降落伞数学模型
数学建模《降落伞的选购问题》
数学建模考试作业降落伞的选购模型班级：班姓名学号：降落伞的选购模型摘要本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。
为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。
通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。
我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。
由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。
建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载量。
最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：n2=1 n2.5=2, n3=7, n3.5=0,n4=0。
即购买半径为2.5m的降落伞7个和半径为3m的降落伞4个时，最大承载量为:151.0942*1+236.0847*2+339.9620*7=3003(kg),最少总费用为6349.360元。
关键字：最大承载量、线性规划、Matlab、空气阻力系数、数据拟合一、问题的重述2008年，汶川大地震，现急需向灾区空投救灾物资共3000kg，因此选购一些降落伞。
已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价3元/米决定；固定费用c3为150元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。
降落伞优化选择的整数线性规划模型
降落伞优化选择的整数线性规划模型摘要本文讨论了降落伞合理选择使费用最低的问题。
通过对问题的分析，最大化载重量，最小化选购降落伞费用。
以牛顿定律建立微分模型，以空投物资重量2000千克，每种降落伞最大载重量为约束条件建立整数线性规划模型。
通过分步优化，最后以整数规划来解决这一问题。
首先，找出数据之间的关系，运用物理学和整数线性规划建立模型，并运用MATLABR软件描点作图进行数据拟合的方法,得出载重为300kg，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞后期趋于做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，求出空气阻力系数为2.959,落地速度为17.5794.在求出每种降落伞最大载重量，并通过隔离载重物体并进行受力分析，求出相应半径降落伞绳索长度,进而算出每种半径的降落伞的绳索费。
最后，根据每种降落伞的总成本关系把问题转化为整数线性规划问题，用LINGO解得到要购买半径为3m的降落伞数量为6把时总费用最少，总费用为4932元。
本文主要研究了降落伞优化选择问题。
主要优点是：本文通过建立优化选择的整数线性规划模型求解，思路清晰，并大量运用计算机运算使计算误差减少，最终使得降落伞的选择最优;另一方面,本文所建的模型简单合理,具有较强的推广意义。
主要缺点：在建立模型时，忽略了降落伞在实际应用中，会受到天气、风等一些自然因素的影响，使得模型与实际有些误差；本模型未考虑降落伞打开时间，将其假设成在下降时伞就已经打开；虽然大量运用计算机运算，但其中还是有不可避免的误差。
关键词: 数据拟合；单目标优化；微分方程；整数线性规划.一、问题的提出：为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接着载重m，示意图如图1。
图1每个降落伞的价格由3部分组成。
伞面价格由半径r决定（见表1）；绳索每米为4元，其他费用200元。
收口十字形降落伞充气过程动力学建模与仿真
收口十字形降落伞充气过程动力学建模与仿真收口十字形降落伞是一种广泛应用于高空物品或人员运输的降落伞，具有快速展开、稳定性好、控制精度高等优点。
本论文将介绍收口十字形降落伞充气过程的动力学建模与仿真。
1.动力学建模收口十字形降落伞的充气过程可以分成两个阶段，第一阶段是自由膨胀阶段，第二阶段是继续充气阶段。
在第一阶段中，气动力是主要的力学作用，对伞体进行自由膨胀；第二阶段中，弹性力成为主要的力学作用，伞体继续充气并逐渐达到稳定状态。
针对这两个阶段，我们可以采用欧拉-伯努利方程和泊松方程来建立数学模型。
对于自由膨胀阶段，我们需要考虑以下几个因素：气压、气流速度、伞体面积以及流体密度。
自由膨胀阶段的方程如下：$$\rho\frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}$$ $$\frac{\partial p}{\partial t}+\textbf{v}\cdot\nabla p=-\gammap\nabla\cdot\textbf{v}$$其中，$\rho$ 是空气密度，$\textbf{v}$ 是流体速度，$p$ 是气压，$\textbf{g}$ 是重力加速度，$\gamma$ 是空气绝热指数，$D/Dt$ 是物质导数。
上式中的第一个方程表示用欧拉-伯努利方程描述气流速度与气压的关系，第二个方程表示泊松方程。
对于继续充气阶段，我们需要考虑以下几个因素：气压、伞布弹性以及气流速度。
继续充气阶段的方程如下：$$\rho\frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nablap+\nabla\cdot\textbf{$\sigma$}+\rho\textbf{g}$$$$\nabla\cdot\textbf{v}=0$$其中，$\textbf{$\sigma$}$ 是伞体的应力张量。
这两个方程表示了伞体的弹性力及空气动力学对伞体的作用。
2.仿真过程基于上述动力学模型，我们可以利用计算流体力学（CFD）和有限元法（FEM）对收口十字形降落伞的充气过程进行仿真。
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型是一个用于确定合适的降落伞尺寸的数学模型。
此模型基于物体的重量、体积、下降速度等因素来计算需要的降落伞尺寸。
数学模型公式
根据相关研究和实验数据，我们可以使用下面的公式来计算降落伞的尺寸：
降落伞尺寸= (0.5 * 物体重量* 下降速度) / (空气密度* 降落伞开伞面积)
公式中的各个参数含义如下：
•物体重量：降落伞需要支撑的物体总重量，单位为千克。
•下降速度：物体从空中下降的速度，单位为米/秒。
•空气密度：当前环境中的空气密度，单位为千克/立方米。
•降落伞开伞面积：降落伞完全展开后的表面积，单位为平方米。
