2414圆周角(一)
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2414圆周角(1)
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.
归纳1：
• 在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所 对的弦是圆的直径。
归纳2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
C2
C1
C3
A
·O
B
24.1.4 圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样 的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心 角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的 名称叫做圆周角。
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的 解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角 都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一 个角是不是圆周角。
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以
∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，它们所对的弧一定 相等。
探究：有关圆周角的度数
1． 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.
归纳1：
• 在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所 对的弦是圆的直径。
归纳2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
C2
C1
C3
A
·O
B
24.1.4 圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样 的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心 角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的 名称叫做圆周角。
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的 解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角 都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一 个角是不是圆周角。
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以
∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，它们所对的弧一定 相等。
探究：有关圆周角的度数
1． 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
九年级数学上册 24.1.4 圆周角课件 (新版)新人教版
即 A 1 BOC 2
新课讲解
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
BAC 1 BOC
B
2
A
O·
C D
新课讲解
（3）在圆周角的外部． 圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
C2
C3
A
·O
B
C1
例题分析
例 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC的长为6 cm，
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC 中，
BC AB2 AC2 102 62 8 A
·O
B
∵CD平分 ∠ACB，
∴∠ACD= ∠BCD
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边
形ABCD的外接圆.
D
在圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对 的圆心角的和是周角
A
∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°
O
B
C
性质：圆的内接四边形的对角互补.
课堂练习
课本P88练习
课堂小结
1.关于圆周角的概念； 2.关于圆周角的定理； 3.关于圆周角的定理的推论； 4.圆内接多边形概念及定理.
∴弧AD=弧BD.
D
∴AD=BD.
在Rt△ABD中，
∵ AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
人教版初三数学上册新人教版九年级上册24.1.4-圆周角课件
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
• 圆周角定义：
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗C?
C
D
C
E
E D
E D
C D
E
同弧所对圆周角与圆心角的关系
在⊙O任取一个圆周角∠ACB，将圆对 折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点 C．由于点C的位置的取法可能不同，这 时折痕可能会在圆周角的什么地方？
圆周角和圆心角的关系
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部．
图 23.1.11
圆周角和圆心角的关系 •如图,量一量圆周角∠AOB与圆心 角∠ACB,它们的大小有什么关系?
图 23.1.11
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角
选做：
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外 部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的 大小关系会怎样?
D
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理:
同弧 (等弧) 所对的圆周 角相等. 都等于这条弧所对的圆心 角的一半.
思考: 同弧或等弧所对 的圆周角相等吗?
试找出下图中所有相等的圆周角。
B C
●O A
2：已知⊙O中弦AB的长等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
3.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
1、 这节课你有什么收获和体会，和大家一起 分享一下吧！ 2、获胜组 作业：必做：预习案作业
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们有了亲身体验，从实践中去理解圆周角的性质。看到他们动手操作、积极讨论，我觉得这个环节对他们的帮助很大。但我也注意到，有些小组在讨论时还是抓不住重点，需要我进一步引导。
学生小组讨论的环节，让我看到了学生们的思维碰撞。他们提出了很多有创意的想法，也尝试着去解决实际问题。不过，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，自己的思考还不够深入。
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案，主要包括以下内容：
1.圆周角的定义：通过直观演示和实例，让学生理解圆周角是由圆上的两条半径或弦所夹的角，并掌握圆周角的度数是360度。
2.圆周角定理：引导学生探究并证明圆周角等于其所对的圆心角的一半，以及圆内接四边形的对角互补。
-着重讲解圆周角定理的证明过程，特别是如何通过几何构造和演绎推理得出圆周角等于其所对圆心角的一半。
-结合实际例题，如测量圆形场地中的角度问题，强调圆周角定理在解决具体问题中的应用。
-对于特殊圆周角，通过对比分析，让学生掌握直角圆周角和锐角圆周角的性质，并能灵活应用。
2.教学难点
-理解并掌握圆周角定理的证明过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的定义和圆周角定理这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理的证明过程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
