf 中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为艺（t,－η（y;-y) 艺以－f 冯工（t;-T)(y, -y)b = .l=• " ＝牛一一－,a= y-bt ,三（，，-r )'L r? -n,-2 19.382参考数据：－一一＝232.56l .615，＝i（卜，')120.己失u椭困C ：兰＋t =l （α＞b >O ）的焦距为2♂，左、右］页，奇分别为A ，’Az，上顶α0 为8，且t a nLA,B O =2.(1）求椭圆C的方程：(2）若过A，且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交干点Q ，与Z主线A,B 相交于点P,与y辅相交子点M ，旦IPAillMQI = 3IQAzllM叫．求k的值．21.己知函数f （巾。
2024北京西城区高三二模数学试题及答案
2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)
江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
北京市西城区高三数学第二次模拟考试 文(西城二模)(含解析)北师大版
北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。
2024届湖南省邵阳市高三下学期二模数学试题及答案
2024年邵阳市高三第二次联考试题卷数学本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.一组数据：11,30,31,25,20,32,41的第30百分位数为（ ）A.30B.31C.25D.202.若集合{}*28,xA xx =>∈N ∣，集合{}2780B xx x =--<∣，则A B ⋂的真子集个数为（ ）A.14B.15C.16D.313.已知α为锐角，若1sin 4α=，则2cos2α=（ ）4.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）A.240种B.120种C.156种D.144种5.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，2,1,45AB CD A ∠=== .点P 在线段AB 与线段BL 上运动，则EH FP ⋅的取值范围为（）A.[]4,6-B.[]0,6C.[]0,8D.[]4,86.已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,60,2ABC ABC PA AC ∠=== ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A.14π3 B.28π3C.10πD.5π7.已知直线:220l x y --=与椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点.若弦AB 被直线:20m x y +=平分，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12 8.已知函数()f x 的定义域为(),f x 'R 为()f x 的导函数.若()1e f =，且()()e xf x f x +<'在R 上恒成立，则不等式()()2e xf x x <-的解集为（）A.(),2∞-B.()2,∞+C.(),1∞-D.()1,∞+二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()sin3f x x x =+，则下列结论正确的有（ ）A.()f x 的最小正周期为2π3 B.()f x 关于点π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 关于直线π18x =对称 D.()f x 在区间π7π,618⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减10.已知复数12,z z 满足：1221,22i z z z ==--（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的有（ ）A.()11i 2z -=B.11i z =-C.12z z -的最小值为1-D.12z z -的最大值为1+11.已知函数()f x 在R 上可导，且()f x 的导函数为()g x .若()()()42,21f x f x g x =-+-为奇函数，则下列说法正确的有（ ）A.()10g =B.()20f =C.()()28f f =D.20241()4048i f i ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若51525,60S S ==，则47a a +=__________.13.在ABC 中，π,3A AB =AB ，则cos C =__________.14.已知0,0x y >>2x y >+恒成立，则实数m 的取值范围是__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）如图所示，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD .（1）证明：1BD CC ⊥；（2）若1112,1,60AB AA A B ABC ∠==== ，棱BC 上是否存在一点P ，使得平面1AD P 与平面1ADD .若存在，求线段CP 的长；若不存在，请说明理由.16.（15分）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求a 的值及样本平均数的估计值；（2）若所有学生的初试成绩X 近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ为样本平均数的估计值，10.5σ=.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x ，答对物理题的概率为y .若小明全部答对的概率为18，答对两道题的概率为P ，求概率P 的最小值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-+≈……，()()220.9545,330.9973P X P X μσμσμσμσ-+≈-+≈………….17.（15分）设函数()()1e ,0xf x m x m =+>.（1）求()f x 的极值；（2）若对任意()1,x ∞∈-+，有()ln 2e xf x …恒成立，求m 的最大值.18.（17分）已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为()1F ，点(M 在双曲线上，直线l 与双曲线Γ交于,A B 两点.（1）若l 经过点()2,0-，且90AOB ∠= ，求AB ；（2）若l 经过点1F ，且,A B 两点在双曲线Γ的左支上，则在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值.若存在，请求出QAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由.19.