现代控制理论(II)-讲稿-课件-ppt-2-1

( xn +1 + an −1 xn + ⋯ + a0 x1 ) + β 0u ( n ) + (an −1β 0 + β1 )u ( n −1) + ⋯ + (a0 β 0 + a1β1 + ⋯ + an −1β n −1 + β n )u = bnu ( n ) + ⋯ + bmu ( m ) + ⋯ + b1u (1) + b0u
现 代 控 制 理 论 (II)
对于线性系统， 对于线性系统，其状态方程和输出方程一般可以表示为
dX (t ) = AX (t ) + Bu (t ) dt Y (t ) = CX (t ) + Du (t )
式中： ∈ ╳ 由系统自身结构确定的参数矩阵， 式中： A∈Rn╳n——由系统自身结构确定的参数矩阵，称为系统矩阵或状态矩阵 B∈Rn╳r——称为输入矩阵或控制矩阵 ∈ ╳ C∈Rm╳n——称为输出矩阵 ∈ ╳ D∈Rm╳r——称为直接转移矩阵 ∈ ╳
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和 xn +1 = x n − β nu
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xn +1 = x n − β n u = ( y ( n ) − β 0u ( n ) − β1u ( n −1) − ⋯ − β n −1u (1) ) − β nu
•
其中的βi(i=1,2,⋯,n)是待定系数。将此式中的各个y(i)(i=0,1,2,⋯,n)代入原微分方程， 有
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显然，m=n时，D≠0
D = β0
m<n时，D=0
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例2-1：已知系统的微分方程为
y ( 3) + 5 y ( 2) + 3 y (1) + y = 4u (1) + 2u
求此系统的状态空间表达式。 解：对照一般高阶常微分方程，有 n=3, a0=1, a1=3, a2=5 b0=2, b1=4, b2=0, b3=0 则有 β0=b3=0, β1=b2-a2β0=0, β2=b1-a2β1-a1β0=4, β3=b0-a2β2-a1β1-a0 β0=-18 所以，系统的状态空间表达式为
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2.1 引言
线性系统的运动在时域内一般是用微分方程描述。 线性系统的运动在时域内一般是用微分方程描述。 经典控制理论采用拉普拉斯变换将其表示为反映外 部信息（输入、输出）关系的传递函数， 部信息（输入、输出）关系的传递函数，并以这个传递 函数为基础建立了系统的图解分析设计法。 函数为基础建立了系统的图解分析设计法。 现代控制理论将微分方程表示成反映系统内部状态 和外部信息关系的状态空间表达式， 和外部信息关系的状态空间表达式，并以这表达式为基 础建立了一套解析的分析设计方法。这种基于系统内部 础建立了一套解析的分析设计方法。 状态量的系统描述及其分析设计的方法， 状态量的系统描述及其分析设计的方法，就是状态空间 分析法，也称为状态变量法。 分析法，也称为状态变量法。
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x1 = y − β 0u x2 = x1 − β1u = ( y − β 0 u ) − β1u x3 = x2 − β 2u = ( y − β 0 u − β1 u ) − β 2u ⋯ xn −1 = x n − 2 − β n − 2u = ( y ( n− 2) − β 0u ( n − 2) − β1u ( n −3) − ⋯ − β n −3u (1) ) − β n − 2u xn = x n −1 − β n −1u = ( y ( n −1) − β 0u ( n −1) − β1u ( n − 2) − ⋯ − β n − 2u (1) ) − β n −1u
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x1 = y − β 0u x2 = x1 − β1u ⋯ xn −1 = x n − 2 − β n − 2u xn = x n −1 − β n −1u
0 0 A= 0 − a0 1 0 0 − a1 0 1 0 − a2 ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 1 ⋯ − an −1 β1 β B = 2 ⋮ β n C = [1 0 ⋯ 0]
线性定常系统的状态空间表达式取决于矩阵A、B、C、D。因此，也称 线性定常系统的状态空间表达式取决于矩阵 、 、 、 。因此， 线性定常系统为系统 线性定常系统为系统(A,B,C,D)。 系统 。
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例题1：下图所示是R-L-C线性网络电路，试建立其状态空间表达式
R u
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状态向量和状态空间： 状态向量和状态空间：由反映系统运动状态的最少一组状态变量构成的 向量称为状态向量， 向量称为状态向量，以状态变量为坐标轴所构成的空间称为状态空间 输出量： 输出量：系统在输入作用下的响应输出称为输出量 状态方程： 状态方程：由系统状态变量和输入量构成的一阶微分方程组 dX (t ) = f ( X (t ), u (t ), t ) 一般表示为 dt T X (t ) = [x1 (t ) ⋯ xn (t )] ∈ R n u (t ) = [u1 (t ) ⋯
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模拟结构图
1/ C 0 A= − 1 / L − R / L
0 B= 1 / L
C = [1 0]
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(2)取状态变量x1=uc, x2=duc/dt, 输出为uc
x1 = x2 1 R 1 x2 = − x1 − x2 + u LC L LC uc = x1
• •
0 A= − 1 / LC
1 − R / L
0 B= 1 / LC
C = [1 0]
模拟结构图
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2.1.2 状态空间表达式的实现 将描述系统输入/输出关系的微分方程或传递函数转换成状 将描述系统输入 输出关系的微分方程或传递函数转换成状 实现问题。 态空间表达式，这样的问题称为状态空间表达式的实现问题 态空间表达式，这样的问题称为状态空间表达式的实现问题。 对于系统的高阶微分方程
