第六章 异方差性讲解
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计量经济学第六章异方差性1
根据所研究问题的性质就可作出定性判断。 ei2 是否呈 残差分析：通过残差散点图，检查 现任何系统样式
以因变量的拟合值 （或某个解释变量）为横坐 标，残差平方为纵坐标，将n个样本点的值描在 坐标系中。根据这n个点的分布情况，可以寻找 模型错误或方差不相同的证据。
残差散点图例
ei2
无趋势， 满足假定。
ei2
误差随 y 的增加 而增加
0
yi
0
ei2
ei2
yi
0
误差呈规律性变化，原因可能是模型不适合， 也可能是缺少某些重要值变量
yi
0
yi
二、异方差性的侦察
正式方法：检验随机误差项的方差与解 释变量观测值之间的相关性。
帕克（Park）检验
先做OLS回归，不考虑异方差性问题。 从OLS回归中获得ei2 ，作下述回归：
三、 已知时的异方差修正
以一元回归为例： yi=β1+β2xi+i
σi σi σi
2 σi
Var ( i ) = σ i2
(1)
用σi除上式得：yi = β ( 1 ) + β ( xi ) + i 1 2
σi
对上式进行OLS估计，即最小化如下函数：
min
∑σ
( 1
yi
i
1 β xi ) 2 = β1 2
t = (3.7601) (-1.6175) R2 = 0.1405 ①和②表明，可以拒绝同方差性（存在异方差）
③
异方差的修正
2 E ( i ) = CX i RD 1 变换： = 246.68 + 0.0368 salei salei salei se : (341.13) (0.0071) t : (0.6472) (5.1723) r 2 = 0.6258
以因变量的拟合值 （或某个解释变量）为横坐 标，残差平方为纵坐标，将n个样本点的值描在 坐标系中。根据这n个点的分布情况，可以寻找 模型错误或方差不相同的证据。
残差散点图例
ei2
无趋势， 满足假定。
ei2
误差随 y 的增加 而增加
0
yi
0
ei2
ei2
yi
0
误差呈规律性变化，原因可能是模型不适合， 也可能是缺少某些重要值变量
yi
0
yi
二、异方差性的侦察
正式方法：检验随机误差项的方差与解 释变量观测值之间的相关性。
帕克（Park）检验
先做OLS回归，不考虑异方差性问题。 从OLS回归中获得ei2 ，作下述回归：
三、 已知时的异方差修正
以一元回归为例： yi=β1+β2xi+i
σi σi σi
2 σi
Var ( i ) = σ i2
(1)
用σi除上式得：yi = β ( 1 ) + β ( xi ) + i 1 2
σi
对上式进行OLS估计，即最小化如下函数：
min
∑σ
( 1
yi
i
1 β xi ) 2 = β1 2
t = (3.7601) (-1.6175) R2 = 0.1405 ①和②表明，可以拒绝同方差性（存在异方差）
③
异方差的修正
2 E ( i ) = CX i RD 1 变换： = 246.68 + 0.0368 salei salei salei se : (341.13) (0.0071) t : (0.6472) (5.1723) r 2 = 0.6258
异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法含案例
例4.1.1： 在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i
Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。
在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收 入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律 性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。
因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化 。
– 在选项中，EViews提供了包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀特检 验“White Heteroskedasticity（no cross terms）” 这样两个 选择。
• 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计 量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平 方为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。
随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解
释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。 • 各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？ 一般的处理方法：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2.图示检验法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3.模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；
【书上这句话有点问题】
其中 所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困 难，它的预测功能失效。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
三、异方差性的检验（教材P111）
1.检验方法的共同思路 • 既然异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，
（注意：其中的2完全可以是1）
Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。
在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收 入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律 性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。
因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化 。
– 在选项中，EViews提供了包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀特检 验“White Heteroskedasticity（no cross terms）” 这样两个 选择。
