计算几何基础
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
数学几何基础知识点清单
数学几何基础知识点清单欢迎阅读本文，以下是数学几何的基础知识点清单。
希望通过这个清单，能够帮助你更好地理解和掌握数学几何。
1.点、线、面的基本概念在数学几何中，点、线、面是基本的几何概念。
点是没有长度、宽度和高度的，可以表示为大写字母，如A、B、C。
线是由无数点组成的，没有宽度只有长度，用小写字母表示，如a、b、c。
面是由无数直线连结而成的，有宽度和长度，用大写希腊字母表示，如Δ、Φ、Π。
2.角的概念和性质角是由两条射线共同确定的，用小写希腊字母表示，如α、β、θ。
角的度量单位通常使用度（°），角的大小可以通过角度的度数来表示。
角的种类有钝角、直角、锐角等，根据角的特点和度数可以判断角的性质。
3.三角形的分类和性质三角形是由三条边和三个角组成的，根据边的长短和角的大小可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
三角形的性质有内角和为180°、三边之和大于第三边、直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和等等。
4.四边形的分类和性质四边形是由四条边和四个角组成的，根据边和角的特点可以将四边形分为平行四边形、矩形、正方形、菱形等。
四边形的性质有对角线的长度相等、平行四边形的对边平行和对角线互相平分等。
5.圆的基本概念和性质圆是由一条曲线和所有离该曲线同一平面内且与曲线的每一点的距离相等的点组成的。
圆的性质有圆心、半径、直径等概念，弧长和扇形的面积等。
6.向量的概念和运算向量是有大小和方向的，用有向线段表示。
向量的运算有加法、减法、数乘等，可以进行向量之间的加减和与实数的乘法。
常见的向量有单位向量、相等向量、共线向量等。
7.空间几何中的平面和直线在空间几何中，平面和直线是重要的几何元素。
平面由无数条直线在同一平面内组成，可以用含有三个不共线的点来确定一个平面。
直线是由无数个点在同一直线上组成，可以用两个不同点来确定一条直线。
8.立体几何中的体积和表面积在立体几何中，体积和表面积是常用来描述物体的属性。
数学中的计算几何
数学中的计算几何在数学中，计算几何是研究几何形状与其数值特征、运算关系之间的相互关系的分支学科。
它基于代数与几何的结合，通过运用代数工具来研究几何问题。
计算几何在众多领域中得到了广泛的应用，例如计算机图形学、机器人学以及物理学等等。
本文将探讨数学中的计算几何以及其在现实生活中的应用。
一、计算几何的基本概念计算几何的基本概念包括点、线、平面和空间等概念。
在计算几何中，点是最基本的元素，被定义为没有大小和形状的位置。
线由一系列的点组成，它们是无限延伸的。
平面是由无限多个点和线组成的，具有二维特性。
而空间则是由无限多个点、线和平面组成的，具有三维特性。
二、计算几何的基本运算在计算几何中，有一些基本的运算，包括点的坐标表示、距离计算、向量运算和曲线方程等。
1. 点的坐标表示为了方便计算，在计算几何中通常使用坐标系统来表示点的位置。
对于二维空间中的点，我们使用笛卡尔坐标系，即通过横轴和纵轴的交点来确定点的位置。
通过该坐标系，我们可以用一对有序实数来表示二维空间中的每一个点。
2. 距离计算在计算几何中，我们可以通过坐标表示来计算两个点之间的距离。
对于二维空间中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
同样地，对于三维空间中的点，距离的计算方法与二维类似，只是多了一个坐标方向。
3. 向量运算在计算几何中，向量是用来表示具有大小和方向的量。
我们可以用向量来表示平移、旋转和缩放等操作。
向量的加法、减法、数量积和向量积等运算在计算几何中都有着重要的应用。
4. 曲线方程计算几何中，我们经常需要研究曲线的性质及其与其他曲线的关系。
通过方程的表示，我们可以了解曲线的形状、位置和运动等特征。
常见的曲线方程包括直线方程（斜截式、截距式和点斜式）、圆方程（标准式和一般式）以及椭圆、双曲线、抛物线的方程等。
三、计算几何在现实生活中的应用计算几何作为数学的一个分支，几乎在各个领域中都有着广泛的应用。
计算几何与图形学的数学基础
计算几何与图形学的数学基础计算几何与图形学是数学领域中涉及几何形状、图形和其它与空间相关概念的分支。
它们提供了许多重要的数学基础和理论，对于解决实际问题、工程应用以及计算机图形学的发展都具有重要意义。
本文将介绍计算几何与图形学的一些数学基础。
一、点、线、面的几何性质计算几何与图形学研究的对象主要是点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在几何学中，点是没有大小和形状的，用来描述位置；线是由无数点构成，是长度无限延伸的物体；面是由无数线构成的，是二维的，有面积的物体。
这些基本的几何要素有着特定的性质和运算规则，在计算几何与图形学中扮演着重要的角色。
二、向量和坐标系向量是计算几何与图形学中的重要概念，它可以表示空间中的方向和大小。
向量常用于描述点之间的位置关系和线段的方向。
