统计量及其分布

布情况时，济南市的全体男大学生组成了总体， 济南市的每个男大学生都是个体。
但是在数理统计中，由于我们关心的不是 每个个体的所有具体特性，而仅仅是它的某一 项或某几项的数量指标X（可以是向量）和该数 量指标在总体中的分布情况。
上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高 和体重，就此数量指标而言，每个个体所取值是不同的。 在试验中抽取了若干个个体，就观察到了X的这样或那 样的数值，因而这个数量指标X就是一个随机变量（或 向量）。而X的分布就完全描述了总体中我们所关心的
这是一个容量为10的样本的观测值， 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。 这样的样本称为完全样本。
例1.4 考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了100只进行寿命试验，得到 如下数据：
表1.2
寿命范围 ( 0 24] (24 48] (48 72] (72 96] (96 120] (120 144] (144 168] (168 192] 元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
表1.2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
样本的要求：简单随机样本
要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很 好地代表总体。通常有如下两个要求： 随机性: 总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本 -- xi 与总体X有相同的分布。 独立性: 样本中每一样品的取值不影响其 它样品的取值 -- x1, x2, …, xn 相互独立。
那个数量指标的分布情况。由于我们关心的正是这个 数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X 可能 取值的的全体组成的集合等同起来。 所谓总体的分布也就是指数量指标X 的分布。 以后说从“总体中抽样”与“从某分布中抽样”是同一个 意思。
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
例1.1 考察某厂的产品质量，以0记合格品，以1记 不合格品，则 总体 = {该厂生产的全部合格品与不合格品} = {由0或1组成的一堆数} 若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该 总体可由一个二点分布表示：
注意：样本(x1, x2, … , xn)独立同分布有时记为
x1, x2, … , xn
iid
iid : independent identity distribution
~
X
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本， 也简称样本。
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是独立同分 布( iid ) 的随机变量，其共同分布即为总体分布。 设总体X具有分布函数F(x), x1, x2, …, xn 为取 自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布 函数为
X P
0 1p
1 p
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体分布：
X p X p 0 0.983 0 0.915 1 0.017 1 0.085
可见：第一个工厂的产品质量优于第二个工厂 但是：在实际中，分布中的不合格品率是未知的， 所以也面临对其进行估计的问题. 例1.2
我们对每一个研究对象可能要观测两个 甚至更多个指标，此时可用多维随机向量及 其联合分布来描述总体，这种总体称为多维 总体。 一维和二维总体是基本的。本书主要研究 一维总体，某些地方也会涉及二维总体。 总体分为有限总体与无限总体
样品：样本中的个体
样本具有两重性 • 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示；
• 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。
统计量及其分布
§1 总体与样本 §2 样本数据的整理与显示
§3 统计量及其分布
§4 三大抽样分布
§5 充分统计量
§1
总体：
总体与样本
• 研究对象的全体；
个体:而把组成总体的每个元素称为个体。
例1 在研究某批灯泡的寿命时，该批灯泡的全 体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体。 例2 在研究济南市男大学生的身高和体重的分
简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般 均用 x1, x2,… xn 表示，应能从上下文中加以区别。
例1.3 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640 克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒 净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机 抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果：
641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640
例1.5 设有一批产品共N个，需要进行抽样检 验以了解其不合格品率p。现从中采取不放回 抽样抽出2个产品，这时，第二次抽到不合格 品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格 品，如果第一次抽到不合格品，则 P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为 P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
100只元件的寿命数据
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184] 元件数 6 3 3 5 5 3 5 1 寿命范围 (384 408] (408 432] (432 456] (456 480] (480 504] (504 528] (528 552] >552 元件数 4 4 1 2 2 3 1 13
实际中总体中的个体数大多是有限的。当 个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是 一种合理的抽象。 本书以无限总体作为主要研究对象。
1.2 样本
样品、样本、样本量:
随机抽样：按照随机的方式 ，从总体X中抽取部分个体, 进行观测或测试的过程。简称抽样。
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样本:从总体X中抽取n个个体,则它们的
指标值x1, x2 , ……,xn, 称为总体的一个样本 样本容量：样本所含个体的个数——n
F ( x1 , ..., x n )
F ( x ).
i i 1
n
总体分为有限总体与无限总体
实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体 数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种 合理的抽象。 对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难 在于排除有意或无意的人为干扰。 对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别 是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到 满足。