• 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计 量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平 方为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。
随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解
释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。 • 各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？ 一般的处理方法：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2.图示检验法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3.模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；
【书上这句话有点问题】
其中 所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困 难，它的预测功能失效。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
三、异方差性的检验（教材P111）
1.检验方法的共同思路 • 既然异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，
（注意：其中的2完全可以是1）
计量经济学--异方差性讲解
图1：我国税收和GDP
图2：1998年我国制造工业和利润
X-GDP Y-税收
X－销售收入 Y－销售利润
两个散点图有共同的特征，随着自变量增加，因变量也 增加，但是图2中，当X比较小时，数据点相对集中，随 着X增大，数据点变得相对分散。而图1中数据分布却没 有出现这一特征。
异方差的性质
➢经典线形回归模型的一个重要假定是同方差性：
PRF的干扰项 u i 是同方差的（homoscedastic）
即： E（ui2） 2
i 1, 2, , n (3.3.1)
➢异方差性是指，ui 的条件方差（= Yi 的条件方差）
随着X的变化而变化，用符号表示为：
E (ui2
)
2 i
(3.3.2)
Var(Yi ) Var(ui )
异方差产生的主要原因
——这就是GLS方法，得到的是GLS估计量
•模型函数形式存在设定误差 •模型中遗漏了一些重要的解释变量 •随机因素本身的影响
异方差较之 同方差更为
常见
7
异方差的具体理由
➢按照边错边改学习模型（error—learning models)，人 们的行为误差随时间而减少。
➢随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵活
性。在做储蓄对收入的回归中， i2与收入俱增
此时如果仍采用
计算斜率参数的方差，将会
产生估计偏误，偏误的大小取决与因子值的大小。
17
3.t检验的可靠性降低
由于异方差的存在，无法正确估计参数的方差和标 志误差，因此也影响到t检验的效果
4.模型的预测误差增大
模型的预测区间和随机误差项的方差有着紧密联 系，随着随机误差项方差的增大，模型的预测区 间也随之增大，模型的预测误差也会相应增加。
第六章异方差的性质-PPT课件
（一）残差序列分析 （二）戈德菲尔德-夸特检验 （三）戈里瑟检验 （四）怀特检验
（一）残差序列分析
(a)
e
i
X k
(b)
eห้องสมุดไป่ตู้
i
X k
(c)
e
i
X k
(d)
e
i
X k
(e)
e
i
X k
(f)
e
i
X k
（二）戈德菲尔德-夸特检验
戈德菲尔德-夸特检验是最常用的异方差专门检 验方法之一。这种方法适合于检验样本容量较大 的线性回归模型的递增或递减型异方差性。 对于存在递增异方差模型，步骤：首先将样本按 X值的大小顺序将观测值排列，然后略去居中的C 个观测值，并将其余的(n-C)个观测值分成两组， 每组(n-C)/2个，分别对两个子样本进行回归， 并分别获得残差平方和，自由度都为（n-C)/2K-1。
普遍性：两类数据都有，横截面数据更多。 原因：
1.按照边错边改学习模型，人们在学习过程中，其行为误 2 差随时间而减少。在这种情形下，方差 i 会逐渐变小。 例如，随着打字练习小时数的增加，不仅平时打错的个 数而且打错的方差都有所下降。 2.随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支 配他们的收入有更大的选择范围。因此，在作出储蓄对 收入的回归时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有 更多的选择， i2 与收入俱增。因此，以增长为导向的公 司比之于已发展定型的公司在红利支付方面也可能表现 更多的变异。
（二）戈德菲尔德-夸特检验
计算统计量：
F e
i2 2 i2
2 e i1 i1
《异方差性》PPT课件 (2)
• scalar lm1 = e(N)*e(r2)display _n "LM statistic : " %6.3f lm1 /*
• 通常的LM=3.54 • 异方差—稳健LM=4.00 • 仍然不能拒绝H0 • 问题：语句的意思，有没有直接计算LM的命令〔robust LM statistic已有，那么前面的计
?
• predict ubar1, resid • quite reg avgsen pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r1, r • quite reg avgsensq pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r2, r • quite gen ur1 = ubar1*r1 • quite gen ur2 = ubar1*r2 • gen iota = 1 • reg iota ur1 ur2, noconstant • scalar hetlm = e(N)-e(rss) • scalar pval = chi2tail(2,hetlm) • display _n "Robust LM statistic : " %6.3f hetlm /* • > */ _n "Under H0, distrib Chi2(2), p-value: " %5.3f pval
异方差-稳健的F统计量
例8.2 P255 GPA3.DTA
例8.2 P255 GPA3.DTA
• 1.异方差-稳健回归得R-square=0.4006 • 〔注意是春季学期，所以有条件项〕
2.联合显著性检验—约束方程回归 求R-squared=0.3983
• 通常的LM=3.54 • 异方差—稳健LM=4.00 • 仍然不能拒绝H0 • 问题：语句的意思，有没有直接计算LM的命令〔robust LM statistic已有，那么前面的计
?