实际应用
降落伞选择的数学模型在航空、运动、救援等领域具有重要应用价值。
通过合理选择降落伞尺寸，可以确保物体在下降过程中获得自由落体状态下的最小加速度，同时确保降落过程的稳定和安全。
数学建模-安全跳伞的研究
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2010年6月28日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：安全跳伞的研究摘要本文从建立跳伞安全的数学模型开始，从跳伞运动员在下落过程中各个时刻的速度和达到第一收尾速度的时刻出发，分别通过对这两个方面的深入研究从而制定出跳伞运动员打开降落伞的最佳时机，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们将焦点锁定运动的独立性上。
我们通过建立数学模型，并利用MATLAB 软件编程求得的v —t 图中可比较直观地了解到速度的变化特点。
我们可以发现发现跳伞运动员在空气中下落时，由于受到的摩擦力正比于速度v 的一次方或二次方，故当经过一段时间后，竖直方向所受的力会达到平衡，之后跳伞运动员的速度将通过一个极小值min v ，随后开始增加，逐渐趋于速度t v ，我们称之为第一收尾速度。
跳伞运动员必须等待这个速度极小值以减小开伞时的震动。
开伞后，经过一段时候后，竖直方向所受的力会达到第二次平衡，之后跳伞运动员的速度将通过另一个极小值，随后也会逐渐增加，直到趋于第二收尾速度。
降落伞系统动力学建模与综合仿真
降落伞系统动力学建模与综合仿真引言降落伞系统是一种常用的空中投送和紧急救援装备。
为了确保降落伞系统的安全和可靠性，需要进行动力学建模与综合仿真研究。
本文将介绍降落伞系统动力学建模的基本原理和方法，并探讨综合仿真在降落伞系统设计和优化中的应用。
一、降落伞系统动力学建模降落伞系统动力学建模是研究降落伞在空中运动过程中的力学特性和运动规律。
一般来说，降落伞系统可以分为降落伞、连接系统和载人系统三个部分。
1. 降落伞部分降落伞的运动可以由牛顿运动定律描述。
降落伞受到重力、空气阻力和其他外力的作用。
重力是降落伞系统的主要驱动力，空气阻力则是主要的阻力。
空气阻力与速度的平方成正比，与降落伞的形状、面积和材料特性有关。
其他外力包括风力、气流等。
2. 连接系统部分连接系统包括降落伞与载人系统之间的连接装置。
连接装置的刚度、长度和质量等特性会影响降落伞系统的运动特性。
连接系统还可以包括降落伞的展开和收拢机构，这也是降落伞系统动力学建模的重要部分。
3. 载人系统部分载人系统是降落伞系统的核心部分，包括载人舱、座椅和安全装备等。
载人系统的质量和结构会对降落伞系统的动力学特性产生影响。
此外，载人系统还需要考虑人体的重心、姿态和运动特性等。
二、综合仿真在降落伞系统设计中的应用综合仿真是指将不同的模型和算法相结合，模拟和分析降落伞系统在不同工况下的运动特性。
综合仿真可以帮助工程师优化降落伞系统的设计，提高其安全性和性能。
1. 动力学仿真动力学仿真是根据降落伞系统的动力学模型，模拟和分析降落伞在不同环境条件下的运动特性。
通过动力学仿真，可以评估降落伞系统在不同风速、高度和负载条件下的稳定性和控制性能。
2. 结构分析仿真结构分析仿真是对降落伞系统的结构进行力学分析和优化。
通过结构分析仿真，可以评估降落伞系统在不同载荷条件下的强度、刚度和疲劳寿命等。
同时，还可以优化降落伞系统的结构参数，提高其性能和可靠性。
3. 控制系统仿真控制系统仿真是对降落伞系统的控制系统进行建模和仿真。
降落伞下落模型
因为
dv dv dh dv v dt dh dt dh
所以原模型可以改写为：
dv k ( h ) vg v m dh v |h h v0 0
同学们可以根据具体情况分析求解此模型。
•
根据牛顿运动学第二定律以及加 速度是速度关于时间的导数，我们
就能列出降落速度满足的微分方程。
虽然张伞前后跳伞者所受到的空气阻力的
情况差别较大，但可认为仅是所受空气阻
力与降落速度的比例系数不同而已，这样， 如果忽略张伞时间，可以分张伞前和张伞 后来建立类似的模型。下面主要建立张伞 后的模型。
模型的假设
dv m mg kv dt v |t 0 v0
，即
dv k vg dt m v |t 0 v0
这就是跳伞者的降落速度满足的数学模型， 这是一个常微分方程的初值问题。
如何求解这个模型呢？注意到
k k k k t dv t d mt k d mg m t (e v ) e m ( v ) e m g ( e ) dt dt m dt k
模型解的分析பைடு நூலகம்应用
mg 因为 tlim v (t ) k
，随着时间的增大，降落速度 v(t )
将很快趋于常值
mg k
。如果从张伞到
落地有足够的时间，那么落地时的降落 mg 速度约等于 vd k 。
k 的大小与伞张开时伞面的形状和
有效面积有关，考虑安全等原因， 通常设计降落伞使得 vd 6 ，若 vd 6 , g 9.8 v0 100 米/秒， 张伞经过10秒后约下降 117.55米，此时降落
k mg m t d mg e C (e v e ) 0 ，我们有 e v 即 dt k k
数学建模综合题目参考答案
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程。
(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次的上界”n r (如=5时上界为1)是，如:n ⎦⎤⎢⎣⎡-23n 设赛程中某场比赛是，两队， 队参加的下一场比赛是，两队(≠i j i i k k )，要使各队每两场比赛最小相隔场次为，则上述两场比赛之间必须有除，j r i ，以外的2支球队参赛，于是，注意到为整数即得。
j k r 32+≥r n r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的，即对任意的编排出n 达到该上界的赛程。
