最新安徽省合肥市四校名校冲刺高考最后一卷(联考通用版)数学理试题

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安徽省合肥市中学2024届高三最后一卷数学试题含答案

合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，1cos 4α=，所以sin 2α==14+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为133OE FG PG ===，2AE =，所以3R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()1cos 211π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则1113sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()34342222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()12111221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。

安徽省合肥2024届高三下学期最后一卷数学试题含答案

合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线方程2:4C y x =，则其焦点坐标为（）A ．()0,1B ．()0,2C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭2．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有A B C D E 、、、、五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A B C 、、三位同学，但A 不是第一名，D E 、两名同学只知道在6至9名，且D 的成绩比E 好，则这5位同学总分名次有多少种可能（）A ．6B ．12C ．24D ．483．已知“正项数列{}n a 满足14nn n a a +⋅=”，则“212a a =”是“数列{}n a 为等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数()()2e cos 2e e 1x x x f x =-（e 为自然函数的底数）的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知角A B C 、、的对边分别为a b c 、、满足2sin sin sin b A Ca c B+=-，则角B 的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π36．已知事件,A B 满足：()()()241,,355P B P A B P B A ===，则()P A =（）A ．34B ．29C ．13D ．237．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）A ．21B ．24C ．27D ．328．已知函数()f x （()f x 不恒为零），其明()f x '为()f x 的异函数，对于任羍的,x y ∈R ，满足()()()()22f x y f x y fx f y +-=-，且()()11,20f f ==，则（）A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．()1f x '+龹于直线1x =对称D ．81()1k f k =-=-∑二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．复数1ii iz +=-（i 为虚数单位）的虚部为2-B ．已知复数12,z z ，若22120z z +=，则120z z ==C ．若1,z z =∈C ，则2z -的最小值为1D ．已知复数12,z z ，复数2z 的虚部不为0，则1122z z z z =10．如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AC 上的动点，则（）A ．不存在点P ，使得1AP CD ⊥B ．1D P AP ⋅的最小值为13-C ．当1123A P AC = 时，1D P AP ⊥ D ．若平面ABCD 上的动点M 满足1π6MD C ∠=，则点M 的轨迹是直线的一部分11．已知函数()()πsin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,2π上有且仅有5个零点，则（）A ．()f x 在()0,2π上有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,2π上有且仅有2个极小值点C ．当π5ϕ=时，ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．当π5ϕ=时，()f x 图像可能关于直线π2x =对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在四边形ABCD 中，2BC AD =，且1,AD CD AD CD ==⊥，则AA BD ⋅= ______．13．设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，()f x '为其导函数，且满足()()()252210,13x f x xf x f -+-==⎡⎤⎣⎦'，则函数在)3,3f处的切线方程为______．14．如图，已知圆222:O x y a +=和椭圆四2222:1(0)x y C a b a b +-=>>，点()()0,,0,A a B b -，()()1,0,,0,0,2a D H a B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AP 交x 轴于D ，直线PQ 平行y 轴交C 于Q （点Q 在x 轴上方），TK KH =，直线BK 交C 于多一点于M ，直线1B M 交x 轴于点(3,0)N ，则椭圆的长轴长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．（1）求李想第二次答题通过面试的概率；（2）求李想最终通过面试的概率。

安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考数学考前最后一卷预测卷含解析

安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考数学考前最后一卷预测卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元2．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A ．15B ．120C ．112D ．3403．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π4．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-35．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．196．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%9．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（）A ．512B ．13C ．14D ．1212．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市2024届高三下学期最后一练数学试题含答案

