赏析幂函数的图象特征及应用
幂函数的图像性质和应用
幂函数分数指数幂mna m（ a正分数指数幂的意义是： an0， m 、 n N ，且 n 1 ）m1（ a负分数指数幂的意义是： an0 ， m 、 n N ，且 n 1 ）na m1、幂函数的图像与性质幂函数 y x n随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法． 熟练掌握 yx n，当 n 2 , 1,1 , 1, 3 的图像和性质，2 3列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点 1,1 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② a1 , 1,1, 2 , 3 时，幂函数图像过原点且在 0 ,上是增函数．3 2③ a1, 1, 2 时，幂函数图像不过原点且在0 ,上是减函数．2④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．yxn奇函数偶函数非奇非偶函数yyyn 1OxOxOxy y y0 n 1OxOxOxy y yn 0OxOx O x幂函数基本性质（ 1）所有的幂函数在（ 0，+∞）都有定义，并且图象都过点（ 1，1）；（ 2）α ＞0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 [0 ， +∞ ] 上，是增函数（ 3）α＜0 时，幂函数的图象在区间（ 0，+∞）上是减函数 .规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进 行讨论；2．对于幂函数 y ＝ x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即 ＜0，0＜ ＜ 1 和 ＞ 1 三种情况下曲线的基本形状， 还要注意 ＝ 0，± 1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横” ，即 ＞0（ ≠1）时图象是抛物线型； ＜ 0 时图象是双曲线型； ＞ 1 时图象是竖直抛物线型； 0＜ ＜1 时图象是横卧抛物线型．2、幂函数的应用n例 1、 幂函数 y x m（ m 、 n N ，且 m 、 n 互质）的图象在第一，二象限，且 不经过原点，则有（）( A) m 、 n 为奇数且m1yn( B) m 为偶数， n 为奇数，且m1n(C ) m 为偶数， n 为奇数，且 m1( D ) m 奇数， n 为偶数，且mnx1On例 2、 右图为幂函数y x 在第一象限的图像，则ya, b, c, d 的大小关系是（）y xa( A) a b c d(B) b a d c(C ) a b d c(D ) a d c b1解：取 x，c d b1a由图像可知：111，2222a b d c ，应选(C )．例3、比较下列各组数的大小：11333（ 1）1.53 ，1.73 ，；（）27 ，37 ，57；12（ 3）222324103，， 1.13．7解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．1∵ y x 3在0 ,上单调递增，且 1.7 1.5 1，11∴1.7 3 1.53 1 ．33（2）底数均为负数，可以将其转化为27 2 7，33333 7 3 7， 5 7 5 7．∵ y ∴53x 7在 0,上单调递增，且 53 2 ，333333 73 7 2 7，即 5 7 3 7 2 7，333∴ 5 7 3 7 2 7．（ 3）先将指数统一，底数化成正数．2 22323210，27232421031.1 1.21，3 3 ．72上单调递减，且72∵ y x 3在 0 , 1.21 ，∴71023221022321.21 3，.即：72322341.13．102点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例 4、若a 111332a 3，求实数 a 的取值范围．11分析：若 x 3y 3，则有三种情况 x0y ， y x0 或 0y x ．解：根据幂函数的性质，a10a10a10有三种可能：或 32a0或 32a0，32a0a132a a132a解得： a,1 2 , 3．32例 3．已知幂函数 y x m2 2 m 3 （m Z ）的图象与x轴、 y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值．解：∵幂函数 y x m22m 3（ m Z ）的图象与x轴、 y 轴都无交点，∴ m22m 3 0 ，∴1 m 3；∵ m Z ，∴(m22m 3)Z ，又函数图象关于原点对称，∴ m22m 3 是奇数，∴m0 或 m 2 ．3例 4、设函数 f （x）＝ x ，（2）分别求出 f －1（x）＝ f （x），f －1（x）＞ f （x）， f －1（x）＜ f （x）的实数 x 的范围．1解析：（ 1）由 y＝x3两边同时开三次方得x＝3 y ，∴ f －1（x）＝ x 3．