第六章 异方差性讲解
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i
例如，相较于没有先进设备的银行，那些拥有先进数据处理设备的 银行，在他们对帐户的每月或每季财务报告中，会出现更少的差错。
三、异方差产生的原因 例6-3
股票价格和消费者价格
30 25
智利
股票价格变化率
考虑如下20个国家在第二 次世界大战后直至1969年间的 股票价格（Y）和消费者价格 (X)的百分比变化的散点图。
1
( xi2 ) 2
i 1
i 1 n
ˆ) Var ( 1
2 x i
2
（6-3） 显然（6-3）式与（6-4）式不同，只有在 i
第六章
异方差性
◆异方差性及其产生原因
◆ 异方差性的影响
◆ 异方差性的检验 ◆ 异方差性的的修正
第一节
—、异方差性的含义
对于多元线性回归模型
异方差性及其产生原因
Yi 0 1 X1i 2 X 2i
同方差性假设为
k X ki i
i 1, 2,
,n
(6-1)
Var(i ) 2 ,
Var(i ) E(i2 ) E(i f ( X i ))2 2 f 2 ( X i )
因此Var ( i ) 是 X i 的函数，即我们建立的模型具有异方差。
第二节
异方差性的影响
计量经济学模型一旦出现异方差，如果仍然用普通最小二乘法估计模型 参数，会产生一系列不良后果。
1．参数估计量非有效 2．OLS估计的随机干扰项的方差不再是无偏的
3．基于OLS估计的各种统计检验非有效
4．模型的预测失效
1．参数估计量非有效
根据前面有关OLS参数估计量的无偏性和有效性的证明过程，可以 看到，当计量经济学模型出现异方差时，其普通最小二乘法参数估计量
仍然具有无偏性和一致性，因为同方差假设在证明无偏性和一致性时并
计量经济学
—理论· 方法· EViews应用
郭存芝 杜延军 李春吉 编著
电子教案
第六章
◆ 学习目的
异方差性
通过本章的学习，你可以知道什么是异方差性，异方差性是 如何形成的，异方差性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有 异方差性的模型。
◆ 基本要求
1)掌握异方差性的概念、异方差性的后果和几种常见的检验方法。 2)了解加权最小二乘法原理，并能运用加权最小二乘法估计线性回归模型。 3)了解异方差稳健推断原理。
i2 随X的增大而增大； i2 随X的增大而减小； i2 随X的变化呈复杂形式。
三、异方差产生的原因 例6-1 居民储蓄模型
在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为，假定储蓄行为模型为
Si 0 1Yi i
S i 为第i个家庭的储蓄额， 其中， Yi 为第i个家庭的可支配收入。
20 15 10 5 0 0 5 10 15 消费者价格（%） 20 25
以色列 芬兰 墨西哥 奥地利 丹麦 法国印度 日本 澳大利亚 爱尔兰 英国 新瑞典 西兰 意大利荷兰 比利时 加拿大 德国 美国
图中，对智利的观测值Y 和X远大于对其他国家的观测 值，故可视为一个异常值，在 这种情况下，同方差性的假定 就难以维持了。
Var (i | X i ) i2
这一异方差取决于 X i 的值。 该模型参数的OLS估计量可以写为
ˆ 1
x y x
i 2 i
i
在上述给定的异方差情况下，
ˆ 的OLS 而同方差假设下， 1
估计方差为
ˆ 的方差为 容易证明 1
2 2 x i i n
ˆ) Var (
如果出现
i 1, 2,..., n
Var(i ) i2 ,
i 1, 2,..., n
即对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同 ，则认为出现了异方差性（Heteroskedasticity）。
二、异方差的类型
同方差性假定是指回归模型中不可观察的随机误差项 i 以解释变量X为 条件的方差是一个常数，因此每个i 的条件方差不随X的变化而变化，即有
析：
在该模型中，假定 i 的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入
家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一 特定的目的而储蓄），差异较小。因此 的方差往往随的Y 增加而增加， i i 这属于递增型异方差。
三、异方差产生的原因 例6-2
干中学模型
wk.baidu.com
人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。在这种情况下， 可以预料 i 的方差 i2 会减小。 例如，考虑一次打字测验，在给定的一段时间里，打字出错个数与用 于打字练习的小时数有关系。随着打字练习小时数增加，不仅平均打错 字个数下降，而且打错字个数的方差也下降，这属于递减型的异方差。 资料收集技术的改进可能会使 2 减小。
没有起作用。但在异方差情况下OLS估计量不再具有有效性，因为在有 效性证明中利用了
2 E( ) I
而且在大样本情况下，OLS估计量也不具有渐进有效性。
为详细说明异方差使OLS参数估计量的无效性，我们考虑一元回归模型：
Yi 0 1 X i i
（6-2）
对于该模型，我们假定除同方差假设外，其他的高斯马尔科夫假设都成立。 如果模型随机误差项包含异方差，那么有
三、异方差产生的原因 例6-4假性异方差
两个变量有真实关系：Yi 0 1 X i i
2
其中 i 满足线性回归模型的假定，即满足零均值和不变方差的假定。
如果我们误以为Y和X之间的关系为：Yi
0 1 X i i
并认为 E( i ) 0，那么 Var (i ) E(i2 ) E(i (0 0 ) (1 X i2 1 X i ))2 记 f ( Xi ) (0 0 ) (1 Xi2 1 Xi ) ，则
i2 常数 f ( X i )
在异方差的情况下，总体中的随机误差项 i 的方差 i2不再是常数， 通常它随解释变量值的变化而变化，即
i2 f ( X i )
i2 f ( X i )
根据 i 与解释变量X的关系，异方差一般可归结为三种类型（如图）：