如对于=8， =9可以得到:n n 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 每两场比赛相隔场次数相隔场次总数1A ×159131721253，3，3，3，3，3182A 1×206231126164，4，4，3，2，2193A 520×2410271522，4，4，4，3，2194A 9624×28243192，2，4，4，4，3195A 13231028×41872，2，2，4，4，4186A 171127144×8223，2，2，2，4，4177A 2126153188×124，3，2，2，2，4178A 251621972212×4，4，3，2，2，2171A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 每两场比赛相隔场次数相隔场次总数1A ×366311126162114，4，4，4，4，4，4，282A 36×2277221217324，4，4，4，4，4，3273A 62×3515302025103，3，4，4，4，4，4264A 312735×318813234，4，4，4，3，3，3255A 117153×342429193，3，3，3，4，4，4246A 2622301834×49144，4，3，3，3，3237A 1612208244×33283，3，3，3，3，3，4228A 2117251329933×53，3，3，3，3，3，3，219A 13210231914285×3，4，3，4，3，4，324可以看到，=8时每两场比赛相隔场次数只有2，3，4，=9时每两场比n n 赛相隔场次数只有3，4，以上结果可以推广，即为偶数时每两场比赛相隔场n 次数只有，，，为奇数时只有，。
降落伞数学建模
降落伞
为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长 L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的
价格由三部分组成。
伞面费用C
1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C
2
由绳索
总长度及单价4元/米决定；固定费用C
3
为200元。
表1
降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg 的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。
表2
试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
火星环境下降落伞拉直过程的动力学建模
连接绳以及 吊带 离散成若干绳段 ，每个绳段处理为质量集 中在端点的三 自由度质点 ，各质点之 间以阻尼 弹簧相 连。利用所提 出的动力学模型对 “ 海盗号”第一次气球发射 试验进行 了仿真，并与 Ｍｏ ｏ ｇ Ｒ ． Ｄ ． 的
仿真计算结果和试验数据进行 了对比，验证 了该丈数 学模型的正确性与有效性。
（ Ｂ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｐ ａ ｃ ｅ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ｓ ＆Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ ， Ｂｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ ０ ９ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ）
降落伞在下降过程中的安全问题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：j4228 所属学校（请填写完整的全名）：西安电子科技大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2012 年 9 月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：降落伞在下降过程中的安全分析摘要：本文主要研究降落伞在下降过程中的安全性问题，关键在建立降落伞下降过程的数学模型，通过给定不同参数，对降落过程模型进行求解分析，确定影响下降过程的安全因素后，在安全因素限制下，确定安全下降的条件，并对安全条件进行可行性分析和评价。
问题一，本文建立了分两个阶段下降的运动微分方程模型，第一个阶段为加速度逐渐减小的加速运动模型，考虑人体受到的阻力，用MATLAB 对微分方程模型进行求解，得到含参数m 的运动方程；第二阶段为加速度逐渐减小的减速模型，考虑伞所受到的阻力，求解得到含第一阶段运动的末速度1v 和m 的运动方程。
问题二，在高空，中空，低空跳伞时，通过给定第一阶段运动时间1t 和下降的总高度h 总，得到在伞面积2s 和m 不同时，各阶段的末速度，下降高度，和运动时间，并用表格的形式对所得运动量进行记录，最后通过表格中数据对运动情况进行了分析。
数学建模《降落伞的选购问题》(1)
降落伞的选购模型摘要本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。
为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。
通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。
我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。
由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。
建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载量。
最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即购买半径为3m的降落伞6个时总费用最少为4932元。
关键字：线性规划、空气阻力系数、拟合一、问题的重述为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长 L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C 2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
表1降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg 的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。
表2（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
二、模型的假设1、假设空投物资的瞬时伞已打开。
2、空投物资的总数2000kg可以任意分割。
3、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。
降落伞充气过程中“瓶颈”效应
