降落伞数学模型
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➢ 此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各 个轴加速度非恒定的三维抛射运动。
4
模型假设
➢ 不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着 陆方式。
➢ 跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩 无需考虑。
➢ 跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。 ➢ 尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应
19
力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们 忽略这些影响，只考虑骨头损伤。 ➢ 冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。 ➢ 假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。 ➢ 数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。
5
降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
vz (467.2) 7.1042
16
着陆速度
❖ 碰撞时速度的大小为
speed vx2 vy2 vz2 7.2048
❖动量（p = mv）改变量为 p p final pinitial 0 742.0944 742.0944
❖ 冲击力（时间200毫秒） F p / t (742.0944) / (0.2) 3710.472
103y ''10y ' 0
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t
将 t = 467.2 代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0
15
着陆速度
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t
速度） ➢ 实验基础上假定这个时间段为 3 秒(测定) ➢ 在此期间下降 54 米(测定)
10
阶段三：打开降落伞后
❖ 受力情况 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 （d = 20） ➢ Y轴方向空气阻力 F = -bv （b = 10） ➢ X轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小为
G b(w v)
11
阶段三：打开降落伞后
❖ 最终速度： ➢ 此时加速度为0 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 = mg （d = 20） ➢ 故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s ➢ 即跳伞员以此速度下降 3352 – 54 = 3298 m，所需
时间为 464.2 s ➢ 总时间为 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s
问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？
对骨骼的冲击是否会导致骨折？ 速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？
2
背景
z
o
y
x
跳伞示意图
3
问题分析
➢ 跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有11.5秒 是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。
➢ 打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴正向上大小 为1.2m/s的横向风（顺风跳伞）的影响。
7
降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
8
降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
vz vz0 azt
(vx , vy , vz ) (0.555,115, 112.7)
9
阶段二：降落伞打开到速度恒定阶段
➢ 运动状态复杂，只能简化处理 ➢ 假定降落伞瞬时打开 ➢ 跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终
剪应力对头部产生的伤害，用人体受冲击的剧烈程
度指数来度量（小于400安全），定义如下：
I [2v / (gt)]2.5 (t) [2(7.2048) / (9.8 0.2)]2.5(0.2) 29.31
18
进一步思考
➢ 降落伞空投大型物体 (第一届XX建模竞赛）？ ➢ 降落伞怎样设计？ ➢ 根据模型推出空降兵最小的空降高度？
17
结论
骨头
极限抗拉强度 平均横截面积 最大承受力
股骨
1.2110^8
胫骨
1.4110^8
脊髓(背部) 2.2010^8
Biblioteka Baidu
脊髓(颈部) 1.8010^8
5.8110^(- 4) 70301 3.2310^(- 4) 45220 4.4210^(- 4) 97240 4.4210^(- 4) 79560
降落伞问题
➢跳 伞 中 的 安 全 性 至 关 重 要，研究飞行和着陆的数 学模型对此大有帮助。
➢本 节 将 对 跳 伞 中 的 一 些 问题进行描述、分析并建 模。这些模型采用简化数 据仅用于说明问题。
1
研究性课题
假设跳伞员体重是 103 kg，飞机飞行高度为 4000 m（z轴方向），飞行速度为 115 m/s（y轴方 向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度为 0.555 m/s（x轴方向）。
❖ X轴向位置（加速度为0）
x(t) x0 vx0t 0.5axt 2
6
降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
❖ X轴向位置（加速度为0）(11.5*0.555)
位置： x(t) x0 vx0t 0.5axt 2 X=6.3825 ❖Y轴向位置（加速度为0）(11.5*115) Y=1322.5 y(t) y0 vy0t 0.5ayt2 Z=3352.0
12
确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ X轴
F b(w v)
bwbv ma
mx'' bx' bw
103x''10x' 12
13
确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ Y轴
F bv
bv may my '' by ' 0 103y ''10y ' 0
14
方程求解
103x ''10x' 12
vy (t) (1184.5)(10 /103)e(10/103)t 115e(10/103)t
vx (t) (6.6435)(10 / 103)e(10/103)t 1.2 vx (467.2) 0.645e(10/103)467.2 1.2 1.20
vy (467.2) 115e(10/103)467.2 0
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模型假设
➢ 不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着 陆方式。
➢ 跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩 无需考虑。
➢ 跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。 ➢ 尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应