• predict ubar1, resid • quite reg avgsen pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r1, r • quite reg avgsensq pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r2, r • quite gen ur1 = ubar1*r1 • quite gen ur2 = ubar1*r2 • gen iota = 1 • reg iota ur1 ur2, noconstant • scalar hetlm = e(N)-e(rss) • scalar pval = chi2tail(2,hetlm) • display _n "Robust LM statistic : " %6.3f hetlm /* • > */ _n "Under H0, distrib Chi2(2), p-value: " %5.3f pval
异方差-稳健的F统计量
例8.2 P255 GPA3.DTA
例8.2 P255 GPA3.DTA
• 1.异方差-稳健回归得R-square=0.4006 • 〔注意是春季学期，所以有条件项〕
2.联合显著性检验—约束方程回归 求R-squared=0.3983
异方差性名词解释
异方差性名词解释异方差性是指在数据集中出现的变量间存在不同变差差异的现象，并且这种差异存在于不同群体或者分类之间。
它是数据分析中常见的一种统计现象，主要表现为数据集中成员之间的变量有着显著的差异性。
异方差性一词主要指的是在不同群体中测量的样本变量之间的方差不相同，而在相同组中的变量的方差相同，因此这是在不同群体中可以有差异性的变量间差异。
异方差性是建立在统计假设及其检验基础上的，它的检验主要是检查两组（或多组）数据的方差差异，以证明两组（或多组）数据具有显著差异性。
而检验方法可以使用 F 检验或卡方检验，或其他统计检验技术。
异方差性在很多领域都得到了广泛的应用，可以说它是统计分析最重要的基础部分之一，在检验不同群体的差异性时，检验的重点往往便放在异方差性上。
例如在进行社会科学研究时，受某种区别考虑的不同群体间存在着差异，则需要使用异方差性检验，以监测不同群体之间差异的显著性。
同样，当分析多组实验数据时，使用异方差性去判断实验组间有无显著差异也是很重要的。
例如，在药学和医学研究中，药物或治疗疾病时，需要对实验组与对照组进行对比，此时可以使用一项工具来检验实验组和对照组的方差之间的差异，即异方差性检验。
异方差性也可以用于评估投资策略的有效性，当有多个独立的投资策略时，可以使用异方差性检验来判断这些策略的有效性。
如果它们之间差异可用，就可以说明这些策略之间是有益的。
总而言之，异方差性是一种重要的统计分析技术，它可以用来检测变量之间的差异性，在很多领域都有重要的应用，例如在社会科学研究和药物研究中检测两组（或多组）样本之间差异；在投资策略评估中评估多个策略的有效性。
因此，异方差性在变量方差分析中有着重要的意义。
计量经济学第六章异方差性
构建统一的异方差 性处理框架
未来可以构建一个统一的异方 差性处理框架，整合现有的处 理方法和技巧，为实际应用提 供更为全面和系统的指导。同 时，该框架还可以为计量经济 学的教学和研究提供便利。
THANK YOU
感谢聆听
03
异方差性对假设检验 的影响
异方差性可能导致假设检验中的t统计 量和F统计量失效，从而影响假设检 验的结论。
异方差性下的模型选择和评价
异方差性检验
在进行模型选择和评价之前，需要对异方差性进行检验。常用 的异方差性检验方法有怀特检验、布雷施-帕甘检验等。
模型选择
在存在异方差性的情况下，应选择能够处理异方差性的模型， 如加权最小二乘法（WLS）、广义最小二乘法（GLS）等。
性质
异方差性违反了经典线性回归模型的同方差假设，可能导致参数 估计量的无偏性、有效性和一致性受到影响。
产生原因及影响
模型设定误差
模型遗漏了重要变量或函数形式设定错误。
数据采集问题
观测数据的误差或异常值。
产生原因及影响
• 经济现象本身：某些经济变量之间的关系可能随时间和空间的变化而变化，导致异方差性。
等级相关系数法
计算残差绝对值与解释变量之间的等 级相关系数，若显著则表明存在异方 差性。
Goldfeld-Quandt检验法
假设条件
该检验假设异方差性以解释变量的某个值为界，将样本分为两组，且两组的方差不同。
检验步骤
首先根据假设条件将样本分组，然后分别计算两组的残差平方和，最后构造F统计量进行假设检验。
05
异方差性在计量经济学模型中的应用
异方差性对模型设定的影响
01
异方差性可能导致参 数估计量的偏误
当存在异方差性时，普通最小二乘法 （OLS）的参数估计量可能不再具有无 偏性和一致性，从而导致估计结果的偏 误。
异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法(含案例)
分别为两个子样对应的随机项方差。
H0成立，意味着同方差； H1成立，意味着异方差。
⑤构造统计量
nc 2 ~ e2i ( 2 k 1) nc nc F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 2 ~ e ( k 1 ) 1i 2
⑥检验。给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值
例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设、以分组数据 （将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值）作样本建立居民消费函数：