学生小组讨论的环节，让我看到了学生们的思维碰撞。他们提出了很多有创意的想法，也尝试着去解决实际问题。不过，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，自己的思考还不够深入。
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案，主要包括以下内容：
1.圆周角的定义：通过直观演示和实例，让学生理解圆周角是由圆上的两条半径或弦所夹的角，并掌握圆周角的度数是360度。
2.圆周角定理：引导学生探究并证明圆周角等于其所对的圆心角的一半，以及圆内接四边形的对角互补。
-着重讲解圆周角定理的证明过程，特别是如何通过几何构造和演绎推理得出圆周角等于其所对圆心角的一半。
-结合实际例题，如测量圆形场地中的角度问题，强调圆周角定理在解决具体问题中的应用。
-对于特殊圆周角，通过对比分析，让学生掌握直角圆周角和锐角圆周角的性质，并能灵活应用。
2.教学难点
-理解并掌握圆周角定理的证明过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的定义和圆周角定理这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理的证明过程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版九年级数学上册：24.1.4圆周角(教案)
4.圆周角的性质：圆周角是圆上的一种特殊角，具有以下性质：
a.圆周角的度数为180°。
b.圆周角的每个角都等于其所对的圆心角的一半。
c.圆内接四边形的对角互补，即相对的两个圆周角之和为180°。
5.应用圆周角定理和性质解决实际问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握圆周角的定义、定理及其性质，培养几何直观和空间观念。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了圆周角的相关知识。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，关于圆周角定义的讲解，我尝试通过生活实例引入，让学生感受到圆周角在实际中的存在。从学生的反应来看，这个方法还是比较有效的，他们能够更快地理解圆周角的概念。但在讲解过程中，我发现自己对定义的表述可能还不够清晰，导致部分学生对其理解不够透彻。在今后的教学中，我需要更加注意语言的准确性和简洁性。
c.培养空间观念方面，教师可通过提供实物模型、动态演示等手段，帮助学生建立圆周角的空间关系，如：
-演示圆周角随着圆心角的变化而变化的过程，让学生感受其空间关系；
-通过实际操作，让学生观察并理解圆周角与圆心角之间的关系。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过圆周角的情况？”比如，在自行车轮转动时，轮子边缘上的点所形成的角就是一个圆周角。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是由圆上两条半径或其延长线所夹的角。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决与圆有关的各种问题。
a.圆周角的度数为180°。
b.圆周角的每个角都等于其所对的圆心角的一半。
c.圆内接四边形的对角互补，即相对的两个圆周角之和为180°。
5.应用圆周角定理和性质解决实际问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握圆周角的定义、定理及其性质，培养几何直观和空间观念。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了圆周角的相关知识。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，关于圆周角定义的讲解，我尝试通过生活实例引入，让学生感受到圆周角在实际中的存在。从学生的反应来看，这个方法还是比较有效的，他们能够更快地理解圆周角的概念。但在讲解过程中，我发现自己对定义的表述可能还不够清晰，导致部分学生对其理解不够透彻。在今后的教学中，我需要更加注意语言的准确性和简洁性。
c.培养空间观念方面，教师可通过提供实物模型、动态演示等手段，帮助学生建立圆周角的空间关系，如：
-演示圆周角随着圆心角的变化而变化的过程，让学生感受其空间关系；
-通过实际操作，让学生观察并理解圆周角与圆心角之间的关系。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过圆周角的情况？”比如，在自行车轮转动时，轮子边缘上的点所形成的角就是一个圆周角。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是由圆上两条半径或其延长线所夹的角。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决与圆有关的各种问题。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角 课件
四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由 于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
A
O·
B
C
∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1BOC
BAD1BOD 2
DAC1DOC 2
D A C D A B 1( D O C D O B ) A 2
BAC1BOC 2
O·
D
C B
定理
定理
C
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
D A
O·
E
B
推论
半圆（或直径）所对的圆周角 是直角， 90°的圆周角所对的弦 是直径．
B
P 120°
600
O.
பைடு நூலகம்
X
B
A
例题
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
例题
2、如图，在⊙O中，AB为直径，C⌒B = C⌒F,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
C2
C1
C3
A
·O
B
练习
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形
ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪 些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D）. A.50° B.80° C.90° D.100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆
O
A B
圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
BC
E
C
O
A
O
D
A B
F
E
A 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 能用圆周角定理证明你的结论B吗？
圆内接四边形的对角互补。
交于点E，与⊙O2 交于点F。
D
求证：CE∥DF
A
1
C O1
O2
F
E
B
连结AB
ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E
D
A
∠E＋∠F＝180°
1
CE∥DF
C O1
E
B
O2 F
圆周角定理
❖一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.
❖同弧所对的圆周角相等 C
E O D
B
A
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 都相等，等于它所对的圆心角的一半。
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D）. A.50° B.80° C.90° D.100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆
O
A B
圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
BC
E
C
O
A
O
D
A B
F
E
A 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 能用圆周角定理证明你的结论B吗？
圆内接四边形的对角互补。
交于点E，与⊙O2 交于点F。
D
求证：CE∥DF
A
1
C O1
O2
F
E
B
连结AB
ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E
D
A
∠E＋∠F＝180°
1
CE∥DF
C O1
E
B
O2 F
圆周角定理
❖一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.
