欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线

2 1 ,2 n n
） 可知，此时系统有两个
相等的实根 s1,2 n
对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为
2 n n 1 1 c( s ) 2 s(s 2 2 n s n ) s (s n ) 2 s n
c (t ) r (t )
1
一条单调上 升的指数曲 线
将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：
c( t ) 1 e e ) 2 2 1 T1 T2 ( 1
T1 t T2 t
也是一条单调上 升的指数曲线
r (t )
式中
T1 ( 2 1) n T2 ( 2 1) n
0
c (t )
t
c(t )
响应曲线：
c(t ) 1 ent (1 nt )
0
t
3．过阻尼情况（
1
）
2
此时系统有两个不相等的负实根
s1,2 n n 1
对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为
2 2 1 [ 2( 2 2 1 1 ] 1 1 [ 2( 1 1 )] c( s ) 2 s s n n 1 s n n 2 1
对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：
c(t ) 1 e
t n
(cosd t
1 2
sin d t ) 1
1 1 2
e nt ( 1 2 cosd t sin d t )
1
e nt 1
2
sin( d t )
s1,2 n n
Im
2
1
Im
Im
[s]
[s]

n
s1
0 Re
s2
s1 s2 s1
0 Re 0
[s]
0
Re
Re
s2
(a)
0 1
(b)
1
(c) 1
(d)
0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
(0 1)
2
sin( d t )
n t p
dc(t ) 0 dt t t p
cos( d t p ) 0
n e
nt p
sin( d t p ) d e
整理得：
tg( d t p )
1 2

p t p 0, ,2 ,3
－－无阻尼自然振荡频率； －－阻尼比 2 2 二阶系统的特征方程为： s 2 n s n 系统的两个特征根（闭环极点）为
n
0
s1, 2 n n
2
1
特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
特征根的[s]平面的分布情况见图
Im [s]
s1
n 1 2
式中：
arct an
1 2

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线，包含 在一对包络线 1 e 之内。振荡频率为 d 。
n t
1 2
一条幅值按 指数衰减的 阻尼振荡曲 线

越小，系统振荡越厉害，一般取0.5——0.8之间。
2．临界阻尼情况（ 1 由 s 1
MP c(t P ) c() 100% c()
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
3.2
二阶系统的瞬态响应
一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二 阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的 储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。 一、二阶系统标准形式
R( s)


K K (Ts 1) s sJs F
C (s)
C ( s) K G( s) 2 R( s ) Js Fs K
s2
K J F K s J J
R( s)


K K (Ts 1) s sJs F
C (s)
K C ( s) J G( s) F K R( s) s2 s J J
令：
K 2 n J
F 2 n J
则 二阶系统标准式:
2 n G( s) 2 2 s 2 n s n
响应速度比临界阻尼缓慢
4．无阻尼情况
( 0 )
s1,2 n n 2 1
此时系统有一对共扼虚根
s1, 2 j)
( 0 )
(t 0 )
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0 )
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c(t )
0
t
0
t
(0 1)
1
r (t )
c (t )
0
t
重点
控制系统的动态特性
一．动态性能指标
通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。 1．上升时间 t r ：阶跃响应曲线首次从零值上升到其稳态值所需 的时间。（若无超调量，取稳态值10－90％） 2．峰值时间 t p ：阶跃响应曲线第一次出现峰值的时间。 3．超调量 M P ：阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比 的百分数。下式中，c(t P ) 为输出响应的最大值； c() 为稳态值。
t P 为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取 d t P
2
s1,2 n n 1
s1, 2 n jd
d n 1 2
cos
则二阶系统具有一对共轭复根： 式中： d ——称为阻尼振荡频率
输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为
2 s n n 1 n C ( s) 2 2 2 s(s 2 2 n s n ) s ( s n ) 2 d (s n ) 2 d