降落伞充气过程中“瓶颈”效应程涵;余莉;夏刚【摘要】The inflation process of large-scale or extra large-scale parachute was investigated. The Arbitrary Lagrangian Eulerian ( ALE) Method-a Fluid-Structure Interaction (FSI) model, was used to simulate the inflation process of a main parachute (a ringsail parachute, which was used in manned spacecraft) in an infinite mass situation. The dynamic relationship between canopy shape and flow field was obtained, and the adverse inflation phenomena such as asymmetric inflation and whip were observed in simulation results. The "bottleneck" phenomenon in inflation process was found and verified by physical tests. Based on the analysis of calculation results, it is found that the large canopy area, the complicated canopy structure or high inflation speed can block the air mass into the parachute, which can cause the " bottleneck" phenomenon. But the necessary occurrence conditions of the phenomenon need to be studied in future. The present work is significant for explaining parachute working mechanism and preventing its failure.%以大型伞或特大型伞为研究对象,采用任意拉格朗日-欧拉(ALE)流固耦合方法模拟某载人飞船主伞(环帆伞)在无限质量情况下的充气展开过程.计算获得了充气过程中,伞衣外形和流场之间的动态关系,数值模拟出非对称充气、伞顶甩打等不良充气现象,提出了充气过程存在“瓶颈”效应,通过大量的实物试验验证该效应的存在.通过结果分析发现“瓶颈”效应实质是由于伞衣面积大,伞衣结构复杂或开伞速度过大导致气团进入伞体受阻造成的,但其产生的具体必要条件尚有待进一步研究.结论对了解降落伞工作机理,防止开伞失效有重要意义.【期刊名称】《国防科技大学学报》【年(卷),期】2013(035)001【总页数】5页(P48-52)【关键词】降落伞;充气过程;ALE方法;流固耦合【作者】程涵;余莉;夏刚【作者单位】国防科技大学航天科学与工程学院,湖南长沙410073【正文语种】中文【中图分类】V244.2大型伞或特大型伞一般具有名义面积大、开伞条件恶劣、充气时间长的特点，充气过程中，容易发生非对称充气、伞顶甩打、破损等失效现象。
降落伞模型
降落伞模型数学建模大赛论文题目:降落伞在下降过程中安全性问题姓名1: 马颖涛学号 20100006 专业: 土木工程姓名2: 刘雷学号:20100209专业: 土木工程姓名3: 崔磊学号:20100241专业: 土木工程2012 年5月3日一.摘要: ....................................... 3 二.问题的提出 ................................... 4 三(问题的分析 .................................. 4 四.建模过程 (5)1模型假设: (5)2.定义符号说明: (5)3.模型建立 (5)4模型求解: ................................ 8 五.模型的评价与改进 .............................. 9 六.参考文献以及附录代码 (10)1摘要:“降落伞在下降过程中的安全问题”数学模型是通过研究人体的重力、伞的空气阻力(与受力面积成正比)、弹性绳的拉力之间的关系，建立人在竖直方向上的运动模型，进而给出运动方程。
通过查阅资料我们可得一般人落地2速度不得大于5m/s，空气阻力系数为2.9378，重力加速度9.8。
因此ms/ 通过数据模拟拟合最终的外出最优值。
首先考虑最简单的情况，即不考虑绳子的强度，忽略水平方向的风速影响，忽略绳子和伞衣的重量，把人和伞衣看成整体，运用物理学中力与运动的关系和微分方程给出速度和下落时间的微分关系，用matlab软件给出解析关系。
然后用该软件求出人体质量m和伞衣面积的对应关系，并用表格表示。
使不同的人可以根据自己的体重选择降落伞，也可以统计人的平均体重，确定降落伞的一般尺寸。
使人们根据自己的体重可以选择适合自己的降落伞。
计算过程中，把伞衣视为半圆柱面，32并且设定半圆柱面的长度和直径的关系。
伞衣面积。
但是，这种情Sd,,4 况只能粗略估计体重与伞衣面积的关系，实际中应考虑绳子的强度，即人和伞衣的运动不同步。
基于ALE的降落伞充气过程数值仿真
基于ALE的降落伞充气过程数值仿真程涵;余莉;李胜全【摘要】The parachute opening process in low-speed airflow is simulated based on ALE method. The numerical results of the structural stress, the velocity vector, the pressure contour of flow field, the diameter change of canopy and so on are obtained. Compared with the test, the opening processes are the same, and the phenomenas of top sink and canopy shake are observed. Finally, the mechanical mechanism explanation of canopy shake and the huge noise caused by canopy flapping in tests, and the prediction of dangerous section during opening are given by the analysis based on numerical results.