在计算几何中，向量可以进行加法、减法和数乘等运算，这些运算有助于解决几何问题。
坐标系是用来标定点的位置的一种方法。
二维空间中常使用直角坐标系，通过横纵坐标来确定点的位置；三维空间则使用三维直角坐标系，通过三个坐标轴来确定点在空间中的位置，坐标轴互相垂直。
三、曲线和曲面在计算几何与图形学中，曲线和曲面是常见的几何对象。
曲线可以由参数方程或者隐式方程来描述，比如常见的直线、圆形、椭圆等；曲面是由参数方程或隐式方程描述的，如球面、圆柱面、锥面等。
曲线和曲面的性质和形状可以通过不同的数学工具和方法进行分析和计算。
四、投影与变换投影是计算几何中重要的概念之一，它描述了物体在不同角度和位置下在平面上的映射。
常见的投影包括平行投影和透视投影。
平行投影是指物体投影到平行于观察方向的平面上，透视投影则考虑了物体与观察者之间的距离和角度。
变换是计算几何与图形学中的关键技术之一，它包括平移、旋转、缩放和扭曲等操作，可以改变几何对象的形状和位置。
五、计算几何与图形学的应用计算几何与图形学的数学基础被广泛应用于众多领域。
在工程领域，它们被用于建筑设计、机械制造和飞行器设计等方面，帮助人们解决实际问题。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形的性质和空间关系，并通过数学方法进行计算和推导。
在现代社会中，计算几何不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
本文将介绍计算几何的基本概念和常见应用，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 点、线、面：在计算几何中，点是最基本的几何对象，用来表示位置；线由两个点确定，是一维的几何对象；面由三个或三个以上的点确定，是二维的几何对象。
2. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用来表示位移、速度等物理量。
在计算几何中，向量可以用来表示线段、直线等几何对象。
3. 坐标系：坐标系是用来描述空间位置的工具，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
在二维空间中，直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成；在三维空间中，直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成。
4. 向量运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等运算是计算几何中常见的操作，可以用来求解几何问题。
5. 几何变换：平移、旋转、缩放等几何变换是计算几何中常用的操作，可以改变几何对象的位置、方向和大小。
二、常见应用1. 点、线、面的位置关系：计算几何可以用来判断点是否在直线、线段、射线、多边形内部，以及线段、直线、射线的相交关系等。
2. 几何问题求解：计算几何可以用来求解距离、角度、面积等几何问题，如求两点之间的距离、判断三角形的形状、计算多边形的面积等。
3. 几何构图：计算几何可以用来进行几何构图，如画出两点之间的直线、作出与已知直线垂直的直线、求两圆的交点等。
4. 几何优化：计算几何可以用来进行几何优化，如求解最短路径、最大面积、最小包围矩形等问题，对于一些实际应用具有重要意义。
5. 计算机图形学：计算几何在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用来表示和处理图形对象，实现图形的绘制、变换、渲染等功能。
6. 地理信息系统：计算几何在地理信息系统中也有着重要的应用，可以用来处理地理数据、分析地理空间关系，实现地图的绘制、导航、遥感等功能。
几何算法初步知识点总结
几何算法初步知识点总结几何算法是数学中的一个重要分支，它研究空间和平面中点、线、面等几何图形的性质和运算方法。
几何算法在实际中有着广泛的应用，比如工程设计、地理信息系统、计算机图形学等领域都需要用到几何算法。
本文将主要总结几何算法的一些初步知识点，包括点、线、面的性质和运算方法，以及一些常见的几何算法。
一、点的性质和运算方法1. 点的定义一个点是几何中最基本的图形，它是一个没有长度、宽度和高度的对象。
点在空间中可以用坐标来表示，比如二维平面上的点可以用(x, y)来表示，三维空间中的点可以用(x, y, z)来表示。
2. 点的运算两个点之间可以进行一些基本运算，比如计算它们之间的距离、判断它们是否在同一条直线上等。
点的运算是几何算法中的基础，它为其他几何图形的运算奠定了基础。
3. 点的性质点是一个没有大小的对象，它没有方向，也没有形状。
在几何中，我们通常用点来表示图形的顶点和交点，它在几何图形的构造和分析中起着重要作用。
二、线的性质和运算方法1. 线的定义一条线是由无数个点连续排列而成的。
在几何中，线是一个没有宽度和厚度的对象，它只有长度。
线在空间中可以是一条直线或者是一条曲线，它们可以用数学方程或参数方程来表示。