13－1（2）∵函数 f （x）＝x 和 f（x）＝x3的图象都经过点（0，0）和（1，1）．在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知－1f （x）＞ f （x）时， x＜－ 1 或 0＜ x＜ 1；.f －1（x ）＜ f （x ）时， x ＞ 1 或－ 1＜x ＜0．点评：本题在确定 x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．21例 5、求函数 y ＝ x 5 ＋ 2x 5＋4（x ≥－ 32）值域．122解析：设 t ＝x 5，∵ x ≥－ 32，∴ t ≥－ 2，则 y ＝ t ＋2t ＋4＝（ t ＋ 1） ＋3．21∴函数 y ＝ x 5 ＋ 2 5＋ 4（ x ≥－ 32）的值域为［ 3，＋ ）．x点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ． y xＢ． yx3Ｃ． y2xＤ． yx1答案：Ｃ2. 下列函数在,0 上为减函数的是（）1x2x3Ｄ． y x2Ａ． y x3Ｂ． y Ｃ． y 答案：Ｂ3. 下列幂函数中定义域为x x 0 的是（）2323Ａ． y x3Ｂ． yx2Ｃ． yx3Ｄ． y x2答案：Ｄ．函数 y ＝（ x －1的定义域是（ ） 2－ x ）24 2． x x ≠ 0 或 x ≠ 2} ．（－∞， ） （ ，＋∞） C ．（－∞， ）］ ［ ， A { | B 0 20 2 ＋∞］ D ．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案： B1）5．函数 y ＝（ －x 2） 2的值域是（1A ．［ 0，＋∞］B ．（0，1） C．（0，1）D ．［0，1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2，则 y ＝ t ．∵－ 1≤ x ≤ ，∴ ≤ t ≤ ，∴ ≤y ≤ ．1 0 1 0 1 答案： D26．函数 y ＝ x 5的单调递减区间为（ ）A ．（－∞， 1）B ．（－∞， 0）C．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞）25.B ．答案： B1 －1，则 a 的取值范围是（ ）．若 a 2＜a27a ＞ ． ＞a ＞． ≥a ≥． a ≥1B ． 0C 0D 0A 1 1 解析：运用指数函数的性质，选 C ．答案： C8．函数 y ＝ (15＋2x － x 2 )3的定义域是 。
幂函数图像总结
幂函数图像是数学中最常见的图像之一，它以指数形式表示，其标准形式为y = ax^n，其中a和n为实数。
幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。
首先，幂函数图像的定义域和值域都是实数，因此它们的图像可以是任何实数的函数。
其次，幂函数图像的图像具有指数性质，其图像的斜率随着x的增加而增加。
此外，当a>0时，幂函数图像具有单调性，当a<0时，其图像具有双曲线形状，并且具有极值点。
此外，幂函数图像的x轴和y轴的对称性也是一个重要的性质。
如果a>0，则图像具有y 轴对称性；如果a<0，则图像具有x轴对称性。
最后，幂函数图像的图像具有不变性，即当x和y满足y = ax^n时，它们的图像具有相同的形状。
总之，幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。
它们的定义域和值域都是实数，它们的图像具有指数性质，它们的图像具有单调性和双曲线形状，它们的图像具有y轴和x轴对称性，它们的图像具有不变性。
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质是指关于某一变量x的多项式形式为y=ax^n（a≠0）的函数，其中a是实数，n∈Z，称为幂函数。
由于幂函数有着独特的形式，它的图像和性质也有许多独特之处。
一、图像1. 对于任意实常数a>0，n>0，y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线；2. 对于任意实常数a>0,n<0,y=ax^n的图像是一条以x轴上的无穷远点为极坐标的曲线；3. 对于任意实常数a<0,n>0,y=ax^n的图像是一条以y轴上的无穷远点为极坐标的曲线；4. 对于任意实常数a<0,n<0,y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线。