%采用任意拉格朗日-欧拉法(Arbitrary Lagrange Euler method,ALEM)流目耦合方法模拟某模型伞在低速气流作用下充气展开过程.计算获得了充气过程中伞表应力、流场速度矢量、压力以及伞衣半径变化等结果.与试验对比,开伞过程相同,同样出现了伞衣项部塌陷、抖动等现象.通过对数值结果的分析解释了伞衣抖动以及风洞试验中伞底拍动产生巨大噪声的原因,同时预测开伞过程中的危险截面.【期刊名称】《南京航空航天大学学报》【年(卷),期】2012(044)003【总页数】4页(P290-293)【关键词】气动减速器;开伞过程;任意拉格朗日-欧拉法;无限质量【作者】程涵;余莉;李胜全【作者单位】南京航空航天大学航空宇航学院南京 210016;南京航空航天大学航空宇航学院南京 210016;中国航空研究院609所南京 211102【正文语种】中文【中图分类】V244.21降落伞以重量轻、减速效果好等特点在航空、航天以及兵器等领域有着广泛的应用。
【数学与应用数学】论文——降落伞选购的优化模型
降落伞选购的优化模型[摘要]:本文对降落伞的选购问题建立了一个优45化模型,对所给数据采用计算机描点作图进行数据拟合,得出载重为300kg ，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞后期做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，由mg=f=kvs 求出空气阻力系数959.2=k ,落地速度为s m v /5794.17=.再通过隔离载重物体并进行受力分析，求出降落伞绳索长度l ,进而算出每种半径的降落伞的绳索费.最后根据每种降落伞的总成本关系把问题转化为整数线性规划问题，用MA TLAB 解得,045.35.22====n n n n 63=n ，即要购买半径m r 3=的降落伞数量为6把, 其他半径的降落伞都不需购买,总费用为4928=C 元.关键词: 数据拟合；运动曲线；阻力系数；整数线性规划1 问题的提出现要向灾区空投救灾物资共kg 2000,从而要选购降落伞.已知空投高度为m 500,要求降落伞的落地速度v 不超过s m /20,降落伞面为半径为r 的半球面,用每根长l 共16根绳索连接的载重m 位于球心正下方球面处,如图所示.每个降落伞的费用由三部分组成,伞面费1C 由伞的半径r 决定,见表1. 绳索费2C 由绳索总长度及单价4元/米决定,固定费用3C 为200元. 降落伞下降时受到空气阻力,可以认为与降落伞速度和伞面积的乘积成正比.为测定阻力系数,用半径kg m m r 300,3==的降落伞从m 500的高度作降落实验,测得各个时刻t 的高度x ,见表2.试确定降落伞的选购方案,即共需多少个,每个降落伞的半径多大(在表1中选择),在满足空投条件下,使总费用最低.l()m r23 4 1C (元)651703506601000表2rm1 降落伞下降过程中只受重力及空气阻力的作用,其他因素忽略;2 降落伞的质量和绳索质量忽略;3 每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重;4 阻力系数k 是常数，与其他因素无关;5 降落伞的落地速度不会超过20m/s6 救灾物资2000kg 可以任意分配.3 符号的约定k 阻力系数f 空气阻力r m 半径为r 的降落伞的最大载重r s 半径为r 的降落伞的伞面面积 ()t H t 时刻降落伞的下降高度 ()t v t 时刻降落伞的下降速度r n 购买半径为r 的降落伞数目 1C 伞面费 2C 绳索费 3C 固定费用l 降落伞每根绳索的长度g 重力加速度,2/8.9s m g =4 模型的建立与求解 阻力系数k 的确定降落伞下降时对降落伞进行受力分析有fmg ma-=,由于开始时不同时刻的加速度是不同的,即()t a a =,设初始时()00=v ,所以由上式有()⎪⎩⎪⎨⎧=-=00v kvsmg dtdvm 即 ()⎪⎩⎪⎨⎧=-=00v m kvs g dtdv解上述微分方程, 解得()()1mts k eksmg ks mg t v --=则从开始时刻到t 时刻降落伞下降的高度()()2)(02222220⎰⎰-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--tm t s k m t s k ts k g m e s k g m ks mgt dt e ks mg ks mg dt t v t H又当kg m m r 300,3==降落伞从m 500高空下降时其运动轨迹可由计算机模拟出来,采用Maple 的plot 函数,p:=[[0 500], [3 470], [6 425], [9 372 ], [12 317], [15 264], [18 215], [21 160], [24 108], [2755], [30 1]]: plot(p);可得到其运动曲线如图所示图（1）可以发现降落伞在后期的运动曲线几乎是线性的,所以可以把降落伞后期的运动看成是匀速直线运动.对降落伞进行受力分析,有f mg =,而kvs f =其中s 为降落伞的伞面面积.取22,3,8.9,300r s m r g kg m π====，估算出s m v k /17,9.2≈≈由()m t s k eksmgksmgt v--=把π⨯⨯=====232,17,9.2,8.9,300svkgm代入上式，可以用Maple作出速度与时间的图象，如下图：图（2）可以发现降落伞s9以后速度几乎不变，这说明降落伞后期是作匀速直线运动的，所以降落伞后期匀速运动的速度可以这样确定:9秒以后的数据用最小二乘法进行线性拟合,设δ++=bvttH)(,其中δ符合正态分布,采用Matlab的polyfit函数X=[9 12 15 18 21 24 27 30];H=[128 183 236 285 340 392 445 499];P=polyfit(X,H,1)结果为p=[,]smv/5794.17=∴因为降落伞为半球面,所以2222/4rrsππ==由此解得959.2925794.178.9300=⨯⨯⨯==πvsmgk降落伞载重的确定由()1式可得mv关于的函数()m t s k eksmgksmgmv--=因为降落伞落地时,()500=tH, 即500222222=-+-skgmeskgmksmgtmt sk再由()()2,1联立方程组:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=--222222sk g m e s k g m ks mgt t H e ks mg ks mg t v mts k mts k消去参数t 得到H 关于m 的函数,()()4/1ln 222ksmvs k mg ksv g m H -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=降落伞的最大载重当且仅当v 达到最大,即s m v /200=时取得,由此我们可以证明如下命题：()mts k e ksmg ks mg m v --=是关于m 的增函数.