合肥2024届高三最后一练数学试题（答案在最后）一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求）1.设集合{}1,|3|04x A x x B x x -⎧⎫=>=≤⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A.(1,3)B.[1,3]C.(3,4)D.[3,4)【答案】B 【解析】【分析】根据条件，得到{}R |3A x x =≤ð，{}|14B x x =≤<，再利用集合的运算，即可求出结果.【详解】因为{}|3A x x =>，所以{}R |3A x x =≤ð，又由104x x -≤-，得到14x ≤<，即{}|14B x x =≤<，所以(){}R |13A B x x =≤≤ ð，故选：B.2.已知复数()21i1i z +=-，则z 的虚部是（）A.12-B.12C.1i2- D.1i 2【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘除法运算求出11i 22z =-+，结合虚部的概念即可得出结果.【详解】∵()()21i i 1i1i 1i 11i 2i 2i i 2221i z +++-+=====-+--⋅-，∴z 的虚部为12.故选：B.3.已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，则C 的渐近线方程为（）A.2y x=± B.12y x =±C.14y x =±D.2y x =±【答案】B 【解析】【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解.【详解】因为双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，所以2,1a b ==，渐近线方程为12b y x x a =±=±.故选：B4.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从(70,64)N ，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（）参考数据：()0.6827,(22)0.9545,(3P X P X P X μσμσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈-<<3)0.9973μσ+≈A .0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意70,8,943μσμσ===+，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为10.9973100%2-⨯=0.135%．故选：A ．5.已知πsin 554α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 210α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.42125 B.25-C.725D.725-【答案】C 【解析】【分析】由πππ221052αα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.【详解】ππππsin 2sin 2cos 210525ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π472sin 1215525α⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.6.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()12f =，()()11f x f x +=-，则()()20222023f f +=（）A.4B.0C.2-D.4-【答案】C 【解析】【分析】由条件可得()f x 是周期函数，周期为4，然后可得答案.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，所以()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=-+=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，周期为4所以()()()()()()()()202220232301012f f f f f f f f +=+=-+-=--=-故选：C7.已知直线1:10l x ay -+=与()()22:11C x a y -+-= 相交于A B ，两点，若ABC 是直角三角形，则实数a 的值为（）A.1或1-B.或 C.17-或1- D.17-或【答案】A 【解析】【分析】根据题意ABC 是等腰直角三角形，可得圆心C 到直线1l 的距离为22，利用点到直线的距离公式求解.【详解】根据题意，圆C 的圆心(),1a ，半径1r =，易知ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C 到直线1l 的距离为222=，解得21a =，所以1a =或1-.故选：A.8.椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，点C 是A 点关于原点O的对称点，若CF AB ⊥且2AB CF =，则椭圆的离心率为（）A.1- B.-C.D.【答案】C 【解析】【分析】先设CF x =，根据椭圆的定义和性质，用x 表示出ABF ' （'F 为椭圆的另一焦点）的各边长，结合ABF ' 的周长为4a 和勾股定理，求出x （用a 表示），再在AFF ' 中，表示各边长，结合勾股定理，可求椭圆的离心率.【详解】如图取椭圆的另一焦点'F ，连接'AF ，'BF ，'CF .因为A 、C 关于原点对称，则四边形AF CF '是平行四边形.又CFAB ⊥，所以四边形AF CF '是矩形.设CF x =，在ABF ' 中：22AB CF x ==，AF CF x '==，AF AB '⊥，所以BF '=.由椭圆定义：4AF AB BF a ++=''，所以24x x a ++=⇒(3x a ==-.在AFF ' 中，(3AF x a ==-'，()2231AF a x a a a =-=--=，'90FAF ∠=︒，2FF c '=，由勾股定理：222AF AF FF +=''⇒(23a ⎡⎤-+⎣⎦)21a ⎡⎤-⎣⎦24c =.所以25c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故e =.故选：C二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9.已知函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为2，则（）A.πω= B.