二、性质（1）当n>0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断增大，直至无穷大；（2）当n<0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断减小，直至无穷小；（3）当n=0时，y=ax^n即为常数函数y=a，其图像是一条水平线；（4）当n>0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向上；（5）当n<0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向下；（6）对于任意实数m，y=ax^n的图像关于y=m的对称轴是x=(m/a)^(1/n)；（7）当n>0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间[0, +∞]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而增大；（8）当n<0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间(-∞, 0]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而减小；三、总结幂函数的图像和性质是指函数形式为y=ax^n（a≠0）的函数的图像和性质，其中a是实数，n∈Z。
幂函数的性质有：对称轴、渐近线、函数值随x的变化而变化等，此外，图像表明幂函数的变化趋势，可以直观地看出函数值y 随x的变化趋势，从而有助于理解函数的特点。
幂函数的像与变化规律
幂函数的像与变化规律幂函数是数学中的一类重要函数，它的图像特点与变化规律一直是数学学习的重点之一。
幂函数的像可以通过对幂函数进行分析和变换来得到。
在本文中，我将介绍幂函数的基本性质、图像特点以及与参数相关的变化规律。
一、幂函数的基本性质幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
幂函数的定义域是实数集，a决定了函数的整体变化趋势，而b决定了函数在坐标系中的形状。
当b为正数时，函数呈现指数增长的趋势；当b为负数时，函数呈现指数衰减的趋势；当b为零时，函数为常数函数。
二、幂函数的图像特点1. 当a>0时，幂函数的图像在坐标系中从左下方向右上方运动，且图像会趋近于x轴正半轴；当a<0时，图像会从右上方向左下方运动，且也趋近于x轴正半轴。
2. 当b>1时，幂函数的图像在原点附近增长得非常迅速，呈现出陡峭的曲线；当0<b<1时，图像在原点附近增长较为缓慢；当b<0时，图像在原点两侧逐渐趋近于x轴。
3. 幂函数的对称轴是y轴，因此具有奇偶性。
对称性使得当幂函数表现递增或递减时，左右两侧的图像形状相似。
4. 幂函数在x轴上的零点称为幂函数的特殊点，特殊点的个数取决于指数b的奇偶性。
三、幂函数的参数对图像的变化规律的影响1. 参数a的变化：当a的绝对值变大时，函数图像的整体变化趋势会加大，增长或衰减的速度会变快；当a趋近于0时，函数图像会趋近于水平线。
2. 参数b的变化：当b的绝对值变大时，函数图像的形状会发生变化，曲线会更加陡峭或平缓；当b为负数时，函数呈现出对称轴对称的特点。
3. 特殊点的变化：当b为奇数时，幂函数有一个特殊点，即原点；当b为偶数时，幂函数没有特殊点。
特殊点的变化会对函数图像的形状产生明显的影响。
综上所述，通过对幂函数的分析和变换，我们可以获得幂函数的像及其变化规律。
幂函数的性质和图像特点使得它在数学和其他学科中都有广泛的应用，深入理解幂函数的性质对我们解决实际问题、优化函数运算具有重要意义。
幂函数的图象及性质
幂函数一、定义幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，注意：幂函数的解析式是幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数。
二、研究一类函数的一般路径注意：我们先从实际案例中，写出一系列函数的解析式，从中找到某一类函数的概念，再通过函数的解析式，求出函数的定义域，接着画出函数的图像，可以使用描点法画图，同时利用函数的性质来简化画图的过程，最后利用函数的解析式和图像，来研究函数的值域、单调性、奇偶性和其他性质。
三、六个幂函数的图像及性质1、六个幂函数2、幂函数的图像-2-10123-21123定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制-2-1012341149定义域：R 值域：单调性：在上单调递减，减函数，在上单调递增，增函数奇偶性：偶函数-2-10123-8-11827定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制124 012定义域：值域：单调性：在上单调递增，增函数奇偶性：非奇非偶函数严禁复制-2122定义域：值域：单调性：在上单调递减，减函数奇偶性：奇函数-2124定义域：值域：单调性：在上单调递减严禁复制奇偶性：偶函数从以上函数分析中，我们得到了6个幂函数的图像总结：6个幂函数具有的共同性质和不同性质1、函数的图像都经过。
2、函数在区间上单调递增，是增函数。
函数和严禁复制在区间上单调递减，是减函数。
在区间上单调递增，是增函数。
和在是单调递减，是减函数。
3、函数、和是奇函数，函数和是偶函数，函数是非奇非偶函数。
4、函数的图像经过原点，函数和的图像不经过原点。
5、已知幂函数，当时，函数在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减。
四、题型1、幂函数的概念例题1已知幂函数f(x)过点，则f(9)的值为（）（解析）设幂函数，因为过点，所以，解得a=，所以f(9)=。
