人教【数学】数学一元二次方程的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含详细答案
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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=12
-
. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣
12
．
2．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若
1
1
1α
β
+
=-，则m 的值为多少？
【答案】（1）1
4
m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】
（1）根据△≥0即可求解, （2）化简1
1
α
β
+
,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-
34
； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵1
1
1α
β
+
=-，即
αβ
αβ
+=-1, ∴
2m 3m2
+﹣（）
=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0
解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-
34
， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
3．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0. 【答案】（1）x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62
；（2）y 1＝－14，y 2＝32.
【解析】
试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0
∴x=2
4b b c a -±-=42461-±=-±
∴x 1＝－1＋
6，x 2＝－1－6
（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－
14，y 2＝32
.
4．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=23
2
⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=34
2
⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12
+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为
______． 探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12
+×3×1=
()3a a 12
+．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱
AC 上有
()b b 12
+
条线段，棱AD 上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12
+×
()b b 12
+×3=
()()
3ab a 1b 14
++．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有
()a a 12
+条线段，棱AC
上有
()
b b 12
+条线段，棱AD 上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．
（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【答案】探究一：（3）
()
a a1
2
+
；探究二：（5）3a（a+1）；（6）
()()
ab a1b1
4
++
；
探究三：（8）
()()
3ab a1b1
2
++
；【结论】：①
()()()
abc a1b1c1
8
+++
；【应用】：
180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有
()
a a1
2
+
线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为
()
a a1
2
+
×1×1=
()
a a1
2
+
，
故答案为
() a a1
2
+
；
探究二：（5）棱AB上有
()
a a1
2
+
条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线
段，