（17分）给定整数3n …，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.（1）分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3, 1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）（2）任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +…；（3）当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.2024年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8.D 解析：构造()()()()()()()()2e e e ,10,eeex xxxxxf x f x f x f x f xg x x g x g x -⋅-+=+=+=<''∴' 在R 上单调递减，由()()2e xf x x <-得：()()()1e 2e ,21eex x xf x f f x x x +<+<=+，即()()1g x g <.1x ∴>，故选D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）11.ACD 解析：由()()24f x f x ++=，知()y f x =的周期为4.且()()()()()()][()()123413248f f f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦，所以2024411()506()4048i i f i f i ====∑∑，故D 正确.由()21g x -为奇函数知()g x 关于()1,0-对称，所以()10g -=.由()()24f x f x ++=得()()2f x f x ++=''0，即()()20g x g x ++=.故()g x 的周期为4且()()110g g -+=，可得()10g =，故A 正确.由上知()g x 的周期为4且()g x 关于()1,0-对称，所以()g x 关于()3,0对称.则有()()60g x g x +-=，即()()60f x f x '+-='.所以()()6f x f x c --=，令3x =，得0c =.故()()60f x f x --=，所以()f x 关于3x =对称.又()()244f f +=，所以()()242f f ==，故B 错误.又()()48f f =，所以()()28f f =，故C 正确.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.914.()∞+14.()∞+ 解析：原不等式等价于m >，令z ==.令t =+t …，则z t ==在()∞+上单调递减，z m ∴=∴>…故m 的范围是()∞+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）（1）证明：连接,AC 底面ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥.又1AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥.又1,AC AA A BD ⋂=∴⊥平面1A AC .四棱台1111ABCD A B C D -中，11,AA CC 延长线交于一点，11,,,A C C A ∴四点共面.1BD CC ∴⊥.（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()(10,0,0,0,2,0,A D D ，若存在点P满足题意，则设)[],0,1,1Py y ∈-.易知平面1AD D 的一个法向量()1,0,0,n = 设平面1AD P 的法向量()000,,m x y z =.()1,,0AD AP y ==.则10,0.m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则00000,0.y y y ⎧+=⎪+⋅=令0y =，则()001,,1z x y m y =-=-=--.cos ,m n m n m n ⋅∴===⋅，解之得12y =±.故在棱BC 上存在点P 满足题意，此时12CP =或32CP =.16.（15分）（1）()100.0120.0260.0320.011a ⨯++++= ，0.02a ∴=.样本平均数的估计值为500.12600.26700.32800.2900.169⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）69,10.5μσ== .()()10.95459020.022752P X P X μσ-∴=+==…….∴能参加复试的人数约为400000.02275910⨯=（人）.（3）由题意有218x y =.答对两道题的概率()()212221123P x y C x x y x xy x y =-+-=+-.而22113848x y P x x =∴=+-.令()213(01)48f x x x x =+-<…，则()2124f x x x=-'，∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减；1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.∴当12x =时，min 3()8f x =.故概率P 的最小值为38.17.（15分）解：（1）()()2e ,0xf x m x m =+>'.令()0f x '>，得2x >-，令()0f x '<，得2x <-.故()f x 在(),2∞--单调递减，在()2,∞-+单调递增.()f x ∴在2x =-处取得极小值()22e mf -=-，无极大值.（2）()ln 2e xf x …对()1,x ∞∀∈-+恒成立，即()ln 2e ln 1xm x x -+-…对()1,x ∞∀∈-+恒成立.令()()()2e ln 1,1,xg x x x x ∞=-+-∈-+，则只需min ln ()m g x …即可.()()12e 1,1,1x g x x x ∞=--∈-++'.()g x '在()1,∞-+上单调递增且()00g '=.∴当()1,0x ∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；当()0,x ∞∈+时，()()0,g x g x '>单调递增.()min ()02g x g ∴==.故22ln 2lne ,0e m m =∴<……，故m 的最大值为2e .18.（17分）解：（1）把(M 代入22221x y a b-=得：22461a b-=，又()1,F c ∴=.又222a b c +=，解得1,a b ==.∴双曲线方程为2212y x -=.若直线l 的斜率不存在时，:2l x =-，此时不妨设((,2,A B --.4620OA OB ⋅=-=-≠，舍去.若l 的斜率存在，设l 方程为()2y k x =+，代入2212y x -=，化简得()()222224420k x k x k ---+=.