曲线()y f x =关于直线16x =对称C.()f x 的最大值为2 D.()f x 在区间11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.【详解】()π31sin cos sin cos cos 622f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3πsin cos 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对A ：由()f x 的最小正周期为2，故2π2ω=，即πω=，故A 正确；对B ：当16x =时，1πππ632⨯+=，由2x π=是函数sin y x =的对称轴，故曲线()y f x =关于直线16x =对称，故B 正确；对C ：又[]πsin π1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()f x ⎡∈⎣，故C 错误；对D ：当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5ππ,366x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，由66π5π,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是函数sin y x =的单调递增区间，故11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 的单调递增区间，故D 错误.故选：AB.10.在三棱锥A BCD -中，已知3,2AB AC BD CD AD BC ======，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则（）A.MNAD⊥B.异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是78C.三棱锥A BCD -的体积为3D.三棱锥A BCD -的外接球的表面积为11π【答案】ABD 【解析】【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求直线的夹角判断A ，B ；利用体积公式求三棱锥的体积判断C ；确定三棱锥的外接球的半径，求表面积判断D.【详解】三棱锥A BCD -中，已知3,2AB AC BD CD AD BC ======，三棱锥补形为长方体AHDG FCEB -，如图所示，则有222222222949BF BG AB BF BE BC BG BE BD ⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩，解得BF BE BG ===，以B 为原点，,,BF BE BG的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则有())(0,0,0,,,0,B CAD，22,22M ⎛ ⎝，22,,022N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,MN =，()AD = ，0MN AD ⋅=，所以MN AD ⊥，A选项正确；,,22AN ⎛=- ⎝，,22CM ⎛=-- ⎝，(22227cos ,8AN CM AN CM AN CM⎛⎫⎛-⨯-+-+⨯ ⎪ ⋅-==⋅ ，所以异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是8，B 选项正确；三棱锥EBCD -，三棱锥GABD -，三棱锥F ABC -，三棱锥H ACD -，体积都为11323⨯=，三棱锥A BCD -433-⨯=，C 选项错误；2=，这个外接球也是三棱锥A BCD -的外接球，其表面积为24π11π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ABD.11.已知a ，b 为不相等的正实数，满足11a b a b+=+，则下列结论正确的是（）A.2a b +> B.118a b a b++≥+C.1613b a b+≥ D.222841a b a +≥+【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，方程变形得到1ab =，利用基本不等式求出答案；B 选项，由1ab =变形后，利用基本不等式求出最值；C 选项，由由1ab =变形得到22161616b b b a b ab b b +=+=+，构造216()(0)f x x x x =+>，求导得到其单调性，进而求出最值情况；D 选项，由1ab =证明出2244a b +≥，进而证明出222841a b a +≥+.【详解】A 选项，由11a b a b +=+可知110a b a b -+-=，即0b a a b ab--+=，故1()10a b ab ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为a b ¹，所以110ab-=，所以1ab =，故2a b +>=，A 选项正确；B 选项，由A 选项可知，1ab =，又0,0a b >>，故()11888b a a b a b a b a b a a bb ab ++=++=++≥=+++当且仅当1a =+，1b =-时或1a =-，1b =+时取“=”，B 选项正确；C 选项，由A 选项可知，1ab =，又0,0a b >>，故22161616b b b a b ab b b+=+=+，令216()(0)f x x x x =+>，有()3222816()2x f x x x x-'=-=，令()0f x '>，解得2x >，令()0f x '<，解得02x <<，可知()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞，故()(2)12f x f ≥=，故1612b a b+≥，C 选项错误；D 选项，222841a b a +≥+等价于222844a b a +≥+，即2244a b +≥，因为1ab =，又0,0a b >>，故22444a b ab +=≥，当且仅当2a b =，即,2a b ==时，等号成立，故D 选项正确.故选：ABD.三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量,a b满足2= a ，()44a b b +⋅= ，则2a b += __________.【答案】【解析】【分析】根据数量积的运算律得到244a b b ⋅+=，再由2a b +=计算可得.【详解】因为()44a b b +⋅= ，所以244a b b ⋅+= ，又2=a ，所以2a b +===.故答案为：13.如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且4AF =，则此抛物线的标准方程为___________．【答案】24y x =【解析】【分析】依据2BC BF =求出点B 的坐标，进而得到AF方程，联立方程组求出A 点坐标，再利用焦半径公式求解即可.