例题2已知函数f(x)=为幂函数，则f()+f()=（）（解析）因为函数f(x)=为幂函数，所以m-1=1，解得m=2，所以f(x)=，又因为函数f(x)为奇函数，有f()+f()=0。
幂函数图像及其性质
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
幂函数的特点
幂函数的特点幂函数是数学中常见的一类函数形式，其特点在于函数关系中具有幂指数，例如：$y = ax^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂函数的特点包括函数图像、增减性、奇偶性和极值点等。
本文将详细介绍幂函数的特点和相关概念。
一、幂函数的图像特点幂函数的图像与幂指数 $b$ 和函数系数 $a$ 有关。
当 $a>0$ 且$b>0$ 时，幂函数的图像在第一象限增长；当 $a>0$ 且 $b<0$ 时，函数图像在第一象限是下降的，且趋近于 $y=0$。
当 $a<0$ 时，图像在第三象限中存在，而当 $a<0$ 且 $b$ 为奇数时，图像还会穿越 $x$ 轴。
二、幂函数的增减性和奇偶性幂次函数的增减性与幂指数 $b$ 的正负有关。
当 $b>0$ 时，函数是递增的；当 $b<0$ 时，函数是递减的。
若 $b$ 为偶数，则函数关于$y$ 轴对称；若 $b$ 为奇数，则函数关于原点对称。
当 $b$ 为 $0$ 时，函数为常数。
三、极值点与零点对于幂函数 $y = ax^b$，当 $b > 0$ 时，图像与 $x$ 轴交于$x=0$ 处，此时 $x=0$ 为零点；当 $b$ 为奇数时，图像从左下方穿越$x$ 轴，此时 $x=0$ 为极值点；当 $b$ 为偶数时，图像从左下方趋近于$x$ 轴。
四、递增与递减区间对于幂函数 $y = ax^b$，当 $b>0$ 时，当 $a>0$ 时函数在整个定义域上递增，当 $a<0$ 时函数在整个定义域上递减；当 $b<0$ 时，当$a>0$ 时函数在整个定义域上递减，当 $a<0$ 时函数在整个定义域上递增。
五、求特殊幂函数的导数和不定积分对于幂函数 $y = ax^b$，其导数为 $y' = abx^{b-1}$。
当 $b=1$ 时，幂函数的导数为一个常数，即斜率为常数；当 $b=0$ 时，导数为 $0$，即平行于 $x$ 轴。
《幂函数及其图象》课件
欢迎来到《幂函数及其图象》PPT课件！本课程将深入探讨幂函数的定义、 图象特点和应用，并提供丰富的例题练习。让我们一起探索这个有趣而强大 的数学概念吧！
什么是幂函数？
幂函数是一类特殊的函数，其定义为f(x) = x^a，其中a为实数常数。幂函数的 通式可以表示为f(x) = kx^a，其中k为比例常数。
根据幂函数的特征值，包括定义域、值域等，求解给定幂函数的相关数值。
3 求解幂函数的方程
通过解方程的方法，求出满足特定条件的幂函数的自变量或因变量的值。
总结
幂函数及其图象的基本概念 幂函数的特点及应用
学习了幂函数的定义和通式，以 及幂函数的图象特点和变化规律。
了解了幂函数在不同领域的实际 应用，如通信、工程和光学等。
幂函数的图象特点
基本性质
幂函数的定义域为实数集，且在定义域上是连 续和可导的。
变化规律
当a>1时，幂函数图象向上开口；当0
图象特点
幂函数的图象随着a的值的不同而呈现出不同的 曲线形状。
对称性
当a为整数时，幂函数图象存在关于y轴和原点 的对称性。
幂函数的应用
幅度调制中的幂函数
幂函数在无线电通信中的幅度 调制中起着重要作用，用于调 整信号的幅度以传输信息。
幂函数在实际生活中的应 用案例
发现了幂函数在日常生活中的实 际应用案例，增加了对数学的实 用性的认识。
压缩机和发电机的特 性曲线
幂函数被广泛用于描述压缩机 和发电机的特性曲线，帮助工 程师优化其性能。
激光功率与时间之间 的关系
幂函数用于描述激光器输出功 率随时间变化的关系，用于控 制激光器的稳定性。
练习题
1 画出幂函数图象
高中数学中的幂函数与指数函数图像特征
高中数学中的幂函数与指数函数图像特征在高中数学中，幂函数和指数函数是两个重要的函数，它们都是以基准数为底数的一次或高次方幂。
这两种函数在图像方面有着一些特征，本文将对这些特征进行讨论和分析。
一、幂函数的图像特征幂函数的一般式子为y=x^n，其中n为正整数。
幂函数的图像特征与其幂指数的奇偶性有关。
如果幂指数n为偶数，那么函数的定义域和值域都是非负数，函数图像在x轴正半轴非常接近水平，而在x轴负半轴则非常接近y轴，并且不会穿过y轴。
例如，y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线，它在x轴正半轴上升非常缓慢，直到x=0时才开始急速上升；在x轴负半轴上下降非常缓慢，直到x=0时才开始急速下降。
由于y值始终大于等于0，因此其图像位于y轴的正半部分。
而当幂指数n为奇数时，幂函数的定义域和值域是全体实数，函数图像从第三象限穿过x轴到第一象限，在x轴负半轴下降到无穷小，然后在x轴正半轴上升到无穷大。
例如，y=x^3的图像是一条对称于第二象限和第四象限的曲线，它穿过x轴的点为(0,0)，在x轴负半轴处下降至无穷小，然后在x轴正半轴处上升至正无穷大。
此外，幂函数的图像与幂指数n的大小也有关系。