设()()1112,,,A x y B x y ，则22121222442,22k k x x x x k k ++==--，()()()22121212122622242k y y k x k x k x x x x k -⎡⎤=+⋅+=+++=⎣⎦-.90AOB ∠=，得0OA OB ⋅= ，即12120x x y y +=.则222224260.122k k k k k +-+=∴=--.AB ===（2）假设存在(),0Q m ，使得QA QB ⋅为定值.设l 方程为x ty =，代入2212y x -=，化简得()222140t y --+=.由题意()2222210,Δ48162116160t t t t -≠=--=+>.12122421y y y y t +==-.由题意221210,210,2y y t t <∴-<<.()()1122,,QA QB x m y x m y ⋅=-⋅-()()1122,,ty m y ty m y =⋅--())()2212121)t y y m t y y m =+-++())22241(21t m t m t =+⋅-+++-2(m =+要使QA QB ⋅41=-，解之得0m =.∴存在()0,0Q ，使得QA QB ⋅为定值-1.此时12112QAB S FQ y y =⋅-===222231,1,1232.2u u t t u u ⎡==+<-=-∴∈⎢⎣….3QAB S u∴==.32y u u =- 在⎡⎢⎣递减，32y u u ∴=-在1u =时取得最大值1.QABS ∴ 的最小值为.19.（17分）解：（1）集合S 是理想数集，集合T 不是理想数集.（2）不妨设集合{}12345,,,,P x x x x x =且125x x x <<< ，即()()15min ,max P x P x ==.P 为理想数集，*,14i i ∴∀∈N ……，则11i i x x +-…，且*00,14i i ∃∈N ……，使得0011i i x x +-=.当10x …时，()()()()()()152132435411min max 2424P P x x x x x x x x x x x x +=+=-+-++-+-++ …….当且仅当11i i x x +-=且10x =时，等号成立；当50x …时，()()()()()()15152132435455min max 2424P P x x x x x x x x x x x x x x +=+=--=-+-+-+---…….当且仅当11i i x x +-=且50x =时，等号成立；当150,0x x <>时，()()()()()()151521324354min max 4P P x x x x x x x x x x x x +=+=-+=-+-+-+-….当且仅当11i i x x +-=时，等号成立.综上所述：()()min max 4P P +….（3）设122024x x x <<< .P 为理想数集.*1,12023,1i i i i x x +∴∀∈-N ………，且*00,12023i i ∃∈N ……，使得0011i i x x +-=.∴对于{}2025,,j j j P x x P -=⊆ ，同样有*1,11012,1j j i j x x +∀∈-N ……….下先证对n 元理想数集P ，有()()min max 1P P n +-….不妨设集合P 中的元素满足12n x x x <<< .即()()1min ,max n P x P x ==.P 为理想数集，*1,11,1i i i i n x x +∴∀∈--N ………，且*00,11x i n ∃∈-N ……，使得0011i i x x +-=.当10x …时，()()()()()112132111min max 2121n n n n P P x x x x x x x x x x x n x n -+=+=+=-+-++-+-+- ……，当且仅当11i i x x +-=且10x =时，等号成立；当0n x …时，()()()()()1121321min max 2121n n n n n n P P x x x x x x x x x x x n x n -+=+=--=-+-++----- ……，当且仅当11i i x x +-=且0n x =时，等号成立；当10,0n x x <>时，()()()()11211min max 1n n n n P P x x x x x x x x n -+=+=-+=-++-- ….当且仅当11i i x x +-=时，等号成立.()()min max 1P P n ∴+-….()()min max 20252j j P P j ∴+-….当且仅当11j j x x +-=时，等号成立.1202422023101210132023,2021,,1x x x x x x ∴+++ ……….∴理数()212202420231101220232021110122t x x x +⨯=++++++== ….当且仅当10120x =或10130x =时，等号成立.。
上海市虹口区2024届高三二模数学试卷及答案
第10题图1第10题图2上海市虹口区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.若3sin 5x ，则cos 2x ．2.已知一个球的表面积为36 ，则该球的体积为．3.过抛物线24y x 焦点的弦AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长度为．4.5.6.7.8.则lim n n S9.c a 的最大值为10.O ，将篮球且AB BC11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ．若12AB AA ，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段PA 、PM 的长度和的最小值为．第11题图12.已知关于x 的不等式 2ln 340x k x x k x 对任意 0,x 均成立，则实数k 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.欧拉公式e cos sin i i把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos 和sin 联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数z 满足32e 2i z i i，则z （）.A 14.设 f x y g x 的.A 2x对称；.C 2 ．15.②数据③已知.A 16.①对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ；②若 g x 的值域为 ,m M ， 1f m ， 1f M ，则对任意x R 都有 f x g x ．则下列判断正确的是（）.A ①②都是假命题；.B ①②都是真命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①是真命题，②是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列 n a 满足25a ，9672a a ．（1）求 n a 的通项公式；（2）设数列 n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a ，若432m S ，求正整数m 的最小值．