关于罗尔定理有关问题的证明方法

罗尔定理的应用题：

1. 设函数()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，()()0f a f b ''⋅>. 又()g x 在(,)a b 内二阶可

导，且()0,()()0g x g x b ''≠≠，证明：(,)a b ξ∃∈，使得()()=()()

f f

g g ξξξξ''''. 证明：构造辅助函数 ()()()()()F x f x g x f x g x ''=-。由于()g x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,g x ≠ 所以()g x 在(,)a b 上恒正或恒负，不妨假设()0,(,)g x x a b >∀∈.

由于()()0f a f b ''⋅>，不妨假设()0()0f a f b ''>>，, 则()=()()()()()0F a f a g a >F b f b g b ''=>0, 因为()()()0lim 0x a f x f a f a x a +→-'>⇒>-，()()()0lim 0x b f x f b f b x b

-→-'>⇒>-，由极限的保号性， 存在1(,),x a a δ∈+使得1()()0f x f a >=，存在2(,),x b b δ∈-使得2()()0f x f b <=.

显然有12()x x δ<因为可以取足够小.

在闭区间12[,]x x 上应用区间套定理，可得 012(,)x x x ∈，使得00()0,()0f x f x '=≤

------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 事实上，取12111112[,][,]()()0,()()0x x a b f a f x f b f x ==>=<，，

将区间11[,]a b 二等分，取其中之一的子区间为22[,]a b ，它满足22()0,()0f a f b ><， 按照这种规则一直取下去，就得到一个闭区间套11{[,]}=

0()2n n n n n b a a b b a n --→→∞，， 由闭区间套定理，存在012(,)x x x ∃∈使得0lim lim n n n n a x b →∞→∞==，由极限的保号性知

0()(lim )lim ()0n n n n f x f a f a →∞→∞==≥，0()(lim )lim ()0n n n n f x f b f b →∞→∞

==≤，故0()0f x =， 再由拉格朗日定理得()()()0,(,)n n n n n n n n

f b f a f a b b a ξξ-'=<∈-，且0lim n n x ξ→∞=， 0lim ()(lim )()0n n n n f f f x ξξ→∞→∞

'''==≤（极限保号性） -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 从而 000()()()0F x f x g x '=≤，

i) 若0()0F x <，因为()F a >0，由零点定理得 10(,)a x η∃∈，使1()0F η=，

又因为()F b >0，由零点定理得 20(,)x b η∃∈，使2()0F η=，

最后在12[,]ηη上对函数()F x 应用罗尔定理，即存在(,)a b ξ∃∈，使得()=0F ξ'，从而得到 ()()=()()

f f

g g ξξξξ''''. ii) 若0()=0F x ，因为()F x 在[,]a b 上连续，且()F a >0，()F b >0，由连续函数的最值定理，必 (,)a b ξ∃∈，使得[,]

()=min ()x a b F F x ξ∈，即()F x 在[,]a b 内部取到最小值，由费马定理得()=0F ξ'， 因而得到

()()=()()

f f

g g ξξξξ''''. 证毕！ 点评：在证明形如 “存在某一中值(,)a b ξ∈，使其满足方程[(),()]=0f x f x ϕ'”，这一类问题中，

基本的思路：1）构造辅助函数()[,]F x x a b ∈，，（借助微分运算的方法， k 值法等）；

2）验证()F x 满足罗尔定理的三个条件，若满足，则存在(,)a b ξ∈，使得

()=0F ξ'，命题得到证明。

一般罗尔定理的前两个条件往往容易满足，端点值相等这个条件有时不易满足，此时就要通过 题设条件，找到一个子区间12[,][,]x x a b ⊂，使其满足12()()F x F x =，然后在闭区间12[,]x x 上应用罗尔定理。

若利用题设条件不易找到子区间12[,][,]x x a b ⊂，那么证明的思路就要转向去寻找(,)a b 内

部的极值点（最值点），（其中要用到连续函数的最值定理），再由费马定理得到存在(,)a b ξ∈， 使得()=0F ξ'，命题得到证明。