2. 线的运算线可以进行一些基本的运算，比如计算两条线之间的交点、判断两条线是否平行等。
线的运算是几何算法中的重要内容，它可以用来解决很多实际问题。
3. 线的性质线是一个没有宽度的对象，它没有方向和形状。
在线的几何中，我们经常用线来表示直线、线段、射线等图形，它在几何学和数学中有着广泛的应用。
三、面的性质和运算方法1. 面的定义一个面是由一组点和连结这些点的线组成的，它有着长度、宽度和面积。
面可以是平面的，也可以是空间的。
在几何中，我们通常用平面几何学来研究平面上的图形，用立体几何学来研究空间中的图形。
2. 面的运算面可以进行一些基本的运算，比如计算它们之间的距离、判断它们是否相交等。
几何计数知识点总结
几何计数知识点总结几何计数是离散数学中的一个重要分支，主要研究平面或空间中的点、线、面、体等几何体的组合、排列和计数方法。
在解决实际问题和进行数学证明时，往往需要运用几何计数的方法。
本文将就几何计数的基本概念、常用方法和应用领域进行总结，以便读者更好地理解和运用几何计数知识。
一、基本概念1.1 点、线、面和体在几何计数中，点、线、面和体是最基本的几何构件。
点是没有长度、宽度和高度的，线是由一系列相邻的点组成的，面是由一系列相邻的线组成的，而体则是由一系列相邻的面组成的。
这些几何构件在计数问题中经常出现，需要根据其特性进行排列和组合的计算。
1.2 排列和组合排列和组合是解决几何计数问题的基本方法。
排列是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行排列，计算排列的种类数；组合是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行组合，计算组合的种类数。
根据排列和组合的公式和性质，可以准确地解决各种几何计数问题。
1.3 简单计数原理简单计数原理是指根据事件的性质和求解目标，将复杂的事件分解成若干个简单事件，然后根据简单事件的计数规律，求解复杂事件的计数问题。
简单计数原理在几何计数中经常被使用，尤其是在求解复杂的几何排列和组合问题时，可以大大简化计算。
1.4 对称性对称性是几何计数中广泛存在的重要性质。
在计算几何排列和组合时，通常可以利用几何体的对称性质，简化计算或得出结论。
对称性可以分为点对称、轴对称和面对称等不同类型，每种对称性质都有其特定的计数规律。
二、常用方法2.1 放回和不放回放回和不放回是几何计数中常用的计数方法。
放回是指在一定条件下，将选取的元素放回原处，继续进行下一次选取；不放回是指在一定条件下，将选取的元素不放回原处，继续进行下一次选取。
这两种方法在计算排列和组合时有不同的计数规律，需要根据具体的问题选择合适的方法。
2.2 递推关系递推关系是指根据已知的计数结果和规律，求解未知的计数问题。
在几何计数中，经常可以通过观察已知的排列和组合规律，得出递推公式或递推关系，从而求解更复杂的计数问题。
计算几何
2.2.1 点积的定义
两个向量为： A x1 , x 2 ,..., x n B x1 , x 2 ,..., x n 定义两个向量的点积为：
AB
x
i 1
n
i
x i
2.2.2 点积的性质
两个向量的点积是标量 点积的变化与向量模的变化成正比。也 就是说，可以把向量标准化后再求点积， 然后再乘上某个系数，就可以得到原来向 量的点积
猜想由n个点(x1,y1), (x2,y2), ……, (xn,yn)构成 的多边形的重心的坐标是：
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
P1 P6
2.6.3 n边形的重心
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
xa xb
ya yb
b a
叉积的本质是一个向量，这个向量垂直于求叉积的 两个向量所在平面，大小是叉积的绝对值 二维情况的叉积向量平行于z轴，因此可以用正负号 表示方向
2.2 点积
2.2.1 点积的定义 2.2.2 点积的性质 2.2.3 点积的几何解释 2.2.4 点积与余弦函数的关系
可以用arctan2函数求得各个点的极角，然后排 序。但这样做会有浮点误差，且计算极角的运算 量大，没有用到几何特性，也没有深入使用排序 算法 满足全序关系，就能排序，无需算值
3.2.2.4 共线问题解决
Graham-Scan算法执行过程中会碰到多 点共线的情况 此时的一个解决办法是每次取三个点， 如果三者共线，则去掉中间的点
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形 但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
计算几何基础
计算几何基础计算几何是计算机科学的一个分支，主要研究解决几何问题的算法和理论。
它在计算机图形学、机器人技术、地理信息系统、计算机辅助设计等众多领域都有着广泛的应用。
想象一下，我们在电脑上玩的各种 3D 游戏，游戏中的场景构建、角色移动，都离不开计算几何的支持。
又或者在地图导航中，为我们规划出最优的路线，这背后也是计算几何在发挥作用。