【详解】设0(,)2p C y -，(,)B x y ，(,0)2pF ，抛物线准线与OF 交与点P ，若2BC BF =，作BG OF ⊥，可得BG //PC ，故2BC GP BFGF==，故222p xp x +=-，解得6px =，得(,)6p B y ，将(,)6p B y 代入抛物线方程，得到226y p p =⨯，解得33y p =-(正根舍去)，故3(,)63p B p -，易知326BFp k p p ==-BF的方程为)2p y x =-，设()111,,0A x y y >，联立方程组)2py x =-，22y px =，解得113,2x p y ==，故得3()2A p ，由焦半径公式得3422pp +=，解得2p =，则抛物线的标准方程为24y x =.故答案为：24y x=14.已知数列{}n a 的通项公式为122311,3+==++⋅⋅⋅++n n n n a S a a a a a a n ，若对任意*N n ∈，不等式()432n n S n λ+<+恒成立，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ≤【解析】【分析】借助裂项相消法可得n S ，即可得23813n n nλ+<++恒成立，构造函数()()23803x f x x x x +=>+，结合导数判断单调性进而即得.【详解】由13n a n =+，则()()11113434n n a a n n n n +==-++++，故()111111114556344444n nS n n n n =-+-++-=-=++++ ，由()432n n S n λ+<+，可得()()324n n n n λ+<++，即()()()22438133n n n n n n nλ+++<=+++，设()()23803x f x x x x +=>+，则()()2223162403x x f x x x ---=<+'恒成立，故()f x 在()0,∞+单调递减，当x →+∞时，()0f x →，即当n →+∞时，238113n n n ++→+，故1λ≤.故答案为：1λ≤.【点睛】关键点睛：本题关键在于得到23813n n n λ+<++恒成立后，构造函数()()23803x f x x x x +=>+，结合导数讨论函数单调性，从而得到2383n n n++的范围.四､解答题（共5小题）15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且4cos cos cos a B b C c B -=.（1）求cos B 的值；（2）若ABC的面积为315,2b =，求ABC 的周长.【答案】（1）1cos 4B =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将条件式边化角，化简求出cos B ；（2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出,a c 的值，从而求出ABC 周长.【小问1详解】因为4cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得4sin cos sin cos sin cos A B B C C B -=，所以()()4sin cos sin cos sin cos sin sin πsin A B B C C B B C A A =+=+=-=，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1cos 4B =.【小问2详解】由（1）易知15sin 4B =，因为1315sin 22ABC S ac B == .所以12ac =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.又因为b =，所以代入得2224a c +=，所以222()2242120a c a c ac -=+-=-⨯=，所以a c =.又因为12ac =，所以a c ==所以ABC 的周长为+.16.已知函数2()e xx f x +=．（1）求函数()f x 的极值；（2）若对任意[0,)x ∈+∞，都有()f x a x ≥-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()e f x =极大值，无极小值.（2）(],2-∞【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（2）参变分离可得2ex x a x +≤+对任意[0,)x ∈+∞恒成立，令()2e x x g x x +=+，[0,)x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，即可求出()min g x ，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】函数2()e xx f x +=的定义域为R ，且()1e x x f x +'=-，所以当1x <-时()0f x ¢>，当1x >-时()0f x '<，所以()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减，所以()f x 在=1x -处取得极大值，即()()1e f x f =-=极大值，无极小值.【小问2详解】若对任意[0,)x ∈+∞，都有()f x a x ≥-成立，即2ex x a x +≤+对任意[0,)x ∈+∞恒成立，令()2e x x g x x +=+，[0,)x ∈+∞，则()()e 1ex x x g x -+'=，令()()e 1x h x x =-+，[0,)x ∈+∞，则()()e 100x h x h ''=-≥=，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()e 10xx -+≥在[0,)+∞上恒成立，所以()0g x '≥在[0,)+∞上恒成立，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()02g x g ≥=，所以2a ≤，即实数a 的取值范围为(],2-∞.17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，AC AB ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，1111112AA A B BB AB ====．（1）证明：1BA ⊥平面11ACC A ；（2）若三棱锥1A ABC -的体积为2，求平面11ACC A 与平面11BCC B 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得11BA AA ⊥，再利用面面垂直的性质定理得1BA AC ⊥，最后根据线面垂直的判定定理即可证明；（2）首先利用锥体体积公式得3AC =，再通过建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量即可求出面面角余弦值,【小问1详解】如图，在等腰梯形11ABB A 中，连接1BA ，又1111112AA A B BB AB ==== ，可以解得1BA =，在三角形1BAA 中，2221111,AA BA AB BA AA +=∴⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，且平面11ABB A 平面ABC AB =，AC AB ⊥，且AB ⊂平面11ACC A ，AC ∴⊥平面111,ABB A BA AC ∴⊥．又1AA AC A = ，且1,AC AA ⊂平面11ACC A ，1BA ∴⊥平面11ACC A ．【小问2详解】由（1）可知，11A ABC C ABA V V --=，1113322AC AC ∴⨯⨯⨯==．