现 代 控 制 理 论 (II) 2.1.1 基本概念和问题
状态变量：描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。每一变量 状态变量：描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。 都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量往往也称为状态变量。 都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量往往也称为状态变量。 系统运动状态是由一组独立（或数目最少）状态变量确定的。 系统运动状态是由一组独立（或数目最少）状态变量确定的。 这一组独立状态变量的个数就表示系统的维数。一个由 阶微分方 这一组独立状态变量的个数就表示系统的维数。一个由n阶微分方 程描述的系统，就有n个独立的状态变量。或者说这 个状态变量是 个独立的状态变量。 程描述的系统，就有 个独立的状态变量 或者说这n个状态变量是 完全能描述系统运动状态必需的。若变量数目多于 ， 完全能描述系统运动状态必需的。若变量数目多于n，则必有变量 不独立；若变量少于 ，则不能完全描述系统的运动状态。 不独立；若变量少于n，则不能完全描述系统的运动状态。 状态变量的选取对一个系统来说不是唯一的， 状态变量的选取对一个系统来说不是唯一的，一般选取易于测 量的变量。 量的变量。
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（1）将微分方程转换成状态空间表达式 ）
y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ⋯ + a1 y (1) + a0 y = bmu ( m ) + ⋯ + b1u (1) + b0u
（m≤n）
令系统的状态变量为
x1 = y − β 0u x2 = x1 − β1u x3 = x2 − β 2u ⋯ xn −1 = x n − 2 − β n − 2u xn = x n −1 − β n −1u
+ _
i L
C
uc
根据电路原理，很容易建立这个电路系统的微分方程
di + Ri + uc = u dt i uc = ∫ dt C L
或
d 2i di 1 L 2 +R + i =u dt dt C
(1)取状态变量x1=uc, x2=i, 输出为uc
1 x2 C • 1 R 1 x2 = − x1 − x2 + u L L L uc = x1 x1 =
s→0
注意：系统的微分方程和传递函数主要是由系统本质特性确定的， 注意：系统的微分方程和传递函数主要是由系统本质特性确定的， 与状态变量的选取无关。 与状态变量的选取无关。选取不同的状态变量会得出不同的状态空间表 达式，这就是说状态空间实现的结果不是唯一的。但是， 达式，这就是说状态空间实现的结果不是唯一的。但是，若系统的传递 函数中分子与分母没有公因子， 函数中分子与分母没有公因子，则系统所有实现的状态变量个数是一致 这种没有分子分母公因子对消的传递函数的实现称为最小实现 最小实现。 的。这种没有分子分母公因子对消的传递函数的实现称为最小实现。
g11 ( s ) ⋯ g1r ( s ) G(s) = ⋮ ⋱ ⋮ g m1 ( s ) ⋯ g mr ( s )
若存在定常矩阵A、B、C、D，满足G(s)=C(sI-A)-1B+D，则由 若存在定常矩阵 、 、 、 ，满足 ， 定常矩阵A、 、 、 决定的线性定常系统 决定的线性定常系统(A,B,C,D)就称为一 定常矩阵 、B、C、D决定的线性定常系统 就称为一 个状态空间实现，简称实现。 个状态空间实现，简称实现。 实现
y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ⋯ + a1 y (1) + a0 y = bmu ( m ) + ⋯ + b1u (1) + b0u
（m≤n）
和传递函数（ 或/和传递函数（矩阵） 和传递函数 矩阵）
bm s m + ⋯ + b1s + b0 G ( s) = n s + aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −1s n −1 + ⋯ + a1s + a0
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对于状态空间实现，首先的问题是实现的物理条件是什么？ 对于状态空间实现，首先的问题是实现的物理条件是什么？ 直接的结论是： 直接的结论是： 定理：传递函数矩阵G(s)能状态空间实现的充分必要条件是传递 定理：传递函数矩阵 能状态空间实现的充分必要条件是传递 函数矩阵G(s)中各元的分子多项式阶数不高于分母多项式 函数矩阵 中 阶数，且分子、分母多项式的系数均为实常数。 阶数，且分子、分母多项式的系数均为实常数。 推论：传递函数矩阵G(s)使得 使得D=0的状态空间实现的充分必要条 推论：传递函数矩阵 使得 的状态空间实现的充分必要条 件是G(s) 中各元为严格真有理分式。否则，状态空间实现 元为严格真有理分式。否则， 件是 的D≠0，且满足 ， D = lim G ( s )
一般表示为
u r (t )] ∈ R r
T
输出方程： 输出方程：表示系统输出量与状态变量和输入变量的函数关系式
Y (t ) = g ( X (t ), u (t ), t )
Y (t 0) = [ y1 (t ) ⋯ ym (t )] ∈ R m
T
状态空间表达式：系统的状态方程与输出方程的组合。 状态空间表达式：系统的状态方程与输出方程的组合。也称为系统的动态 方程
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2、状态空间分析法
线性系统理论是现代控制理论的基础。 线性系统理论是现代控制理论的基础。 线性系统的定义：若一个系统 ，对一个输入u 线性系统的定义：若一个系统L，对一个输入 i产生的对 应输出为L(ui)，且对 个任意输入 i(i=1,2,…n)，系统 的 个任意输入u 应输出为 ，且对n个任意输入 ，系统L的 输出满足： 输出满足： (1) 均匀性：L(au)=aL(u)，即输入信号倍增引起输出信 均匀性： ， 号的相同倍增； 号的相同倍增； (2) 迭加型：L(a1u1+…+anun)=a1L(u1)+…+anL(un) 迭加型： 其中的a、 为常数。 是线性系统。 其中的 、ai(i=1,2,…n)为常数。则系统 是线性系统。 为常数 则系统L是线性系统