当n>1时，幂函数的图像随着x的增大而变得越来越陡峭；当0<n<1时，函数的值越来越趋近于0，图像在x轴正半轴上升得非常慢；当n<0时，幂函数变成一个反比例函数，图像在x轴正半轴下降得很快，但是在x=0处不连续，它们的图像都与x轴无交点。
二、指数函数的图像特征指数函数的一般式子为y=a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像特征如下：1. 当a>1时，指数函数的图像在x轴正半轴上升，但是在x轴负半轴下降到无穷小。
这是因为指数函数是一个逐渐增长的函数，其值随着x的增大而急速上升。
例如，y=2^x的图像在x=-1处横坐标为1/2，在x=0处横坐标为1，在x=1处横坐标为2，依次类推。
2. 当0<a<1时，指数函数的图像在x轴正半轴上升得非常慢，这是因为指数函数是逐渐逼近0的函数。
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质幂函数是一类常见的数学函数，它的表达形式为y = x^n，其中x是自变量，n是常数指数。
在本文中，我们将探讨幂函数的图像以及它的一些基本性质。
一、幂函数图像的特点幂函数的图像是由指数n的不同取值而呈现出多种形态。
下面我们将分别讨论指数为正偶数、正奇数、负偶数和负奇数时的情况。
1. 指数为正偶数时（n > 0且n为偶数）当指数为正偶数时，幂函数的图像呈现出关于y轴对称的特点。
以y = x^2为例，当x取正负值时，y值都为正，且当x取0时，y值为0。
图像在原点处有一个最小值点，随着x的逐渐增大或减小，y也逐渐增大，但增长速度逐渐减慢。
2. 指数为正奇数时（n > 0且n为奇数）当指数为正奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。
以y = x^3为例，当x取正值时，y值为正；当x取负值时，y值为负。
图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y也随之增大或减小，但增长速度较快。
3. 指数为负偶数时（n < 0且n为偶数）当指数为负偶数时，幂函数的图像呈现出关于x轴对称的特点。
以y = x^-2为例，当x取正值时，y值小于1；当x取0时，y值无定义；当x取负值时，y值同样小于1。
图像在x轴上有一个渐近线y=0，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐减小。
4. 指数为负奇数时（n < 0且n为奇数）当指数为负奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。
以y = x^-3为例，当x取正值时，y值大于1；当x取负值时，y值小于-1。
图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐增大。
二、幂函数的基本性质除了图像的特点，幂函数还有一些其他的基本性质。
下面我们将介绍其中的两个重要性质。
1. 幂函数的增减性根据幂函数的指数正负，我们可以判断幂函数的增减性。
当指数为正时，幂函数是递增函数，随着自变量的增大，函数值也随之增大；当指数为负时，幂函数是递减函数，随着自变量的增大，函数值却减小。
高中数学2.3.1幂函数的图像、性质及应用课件新人教A必修1
f(x)＝x3.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
根，以免增根．
►跟踪训练
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，
则实数m的值是____．
2．3 幂 函 数 2．3.1 幂函数的图象、性质与应用
栏 目 链 接
1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质．
2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂 函数的图象和性质．
3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并 能进行简单的应用．
栏 目 链 接
题型1 幂函数概念的理解应用
解析：∵f(x)为幂函数，∴2m2＋m＝1，得m＝21或m＝－1.
栏
当m＝12时，f(x)＝x－41＝
1 4
，
目 链 接
x
定义域为x＞0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝x1是奇函数．
答案：－1
题型2 利用你幂函数的性质比较大小
例2 比较下列各组中两个数的大小：
6
6
(1)0.611与0.711；
间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5，∴
31.4<51.5.
题型3 求幂函数的解析式
例3 幂函数f(x)的图象过点(3，4 27)，求f(x)的表达式．
解析：设f(x)＝y＝xα(α∈R)，则4 27 ＝3α，
栏 目 链
即334＝3α，∴α＝43，故f(x)＝x43.
即－17023>－ 22－23>1.1－43.