证明: 因为()()03222<-=--=---mts k mts k m ts k e mks gt dm m v d e mgte ks g ks g dm m dvmt s k mts k e mgt eksg ks g dm m dv ----=∴)(为严格单调减函数又因为0)(lim=∞→dm m dv mmt s k mt s k e mgte ksg ks g dm m dv ----=∴)(0>由单调性的判别法, ()mt s k eksmg ks mg m v --=为m 的严格增函数所以命题成立反之m 关于v 的函数()v m 也是增函数. 令 ,500m H =,/20s m v =则()4式变为()50020/1ln 22=⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2ks m s k mg kst g m把959.2,8.9==k g 2222/4r r s ππ==代入得500076.1)3.345/()89.11ln(8.92422=---rm r m r m把2=r ,5.2=r ,3=r ,5.3=r ,4=r 代入上式可以解得满足空投条件下的各种半径的降落伞的最大载重：kg m 1532= kg m 2385.2= kg m 3423= kg m 4655.3= kg m 6064=半径为4,5.3,3,5.2,2=rm 时降落伞的绳索费因为载重m 位于球心正下方球面处,所以载重到球心的距离等于降落伞球面的半径,由几何关系得到2=l r ,其示意图如右图r解得半径为4,5.3,3,5.2,2=r 的长度分别为m l m l m l m l m l 66.5,95.4,24.4,53.3,83.245.335.22=====求得绳索费如下表:则购买每把不同半径的降落伞的各需总费用C 如下:确定降落伞的选购方案要使总费用最小,则要取每种半径的总成本最小,则有如下数学规划45.335.215621177821595446min 2n n n n n C ++++=⎪⎩⎪⎨⎧=∈≥++++4,5.3,3,5.2,2,,,,2000606465342238153..45,3325245.335.22r Z n n n n n n n n n n t s (6) 用matlab 解上述线性规划得: (程序参见附录)0,0,85.5,0,045.335.22=====n n n n n2.4801=C5 模型结果的说明由上用matlab 解得4805,0,0,85.5,0,045.335.22======C n n n n n但降落伞的数量必定为整数,所以对85.53=n 取整,即63=n ,相应的=C 49286)16424.4350200(=⨯⨯⨯++元,即要购买降落伞的方案为:半径为2m,2.5m,3m,3.5m,4m 的降落伞无需购买. 半径为3m 的降落伞需购买6把,总费用为4928元质量分配：有4把载重分别为333kg , 有2把载重分别为334kg6 模型的检验与推广1. 本模型对降落伞的运动作简化,即在后期,把降落伞的运动看作为匀速直线运动,则其运动方程为一次线形函数,对其求导,即可求得运动速度.从而可知运动速度与空投高度,运动时间无关.所以只要满足空投条件就可以降低空投高度,以减少空投难度.2. 当降落伞的半径仍为2m,2.5m,3m,3.5m,4m 五种时,其它条件不变,现在救灾物资很多,超过kg 2000,要求确定选购方案,则只需将(6)式的第二个不等式右端改为其它数据,如7000,8000等,就可求出相应的选购方案及总费用.参考文献[1] 张嘉林．高等数学[M]．北京：中国农业出版社，1999 [2] 许 波．MA TLAB 工程数学应用[M]． 北京：清华大学出版社附录: 数学规划问题的求解程序clear clcc=[446 595 821 1177 1562]; a=[-153 -238 -342 -465 -606]; b=[-2000]; vlb=[0 0 0 0 0]’;vub=[inf inf inf inf inf]’; aq=[]; bq=[];[n, total]=linprog(c,a,b,aq,bq,)The optimize model for purchasing ofparachuceAbstract : This text have made a ooptimize model for purchasing of parachute. with the proceedingdata which is given ,we use the calculator to make the diagram by matching the point .By trial of the carry heavy for 300 kgs which is below the parachute whose radius is 3 rices descending from the 500 rices high sky ,we discover the parachute do the strainth regularitive movement in the later begging mg=f=kvs,we solve out the air resistance of coefficient is k=,the speed falled to the ground is v=17.5794m/s. Then pass to insulate to carry the heavy object and the proceeding suffer the dint analysis, and beg the rope length of the parachute, and enter but calculate each grow the radius's total cost that the parachute's rope fee. Finally according to each grow ,the problem change to the integer linear programming problem, and use the MATLAB ,we get the solution,045.35.22====n n n n 63=n .That is to say we need to purchase the parachutes,whose radius is 3rices ,and the quantity is 6 , the other radius all does not need to purchase,the total expenses is4928=C yuan.Key words: matching the point; integer linear programming;。