Ci= 0+1Yi+i 一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中 的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组 平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观 测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增。 如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那 么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值
并不随解释变量 Xi的变化而变化，不论解释变量 的观测值是大还是小，每个i的方差保持相同， 即 i2 =常数 （i=1,2,…,n）
• 在异方差的情况下，i2已不是常数，它随Xi的
变化而变化，即
i2 =f(Xi) （i=1,2,…,n）
• 异方差一般可以归结为三种类型：
（1）单调递增型： i2=f(Xi)随Xi的增大而增大； （2）单调递减型： i2=f(Xi )随Xi的增大而减小； （3）复杂型： i2=f(Xi )随Xi的变化呈复杂形式。
③对每个子样本分别求回归方程，并计算各自的残差平方
e 2 ，较大的一 和。将两个残差平方和中较小的一个规定为 ~ 1i
nc 2 ~ k 1。 个规定为 e2i 。二者的自由度均为 2
2 2 H0 ： 12 2 12 2 ④提出假设： ，H 1 ： 2 12 与 2
《异方差性》课件
03
异方差性的后果
模型预测的准确性下降
异方差性会导致模型的预测值偏 离真实值，降低预测的准确性。
在异方差性存在的情况下，模型 的预测结果可能变得不可靠，因 为模型没有充分考虑到数据的不
确定性。
异方差性可能导致模型在预测新 数据时表现不佳，因为模型没有 充分学习到数据的内在结构和变
化规律。
模型推断的可靠性降低
详细描述
社会数据在不同群体之间的分布往往存在显著的差异，这种差异反映了不同群体之间的异方差性。这 种异方差性可能与社会经济地位、文化背景等多种因素有关，需要深入分析其产生的原因和影响。
社会数据的异方差性分析
总结词
异方差性对社会政策制定和实施具有重 要影响。
VS
详细描述
社会政策的制定和实施需要考虑不同群体 的差异和特点，而异方差性的存在为社会 政策的制定提供了重要的参考信息。通过 对异方差性的分析和研究，我们可以更好 地了解不同群体的需求和诉求，制定更为 公正和有效的社会政策。
总结词
金融数据的异方差性分析有助于提高投资策略的有效性。
详细描述
通过对金融数据的异方差性进行分析，投资者可以更好地 理解市场的波动规律和风险特征，从而制定更为有效的投 资策略。这种基于异方差性的投资策略能够更好地适应市 场的变化，提高投资的收益和风险控制能力。
社会数据的异方差性分析
总结词
社会数据在不同群体之间存在显著的异方差性。
平方根变换
当数据分布不均，特别是偏度较大时，平方根变换可以改善数 据的正态性。
Box-Cox变换
是一种通用的数据变换方法，通过选择一个适当的λ值，使数据 达到最佳的正态分布状态。
模型选择和调整
混合效应模型
异方差性
：FGLS）法
o 在一般情况下，我们并不知道异方差的具体形式，需要 对异方差的函数形式做出估计，然后再进行加权最小二 乘估计，这种方法属于FGLS法 （伍德里奇，2000；赵国
庆，2001）
可行的广义最小二乘估计 对 yi B1 B2 x 2i B3 x 3i Bk x ki u i 。假定
同方差性
X：受教育年限
概 率 密 度
Y：工资
Y
X
异方差性
X：收入
概 率 密 度
Y：消费支出
Y
X
异方差性
X：时间
概 率 密 度
Y：打字错误
Y
X
产生异方差性的原因
原因 被解释变量：消费支出 解释变量：收入 解释变量与误差项相关 随着收入的增加，支出差异性更大
有重要的解释是影响支出的因素，物价上
对（1） ，各误差项方差相等
误差项方差未知 对 yi B1 B2 x 2i u i ， i2 未知 If E(u i2 ) = σ 2 x 2i ，则
yi x 2i B1. u 1 B2 . x 2i i x 2i x 2i
模型无截距项
令
* y* = B1.x1i + B2 .x * + u * i 2i i
一般地
对 yi B1 B2 x 2i B3 x 3i Bk x ki u i 2 ˆ 用OLS方法估计模型参数，计算得 e i 和 y i
构建模型
ˆ ˆ ei2 A1 A 2 yi A3 yi2 vi
计算得判定系数R 2 构造统计量 s nR 2 2 (2) 对原假设 H0 : σ12 = σ2 = = σ 2 = σ2 2 n 如果 s -统计量显著，则拒绝原假设，认为误差项异方差
什么是异方差性如何进行异方差性的检验与处理
什么是异方差性如何进行异方差性的检验与处理异方差性，它是统计学中一种常见的现象，指的是观测值的方差在不同的条件下不相等。
在数据分析和建模过程中，异方差性可能会导致模型参数估计不准确，假设检验无效以及预测效果下降等问题。
因此，了解异方差性并进行检验和处理是非常重要的。
1. 异方差性的表征异方差性通常表现为残差的方差与预测值的关系不稳定。
在回归分析中，当残差的方差与预测值的关系呈现出一定的模式时，可以初步判断存在异方差性。
常见的异方差性模式有以下几种：（1）线性模式：残差的方差与预测值呈线性关系，即残差的方差随着预测值的增大而增大或减小。
（2）指数模式：残差的方差与预测值呈指数关系，即残差的方差随着预测值的增大呈指数级别增大或减小。
（3）对数模式：残差的方差与预测值呈对数关系，即残差的方差随着预测值的增大呈对数级别增大或减小。
