专题01 函数与方程思想(解析版)

专题01 函数与方程思想思想方法诠释1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想．2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想.【典例讲解】要点一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用[解析] (1)当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a 2－1. 设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32，故选D. (2)因为函数f (x )＝log 3(9x ＋t 2)是定义域R 上的增函数，且为“优美函数”，则f (x )＝x 至少有两个不等实根，由log 3(9x ＋t 2)＝x ，得9x ＋t 2＝3x ，所以(3x )2－3x ＋t 2＝0有两个不等实根．令λ＝3x (λ>0)，则λ2－λ＋t 2＝0有两个不等正实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4t 2>0，t 2>0，解得－12<t <12，且t ≠0，所以实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12. [答案] (1)D (2)C函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．【训练】1．若正数a ，b 满足：1a ＋2b ＝1，则2a －1＋1b －2的最小值为( ) A ．2 B.322 C.52 D ．1＋324[解析] 由a ，b 为正数，且1a ＋2b ＝1，得b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，所以2a －1＋1b －2＝2a －1＋12a a －1－2＝2a －1＋a －12≥2 2a －1·a －12＝2，当且仅当2a －1＝a －12和1a ＋2b ＝1同时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以2a －1＋1b －2的最小值为2，故选A. [答案] A【训练】2．(2017·豫南九校联考)若关于x 的方程2－2－|x ＋2|＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________． [解析] 令f (x )＝2－2－|x ＋2|，要使方程f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )值域内的值，又可知f (x )的值域为[1,2)，∴1≤2＋a <2，解得－1≤a <0.[答案] [－1,0)要点二 函数与方程思想在数列中的应用[思维流程] (1)由已知递推关系式―→求a n ―→(2)由已知方程构造函数―→研究所构造函数的性质―→得结果 [解析] (1)∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝2(n －1)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)． 又a 1＝33＝1－1＋33，故a 1满足上式，∴a n ＝n 2－n ＋33(n ∈N *)，∴a n n ＝n ＋33n－1， 令f (x )＝x ＋33x －1(x >0)，则f ′(x )＝1－33x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝33，易知当x ∈(0，33)时，f ′(x )<0，当x ∈(33，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在区间(0，33)上递减，在区间(33，＋∞)上递增，又5<33<6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，f (5)>f (6)， ∴当n ＝6时，a n n 有最小值212. (2)构造函数f (x )＝x 5＋2016x ，则f (x )是奇函数，且在R 上递增，依题意得， f (1－a 1008)＝－f (1－a 1009)，又－f (1－a 1009)＝f (a 1009－1)，则f (1－a 1008)＝f (a 1009－1)，所以1－a 1008＝a 1009－1，即a 1008＋a 1009＝2，所以S 2016＝a 1＋a 20162×2016＝a 1008＋a 10092×2016＝2016，排除B ，D ； 由f (1－a 1008)>f (1－a 1009)，得1－a 1008>1－a 1009，所以a 1008<a 1009，故选C.[答案] (1)212(2)C 函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(2)解本例(2)的关键：一是会构造函数，即会通过观察已知等式的特点，构造函数，并判断所构造的函数的奇偶性与单调性；二是会利用函数的单调性，得出数列的单调性，从而比较大小；三是能灵活运用等差数列的性质．【训练】3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 2，S 2a 2，S 3a 3，…，S 15a 15中最大的项为( ) A.S 8a 8 B.S 7a 7 C.S 6a 6 D.S 9a 9[解析] 由S 15＝15(a 1＋a 15)2>0，得a 1＋a 15>0，则a 8>0，由S 16＝16(a 1＋a 16)2<0，得a 1＋a 16<0，则a 8＋a 9<0， ∴a 9<0，∴公差d <0，所以{a n }单调递减，易知S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9<0，S 10a 10<0，…，S 15a 15<0， 且S 1<S 2<…<S 8，a 1>a 2>…>a 8，所以在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是S 8a 8.故选A. [答案] A【训练】4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a a ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2＝23n －n 22＋n 2 ＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )， 结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64.[答案] 64要点三 函数与方程思想在解析几何中的应用[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32， 所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)设直线AP 的斜率为k ，则AP 方程为kx －y ＋12k ＋14＝0. 由题意BQ ⊥AP .故BQ 的直线方程为x ＋ky －94k －32＝0. 联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716. (1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立a ，b ，c 的关系式求解．(2)解决解析几何中范围、最值问题的一般思路为：在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数值域、最值的探求来使问题得以解决．【训练】5．已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值．[解] (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0,0)，由题意得，r ＝|4|1＋3＝2，所以圆M 的方程为M ：x 2＋y 2＝4.因为AB →＝2NB →，所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ， 将A (x,2y )代入圆M ：x 2＋y 2＝4中，得动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆C 的方程得⎩⎨⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0，解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m 13，x 1·x 2＝4(m 2－1)13. 又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213， 所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2(13－m 2)13≤1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立． 故△OPQ 面积的最大值为1.【思想方法总结】1．函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．【强化训练】一、选择题1．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0， 解得t ＝－4.故选B.[答案] B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．故选C. [答案] C3．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)[解析] 依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A.[答案] A4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝⎛⎭⎫t ＋122， ∵m ＝54－⎝⎛⎭⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数． ∴t ＝0时，m 的最大值为1，故选A.[答案] A5．已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)[解析] 因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，则x ∈(－1,0)∪(0,1)．故选D. [答案] D6．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22 D ．1 [解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p. 设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧ x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)． [答案] C二、填空题7．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________． [解析] y ′＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，将x ＝3代入，得曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案] －2 8．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 利用双曲线的性质建立关于a ，b ，c 的等式求解．如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ， ∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．[答案] 29．已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________． [解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h. 则其侧棱长为l ＝⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝16h ＋h 2. 令f (h )＝16h＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2， 令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0,2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增．所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12， 故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3.[答案] 2 3三、解答题10．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．[解] (1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝12， 又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6. (2)∵B ＝π6， ∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B >π2， ∴π3<A <π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， ∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49. [解] (1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95. ∵d 为整数，∴d ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1(11－2n )(9－2n )＝12⎝⎛⎭⎫19－2n －111－2n ， ∴T n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－19＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝⎛⎭⎫1－19＝49. 12．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．[解] (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c . ∵椭圆E 的离心率等于223， ∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2，∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a. ∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b 4a2＝1. 由⎩⎨⎧ b 2＝a 29，9b 4a 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直， ∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0， ∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.。