幂函数的像特征
幂函数的像特征幂函数是数学中常见的一类函数形式，可以表示为y = ax^b的形式，其中a和b是常数，且a不等于0。
在研究幂函数时，我们关注的一个重要性质就是其像特征，即函数图像所呈现的形状和性质。
本文将探讨幂函数的像特征，并分析幂函数图像的变化情况。
一、幂函数的基本形式幂函数的基本形式为y = ax^b，其中a和b分别为常数。
a决定了函数图像在y轴上的截距，而b则决定了函数图像的曲线形态。
特别地，当b为正数时，函数图像上升；当b为负数时，函数图像下降；而当b等于0时，函数图像变为常数函数。
二、幂函数的图像特征1. 当b为正数时，函数图像上升当b为正数时，函数图像随着x的增大而上升。
这是因为幂函数的自变量x的次数较高，其增长速度较缓慢，导致函数图像向右上方逐渐延伸。
此时，a的正负决定了图像在y轴上的位置，正值使图像上升，负值使图像下降。
2. 当b为负数时，函数图像下降当b为负数时，函数图像随着x的增大而下降。
与b为正数的情况相反，幂函数的自变量x的次数较低，导致函数图像的增长速度较快。
同样地，a的正负决定了图像在y轴上的位置，正值使图像上升，负值使图像下降。
3. 当b等于0时，函数图像为常数函数当b等于0时，幂函数的表达式变为y = ax^0 = a。
此时，无论x取任何值，函数的值都为常数a，因此函数图像为水平直线。
a的值决定了图像在y轴上的位置。
三、幂函数图像的变化情况除了b的正负和零的情况影响了幂函数图像的走势外，我们还可以通过调整a和b的值来观察幂函数图像的变化情况。
1. 幂函数图像的平移改变a的值可以实现幂函数图像在y轴上的平移。
当a为正数时，图像沿y轴的正方向平移；当a为负数时，图像沿y轴的负方向平移。
2. 幂函数图像的伸缩改变b的值可以实现幂函数图像的伸缩。
当b的绝对值较大时，函数图像变得陡峭，即函数随自变量的变化非常敏感。
而当b的绝对值较小时，函数图像变得平缓，即函数对自变量的变化不敏感。
幂函数与指数函数的特点与应用
幂函数与指数函数的特点与应用幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨幂函数和指数函数的特点以及其在不同领域中的应用。
一、幂函数的特点与应用幂函数是形如y = x^n的函数，其中n是常数。
幂函数的特点如下：1. 无论n的正负，幂函数都经过点(1, 1)。
当n为正时，随着x的增大，y的增幅逐渐变大；当n为负时，随着x的增大，y的增幅逐渐变小。
2. 当n>1时，幂函数增长速度快于线性函数。
当n<1时，幂函数增长速度慢于线性函数。
幂函数的应用广泛，以下是一些典型的应用领域：1. 经济学：幂函数可以描述人口增长、经济发展等方面的规律。
例如，GDP的增长往往呈现出指数增长的趋势。
2. 物理学：幂函数可以用来描述一些物理量之间的关系，如速度、功率、电阻等。
物理学中许多自然现象的规律均可用幂函数来表示。
3. 生物学：幂函数在生物学中也有着重要的应用。
例如，布特曼函数被用来描述食物摄入和能量消耗之间的关系。
二、指数函数的特点与应用指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数且a>0，a≠1。
指数函数的特点如下：1. 当0<a<1时，指数函数呈现出递减的特点；当a>1时，指数函数呈现出递增的特点。
2. 指数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升，但增长速度逐渐减慢。
指数函数的应用广泛，以下是一些典型的应用领域：1. 财务领域：指数函数常被用来计算复利和利息。
在投资中，指数函数能够帮助我们了解资产增长率，并进行合理的投资决策。
2. 生态学：指数函数常被用来描述生物种群的增长。
通过对一定时期内种群数量的测量，可以利用指数函数来进行种群数量的预测和管理。
3. 电子技术：指数函数广泛应用于电子电路中的放大器设计，用于描述电压和电流之间的关系。
综上所述，幂函数和指数函数在数学和实际应用中都具有重要的地位。
通过了解它们的特点和应用，我们可以更好地理解和应用这两种函数，从而解决实际问题并取得更好的效果。
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质一、什么是幂函数在数学中，幂函数是一种形式为 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。
当 a = 1 时，幂函数就是我们熟悉的一次函数，而当a > 1 时，幂函数的图像呈现出特定的形状。
二、幂函数的图像特点1. 当 a > 1 时•当 a > 1 时，幂函数的图像呈现出向上凹曲的形状。
•随着 x 的增大，函数值快速增加，增长迅猛。
•函数图像在第一象限，并在原点围绕原点对称。
2. 当 a = 1 时•当 a = 1 时，幂函数就是一次函数，函数图像为一条过原点的直线。
3. 当 0 < a < 1 时•当 0 < a < 1 时，函数的增长趋于缓慢，图像在第一象限被压缩，所占的范围变小。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域•对于幂函数 f(x) = x^a，当 a 为奇数时，定义域为实数集，值域也为实数集；当 a 为偶数时，定义域为非负实数集，值域也为非负实数集。
2. 奇偶性•当 a 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称；•当 a 为偶数时，幂函数是偶函数，关于 y 轴对称。