∴以A 为原点，以,AC AB 为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．可得：()()11130,2,0,3,0,0,0,,,0,,2222B C A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知平面11ACC A的一个法向量为130,,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z = ，又()1130,,,3,2,022BB BC ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，由110,22320,n BB y z n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩令z =，解得平面11BCC B的一个法向量为(n =，111·cos ,4·BA n BA n BA n ∴==- ．∴平面11ACC A 与平面11BCC B 的夹角的余弦值为4．18.五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A 、B 、C 三名老师负责．首先由A 、B 两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C 进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A 、B 、C 三位老师审核的概率分别为343,,457，且各老师的审核互不影响．（1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；（2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）15；（2）分布列见解析，()3E X =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出征文通过筛选概率，再利用条件概率公式计算得解.（2）求出X 的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望.【小问1详解】设事件{A A =老师审核通过}，事件{B B =老师审核通过}，事件{C C =老师审核通过}，事件{D =征文通过筛选}，事件{E =征文经过复审}，则343(),(),()457P A P B P C ===，341433133()()()()454574574P D P AB P ABC P ABC =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯，()143313345745720P DE =⨯⨯+⨯⨯=，因此()()()15P DE P E D P D ==|，所以它经过了复审的概率为15.【小问2详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2,3,4，显然3(4,4X B :，则()0413441131123(0)C (1C (42564425664P X P X =====⋅==⋅,22233443154273110827(2)C ()()3)C ()442561284425664(P X P X ======⋅==,，44463(81(4)C 2)45P X ===，所以X 的分布列如下：X01234P 125636427128276481256数学期望为()3434E X =⨯=.19.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1，且焦距为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()1,0S 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .①证明：直线MN 必过定点；②若弦AB ，CD 的斜率均存在，求MNS 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②125【解析】【分析】（1）根据题意有1b =，c =（2）①设直线AB l ：()10x my m =+≠的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求得点M 的坐标，继而可得N 点坐标，考虑直线MN 斜率情况，得到其方程，即可求解；②根据12MNS MKS NKS M N S S S KS y y =+=⋅⋅- ，表示出MNS 的面积后，换元法转化函数，利用单调性即可求得最大值.【小问1详解】依题意有1b =，c =2224a b c =+=，所以椭圆的方程为2214x y +=.【小问2详解】①设AB l ：()10x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则CD l ：()110x y m m =-+≠，联立22144x my x y =+⎧⎨+=⎩，故()224230m y my ++-=，216480m ∆=+>，12224m y y m -+=+，()12122824x x m y y m +=++=+故224,44m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由1m -代替m ，得2224,1414m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，当22244414m m m=++，即21m =时，MN l ：45x =，过点4,05K ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当22244414m m m ≠++，即21m ≠时，()2541MN m K m =-，MN l ：()()2222541,04441m m y x m m m m m ⎛⎫+=-≠≠ ⎪++-⎝⎭，令0y =，()()()()222224144164554454m m x m m m -+=+==+++，直线MN 恒过点4,05K ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当0m =，经验证直线MN 过点4,05K ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上，直线MN 恒过点4,05K ⎛⎫ ⎪⎝⎭.②12MNS MKS NKS M N S S S KS y y =+=⋅⋅- 322422211111425144241742417m m m m m m m m m m m m ++=⋅⋅+=⋅=⋅++++++，令[)12,t m m ∞=+∈+，2221111149224924174MNS m t m S t m t m t +=⋅=⋅=⋅++++ ，∵MNS S △在[)2,t ∞∈+上单调递减，∴11111992225482MNS S t t =⋅≤⋅=++ ，当且仅当2t =，1m =±时取等号.故MNS 面积的最大值为125.。

安徽省部分高中2025届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