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力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们 忽略这些影响，只考虑骨头损伤。 ➢ 冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。 ➢ 假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。 ➢ 数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。
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降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
vz (467.2) 7.1042
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着陆速度
❖ 碰撞时速度的大小为
speed vx2 vy2 vz2 7.2048
❖动量（p = mv）改变量为 p p final pinitial 0 742.0944 742.0944
❖ 冲击力（时间200毫秒） F p / t (742.0944) / (0.2) 3710.472
103y ''10y ' 0
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t
将 t = 467.2 代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0
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着陆速度
y(t) 2507 1184.5e(10/103)t x(t) 0.261 6.6435e(10/103)t 1.2t
速度） ➢ 实验基础上假定这个时间段为 3 秒(测定) ➢ 在此期间下降 54 米(测定)
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阶段三：打开降落伞后
❖ 受力情况 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 （d = 20） ➢ Y轴方向空气阻力 F = -bv （b = 10） ➢ X轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小为
G b(w v)
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阶段三：打开降落伞后
❖ 最终速度： ➢ 此时加速度为0 ➢ 垂直方向空气阻力 D = dv2 = mg （d = 20） ➢ 故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s ➢ 即跳伞员以此速度下降 3352 – 54 = 3298 m，所需
时间为 464.2 s ➢ 总时间为 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s
问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？
对骨骼的冲击是否会导致骨折？ 速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？
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背景
z
o
y
x
跳伞示意图
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问题分析
➢ 跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有11.5秒 是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。
➢ 打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴正向上大小 为1.2m/s的横向风（顺风跳伞）的影响。
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降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
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降落时间和路径：自由落体阶段
➢ 此时的速度
➢X, Y轴速度不变 ➢ Z轴速度为
vz vz0 azt
(vx , vy , vz ) (0.555,115, 112.7)
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阶段二：降落伞打开到速度恒定阶段
➢ 运动状态复杂，只能简化处理 ➢ 假定降落伞瞬时打开 ➢ 跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终
剪应力对头部产生的伤害，用人体受冲击的剧烈程
度指数来度量（小于400安全），定义如下：
I [2v / (gt)]2.5 (t) [2(7.2048) / (9.8 0.2)]2.5(0.2) 29.31
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进一步思考
➢ 降落伞空投大型物体 (第一届XX建模竞赛）？ ➢ 降落伞怎样设计？ ➢ 根据模型推出空降兵最小的空降高度？
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结论
骨头
极限抗拉强度 平均横截面积 最大承受力
股骨
1.2110^8
胫骨
1.4110^8
脊髓(背部) 2.2010^8
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脊髓(颈部) 1.8010^8
5.8110^(- 4) 70301 3.2310^(- 4) 45220 4.4210^(- 4) 97240 4.4210^(- 4) 79560
降落伞问题
➢跳 伞 中 的 安 全 性 至 关 重 要，研究飞行和着陆的数 学模型对此大有帮助。
➢本 节 将 对 跳 伞 中 的 一 些 问题进行描述、分析并建 模。这些模型采用简化数 据仅用于说明问题。
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研究性课题
假设跳伞员体重是 103 kg，飞机飞行高度为 4000 m（z轴方向），飞行速度为 115 m/s（y轴方 向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度为 0.555 m/s（x轴方向）。
❖ X轴向位置（加速度为0）
x(t) x0 vx0t 0.5axt 2
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降落时间和路径：自由落体阶段
❖ 打开降落伞时的高度Z轴 z(t) z0 vz0t 0.5azt 2
❖ X轴向位置（加速度为0）(11.5*0.555)
位置： x(t) x0 vx0t 0.5axt 2 X=6.3825 ❖Y轴向位置（加速度为0）(11.5*115) Y=1322.5 y(t) y0 vy0t 0.5ayt2 Z=3352.0
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确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ X轴
F b(w v)
bwbv ma
mx'' bx' bw
103x''10x' 12
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确定着陆坐标
❖牛顿第二定律 F = ma ❖ Y轴
F bv
bv may my '' by ' 0 103y ''10y ' 0
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方程求解
103x ''10x' 12
vy (t) (1184.5)(10 /103)e(10/103)t 115e(10/103)t
vx (t) (6.6435)(10 / 103)e(10/103)t 1.2 vx (467.2) 0.645e(10/103)467.2 1.2 1.20
vy (467.2) 115e(10/103)467.2 0