数学建模 姓名： @@@ ### %%%降落伞的选择
降落伞的选择摘要本文研究的是降落伞的选择方案问题，意义在于满足空投要求的条件下，使伞的费用最小。
首先，我们先对降落伞和它的负载看作一个整体，并对整体进行受力分析，忽略伞和绳子的质量，而且假设降落伞只受到竖直方向的重力和空气阻力的作用。
通过牛顿运动定律以及对降落伞在空中的受力情况的分析得出了整体下落过程中的加速度，更进一步建立了位移（高度）与时间的()h t方程。
然后对题中给出的实验数据拟合k，得出阻力系数 3.0035k=。
由于题目中已经限制降落伞的最大落地速度为20/m s，所以当速度为20/m s时，伞的承重量最大。
建立速度、位移与时间的方程组，带入最大速度20/m s，高度500m，伞的半径(题中给出的五种不同规格的降落伞的半径)，分别计算出每种规格伞的最大承重量。
最后运用整型规划中的枚举法编程（见附录F）求解得10x=，20x=，36x=，40x=，50x=。
即购买半径为3m的降落伞6个时，最大承重量为6339.6883=2038.1298(kg)⨯，最少总费用为4929.2C=元。
关键词：受力分析拟合阻力系数整数规划1 问题重述为向灾区空投救灾物资，需选购一批降落伞。
每个降落伞的价格由伞面费用，绳索费用，固定费用三部分组成。
已知空投高度500m ,要求降落伞落地时的速度不能超过给定的速度20/m s ，而降落伞下落的速度又与受到的空气阻力和伞的面积有关，为了确定阻力系数，用半径3r m =,载重300m kg =的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各时刻t 的高度x （见附录F ），因此在保证物资能够安全降落的同时需要尽可能经济的选择伞的数量和规格，使费用达到最小。
2 问题的假设和符号说明2.1 问题的假设1 降落伞下落时不受天气因素影响2 假设物资在离开飞机的瞬间就将降落伞打开3 假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用4 假设该地区的重力加速度为210/g m s =5 物资可以根据要求拆分为多块用不同规格降落伞空投6 降落伞和绳索的质量可以忽略不计7 假设降落伞落地时的速度为20/m s 2.2 符号说明k ：空气阻力系数 f ：空气阻力g ：重力加速度2(10m )si M ：(1,25)i =……每种降落伞的最大载重量 S ：降落伞的面积 j r ：1,25j =（……）每种降落伞的半径 w L ：(1,25)w =……不同伞的绳索长度 e x ：e （=1,2 …5）每种降落伞需选的个数 1C ：每个降落伞的第一部分费用 2C ：每个降落伞的第二部分费用 3C ：每个降落伞的固定费用 a ：加速度b ：每种降落伞的单价3 问题分析为保证救灾物质安全运送到目的地，需选购一批符合规格的降落伞，同时使花费达到最省。
数学建模-降落伞的选择
降落伞的选择摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。
通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。
通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。
继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。
在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。
所以最后我们通过数据的拟合，找出了最适合投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。
首先，我们要确定阻力系数。
通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用matlab插点作图进行数据拟合，得到半径为3m，载重为500kg 的降落伞从500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运动，通过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s.其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。
通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。
运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个，其他半径的降落伞不予选购。
最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。
关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。
降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。
每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为l的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。
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➢跳 伞 中 的 安 全 性 至 关 重 要，研究飞行和着陆的数 学模型对此大有帮助。
➢本 节 将 对 跳 伞 中 的 一 些 问题进行描述、分析并建 模。这些模型采用简化数 据仅用于说明问题。
1
研究性课题
假设跳伞员体重是 103 kg，飞机飞行高度为 4000 m（z轴方向），飞行速度为 115 m/s（y轴方 向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度为 0.555 m/s（x轴方向）。
力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们 忽略这些影响，只考虑骨头损伤。 ➢ 冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。 ➢ 假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。 ➢ 数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。