（4）多重峰值模式：残差的方差具有多个峰值，表示不同分组或条件之间存在不同的方差水平。
2. 异方差性的检验针对上述异方差性模式，可以进行一些统计检验来验证异方差性的存在。
常用的异方差性检验方法包括帕金森-斯皮尔曼检验（Park test）、布劳什-帕甘检验（Breusch-Pagan test）和韦斯特曼检验（White test）等。
这些检验方法都是基于残差的方差与预测值之间的关系建立的。
以布劳什-帕甘检验为例，该检验的原假设是残差的方差与预测变量之间不存在显著相关关系，即不存在异方差性。
在进行检验时，首先需要对模型进行拟合，并获得残差。
然后，根据拟合残差和预测变量的关系构建辅助回归模型，并进行显著性检验。
如果辅助回归模型的显著性检验结果小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为存在异方差性。
3. 异方差性的处理在实际数据分析中，如果检验结果表明存在异方差性，需要对数据进行处理以减小或消除其影响。
常用的异方差性处理方法包括以下几种：（1）对数或平方根变换：通过对原始数据进行对数或平方根变换，可以降低数据的异方差性。
异方差模型
从这，我们可以看出 ε t 是高峰和肥尾的。 估计 在 ε t = z t ht 中，若 zt 服从标准的正态分布，则伪似然估计 （Quasi-Maximum-Likelihood Estimator）的对数似然函数为：
LT = − T 1 T ln 2π − ∑ ln ht2 + zt2 2 2 t =1
2
值，即 E (rt | Ft −1 ) = μ t ，相应地可以定义 rt 的条件方差 ht ：
2
ht ≡ Var (rt | Ft −1 ) = E[(rt − μ t ) 2 | Ft −1 ] = E (ε t | Ft −1 )
2 2
(2)
式(2)是 GARCH 类波动率模型的核心部分，Engle(1982)首先提出了以 AR(q)结构 来对 ht 建模，这就是著名的自回归条件异方差模型(Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity,ARCH)。Engle 定义条件均值的残差序列 {ε t } 为：
无条件方差
E (ε t ) =
2
α0 1 − (α + β )
峰度 如果 1 − (α + β ) 2 − 2α 2 ，则峰度系数 E (ε t4 ) 3[1 − (α + β ) 2 ] == >3 [Var (ε t )]2 1 − (α + β ) 2 − 2α 2 从这，我们可以看出 ε t 是高峰和肥尾的。 估计 在 ε t = z t ht 中，若 zt 服从标准的正态分布，则伪似然估计 （Quasi-Maximum-Likelihood Estimator）的对数似然函数为：
可以写成为
ε t2 = α 0 + (α + β )ε t −1 2 + ε t2 − ht 2 − β (ε t2−1 − ht2−1 )
第六章 异方差性
如： 帕克检验常用的函数形式：
f ( X ji ) 2 X e i ji
或
~ ln(ei 2 ) ln 2 ln X ji i
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
该检验的困难在于需要选择不同的解释变量， 尝试各种不同的函数形式，进行多次反复试 验，并且在进行实验的回归模型中，其随机 干扰项本身就可能不满足OLS的经典假设。
4、F 检验
考虑我们常用的多元线性回归模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
我们想检验
i=1,2…,n
2
是否与一个或者多个解释变量相关。
• 辅助回归:
2 e 0 1 X 1i ...... k X ki vi
S 其中， i 为第i个家庭的储蓄额， i 为第i个家庭的可支配收入。 Y
析：
在该模型中，假定 i 的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入
家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一 特定的目的而储蓄），差异较小。因此 i 的方差往往随的Y 增加而增加， i 这属于递增型异方差。
四、异方差性的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1. 参数估计量非有效
OLS估计量仍然具有线性性、无偏性，但不具 有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具 有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
3. 戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容 量较大、异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的思想：
先按某一解释变量对样本排序，再将样本一 分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利 用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异 方差检验，该统计量服从F分布。
f ( X ji ) 2 X e i ji
或
~ ln(ei 2 ) ln 2 ln X ji i
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
该检验的困难在于需要选择不同的解释变量， 尝试各种不同的函数形式，进行多次反复试 验，并且在进行实验的回归模型中，其随机 干扰项本身就可能不满足OLS的经典假设。