2
（1）单调递增型： （2）单调递减型： （3）复杂型：
例如，相较于没有先进设备的银行，那些拥有先进数据处理设备的 银行，在他们对帐户的每月或每季财务报告中，会出现更少的差错。
三、异方差产生的原因 例6-3
股票价格和消费者价格
30 25
智利
股票价格变化率
考虑如下20个国家在第二 次世界大战后直至1969年间的 股票价格（Y）和消费者价格 (X)的百分比变化的散点图。
1
( xi2 ) 2
i 1
i 1 n
ˆ) Var ( 1
2 x i
2
（6-3） 显然（6-3）式与（6-4）式不同，只有在 i
第六章
异方差性
◆异方差性及其产生原因
◆ 异方差性的影响
◆ 异方差性的检验 ◆ 异方差性的的修正
第一节
—、异方差性的含义
对于多元线性回归模型
异方差性及其产生原因
Yi 0 1 X1i 2 X 2i
同方差性假设为
k X ki i
i 1, 2,
,n
(6-1)
Var(i ) 2 ,
Var(i ) E(i2 ) E(i f ( X i ))2 2 f 2 ( X i )
因此Var ( i ) 是 X i 的函数，即我们建立的模型具有异方差。
第二节
异方差性的影响
计量经济学模型一旦出现异方差，如果仍然用普通最小二乘法估计模型 参数，会产生一系列不良后果。
1．参数估计量非有效 2．OLS估计的随机干扰项的方差不再是无偏的
3．基于OLS估计的各种统计检验非有效
4．模型的预测失效
1．参数估计量非有效
根据前面有关OLS参数估计量的无偏性和有效性的证明过程，可以 看到，当计量经济学模型出现异方差时，其普通最小二乘法参数估计量
仍然具有无偏性和一致性，因为同方差假设在证明无偏性和一致性时并
计量经济学
—理论· 方法· EViews应用
郭存芝 杜延军 李春吉 编著
电子教案
第六章
◆ 学习目的
异方差性
通过本章的学习，你可以知道什么是异方差性，异方差性是 如何形成的，异方差性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有 异方差性的模型。
◆ 基本要求
1)掌握异方差性的概念、异方差性的后果和几种常见的检验方法。 2)了解加权最小二乘法原理，并能运用加权最小二乘法估计线性回归模型。 3)了解异方差稳健推断原理。
i2 随X的增大而增大； i2 随X的增大而减小； i2 随X的变化呈复杂形式。
三、异方差产生的原因 例6-1 居民储蓄模型
在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为，假定储蓄行为模型为
Si 0 1Yi i
S i 为第i个家庭的储蓄额， 其中， Yi 为第i个家庭的可支配收入。
20 15 10 5 0 0 5 10 15 消费者价格（%） 20 25
以色列 芬兰 墨西哥 奥地利 丹麦 法国印度 日本 澳大利亚 爱尔兰 英国 新瑞典 西兰 意大利荷兰 比利时 加拿大 德国 美国
图中，对智利的观测值Y 和X远大于对其他国家的观测 值，故可视为一个异常值，在 这种情况下，同方差性的假定 就难以维持了。
Var (i | X i ) i2
这一异方差取决于 X i 的值。 该模型参数的OLS估计量可以写为
ˆ 1
x y x
i 2 i
i
在上述给定的异方差情况下，
ˆ 的OLS 而同方差假设下， 1
估计方差为
ˆ 的方差为 容易证明 1
2 2 x i i n
ˆ) Var (
如果出现
i 1, 2,..., n
Var(i ) i2 ,
i 1, 2,..., n
即对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同 ，则认为出现了异方差性（Heteroskedasticity）。
二、异方差的类型
同方差性假定是指回归模型中不可观察的随机误差项 i 以解释变量X为 条件的方差是一个常数，因此每个i 的条件方差不随X的变化而变化，即有
析：
在该模型中，假定 i 的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入
家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一 特定的目的而储蓄），差异较小。因此 的方差往往随的Y 增加而增加， i i 这属于递增型异方差。
三、异方差产生的原因 例6-2
干中学模型
wk.baidu.com
人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。在这种情况下， 可以预料 i 的方差 i2 会减小。 例如，考虑一次打字测验，在给定的一段时间里，打字出错个数与用 于打字练习的小时数有关系。随着打字练习小时数增加，不仅平均打错 字个数下降，而且打错字个数的方差也下降，这属于递减型的异方差。 资料收集技术的改进可能会使 2 减小。
没有起作用。但在异方差情况下OLS估计量不再具有有效性，因为在有 效性证明中利用了
2 E( ) I
而且在大样本情况下，OLS估计量也不具有渐进有效性。
为详细说明异方差使OLS参数估计量的无效性，我们考虑一元回归模型：
Yi 0 1 X i i
（6-2）
对于该模型，我们假定除同方差假设外，其他的高斯马尔科夫假设都成立。 如果模型随机误差项包含异方差，那么有
三、异方差产生的原因 例6-4假性异方差
两个变量有真实关系：Yi 0 1 X i i
2
其中 i 满足线性回归模型的假定，即满足零均值和不变方差的假定。
如果我们误以为Y和X之间的关系为：Yi
0 1 X i i
并认为 E( i ) 0，那么 Var (i ) E(i2 ) E(i (0 0 ) (1 X i2 1 X i ))2 记 f ( Xi ) (0 0 ) (1 Xi2 1 Xi ) ，则
i2 常数 f ( X i )
在异方差的情况下，总体中的随机误差项 i 的方差 i2不再是常数， 通常它随解释变量值的变化而变化，即
i2 f ( X i )
i2 f ( X i )
根据 i 与解释变量X的关系，异方差一般可归结为三种类型（如图）：
2
（1）单调递增型： （2）单调递减型： （3）复杂型：