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，CA CB ，D 为AB 的中点，2CA CB ，13CC ．（1）求证：1//AC 平面1B CD ；（2）若1CC 平面ABC ，点P 在棱1AA 上，且PD 平面1B CD ，求直线CP 与平面1B CD 所成角的正弦值．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：（1）求样本质量差的平均数x ；假设零件的质量差 2~,X N，其中216，用x 作为 的近似值，求 5668P X 的值；（2）0.9973．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1x y a b（0a b ）的焦距为 0,1P 在椭圆 上，动直线l 与椭圆 相交于不同的两点A 、B ，且直线PA 、PB 的斜率之积为1．（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线PA 的法向量为 1,2n，求直线l 的方程；（3）是否存在直线l ，使得PAB 为直角三角形？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数 y f x 满足：对任意12,x x R ，120x x ，都有12120f x f x x x ，则称函数 y f x 具有性质P ．（1）设 e xf x ， 3g x x x ，分别判断 y f x 与 y g x 是否具有性质P ？并说明理由；（2）设 sin 2f x x a x 若函数 y f x 具有性质P ，求实数a 的取值范围；（3）已知函数 y f x 具有性质P ，且图像是一条连续曲线，若 y f x 在R 上是严格增函数，求证： y f x 是奇函数．上海市虹口区2024届高三二模数学试卷-简答（第18题图1）A 11参考答案和评分标准2024年4月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．7252．36π3.64．,225．126.1447.8．39.112.1,1e二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.D15.C16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：(1)设等差数列 n a 的公差为d ，则由条件，得11158725a d a d a d ， (3)分解得13a ，2d ，故 1121n a a n d n ．……6分（2）由（1）可得123n a n ，则22(23)(21)8(1).n b n n n ……8分所以18,n n b b 故数列 n b 是以116b 为首项、8为公差的等差数列，故168(1)4(3).2m m m T m m……11分因为432m T ，所以23108m m ，所以 1290m m ，所以9m 或12m ．因为m 为正整数，所以m 的最小值是10．……14分18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：（1）连接B 1C 与CB 1底相交于点E ，因四边形11BCC B 为平行四边形，所以点E 是B 1C 的中点.……2分又因D 为AB 的中点，故DE 为1BAC 的中位线，从而1.AC DE ∥……4分故由111B CD DE B D A C C 平面,平面，得（第18题图2）1AC ∥平面1B CD .……6分解：(2)由条件知1,,CA CB CC 两两垂直，故以点C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系;则相关点的坐标为：1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(2,0,3),C A B D A 11(0,2,3),(0,0,3).B C ……8分设点(2,0,t),P 的坐标为则1(1,1,t),(1,1,3),DP DB从而由1(1,1,t)(1,1,3)3t 20,DP DB 得2t .3所以点22(2,0,),(2,0,).33P CP 的坐标为故……10分设平面1B CD 的一个法向量为(,,),n x y z则1(,,)(1,1,0)0,(,,)(0,2,3)230,n CD x y z x y n CB x y z y z即,2,3x y z y取3,y 得(3,3,2).n (12)分设直线CP 与平面1B CD 所成的角为,则222(2,0,)(3,3,2)3sin cos ,2(2,0,)(3,3,2)3CP n (14)分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）由条件得：样本平均数为54557216046632566360100x (2)分由22,,60,16,X N x 得：(5668)(6046024)P X P X ……4分()(22)P X P X0.68270.95450.8186.……6分解：（1）由条件知1,b c (2)分所以2224,a b c 于是椭圆 的方程为22 1.4x y ………4分（2）由条件知：直线PA 的斜率为12，方程为11,2y x 则由2211,214y x x y得，220,x x 所以 2.A x 从而(2,0).A ………6分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为21,y x 同理可得1615(,).1717B所以直线l 的斜率为150()5171662()17A Bk，………8分从而直线l 的方程为50(2),6y x 即55(56100).63y x x y或……10分（3）假设存在满足条件的直线l ，并设直线PA 的方程为1(0),y mx m 则由221,14y mx x y 得22(41)80,m x mx 所以2841A mx m．………12分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为11,y x m同理可得22188144()1B m mx m m故直线l 的斜率为11(1)(1)A B A B A B A BA B A Bmx x mx x y y m m k x x x x x x222222222222224228181(()41(4)41441488(41)(4)()()4144141111(153(1)33m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m分当PAB 为直角三角形时，只有可能90,90,PAB PBA 或于是1,.k k m m或若1k m，由111(),3m m m可得m k 从而若k m ，由11(3m m m可得22m k 也有因此，直线l的斜率为2………18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）()y f x 不具有性质P .理由：取122,1x x ，有21212()()e e01f x f x x x (2)分()y g x 具有性质P .