安徽省部分高中2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤2．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 34．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（） A ．35B ．45-C ．35D ．456．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a fb fc f ===，则（） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π8．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56B ．72C ．88D ．409．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（）A ．16B ．18C ．20D ．1510．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A ．8B ．83C ．822+D ．842+11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．第(2)题若正实数，满足．则的最小值为（）A ．12B ．25C ．27D ．36第(3)题已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A ．3B ．2C ．1D ．第(4)题无穷数列满足：，且对任意的正整数n ，均有，则下列说法正确的是（）A ．数列为严格减数列B ．存在正整数n ，使得C ．数列中存在某一项为最大项D ．存在正整数n ，使得第(5)题一数字电子表显示的时间是四位数，如，那么在一天（24小时制）内，所显的四个数字和是23的概率是（）A．B ．C ．D ．第(6)题如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(7)题已知复数满足，则（）A．1B ．C ．3D ．第(8)题若角满足条件，则的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（）A ．的图象关于直线对称B．的图象在处的切线方程为C ．D ．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10第(2)题数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．第(3)题如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（）A ．若，则点的轨迹为线段B ．若，则点的轨迹为线段C ．存在，使得D ．存在，使得平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，在的点阵中，依次随机地选出、、三个点，则选出的三点满足的概率是______．第(2)题若实数满足不等式，则的取值范围是__________.第(3)题已知为等比数列，，，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(2)题已知为数列的前项和，，，记.(1)求数列的通项公式；(2)已知，记数列的前项和为，求证：.第(3)题在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，，平面底面，.(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的正弦值.第(4)题已知函数的部分图象如图所示，其中，且.(1)求与的值；(2)若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标.第(5)题如图，在四棱锥中，，E为AD的中点，．(1)证明：平面平面；(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)统编版考试(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知曲线，则下面结论正确的是（）A ．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C ．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2D ．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2第(2)题根据右边框图，当输入为6时，输出的A．B．C．D．第(3)题将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（）A．B．C．D．第(4)题某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（）（附：）年份20112012201320142015201620172018201920202021年产值278309344383427475528588655729811 A．924万元B．976万元C．1109万元D．1231万元第(5)题已知双曲线，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．3D．第(6)题若复数满足，则（）A．B．C．D．第(7)题记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根第(8)题已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A．的定义域为B．的图像在处的切线斜率为C．D．有两个零点，且第(2)题已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（）A ．的最小正周期为B．在区间上单调递增C ．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称第(3)题已知函数的定义域为，对任意，，恒有，，则（）A．B．C．为偶函数D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则___________第(2)题数列{a n}，{b n}满足b n＝a n＋1＋(－1)n a n(n∈N*)，且数列{b n}的前n项和为n2，已知数列{a n－n}的前2018项和为1，那么数列{a n}的首项a1＝________.第(3)题已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为________；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面．求证：平面；若，，求证：平面平面.第(2)题已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.第(3)题如图，直三棱柱中，，为上的中点.(1)证明：平面平面;(2)若，求点到平面的距离.第(4)题已知函数.(1)求在点处的切线方程;(2)求证：当时，.第(5)题已知数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)议，当取得最小值时，求n的取值．。

安徽省合肥市2024届高三“最后一卷”数学试题含答案