那么，计算几何到底包括哪些基础内容呢？首先是点、线、面等基本几何元素的表示和运算。
在计算几何中，点通常用坐标来表示，比如在二维平面中，一个点可以用(x, y)来表示；在三维空间中，则用(x, y, z)表示。
而线可以通过两个点来确定，面可以通过三个不共线的点来确定。
对于点和点之间的距离计算，这是一个基础且重要的操作。
在二维平面中，两点(x1, y1)和(x2, y2)之间的距离可以通过勾股定理计算得到，即：d ＝√（（x2 x1)²＋（y2 y1)²) 。
在三维空间中，距离的计算方式类似，只是多了一个维度的分量。
线的表示方式有多种，比如直线可以用点斜式、两点式等方程来表示。
而判断两条直线是否相交，也是常见的问题。
通过求解方程组，如果有解且解在合理的范围内，就说明两条直线相交。
再来看看多边形。
多边形是由一系列首尾相连的线段组成的封闭图形。
对于多边形，我们需要考虑它的面积计算、是否为凸多边形等问题。
计算多边形面积的方法有多种，比如可以将多边形分割成多个三角形，然后分别计算三角形的面积再求和。
判断一个多边形是否为凸多边形也有相应的算法，通常是通过检查多边形的每个内角是否小于180 度来判断。
向量在计算几何中也扮演着重要的角色。
向量可以表示方向和大小，通过向量的运算，我们可以方便地处理几何对象的平移、旋转等操作。
比如，两个向量的点积可以用来计算它们之间的夹角，而叉积可以用来判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧。
计算几何中还有一个重要的概念——包围盒。
包围盒是一个能够完全包含几何对象的简单几何体，常见的有轴对齐包围盒（AABB）和包围球。
计算几何中的基本概念与应用
计算几何中的基本概念与应用计算几何，是一个以计算方法为基础，通过数学分析来研究图形的几何学分支。
它是一个涉及到大量的数学知识的领域，除了基本的几何知识之外，还需要掌握一些各种各样的数学方法。
在这篇文章中，我将会介绍计算几何中的基本概念及其应用。
1. 点、直线和向量在计算几何的领域中，最基本的概念就是点、直线和向量。
点是最基本的图形，在计算几何中，点通常用坐标来表示。
直线是由无数个点连成的线段，它通常以斜率截距式来表示。
向量也是一种基本的概念，它可以表示两个点之间的距离和方向。
这三种基本概念在计算几何中都有重要的应用。
例如，我们可以使用点和向量来表示线段，使用向量来表示两个点之间的距离。
在计算几何中，我们也可以使用向量来表示两个平面之间的夹角，从而可以计算出两个平面的交角。
2. 多边形和三角形在计算几何的领域中，多边形和三角形是非常重要的概念。
三角形是一个由三个点和它们所组成的线段组成的图形。
多边形则是一个由多个点和线段组成的图形。
在计算几何中，我们通常使用多边形的面积和周长来进行分析和计算。
例如，在计算几何中，我们可以使用三角形的面积公式来计算出三角形的面积，进而计算出其周长。
同样的，我们也可以使用多边形的面积公式来计算出多边形的面积和周长。
这些计算方法对于计算几何中三角形和多边形的应用非常重要。
3. 圆和椭圆圆和椭圆也是计算几何领域中一个非常重要的概念。
圆是一个由一个确定的点到平面上距离相等的所有点组成的图形。
椭圆则是一个由两个点到平面上距离和长度之和相等的所有点组成的图形。
在计算几何中，我们通常使用圆和椭圆的半径、周长和面积来分析和计算。
例如，我们可以使用圆的面积公式来计算出圆的面积和周长，进而使用这些数据来计算出圆的半径和直径。
4. 矩形和正方形矩形和正方形是计算几何中另外两个非常重要的概念。
矩形是一个具有四个直角的平面上的图形，它的两个对立面是相等的。
正方形则是一种特殊的矩形，它的四个边都是相等的，所有的直角都是相等的。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是现代计算机科学、数学与工程技术中的一个重要分支。
它研究空间中各种几何对象的表示、存储、处理与运算。
伴随着计算机技术的发展，计算几何的应用也越来越广泛，从计算机图形学、CAD （计算机辅助设计）到模式识别与机器学习等领域均有涉及。
本文将从基本概念入手，逐步深入，探讨计算几何的基本理论、主要算法以及实际应用中的重要性。
计算几何的基本概念在讨论计算几何之前，我们首先需要理解一些基本的几何概念和术语。
计算几何主要关注以下几个方面：1. 点、线、面和多边形点是最基本的几何元素，通常用坐标表示。
在二维空间中，我们用坐标 (x, y) 来表示一个点；而在三维空间中，则使用 (x, y, z)来表示。
此外，线由两个点确定，面则由三条边围成的区域形成。
多边形是由有限条线段首尾相连形成的闭合图形，例如三角形、矩形等。
2. 几何变换几何变换是对几何对象进行的位置、大小和方向的改变。
常见的变换包括平移、旋转和缩放。
通过这些变换，可以实现对象的重新定位以及调整其尺寸以适应不同的应用场景。
3. 几何算法几何算法是处理和分析几何对象的步骤和方法。
这些算法解决诸如点与线的关系、点是否在多边形内等问题。
高效的几何算法能够提高计算效率，对于大规模数据处理尤为重要。
计算几何中的重要算法在计算几何中，有一些关键算法为我们解决复杂问题提供了必要工具。