4、F 检验
考虑我们常用的多元线性回归模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
我们想检验
i=1,2…,n
2
是否与一个或者多个解释变量相关。
• 辅助回归:
2 e 0 1 X 1i ...... k X ki vi
S 其中， i 为第i个家庭的储蓄额， i 为第i个家庭的可支配收入。 Y
析：
在该模型中，假定 i 的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入
家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一 特定的目的而储蓄），差异较小。因此 i 的方差往往随的Y 增加而增加， i 这属于递增型异方差。
四、异方差性的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1. 参数估计量非有效
OLS估计量仍然具有线性性、无偏性，但不具 有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具 有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
3. 戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容 量较大、异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的思想：
先按某一解释变量对样本排序，再将样本一 分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利 用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异 方差检验，该统计量服从F分布。
异方差性
12
第三节 异方差性的检验
常用检验方法:
●图示检验法 ● Goldfeld-Quanadt检验 ● 戈里瑟检验
13
一、图示检验法
（一）相关图形分析
方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散
程度。因为被解释变量 Y 与随机误差项
u 有相同的
方差，所以利用分析 Y 与 X 的相关图形，可以初略
地看到 Y 的离散程度与 X 之间是否有相关关系。 如果随着 X 的增加， 的离散程度为逐渐增大（或 Y 减小）的变化趋势，则认为存在递增型（或递减型） 的异方差。
2 1i 2 e2i为后一部分样本回归产生的残差平方和。它
们的自由度均为 [( n - c) / 2] - k ，k 为参数的个数。
19
在原假设成立的条件下，因 e1i 和 e2i 自由度均 χ 2 分布，可导出： 为 [( n - c ) / 2] - k ，
2 2
2 e2i n -c n -c F* = = 2 ~ F( - k, - k) 2 2 2 n -c e1i / [ - k ] e1i 2
性，但最小方差性不成立，从而导致参数的显著
性检验失效和预测的精度降低。
32
4.检验异方差性的方法有多种，常用的有图形法、 Goldfeld-Qunandt检验、以及Glejser检验。
5.异方差性的主要方法是加权最小二乘法。
33
第 五 章 结 束 了！
34
10
二、对参数显著性检验的影响
由于异方差的影响，使得无法正确估计参数的标
准误差，导致参数估计的 t 统计量的值不能正确
确定，所以，如果仍用 t 统计量进行参数的显著
性检验将失去意义。
异方差的性质
预测置信区间不准确
在异方差情况下，预测的置信区间可 能不准确，导致对预测结果的信任度 降低。
对统计推断的影响
统计推断有效性下
降
在异方差情况下，常用的统计推 断方法可能不再适用，导致推断 结果的不准确。
假设检验失效
在异方差情况下，假设检验的结 果可能受到影响，导致无法准确 地做出统计决策。
置信水平降低
由于异方差的存在，统计推断的 置信水平可能会受到影响，导致 对推断结果的信任度降低。
03
CATALOGUE
异方差的检验
图示检验法
残差图检验
通过绘制残差与拟合值的图形，观察 残差是否随拟合值的变动而出现系统 性模式，如随拟合值增大而逐渐增大 或减小。
QQ图检验
将残差与标准正态分布的期望值进行 比较，观察其是否落在预期的置信区 间内，判断残差是否服从正态分布。
总结词
医学研究数据中，由于个体差异、病情 进展和治疗方法等因素，常常表现出异 方差性。
VS
详细描述
在医学研究中，由于个体之间的差异、病 情进展的不同阶段以及治疗方法的多样性 等因素，数据分布往往不均匀。例如，不 同患者的生理指标、治疗效果等可能会有 很大的差异，导致数据异方差性的出现。
实例三：社会调查数据
通过计算残差的二次项与解释变量的线性组 合，构建统计量对异方差进行检验。
04
CATALOGUE
异方差的解决方法
数据变换法
平方根变换
通过取平方根的方式减小异方差的影 响，适用于数据分布为正态分布的情 况。
对数变换
通过取对数的方式减小异方差的影响 ，适用于数据分布为偏态分布的情况 。
幂变换
通过取幂的方式减小异方差的影响， 适用于数据分布为幂律分布的情况。
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i
例如，相较于没有先进设备的银行，那些拥有先进数据处理设备的 银行，在他们对帐户的每月或每季财务报告中，会出现更少的差错。
三、异方差产生的原因 例6-3
股票价格和消费者价格
30 25
智利
股票价格变化率
考虑如下20个国家在第二 次世界大战后直至1969年间的 股票价格（Y）和消费者价格 (X)的百分比变化的散点图。