合肥2024届高三“最后一卷”数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．4．本卷命题范围：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|1,N}A x x x =≤∈，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),0∞- C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据几集合中的元素化简集合A ，再根据集合间的关系即可得实数a 的取值范围.【详解】因为集合{}2{|1,N}0,1A x x x =≤∈=，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则a<0，故实数a 的取值范围是(),0∞-.故选：B.2.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（）A.这组数据的平均数为8B.这组数据的众数为7C.这组数据的极差为4D.这组数据的第80百分位数为9【答案】D 【解析】【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】这组数据的平均数为771097691078810+++++++++=，故A 正确；这组数据的众数为7，故B 正确；这组数据的极差为1064-=，故C 正确；将这组数据按照从小到大的顺序排列为6,7,7,7,7,8,9,9,10,10，因为80%108⨯=，所以这组数据的第80百分位数为9109.52+=，故D 错误.故选：D .3.若x ，R y ∈，则“112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“ln()0x y ->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】等价变形112222x yxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后构造函数得出x y >，解不等式ln()0x y ->得1->x y ，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解.【详解】设命题p ：112222x yx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：ln()0x y ->对于命题p ，因为112222xyxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在R 上为增函数，所以x y >；对于命题q ，因为ln()0x y ->，所以1->x y ，即1x y >+；所以p q ⇒为假命题，q p ⇒为真命题；所以p 是q 的必要不充分条件;故选：B.4.已知点P 在圆221x y +=上运动，点,F A 为椭圆22184x y+=的右焦点与上顶点，则PFA ∠最小值为（）A.15︒B.30︒C.45︒D.75︒【答案】A【分析】由题意知(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，则确定FP 与圆相切时PFA ∠取得最小值，即可求解.【详解】由题意知，(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，当FP 与圆相切时，PFA ∠取得最小值，此时30,45OFP OFA ︒︒∠=∠=，所以453015PFA OFA OFP ︒︒︒∠=∠-∠=-=，所以PFA ∠的最小值为15︒.故选：A5.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积公式为2πS Rh =．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km （图中的点A 处），设地球半径约为R km ，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）A.22100π400R km R + B.22200π400R km R + C.22400π400R km R + D.22800π400R km R +【答案】D【分析】由题意可得2400R OO R '=+，结合公式2πS Rh =计算即可求解.【详解】如图，400AB =km ，由~OO C OCA ' ，得OO OCOC OA='，又OC R =，则2(400)R OO OA OO R ''=⋅=+，得2400R OO R '=+，所以222400800π2π2π()2π()2π400400400R R S Rh R R OO R R R R R R '==-=-=⋅+++（2km ）.即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为2800π400R R +（2km ）.故选：D6.已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，则tan α=（）A.33B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据506010︒=︒-︒结合两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】由()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，得cos10cos sin10sin 2cos50cos ααα︒+︒=︒，故sin10sin 2cos50cos cos10cos ααα︒=︒-︒所以2cos50cos10tan sin10α︒-︒=︒()2cos 6010cos10sin10︒-︒-︒=︒cos10cos10sin10︒︒-︒==︒.7.已知数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，若12a =，11b =，则122024111a a a +++= （）A.10121013B.10111012C.20242025D.20232024【答案】C 【解析】【分析】由21n n n a b b +=，得n a =，再结合112n n n a a b +++==，进而可得数列是等差数列，即可求出{}nb 的通项，从而可求出数列{}na 的通项，再利用裂项相消法求解即可.【详解】因为0n a >，21n n n a b b +=，所以n a =，因为112n n n a a b +++=，所以0n b >12n b ++=，=，所以数列是等差数列，又12a =，11b =，所以24b =，所以数列1=，首项为1=，n =，所以2n b n =，所以()1n a n n ==+，则()111111n a n n n n ==-++，所以1220241111111112024112232024202520252025a a a +++=-+-++-=-= .故选：C.