以下将介绍其中几个广泛应用且基础的重要算法。
1. 凸包算法凸包是指能够包含一组点的最小凸多边形。
凸包问题在许多领域都有广泛应用，包括数据可视化、模式识别等。
著名的求解凸包的算法包括Graham扫描法和Jarvis行侠法等。
Graham扫描法具体步骤如下： - 将所有点按照x坐标排序，如果x坐标相同则按照y坐标排序。
- 选定左下角点为起始点，按极角顺时针排序。
- 利用栈结构循环判断当前点与栈顶两点所组成的角度来维护凸包。
此算法在时间复杂度上表现良好，通常为 (O(n n))。
代码片段_计算几何基础知识 求两线段的交点
标题：计算几何基础知识：求两线段的交点目录：1. 什么是线段2. 线段的方程3. 求解两线段的交点4. 示例分析5. 总结---1. 什么是线段线段是指两点之间的一段连续直线，其长度有限，并且有起点和终点。
上线段上的任意一点可以由参数方程表示为 P(t) = P0 + t(P1 -P0)，其中 P0 和 P1 分别是线段的起点和终点，t 的取值范围在 0 到 1 之间。
2. 线段的方程线段的方程可以表示为一组参数方程组成的向量方程，即 P(t) = P0 + t(P1 - P0)。
根据参数 t 的不同取值，可以得到线段上的所有点。
3. 求解两线段的交点求解两线段的交点，可以通过以下步骤来进行：1）分别计算两条线段的参数方程，得到每条线段的起点、方向向量和长度；2）根据两条线段的方程，设定参数 t 和 s，使得两条线段上的某一点即为交点，即 P1 = P2；3）通过参数 t 和 s 的取值，计算得到交点的具体坐标。
4. 示例分析假设有两条线段，线段AB 和线段CD，求其交点的坐标。
线段AB 的起点为 A(x1, y1)，终点为 B(x2, y2)；线段CD 的起点为 C(x3, y3)，终点为 D(x4, y4)；则线段AB 的参数方程为 P1(t) = A + t(B - A)，线段CD 的参数方程为 P2(s) = C + s(D - C)；当 P1(t) = P2(s) 时，即为交点的坐标；解方程得到 t 和 s 的值，代入 P1(t) 或 P2(s) 中，即可得到交点的具体坐标。
5. 总结求解两条线段的交点是计算几何中常见的问题，通过参数方程的表示和方程的求解，可以比较容易地得到两条线段的交点。
在实际应用中，可以利用这一方法解决线段相交、线段与线的交点等问题。
对于更复杂的情况，可能需要使用更高级的数学工具和算法来求解。
但基本的求解原理和方法仍然是基于参数方程和方程求解的基础。
以上是关于计算几何基础知识中求解两线段的交点的相关内容，希望可以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
数学几何的基础知识
数学几何的基础知识数学几何是数学的一个分支，研究空间形状、大小、位置以及它们之间的关系。
了解数学几何的基础知识对我们理解空间的结构和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍数学几何的基础概念和相关定理。
一、点、直线和平面在数学几何中，最基本的概念是点、直线和平面。
点是没有大小和形状的，它只有位置；直线是由无数个点组成，具有无限延伸的特性；平面是由无数个直线组成，具有二维的特性。
二、角度角度是数学几何中常见的概念，它由两条射线构成，有大小和方向。
角度的度量单位通常使用度（°）或弧度（rad）。
常见的角度类型包括锐角、直角、钝角和平角。
三、三角形三角形是由三条线段组成的图形，它是几何中最基本的形状之一。
三角形的内角和等于180°，根据边长和角度的不同，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等多种类型。
四、四边形四边形是由四个线段组成的图形，它包括多种类型，如矩形、正方形、菱形等。
四边形的性质和关系可以用于解决实际问题，如计算面积、判断平行性等。
五、圆圆是由一个确定的中心点和到该中心点距离相等的所有点组成的图形。
圆的重要性质包括半径、直径、弧长和面积等。
圆的几何关系在很多实际应用中都有着重要的作用。
六、立体几何立体几何研究的是三维空间中的图形和物体。
常见的立体图形包括球体、圆柱体、锥体和立方体等。
立体几何的基本概念和计算方法在建筑、工程等领域有广泛应用。
七、相似与全等数学几何中的相似和全等是重要的概念。
两个图形如果形状相同且大小相等，则它们是全等的；如果两个图形形状相同但大小不同，则它们是相似的。
相似和全等的判定方法可以通过比较边长、角度等几何属性来实现。
八、向量向量是用于描述空间中的方向和大小的量。
向量有起点和终点，可以通过终点减去起点得到。
向量的加法、减法和数量乘法等运算在几何中有广泛的应用。
九、三角函数三角函数是数学几何中的重要工具。
常见的三角函数包括正弦、余弦和正切等，它们以角度作为自变量，返回与该角度相关的数值。
CCF中学生计算机程序设计能力评级信息学奥赛NOIP计算几何基础
清华集训 2011 集合的面积
AB
A
+
给出两个点集 B = {a + b|a ∈
, A,
b，∈定B}义，点求集点集
A
+
B
的凸包的面积。