❖同弧所对的圆周角相等 C
E O D
B
A
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 都相等，等于它所对的圆心角的一半。
人教版九年级数学上册第二十四章 24.1.4 圆周角(共22张PPT)
心角的一半。
•为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相 对位置，分三种情况来证明：
•（1）圆心在圆周角的一边上； •（2）圆心在圆周角的内部； •（3）圆心在圆周角的外部
求证：∠BAC =1 ∠BOC 2
A
A
O
O
B
C
（1）
B
C
（2）
A
O C
B
（3）
分析论证
1 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时.
（1）在圆上任意确定一条弧BC，作出这条弧所对的圆心角和圆周角。 （思考：能画几个圆心角和圆周角？）
（2）根据画的图，观察弧BC所对圆周角和圆心的位置关系共有几种类型？
（3）弧BC 所对的圆周角 和它所对圆心角 有怎样的数量关系？
A
A
A
O
O
O
B
C
B
C
几何画板.gsp
C B
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
1∠ 1
2
BOD＋ 11
∠COD
2
1
2
2
2
即∠BAC=
1
1 2
∠BOC
2
你能证明第3种情况吗？
提示:能否转化为(1)的情况?
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
O
∠CAD＝
1 1 2
∠
COD
2
C DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝12 ∠ COD－ 12∠BOD
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
D
A 500 O 40° B
C
巩固练习2
1.如图，∠A是圆周角， 且∠A=40°，求∠OBC的度数。
•为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相 对位置，分三种情况来证明：
•（1）圆心在圆周角的一边上； •（2）圆心在圆周角的内部； •（3）圆心在圆周角的外部
求证：∠BAC =1 ∠BOC 2
A
A
O
O
B
C
（1）
B
C
（2）
A
O C
B
（3）
分析论证
1 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时.
（1）在圆上任意确定一条弧BC，作出这条弧所对的圆心角和圆周角。 （思考：能画几个圆心角和圆周角？）
（2）根据画的图，观察弧BC所对圆周角和圆心的位置关系共有几种类型？
（3）弧BC 所对的圆周角 和它所对圆心角 有怎样的数量关系？
A
A
A
O
O
O
B
C
B
C
几何画板.gsp
C B
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
1∠ 1
2
BOD＋ 11
∠COD
2
1
2
2
2
即∠BAC=
1
1 2
∠BOC
2
你能证明第3种情况吗？
提示:能否转化为(1)的情况?
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
O
∠CAD＝
1 1 2
∠
COD
2
C DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝12 ∠ COD－ 12∠BOD
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
D
A 500 O 40° B
C
巩固练习2
1.如图，∠A是圆周角， 且∠A=40°，求∠OBC的度数。
人教版九级数学上册第二十四章2414 圆 周 角(1)第1课时 圆周角的概念和圆周角定理(共张PPT
O
A O
B
CB
CB
C
圆心O在∠BAC的一条边上
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
O
∴ BAC 1 BOC．
2
B
C
圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
OO
B
C
D
A
O C
D
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA=OB，
A
∴ ∠BAD=∠B．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
∴
BAD
1 2
BOD．
同理， CAD 1 COD．
2
∴ BAC CAD BAD
D
1 2
(COD
BOD )
1 2
BOC．
A O
C B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半
A
∵∠BAC和∠BOC分别是弧
BC所对的圆周角和圆心角
O
∴ BAC
1 2
BOC．
B
C
基础巩固，运用新知
如图，足球训练场上，甲乙两名运动员分别在A、 B两地，他们争论不休，都说自己的位置好，请用 本节课知识进行说明.
无数个
合作学习，探究定理
请在⊙O上任取一条弧AB，画出弧AB所对的一 个圆周角和圆心角，分别测量它们的度数， 它们之间有何数量关系？
O
合作学习，探究定理
提示：请大家根据圆心角与圆周角的位置关系， 把小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？ 需要分情况逐一证明.
A
独A立思考2分钟 O 小组讨论4分钟
A O
B
CB
CB
C
圆心O在∠BAC的一条边上
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
O
∴ BAC 1 BOC．
2
B
C
圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
OO
B
C
D
A
O C
D
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA=OB，
A
∴ ∠BAD=∠B．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
∴
BAD
1 2
BOD．
同理， CAD 1 COD．
2
∴ BAC CAD BAD
D
1 2
(COD
BOD )
1 2
BOC．
A O
C B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半
A
∵∠BAC和∠BOC分别是弧
BC所对的圆周角和圆心角
O
∴ BAC
1 2
BOC．
B
C
基础巩固，运用新知
如图，足球训练场上，甲乙两名运动员分别在A、 B两地，他们争论不休，都说自己的位置好，请用 本节课知识进行说明.