第六章
异方差性
◆异方差性及其产生原因
◆ 异方差性的影响
◆ 异方差性的检验 ◆ 异方差性的的修正
第一节
—、异方差性的含义
对于多元线性回归模型
异方差性及其产生原因
Yi 0 1 X1i 2 X 2i
同方差性假设为
k X ki i
i 1, 2,
,n
(6-1)
Var(i ) 2 ,
如果出现
i 1, 2,..., n
Var(i ) i2 ,
i 1, 2,..., n
即对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同 ，则认为出现了异方差性（Heteroskedasticity）。
二、异方差的类型
同方差性假定是指回归模型中不可观察的随机误差项 i 以解释变量X为 条件的方差是一个常数，因此每个i 的条件方差不随X的变化而变化，即有
20 15 10 5 0 0 5 10 15 消费者价格（%） 20 25
以色列 芬兰 墨西哥 奥地利 丹麦 法国印度 日本 澳大利亚 爱尔兰 英国 新瑞典 西兰 意大利荷兰 比利时 加拿大 德国 美国
图中，对智利的观测值Y 和X远大于对其他国家的观测 值，故可视为一个异常值，在 这种情况下，同方差性的假定 就难以维持了。
1
( xi2 ) 2
i 1
i 1 n
ˆ) Var ( 1
2 x i
2
（6-3） 显然（6-3）式与（6-4）式不同，只有在 i
1．参数估计量非有效 2．OLS估计的随机干扰项的方差不再是无偏的
3．基于OLS估计的各种统计检验非有效
4．模型的预测失效
1．参数估计量非有效
根据前面有关OLS参数估计量的无偏性和有效性的证明过程，可以 看到，当计量经济学模型出现异方差时，其普通最小二乘法参数估计量
仍然具有无偏性和一致性，因为同方差假设在证明无偏性和一 i2
这一异方差取决于 X i 的值。 该模型参数的OLS估计量可以写为
ˆ 1
x y x
i 2 i
i
在上述给定的异方差情况下，
ˆ 的OLS 而同方差假设下， 1
估计方差为
ˆ 的方差为 容易证明 1
2 2 x i i n
ˆ) Var (
析：
在该模型中，假定 i 的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入
家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一 特定的目的而储蓄），差异较小。因此 的方差往往随的Y 增加而增加， i i 这属于递增型异方差。
三、异方差产生的原因 例6-2
干中学模型
人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。在这种情况下， 可以预料 i 的方差 i2 会减小。 例如，考虑一次打字测验，在给定的一段时间里，打字出错个数与用 于打字练习的小时数有关系。随着打字练习小时数增加，不仅平均打错 字个数下降，而且打错字个数的方差也下降，这属于递减型的异方差。 资料收集技术的改进可能会使 2 减小。
三、异方差产生的原因 例6-4假性异方差
两个变量有真实关系：Yi 0 1 X i i
2
其中 i 满足线性回归模型的假定，即满足零均值和不变方差的假定。
如果我们误以为Y和X之间的关系为：Yi
0 1 X i i
并认为 E( i ) 0，那么 Var (i ) E(i2 ) E(i (0 0 ) (1 X i2 1 X i ))2 记 f ( Xi ) (0 0 ) (1 Xi2 1 Xi ) ，则
没有起作用。但在异方差情况下OLS估计量不再具有有效性，因为在有 效性证明中利用了
2 E( ) I
而且在大样本情况下，OLS估计量也不具有渐进有效性。
为详细说明异方差使OLS参数估计量的无效性，我们考虑一元回归模型：
Yi 0 1 X i i
（6-2）
对于该模型，我们假定除同方差假设外，其他的高斯马尔科夫假设都成立。 如果模型随机误差项包含异方差，那么有
计量经济学
—理论· 方法· EViews应用
郭存芝 杜延军 李春吉 编著
电子教案
第六章
◆ 学习目的
异方差性
通过本章的学习，你可以知道什么是异方差性，异方差性是 如何形成的，异方差性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有 异方差性的模型。
◆ 基本要求
1)掌握异方差性的概念、异方差性的后果和几种常见的检验方法。 2)了解加权最小二乘法原理，并能运用加权最小二乘法估计线性回归模型。 3)了解异方差稳健推断原理。
i2 随X的增大而增大； i2 随X的增大而减小； i2 随X的变化呈复杂形式。
三、异方差产生的原因 例6-1 居民储蓄模型
在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为，假定储蓄行为模型为
Si 0 1Yi i
S i 为第i个家庭的储蓄额， 其中， Yi 为第i个家庭的可支配收入。
i2 常数 f ( X i )
在异方差的情况下，总体中的随机误差项 i 的方差 i2不再是常数， 通常它随解释变量值的变化而变化，即
i2 f ( X i )
i2 f ( X i )
根据 i 与解释变量X的关系，异方差一般可归结为三种类型（如图）：
2
（1）单调递增型： （2）单调递减型： （3）复杂型：
Var(i ) E(i2 ) E(i f ( X i ))2 2 f 2 ( X i )
因此Var ( i ) 是 X i 的函数，即我们建立的模型具有异方差。
第二节
异方差性的影响
计量经济学模型一旦出现异方差，如果仍然用普通最小二乘法估计模型 参数，会产生一系列不良后果。
例如，相较于没有先进设备的银行，那些拥有先进数据处理设备的 银行，在他们对帐户的每月或每季财务报告中，会出现更少的差错。
三、异方差产生的原因 例6-3