|A|, |B| ≤ 105，坐标的绝对值不超过 108。
计算几何基础
基本操作 凸包 旋转卡壳 半平面交 扫描线
清华集训 2011 集合的面积
先分别求出点集 A 和点集 B 的凸包。记 a , b 分别表示
给 n 个红点和 m 个蓝点，问有多少个蓝点至少在一个 由红点构成的三角形内（在边界上也算）。
题目相当于问有多少个蓝点在红点的凸包内。对每个蓝 点，我们二分出其在上、下凸包中的位置，判一下是否在下 凸包的上方以及上凸包的下方即可。也可以先对蓝点进行排 序，后面就不需要二分了。
计算几何基础
基本操作 凸包 旋转卡壳 半平面交 扫描线
动态凸包
•
O n log n)（一个小技巧：把
只坐有标插取入负：之用后平再衡维树护维一护个。下凸(包就不用写两遍了）
• 要求插入和删除，离线：把每个点视为在时间 [l ,r ] 内有 效，然后外面套一个线段树分治。O(n log2 n)
• 要求插入和删除，在线：平衡树套可持久化平衡树维护， 详见《可持久化数据结构研究》。O(n log2 n)
计算几何基础
基本操作 凸包 旋转卡壳 半平面交 扫描线
清华集训 2012 共点圆
要求完成 n 次在二维平面上的操作：
•
xy
• 加询问入点一个(x以, y)(是, 否) 在为所圆有心已且加过入原的点圆的的圆内。部（含圆周）。
n ≤ 5 ∗ 105。
计算几何基础知识讲义
计算几何基础知识讲义一．基础知识1.两点间的距离公式：已知：平面上的两点的直角坐标分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则P1和P2两点间的距离为 d=sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)) 2.线段的中点坐标公式：已知：平面上的两点的直角坐标分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则线段P1P2的中点坐标为 x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2 3.直线的斜率公式：已知：平面上的两点的直角坐标分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2),则线段P1P2所在的直线的斜率为 k=（y2-y1)/(x2-x1) 4.直线的点斜式方程:已知：直线过点P0(x0,y0)，斜率为k,则该直线所在的方程为 y=k(x-x0)+y0=kx+y0-kx0=kx+b(与y 轴交点的纵坐标:纵截距) 5、三角形面积2ABC AB AC S ⨯=。
当然，还有其他的许多方法，包括大家熟知的1sin 2S ab C =以及Hero 公式。
Hero 公式是令2a b cp ++=，则()()()S p p a p b p c =---。
6、多边形面积计算如果一个多边形的顶点是按逆时针（顺时针也可）顺序排列的，那么我们可以找到一种简洁的面积算法。
例如右图是一个四边形P 1P 2P 3P 4，设P 5=P 1 ，x i 是各点在x 轴上的射影。
我们称P i X i X i+1P i+1是一个“有向梯形”，并定义其面积为：“有向梯形”的面积是可正可负的，这就是称其“有向”的原因。
而整个四边形的面积则是： 这个面积就是正数了。
对于各种特殊的四边形，这个算法仍然成立。
这些例子如凹四边形（图2），被x 轴切割的四边形（图3），注意图3中有向梯形P 1X 1X 2P 2实际上并不是严格的梯形，但这并不影响结果的正确性，这就是“有向梯形”带符号的好处。
这个面积算法对按逆时针排列顶点的四边形的计算结果为正，而对按顺时针排列顶点的四边形的计算结果为负。
计算几何常用算法详解
计算几何资料一、引言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。
二、目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容：1. 矢量的概念2. 矢量加减法3. 矢量叉积4. 折线段的拐向判断5. 判断点是否在线段上6. 判断两线段是否相交7. 判断线段和直线是否相交8. 判断矩形是否包含点9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中10. 判断矩形是否在矩形中11. 判断圆是否在矩形中12. 判断点是否在多边形中13. 判断线段是否在多边形内14. 判断折线是否在多边形内15. 判断多边形是否在多边形内16. 判断矩形是否在多边形内17. 判断圆是否在多边形内18. 判断点是否在圆内19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内20. 判断圆是否在圆内21. 计算点到线段的最近点22. 计算点到折线、矩形、多边形的最近点23. 计算点到圆的最近距离及交点坐标24. 计算两条共线的线段的交点25. 计算线段或直线与线段的交点26. 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点27. 求线段或直线与圆的交点28. 凸包的概念29. 凸包的求法三、算法介绍1.矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
