《理论力学》动力学典型习题+答案

《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答

1－3 解：

运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将0

30=θ代入得

34cos cos 22lk lk l y v ====θ

θθ&&

938cos sin 22

3

2lk lk y a =-==θ

θ&&

1－6

证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知:

a a v v y

n cos ==θ，所以: y

v v

a a n =

将c v y =，ρ

2

n v a =

代入上式可得 ρ

c v a 3

=

证毕 1－7

证明：因为n

2

a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n

所以：v

a ⨯=

3

v

ρ 证毕

1－10

解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：

t v L s 0-=，并且 222x l s +=

将上面两式对时间求导得： 0v s -=&，x

x s s &&22= 由此解得：x

sv x

-=& （a ） (a)式可写成：s v x x 0-=&，将该式对时间求导得： 2

02

v v s x x x =-=+&&&& (b) 将(a)式代入(b)式可得：32

20220x

l

v x x v x a x -=-==&&&

（负号说明滑块A 的加速度向上）

1－11

解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处

于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为

x

R x 2

2cos -=

θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 2

2

R

x x R

v A -=ω （c ）

由于x v A &-=，（c ）式可写成：Rx R x x

ω=--22&，将该式两边平方可得： 222222

)(x R R x x ω=-&

将上式两边对时间求导可得：

x x R x x R x x x &&&&&223

2222)(2ω=--

将上式消去x &2后，可求得：2

22

42)

(R x x

R x --=ω&&

由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 2

22

42)

(R x x

R a A -=ω

1－13

解：动点：套筒A ；

动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析：

绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理 r e a v v v +=

有：e a cos v v =ϕ，因为AB 杆平动，所以v v =a ，

o v

o v

A

x

ω

O

θ

A

v

A

x ω

O B

v

B R

a v

e v

r v

x

y

o

a

n

a

v

y v

θ θ

x

y

o a

n

a

t

θ

由此可得e cos v v =ϕ，OC 杆的角速度为OA v e =ω，ϕcos l

OA =，所以l v ϕω2cos =

当0

45=ϕ时，OC 杆上C 点速度的大小为l

av

l av a v C 245cos 02===ω

1－15

解：动点：销子M

动系1：圆盘 动系2：OA 杆 定系：机座； 运动分析：

绝对运动：曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动

根据速度合成定理有

r1e1a1v v v +=， r2e2a2v v v +=

由于动点M 的绝对速度与动系的选取无关，即a1a2v v =，由上两式可得：

r1e1v v +r2e2v v += (a)

将（a ）式在向在x 轴投影,可得：

0r20e20e130cos 30sin 30sin v v v +-=-

由此解得：

s m b OM v v v /4.0)93(30

cos 30sin )(30tan )(30tan 0

20120

e1e20r2-=-=-=-=ωω 32.02e2==ωOM v

s m v v v v M /529.022r 2

e2a2=+==

1－17

解：动点：圆盘上的C 点；

动系：OA 杆； 定系：机座；

运动分析：绝对运动：圆周运动；

相对运动：直线运动（平行于O 1A 杆）； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理有

r e a v v v += （a ）

将（a ）式在垂直于O 1A 杆的轴上投影以及在O 1C 轴上投影得：

0e 0a 30cos 30cos v v =，0e 0a 30sin 30sin v v =

ωR v v ==a e ，ωR v v ==r a ，ωωω5.02O 1e 1===R

R A

v

根据加速度合成定理有

C a a a a a +++=r n

e t e a （b ）

将（b ）式在垂直于O 1A 杆的轴上投影得

C a a a a -+=-0n e 0t e 0a 30sin 30cos 30sin

其中：2a ωR a =，2

1n e 2ωR a =，r 12v a C ω=

由上式解得：2

t e 112

32R ωα==

a

1－19

解：由于ABM 弯杆平移，所以有

M A M A a a v v ==.,

取：动点：套筒M ；

动系：OC 摇杆； 定系：机座； 运动分析：

绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理

r e a v v v +=

可求得：m/s 2222e a =====ωb v v v v A M ，m /s 2e

r ===ωb v v ， rad/s 3

345.12211===A O v A ω

根据加速度合成定理

C a a a a a a +++=+r n e

t e n a t

a

将上式沿C a 方向投影可得：

C a a a a +-=-t e

n a

t a

45sin 45cos

由于221n a m/s 8==l a ω，2t e m/s 1==b a α，2

r m/s 82==v a C ω，根据上式可得： 0

t a 45cos 247+=a ，2

t a 1rad/s 123)247(22≈+==l a α

1-20

解：取小环为动点，OAB 杆为动系

运动分析

绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示， 其中：ωω

ωr r OM v 260cos 0

e ==

=

根据速度合成定理： r e a v v v +=

可以得到：

ωωθr r v v 3260cos 60sin tan 020e a === ，ωr v v 460cos 0

e

r

== t

a a

n

a

a

t e a

n

e a

r

a C

a a v

e v

r v

e1v

e2v

r2

v

r1v

x

a

v θ

M O A ω B r v e v t e a

r

a v e v

r v