无数个
合作学习，探究定理
请在⊙O上任取一条弧AB，画出弧AB所对的一 个圆周角和圆心角，分别测量它们的度数， 它们之间有何数量关系？
O
合作学习，探究定理
提示：请大家根据圆心角与圆周角的位置关系， 把小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？ 需要分情况逐一证明.
A
独A立思考2分钟 O 小组讨论4分钟
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
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2012年9月
93
E
1
2
C
D
A
•
O
B
课题：2414⋅⋅圆周角（一）
目标：理解圆周角的概念；探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及其推论进行简单的论证和计算；
在探索圆周角的定理的过程中，初步体会运动变换的观点认识圆中的动态问题，渗透解决不
确定的探索型问题的思路和方法，提高学生的发散思维能力；
在圆周角定理的证明探索过程中，注重推理的严谨性，初步提高学生的逻辑思维能力。
重点：圆周角概念和圆周角定理。
难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。
一、自主预习与展示
1、阅读相关内容，思考下列问题：
(1)①圆周角定理的证明共分哪几种情况？答：圆心在圆周角的 ，圆心在 圆周角的 ，圆心在圆周角的 。
②如图1，A ∠与BOC ∠的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：A ∠= 。
∵OA OC =，∴A ∠= ， 又∵BOC A ∠=∠+ ，∴A ∠= ，
③如图2，A ∠与BOC ∠的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：A ∠= 。
作直径 ，则由②得，
BAO ∠= ，CAO ∠= ，∴CAO BAO ∠+∠= ，
即A ∠= 。
④如图3，A ∠与BOC ∠的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：A ∠= 。
作直径 ，则由②得，
BAO ∠= ，CAO ∠= ，CAO BAO ∠-∠= ， 即A ∠= 。
【归纳】：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ， 都等于这条弧所对的圆心角的 。
【思考】：圆周角相等，其所对的弧相等吗？反之呢？
二、合作学习与展示
【例1】：如图，AB 为的直径，C 、D 、E 是⊙O 上的三点， 试求12∠+∠的度数。
【规范解答】：连接OE ，
∵1∠= ，2∠= ， ∴12∠+∠= ，且180AOE BOE ∠+∠=︒ ∴12∠+∠= = 。
【例2】：如图，点A 、B 、C 、D 是⊙O 上，60ADC BDC ∠=∠=︒。
判断ABC ∆的形状。
【规范解答】：ABC ∆是等边三角形。
理由如下： ∵BDC ∠与BAC ∠对同一BC ，且60BDC ∠=︒，
图2
D O
A
B
C O
A
C
图1
O
A
B
图3
A
O
B
C
D
2012年9月
93
∴BDC ∠= = ，
∵ABC ∠与ADC ∠对同一AC ，且60ADC ∠=︒， ∴ABC ∠= = ， ∴ = = 。
∴ABC ∆是等边三角形。
：1、下列说法中正确的是（ ）
A 、相等的圆周角所对的弧相等
B 、相等的圆心角所对的弦相等
C 、等弧所对的圆周角相等
D 、长度相等的两条弧相等
2、如图所示，已知圆心角100BOC ∠=︒，则圆周角BAC ∠等于（ ）。
A 、50︒ B 、100︒
C 130︒
D 、200︒
：
1、下列图形是圆周角的是（ ）
2、在⊙O 中同弦的圆周角（ ）
A 、相等
B 、互补
C 、相等或互补
D 、都不对
3、如图，已知A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把四个角分成的八个角中，
相等的有（ ）
A 、2对
B 、3对
C 、4对
D 、5对 4、如图，⊙O 的直径CD AB ⊥，50AOC ∠=︒，则CDB ∠的大小为（ ）
A 、25︒
B 、30︒
C 、40︒
D 、50︒ 5、如图，ABC ∆内接于⊙O ，45C ∠=︒则，则ABO ∠= 。
6、如图所示，四边形ABCD 内接于圆，BD 平分ABC ∠，//AB CD ，
A B
O C
A
B C
O
D
A
B
O
第
3
题
第
4
题
A C B
第 5
题
O
2012年9月
93
求证：AD CD BC ==。
：在探索圆周角定理的过程中，初步体会用运动变换的观点认识圆中的动态问题，渗透解决不确定的探索型总是的思路的方法，提高学生的发散思维能力。
通过引导，让学生体会圆周角与圆心角的位置关系的不同，分情况对圆周角和圆心角的关系进行研究，从中体会分类思想和由特殊到一般的方法。
D
A
B
C。