2.矢量加减法：设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。
计算几何常用算法+直线拐点判断++线段相交判断
计算几何常用算法一、引言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。
二、目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容：矢量的概念矢量加减法矢量叉积折线段的拐向判断判断点是否在线段上判断两线段是否相交判断线段和直线是否相交判断矩形是否包含点判断线段、折线、多边形是否在矩形中判断矩形是否在矩形中判断圆是否在矩形中判断点是否在多边形中判断线段是否在多边形内判断折线是否在多边形内判断多边形是否在多边形内判断矩形是否在多边形内判断圆是否在多边形内判断点是否在圆内判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内判断圆是否在圆内计算点到线段的最近点计算点到折线、矩形、多边形的最近点计算点到圆的最近距离及交点坐标计算两条共线的线段的交点计算线段或直线与线段的交点求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点求线段或直线与圆的交点凸包的概念凸包的求法三、算法介绍矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
矢量加减法：设二维矢量P = ( x1,y1 ) ，Q = ( x2 , y2 ) ，则矢量加法定义为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。
显然有性质P + Q = Q + P , P - Q = - ( Q - P )。
计算几何基础
Graham算法 参考程序 算法
procedure init; var i:integer; begin assign(f,'input.txt'); reset(f); readln(f,n); for i:=0 to n-1 do begin readln(f,list[i].x,list[i].y); if (list[i].y<list[0].y) or (list[i].y=list[0].y) and (list[i].x<list[0].x) then swap(list[0],list[i]); end ; sort(1,n-1) end;
15
Graham算法 参考程序 算法
procedure graham; var i:integer; begin for i:=1 to 3 do s[i]:=i-1; top:=3; for i:=3 to n-1 do begin while m(list[i],list[s[top]],list[s[top1]])>=0 do dec(top); inc(top); s[top]:=i; end;
7
判断两条线段相交且交点不是端点的算法 begin readln(p1.x,p1.y,p2.x,p2.y); readln(p3.x,p3.y,p4.x,p4.y); if across(p1,p2,p3,p4) then writeln('yes') else writeln('no'); end.
8
3.寻找凸包算法 寻找凸包算法
3.1凸包的概念 3.1凸包的概念 一个点集Q＝（p0,p1,p2...pn 1)， p0,p1,p2...pn一个点集Q＝（p0,p1,p2...pn-1)，它的凸包是一个最小的凸 多边形P 且满足Q中的每个点或者在P的边界上，或者在P 多边形P，且满足Q中的每个点或者在P的边界上，或者在P 的内部。在直观上，我们可以把Q中的每个点看作露在板外 的内部。在直观上，我们可以把Q 的铁钉． 的铁钉．那么凸包就是包含所有铁钉的一个拉紧的橡皮绳 所构成的形状． 所构成的形状． 如图： 如图：
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2015-5-26
6
判断一条线段是否在另一条线段的顺时针方向
判断p0p1到p0p2是否构成右手螺旋，以 P0为公共点。
p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2) 以p0为公共点 计算叉积
(p1-p0)x(p2-p0)=(x1-x0)(y1-y0)-(x2-x0)(y2-y0) >0:左手螺旋(顺时针) <0:右手螺旋(逆时针) =0：共线
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判断一个点在一条线段的左边还是右边
用叉积(p1-p0)x(p2-p0) >0:右边 <0:左边 =0:线上
2015-5-26 8
判断两线段是否相交
两线段相交有下面两个情况
1. 2.