3. 单调性•当 a > 1 时，幂函数是增函数；•当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。
4. 特殊情况•当 a < 0 时，幂函数的图像为反比例函数的图像。
四、实例分析示例 1考虑函数 f(x) = x^2，这是一个以原点为中心向上开口的抛物线图像。
随着 x 的增大，函数值快速增加，形成一个向上凸起的形状。
示例 2当考虑函数 f(x) = x^0.5 时，函数的图像呈现出一个缓慢上升的曲线，范围也变小了，整体呈现出一种被压缩的状态。
五、总结幂函数是数学中非常重要的一类函数，通过本文的讨论，我们了解了幂函数的图像特点和性质。
无论是在理论研究还是实际应用中，对于幂函数的理解都具有重要的意义。
希望本文内容能够帮助读者更深入地理解幂函数及其性质。
幂函数的图像及应用
幂函数的图像及应用幂函数是数学中一个重要的函数类型，形式为f(x) = ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像具有特殊的形状，并且在实际生活中有着广泛的应用。
首先，我们来探讨幂函数的图像。
当b为正数时，幂函数的图像呈现出指数增长的趋势。
具体来说，当b>1时，函数值随着x的增加而迅速上升；当0<b<1时，函数值随着x的增加而逐渐上升，但增长速度逐渐减缓。
当b为负数时，幂函数的图像呈现出指数衰减的趋势。
具体来说，当b<0时，函数值随着x的增加而迅速下降；当-1<b<0时，函数值随着x的增加而逐渐下降，但下降速度逐渐减缓。
当b为零时，幂函数变为f(x) = a，即常数函数。
幂函数的图像还具有以下特点：1. 幂函数在原点（0,0）经过，也就是f(0) = 0。
2. 当b为正数时，幂函数的图像在第一象限递增；当b为负数时，幂函数的图像在第一象限递减。
3. 幂函数的图像随着a的正负而发生上下翻转，具体翻转方式与b的奇偶性有关。
接下来，我们来讨论幂函数的应用。
幂函数在现实生活中有广泛的应用，以下列举几个例子：1. 经济学中的产出函数：幂函数被广泛用于描述经济学中的产出函数。
例如，当产出与投入的关系为y = ax^b时，b表示生产要素的比例弹性，a表示单位投入所能得到的产出水平。
幂函数能够很好地描述生产要素与产出的关系，并且能够预测不同投入水平下的产出水平。
2. 物理学中的衰减现象：幂函数被用于描述物理学中的衰减现象，如放射性物质的衰减、电容器的放电等。
通过幂函数，我们可以计算出随着时间的推移，物质或能量的衰减速率。
3. 生物学中的物种分布：在生物学中，幂函数常被用于描述物种分布的现象。
例如，物种的密度与环境因素之间的关系可以用幂函数来表示。
通过幂函数，我们可以了解不同环境因素对物种分布的影响程度。
4. 人口增长模型：幂函数也常用于描述人口增长模型。
人口的增长速度可以用幂函数来表示，从而预测未来的人口规模和趋势。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是一种常见的函数类型，其图像及性质对于数学学习具有重要意义。
首先，我们来看一下幂函数的一般形式，y = x^n，其中n为常数，x为自变量，y为因变量。
接下来，我们将从图像、定义域、值域、增减性、奇偶性等方面对幂函数的性质进行总结。
首先，我们来看一下幂函数的图像特点。
当n为正偶数时，幂函数的图像呈现出开口向上的U形，且经过原点；当n为正奇数时，幂函数的图像同样经过原点，但在第一象限和第三象限分别呈现出斜直线的趋势；当n为负数时，幂函数的图像则呈现出开口向下的倒U形。
这些图像特点直观地展现了幂函数的形态。
其次，我们来看一下幂函数的定义域和值域。
对于幂函数y = x^n，其定义域为全体实数集R，而值域则取决于n的奇偶性和正负性。
当n为正偶数时，值域为全体非负实数集[0,+∞)；当n为正奇数时，值域为全体实数集R；当n为负数时，值域为全体正实数集(0,+∞)。
通过对定义域和值域的分析，我们可以更好地理解幂函数的取值范围。
接下来，我们来探讨幂函数的增减性和奇偶性。
对于幂函数y = x^n，当n为正偶数时，函数在整个定义域上为增函数；当n为正奇数时，函数在负实数轴上为减函数，在正实数轴上为增函数；当n为负数时，函数在整个定义域上为减函数。
而对于奇偶性，当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。
这些性质的分析有助于我们更深入地理解幂函数的特点。
总的来说，幂函数的图像及性质总结如上所述。
通过对幂函数的图像、定义域、值域、增减性、奇偶性等方面的总结，我们对幂函数有了更清晰的认识。
希望本文所述内容能够帮助读者更好地理解幂函数的特点和性质。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是一种常见的函数形式，表示为 $ f(x) = ax^b $，其中a和b是实数常数，且b不等于零。
在本文中，我们将探讨幂函数的图像和性质，帮助读者更好地理解幂函数在数学中的应用和意义。
幂函数的图像特征幂函数的图像一般呈现为一条曲线，其形状取决于幂函数中的指数b的正负性和大小。
当b>0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递增；当b<0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递减。