股票价格和消费者价格
30 25
智利
股票价格变化率
考虑如下20个国家在第二 次世界大战后直至1969年间的 股票价格（Y）和消费者价格 (X)的百分比变化的散点图。
第六章
异方差性
◆异方差性及其产生原因
◆ 异方差性的影响
◆ 异方差性的检验 ◆ 异方差性的的修正
第一节
—、异方差性的含义
对于多元线性回归模型
异方差性及其产生原因
Yi 0 1 X1i 2 X 2i
同方差性假设为
k X ki i
i 1, 2,
,n
(6-1)
Var(i ) 2 ,
如果出现
i 1, 2,..., n
Var(i ) i2 ,
i 1, 2,..., n
即对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同 ，则认为出现了异方差性（Heteroskedasticity）。
二、异方差的类型
同方差性假定是指回归模型中不可观察的随机误差项 i 以解释变量X为 条件的方差是一个常数，因此每个i 的条件方差不随X的变化而变化，即有
20 15 10 5 0 0 5 10 15 消费者价格（%） 20 25
以色列 芬兰 墨西哥 奥地利 丹麦 法国印度 日本 澳大利亚 爱尔兰 英国 新瑞典 西兰 意大利荷兰 比利时 加拿大 德国 美国
图中，对智利的观测值Y 和X远大于对其他国家的观测 值，故可视为一个异常值，在 这种情况下，同方差性的假定 就难以维持了。
1
( xi2 ) 2
i 1
i 1 n
ˆ) Var ( 1
2 x i
2
（6-3） 显然（6-3）式与（6-4）式不同，只有在 i
1．参数估计量非有效 2．OLS估计的随机干扰项的方差不再是无偏的
3．基于OLS估计的各种统计检验非有效
4．模型的预测失效
1．参数估计量非有效
根据前面有关OLS参数估计量的无偏性和有效性的证明过程，可以 看到，当计量经济学模型出现异方差时，其普通最小二乘法参数估计量
仍然具有无偏性和一致性，因为同方差假设在证明无偏性和一 i2
这一异方差取决于 X i 的值。 该模型参数的OLS估计量可以写为
ˆ 1
x y x
i 2 i
i
在上述给定的异方差情况下，
ˆ 的OLS 而同方差假设下， 1
估计方差为
ˆ 的方差为 容易证明 1
2 2 x i i n
ˆ) Var (
析：
在该模型中，假定 i 的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入
家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一 特定的目的而储蓄），差异较小。因此 的方差往往随的Y 增加而增加， i i 这属于递增型异方差。
三、异方差产生的原因 例6-2
干中学模型
人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。在这种情况下， 可以预料 i 的方差 i2 会减小。 例如，考虑一次打字测验，在给定的一段时间里，打字出错个数与用 于打字练习的小时数有关系。随着打字练习小时数增加，不仅平均打错 字个数下降，而且打错字个数的方差也下降，这属于递减型的异方差。 资料收集技术的改进可能会使 2 减小。
三、异方差产生的原因 例6-4假性异方差
两个变量有真实关系：Yi 0 1 X i i
2
其中 i 满足线性回归模型的假定，即满足零均值和不变方差的假定。
如果我们误以为Y和X之间的关系为：Yi
0 1 X i i
并认为 E( i ) 0，那么 Var (i ) E(i2 ) E(i (0 0 ) (1 X i2 1 X i ))2 记 f ( Xi ) (0 0 ) (1 Xi2 1 Xi ) ，则
没有起作用。但在异方差情况下OLS估计量不再具有有效性，因为在有 效性证明中利用了
2 E( ) I
而且在大样本情况下，OLS估计量也不具有渐进有效性。
为详细说明异方差使OLS参数估计量的无效性，我们考虑一元回归模型：
Yi 0 1 X i i
（6-2）
对于该模型，我们假定除同方差假设外，其他的高斯马尔科夫假设都成立。 如果模型随机误差项包含异方差，那么有
计量经济学
—理论· 方法· EViews应用
郭存芝 杜延军 李春吉 编著
电子教案
第六章
◆ 学习目的
异方差性
通过本章的学习，你可以知道什么是异方差性，异方差性是 如何形成的，异方差性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有 异方差性的模型。
◆ 基本要求
1)掌握异方差性的概念、异方差性的后果和几种常见的检验方法。 2)了解加权最小二乘法原理，并能运用加权最小二乘法估计线性回归模型。 3)了解异方差稳健推断原理。
i2 随X的增大而增大； i2 随X的增大而减小； i2 随X的变化呈复杂形式。
三、异方差产生的原因 例6-1 居民储蓄模型
在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为，假定储蓄行为模型为
Si 0 1Yi i
S i 为第i个家庭的储蓄额， 其中， Yi 为第i个家庭的可支配收入。
i2 常数 f ( X i )
在异方差的情况下，总体中的随机误差项 i 的方差 i2不再是常数， 通常它随解释变量值的变化而变化，即
i2 f ( X i )
i2 f ( X i )
根据 i 与解释变量X的关系，异方差一般可归结为三种类型（如图）：
2
（1）单调递增型： （2）单调递减型： （3）复杂型：
Var(i ) E(i2 ) E(i f ( X i ))2 2 f 2 ( X i )
因此Var ( i ) 是 X i 的函数，即我们建立的模型具有异方差。
第二节
异方差性的影响
计量经济学模型一旦出现异方差，如果仍然用普通最小二乘法估计模型 参数，会产生一系列不良后果。