二项式定理复习课

二项式定理复习课
樊加虎
一．教案描述
教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。

除理清基本概念外，，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。

1、会正用. 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全
必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。

例1、求62)32(x x +的展开式中含5x 的项.
解：53336
24320)3(2x x C x = 例2、求45)31()21(x x +⋅-展开式中前三项之和.
解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。

=+⋅-45)31()21(x x ])2(10251[2 --⋅+⋅-x x ])3(6341[2 +⋅+⋅+x x )54121)(40101(22 +++-+-=x x x x +-+=22621x x 。

展开式前三项之和为22621x x -+.
例3、求82)132(+-x x 展开式中x 项.
解：若将82)132(+-x x 化为88)1()12(--x x 来确定展开式中x 项，解法不甚合
理，注意到22x 与x 项无关，可转化为求8)13(+-x 展开式中x 项，即x x C 24)3(78-=-，解法较捷。

本题较灵活，有助于提高学生转化能力。

2、会反用. 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往
不习惯，例题和习题可逐步加深。

例4、求值(1)1444412211+++++---n n n n n n
n C C C ；
(2)n n n n n C C C )2(221221-+-+- .
解：(1)原式即为n )14(+的展开式，∴原式n 5=.
(2)注意符号问题，原式n n )1()21(-=-=.
例5、设函数54325101051)(x x x x x x f +-+-+=.求)(x f 的反函数)(1x f
-. 解：如果)(x f 的表达式中第一项1改为-1，则为5)1(x +-的展开式.
∴2)1()(5++-=x x f . 易得5121)(-+=-x x f
)(R x ∈
3、会变用. 不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。

这一层次要求学
生有－定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。

例6、求322)21(-+x
x 展开式中的常数项. 解：一般有两种变形方法，其一变形为322]2)1[(-+
x x ，其二变形为6)1(x x -.后者较简，其常数项即为第四项2036
4-=-=C T . 例7、设=-++-+-1716321x x x x x 17172210)1()1()1(+++++++x a x a x a a ,
求2a .
解：为了比较系数，将左式变形为2]1)1[(]1)1[(1-++-+-x x 17]1)1[(-+--x .再展开之，展开式中2)1(+x 项的系数即为2a ，
81631815172413022==++++=C C C C C a .
4、会设项. 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。

例8、1003)32(+的展开式中含有多少个有理项？ 解：32100100132
r r r r C T -+=,耍使其为有理数，即n r =-2100，m r =3
(m n ，为非负整数).
得)50(2n r -=，且m r 3=. ∴r 是6的倍数,可取0=r ，6，12,96， 共17个. 例9、设n x x )3(2
131
+展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若272=+h t ，试求展开式中2x 项的系数.
解：此题应先定n ，令1=x ,得n t 4=.而n h 2=.27224=+∴n n .得162=n ，
.4=∴n r r r r x x C T )()
3(2143141-+=∴由22
34=+-r r 得4=r .2x ∴项系数为13044=C 5、会取值. 二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住
机遇进行这一基本思维方法的训练.
例10、求32)()2)(2(y x y x y x +++展开式中各项系数的和.
解：设原式662425160y a y x a y x a x a ++++= .令11==y x ，，
得2166210=++++a a a a .
在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题
例11、求1515)3(y x -展开式中所有无理系数之和.
解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。

有理系数项为：1515153)3(x x =，1515)(y y -=-.∴有理系数之和为2)1(3=-+.令
1==y x ，得展开式各项系数之和为1515)13(-.∴展开式中所有无理系数之和为2)13(1515--.
例12、设n n n x a x a a x x 22102)1(+++=++ .求n a a a a 2420++++ 的值. 解：令1=x ，得n n a a a a 32210=++++ .令1-=x ，得
12210=+-+-n a a a a . 两式相加得2
132420+=++++n n a a a a . 在取值过程中，要培养学生观察能力
例13、设)1()21(10100-+=+x a a x 10010022)1()1(-++-+x a x a .
求99531a a a a ++++ 的值
解：令2=x ，得1001002105=++++a a a a .令0=x ，得
1100210=+-+-a a a a . 两式相减，得2
1510099
31-=+++a a a . 6、会构造. 关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展
开式的系数而得。

这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。

例14、证明下列各式
(1)++++ 21931n n
C C n n n n n n n C C 43311=+--. (2)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .
证：(1)构造二项展开式 b a C a C b a n n n n
n 110)(-+=+n n n n n b C b a C +++- 222. 令31==b a ，得 n n n n n
n C C C 3331)31(221⋅++⋅+⋅+=+ 即n n n n n n n n n
C C C C 4339311121=+++++-- . (2)构造恒等式 n n n x x x 2)1()1()1(+=+⋅+.
两边含n x 项的系数相等，即22110--⋅++⋅n n n n n n n n n C C C C C C n n n n n C C C 20=⋅++
∵m n n m n C C -=， n m ≤≤0
∴n n n n n n n n C C C C C 2222120)()()()(=++++ .
7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等
式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。

例15、若实数y x ，满足1=+y x ，求证：16155≥
+y x 证：令α+=21x ,α-=2
1y ,则
5555)21()21(αα-++=+y x 16152516142≥++=αα. 例16、已知等差数列}{n a 及等比数列}{n b 中，2211b a b a ==，，且这两个数列
都是递增的正项数列，求证：当2>n 时，n n b a <
证：设 b b a a b a ====2211，, 则))(1(a b n a a n --+=,
11)()(---+==n n n a a b a a a b a b 1)1(--+=n a a b a 22111)(1[a
a b C a a b C a n n -+-+=-- ])1(1[])(1a
a b n a a a b n -⋅-+>-++- n a a b n a =--+=))(1( 利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15）及“减项放缩法”（例
16）较为普遍。

二．教案评析
通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。

数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。

二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。

如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。

其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。

在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。

同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。