如图一两线交叉 如图二一线段的端点在另一条线段上
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9
伪代码
2015-5-26
2015-5-26
31
代码：例题：HDU 1115 Lifting the Stone
struct centre { double x , y ; }; int cas , n ; double Area( centre p0 , centre p1 , centre p2 ) { double area = 0 ; area = p0.x * p1.y + p1.x * p2.y + p2.x * p0.y - p1.x * p0.y - p2.x * p1.y - p0.x * p2.y; return area / 2 ; // 另外在求解的过程中，不需要考虑点的输入顺序是顺时针 还是逆时针，相除后就抵消了。 }
ACM程序设计
计算几何初步
(Computational Geometry Basic)
2015-5-26
2
第一讲
线段属性
2015-5-26 3
线段
三个问题
1、给定的向量p0p1和p0p2,以p0为公共点，
p0p1到p0p2是否构成右手螺旋(逆时针)？
2、给定两条线段p0p1和p1p2,如果我们遍
10
伪代码
2015-5-26
11
思考：
1、传统的计算线段相交的方法是什么？ 2、传统方法和本方法的区别是什么？
2015-5-26
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特别提醒：
以上介绍的线段的三个属性，是计 算几何的基础，在很多方面都有应 用，比如求凸包等等，请务必掌握！
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13
第二单元
多边形面积和重心
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历p0p1和P1P2,能否判断p2在p0p1的左边？
3、线段p0p1和p3p4相交吗？
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叉积
定义. 矩阵的行列式：
可以解释为平行四边形的面积
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5
叉积
p1Xp2
>0:p1以（0,0）为起点，在p2的顺时针方向 <0:p1以（0,0）为起点，在p2的逆时针方向 =0:共线
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代码：
int main () { centre p0 , p1 , p2 ; double sum_x , sum_y , sum_area , area; scanf ( "%d" , &cas ) ; while ( cas -- ) { sum_x = sum_y = sum_area = 0 ; scanf ( "%d" , &n ) ; scanf ( "%lf%lf" , &p0.x , &p0.y ) ; scanf ( "%lf%lf" , &p1.x , &p1.y ) ; for ( int i = 2 ; i < n ; ++ i ) { scanf ( "%lf%lf" , &p2.x , &p2.y ) ; area = Area(p0,p1,p2) ; sum_area += area ; sum_x += (p0.x + p1.x + p2.x) * area ; sum_y += (p0.y + p1.y + p2.y) * area ; p1 = p2 ; } printf ( "%.2lf %.2lf\n" , sum_x / sum_area / 3 , sum_y / sum_area / 3 ) ; } return 0 ; }
但是，现在多边形的质量是均匀分布在 其内部区域上的，也就是说，是与面积 有关的！
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解决方案:
剖分成N个三角形，分别求出其重心和面 积，这时可以想象，原来质量均匀分布 在内部区域上，而现在质量仅仅分布在 这N个重心点上（等假变换），这时候就 可以利用刚才的质点系重心公式了。 不过，要稍微改一改，改成加权平均数， 因为质量不是均匀分布的，每个质点代 表其所在三角形，其质量就是该三角形 的面积（有向面积！），——这就是权！
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凸包模板：
//xiaoxia版 #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> typedef struct { double x; double y; }POINT; POINT result[102]; // 保存凸包上的点 POINT a[102];
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基本问题（1）：
给定一个简单多边形，求其面积。 输入：多边形（顶点按逆时针顺 序排列） 输出：面积S
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思考如下图形：
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Any good idea?
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
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Any question?
课后作业：
《ACM程序设计》课后练习（5）——刘春英
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Welcome to HDOJ
Thank You~
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从三角形的重心谈起：
三角形的重心是： (x1+x2+x3) / 3，(y1+y2+y3) / 3
可以推广否？ Sigma(xi)/N , sigma(yi)/N (i=1…N) ???
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看看一个特例：
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原因：
错误的推广公式是“质点系重心公式”， 即如果认为多边形的质量仅分布在其顶 点上，且均匀分布，则这个公式是对的。
凸多边形的三角形剖分
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心， 连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性， 保证这些三角形全在多边形内，那么， 这个凸多边形的有向面积： A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
P6 P1 A4 P5 A3 A1 P2
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A2 P3
P4
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凹多边形的面积？
B C A ABC成左手系，负面积
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C
B A ABC成右手系，正面积
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大功告成：
Area(A,B,C)= 1/2 * (↑AB) × (↑AC)
=∣
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Xb – X a Xc – X a
Yb –Y a
Yc –Y a
∣/2
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特别注意： 以上得到是有向面积（有正负）！
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全部搞 定！
第三单元
凸包( Convex Hull )
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解决方案:
由前面所提出的原理和数学定理可以得 出求离散数据点所围多边形的一般重心 公式:以Ai ( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) 为顶点 的任意N边形A1A2 .An ,将它划分成N - 2 个三角形(如图1) 。每个三角形的重心为 Gi ( . xi , . yi ) ,面积为σi。那么多边形的 重心坐标G( .x2, .y2) 为：