若b为偶数，则幂函数的图像在第一和第三象限中均为非负，且在原点处取得最小值；若b为奇数，则幂函数的图像在第一、第三象限中一正一负，且在原点处有切线。
幂函数的性质总结1.定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数集 $ \mathbb{R} $，值域取决于指数b的正负性。
2.奇偶性：当指数 $ b $ 为偶数时，幂函数是偶函数；当指数 $ b $ 为奇数时，幂函数是奇函数。
3.对称性：如果 $ b $ 为偶数，则幂函数关于y轴对称；如果 $ b $ 为奇数，则幂函数关于原点对称。
4.增减性：当 $ b > 0 $ 时，幂函数在定义域上递增；当 $ b < 0 $ 时，幂函数在定义域上递减。
5.极值点和拐点：幂函数的极值点和拐点通常出现在指数b为偶数的情况下。
6.与常函数的比较：当幂函数的指数b大于1时，其增长速度快于常函数；当指数b在 0 到 1 之间时，其增长速度为常函数；当指数b为负时，其绝对值小于 1 时，其增长速度慢于常函数。
结语通过以上对幂函数图像及性质的总结，我们可以更深入地理解幂函数在数学中的重要性和应用。
幂函数在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用，希望本文能够帮助读者更好地理解幂函数的概念和特性。
幂函数及函数应用(讲义及答案)
5
12.
函数
f
(x)
x
2
2x
3，x
≤
0
的零点个数为（
2 ln x，x 0
A．2
B．3
C．4
） D．5
13. 已知0 a 1，则方程a|x| | log xa | 的实数根的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14. 已知函数 f (x) 的图象是连续不断的，且有如下的 x， f (x) 的 对应值表：
1 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
n 若 m，n 均为奇数，则函数 y x 是奇函数，其图象关于原点 对称； 若 m 为偶数，n 为奇数，则函数 y x 是偶函数，其图象关 于 y 轴对称； 若 m 为奇数，n 为偶数，则函数 y x 是非奇非偶函数，只 在第一象限内有图象．
2 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
10. 比较下列各数的大小：
5
5
（1） 3 2
3.1 2 ；
6
（2） (0.3)11
5
（3） (0.88)3
(0.88)3 ；
（4）(
2
)
2 3
3
6
0.711 ；
( 1) 3 ． 4
11. 函数 f (x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是（ A．(-2，-1) B．(-1，0) C．(0，1)
） D．(1，2)
线，并且有
，那么，函数 y f (x) 在区间
内有零点，即
，使得
，这个
c 也就是方程 f (x) 0 的根．
三、二分法 1. 定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且 f (a) f (b) 0 的函数
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一、幂函数图像的分布规律
幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。
1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现，
分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征
线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区
域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1,
α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区
域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。
2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。
3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。
4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。
二、幂函数图像的应用
1.识别图像
例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ）
A.-2，-12，12，2
B.2，12，-12，-2
C.- 12，-2，2，12
D.2，12，-2，-12
解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。
2.用于判断方程的个数
例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.
解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。