理由：对任意12,x x R ，120x x ，有23322212112211221221212()()1311024f x f x x x x x x x x x x x x x x x x. (4)分（2）函数()y f x 具有性质P ，故对12,x x R ，120x x ，都有1212()()0f x f x x x ，而()y f x 是奇函数，故1212()()0f x f x x x ，即()y f x 是严格增函数， '12cos 20f x a x恒成立. (7)分若0a ，则 min '120f x a ，解得102a ；若0a ，则 '10f x 恒成立；若0a ，则 min '120f x a ，解得102a.综合上述，实数a 的取值范围为11,.22……10分证明：（3）因函数()y f x 的定义域为R ,要证明()y f x 是奇函数，只要证明：对任意实数0,x 000f x f x 即可.对任意实数0,x 设 0,f x c 则由()y f x 具有性质P 知：当00x x 时，000.f x f x x x ① (12)分设 0(),h x f x f x f x c 当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ② (14)分当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ③于是由曲线()y h x 的连续性，函数()y h x 在R 上存在零点,x 即0()()()0.h x f x f x ④……16分由函数()y f x 在R 上严格增，知：函数()y h x 在R 上严格增；所以由②知0,x x 由③知0;x x 故0.x x 故由④得：000()()()0,h x f x f x 即对任意对任意实数0,x 均有000f x f x ；因此，函数()y f x 是奇函数.……18分另证：（3）由()y f x 具有性质P ，知：当0x 时 00f x f ，当0x 时00f x f ，由零点存在定理知 000f f ，即 00f .……12分下面用反证法证明()y f x 是奇函数.假设存在0x 使得 000f x f x ，不妨设00x ，则由()y f x 在R 上严格增，知000f x f f x .若 000f x f x ，则构造函数00()2f x f x F x f x，000000(0)00222f x f x f f x f f x F f，000000()022f x f x f x f x F x f x，由零点存在定理知，存在0(),t x 0,使得()0F t ,……14分即000()2f x f x f t f x；而()y f x 在R 上严格增，同样由单调性知00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，从而有00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，与()y f x 具有性质P 矛盾.……16分若 000f x f x ，构造函数00()2f x f x G x f x，同理也可推出与()y f x 具有性质P 矛盾.综合上述，存在0x 使得 000f x f x 的假设不能成立，即对任意R x 都有0f x f x ，故()y f x 是奇函数.……18分。
2025届上海市七宝中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市七宝中学高三第二次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．192．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<<D ．116a > 3．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个4．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12 B ．32- C ．12- D ．325．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．1326．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 7．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1 C ．0D ．2 9．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( )A ．()112n n +B ．()1312n n -C ．2n n 1-+D ．222n n -+10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13C ．12D ．14 11．已知复数11i z i+=-，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1 12．已知函数()ln x f x x =，()x g x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．24eD ．21e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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北京市朝阳区2017届高三数学二模试题文
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知i 为虚数单位，则复数对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（2）已知，则下列不等式一定成立的是
（A ）（B ）（C ）（D ）
（3）执行如图所示的程序框图，则输出的值是
（A）15 （B）29（C）31（D）63
否
（4）“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的最大值为
（A ）（B ）（C ）（D ）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为
（A）（B ）（C）（D ）
（7
）已知过定点
的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当
的面积最大时，直线的倾斜角为 （A ） （B ）
（C ）
（D ）
（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（
且
），选手最终得分为各项得分之和．已知
甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是
(A)甲（B ）乙（C ）丙（D ）乙和丙都有可能
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知集合
，
，则．
（10）在平面直角坐标系中，已知点
,
,
，点
为
边界及
内部的任意一点，则的最大值为．
（11）已知平面向量满足
，且
，
，则与的夹角等于.
（12）设函数
则
；若在其定义域内为单调递增函数，则
实数的取值范围是．
俯视图
正视图
侧视图。