5
降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
vy (t) (1184.5)(10 /103)e(10/103)t 115e(10/103)t
vx (t) (6.6435)(10 / 103)e(10/103)t 1.2 vx (467.2) 0.645e(10/103)467.2 1.2 1.20
vy (467.2) 115e(10/103)467.2 0
7
降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
8
降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
vz vz0 azt
(vx , vy , vz ) (0.555,115, 112.7)
9
阶段二：降落伞打开到速度恒定阶段
➢ 运动状态复杂，只能简化处理 ➢ 假定降落伞瞬时打开 ➢ 跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终
17
结论
骨头
极限抗拉强度 平均横截面积 最大承受力
பைடு நூலகம்股骨
1.2110^8
胫骨
1.4110^8
脊髓(背部) 2.2010^8
脊髓(颈部) 1.8010^8
5.8110^(- 4) 70301 3.2310^(- 4) 45220 4.4210^(- 4) 97240 4.4210^(- 4) 79560
速度） ➢ 实验基础上假定这个时间段为 3 秒(测定) ➢ 在此期间下降 54 米(测定)
10
阶段三：打开降落伞后
❖ 受力情况 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 （d = 20） ➢ Y轴方向空气阻力 F = -bv （b = 10） ➢ X轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小为
剪应力对头部产生的伤害，用人体受冲击的剧烈程
度指数来度量（小于400安全），定义如下：
I [2v / (gt)]2.5 (t) [2(7.2048) / (9.8 0.2)]2.5(0.2) 29.31
18
进一步思考
➢ 降落伞空投大型物体 (第一届XX建模竞赛）？ ➢ 降落伞怎样设计？ ➢ 根据模型推出空降兵最小的空降高度？
vz (467.2) 7.1042
16
着陆速度
❖ 碰撞时速度的大小为
speed vx2 vy2 vz2 7.2048
❖动量（p = mv）改变量为 p p final pinitial 0 742.0944 742.0944
❖ 冲击力（时间200毫秒） F p / t (742.0944) / (0.2) 3710.472
19
➢ 此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各 个轴加速度非恒定的三维抛射运动。
4
模型假设
➢ 不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着 陆方式。
➢ 跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩 无需考虑。
➢ 跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。 ➢ 尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应
G b(w v)
11
阶段三：打开降落伞后
❖ 最终速度： ➢ 此时加速度为0 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 = mg （d = 20） ➢ 故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s ➢ 即跳伞员以此速度下降 3352 – 54 = 3298 m，所需
时间为 464.2 s ➢ 总时间为 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s
12
确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ X轴
F b(w v)
bwbv ma
mx'' bx' bw
103x''10x' 12
13
确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ Y轴
F bv
bv may my '' by ' 0 103y ''10y ' 0
14
方程求解
103x ''10x' 12
问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？
对骨骼的冲击是否会导致骨折？ 速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？
2
背景
z
o
y
x
跳伞示意图
3
问题分析
➢ 跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有11.5秒 是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。
➢ 打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴正向上大小 为1.2m/s的横向风（顺风跳伞）的影响。
❖ X轴向位置（加速度为0）
x(t) x0 vx0t 0.5axt 2
6
降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
❖ X轴向位置（加速度为0）(11.5*0.555)
位置： x(t) x0 vx0t 0.5axt 2 X=6.3825 ❖Y轴向位置（加速度为0）(11.5*115) Y=1322.5 y(t) y0 vy0t 0.5ayt2 Z=3352.0
103y ''10y ' 0
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t
将 t = 467.2 代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0
15
着陆速度
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t