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，1(,0)F c -、2(,0)F c 分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P 使得线段1PF 与y 轴交于点E ，2PO PF =，线段2EF 的中点H 满足120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.7+D.7-【答案】A 【解析】【分析】由2PO PF =，设0(,)2cP y ，表示出1PF 的方程求得02(0,)3y E ，则0(,)23y c H ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r 表示出P 的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.【详解】由2PO PF =，得P 的横坐标为2c ，设0(,)2cP y ，则直线1PF 的方程为02()3y y x c c =+，令0x =，得023y y =，即02(0,)3yE ，所以线段2EF 的中点0(,)23y c H ，则01203(,),(,)232y c cF H PF y ==- ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，得2200033(,)(,)023243y y c c c y ⋅-=-=，则032cy =±，即3(,22c cP ±，代入双曲线方程得22229144c c a b -=，即222229144()c c a c a -=-，整理得421440e e -+=，由1e >，解得32102e +=.故选：A【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点P 的坐标表示出点E 的坐标，由中点坐标公式表示出点H 的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得3(,)22c cP ±，代入双曲线方程计算即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z ，1z ，2z ，下列结论正确的有（）A.若复数z 满足1R z∈，则R z ∈B.若12z z ≠，z 满足12zz zz =，则0z =C.若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D.若复数z 满足228z z ++-=，则z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆【答案】ABD 【解析】【分析】A 根据z R ∈的条件，得出0b =可以判断；B 根据复数相等的充要条件即可求解；C 举反例可求解；D 令z i x y =+，再结合椭圆的定义可以求解.【详解】对于A 选项，令i z a b =+，()()22222211i i i i i i a b a b a b z a b a b a b a b a b a b --====-++-+++因为1R z ∈，所以220b a b -=+，即0b =，所以R z ∈，故A 正确；对于B 选项，令111222i,i,i z a b z x y z x y =+=+=+，因为12z z ≠，所以12x x ≠或22y y ≠，()()()1111111i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；()()()2222222i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；因为12zz zz =，所以11221122ax by ax by ay bx ay bx -=-⎧⎨+=+⎩，因为12x x ≠或22y y ≠，所以0a b ==，所以0z =，故B 正确；对于C 选项，令12i z z ==1，，易知1212z z z z +=-，所以12i 0z z ⋅=≠，故C 错误；对于D 选项，令i z x y =+，因为228z z ++-=，84=>，由椭圆定义可得z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故D 正确，故选：ABD.10.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“．”是G 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈；②a ∀、b 、c G ∈，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，e 称为单位元；④a G ∀∈，b G ∃∈，使a b b a e ⋅=⋅=，称a 与b 互为逆元．则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（）A.{}1,1G =-关于数的乘法构成群B.自然数集N 关于数的加法构成群C.实数集R 关于数的乘法构成群D.{},Z G a b a b =+∈关于数的加法构成群【答案】AD 【解析】【分析】根据“⋅”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可．【详解】对于A 选项，对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈，且满足①乘法结合律；②1e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；③a G ∀∈，a G ∃∈，有1a a a a ⋅=⋅=，故A 正确；对于B 选项，①自然数满足加法结合律；②0N e ∃=∈，使得N a ∀∈，有00a a a +=+=；但是对于0N ∈，1N ∈，不存在N b ∈，使110b b +=+=，故B 错误；对于C 选项，对所有的a 、R b ∈，有R a b ⋅∈，①实数满足加法结合律；②1R e ∃=∈，使得R a ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；但对于1R ∈，0R ∈，不存在R b ∈，使001b b ⋅=⋅=，故C 错误；对于D 选项，对所有的a 、b G ∈，可设a x =+，b s =+，(x ，y ，s ，Z)t ∈，则())a b x s y t G +=+++∈，①G 满足加法结合律，即a ∀、b 、c G ∈，有()()++=++a b c a b c ；②0e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有e a a e a +=+=；③a G ∀∈，设a x =+，x ，Z y ∈，b x G ∃=--∈，使a b b a e +=+=，故D 正确．故选：AD ．11.已知函数()f x ，对任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ 都有()()()f x f y f xy y x =+，且()1e ef =（其中e 为自然对数的底数），则（）A.()10f -=B.1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()f x 是偶函数D.e x =是()f x 的极小值点【答案】AB 【解析】【分析】由题意，合理巧妙赋值，即可判断ABC ；根据()()()xyf xy xf x yf y =+构造函数()ln xf x x =，利用导数研究()f x 的性质即可判断D.【详解】A ：令1x y ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f =，令1x y ==-，得(1)(1)(1)f f f =----，解得(1)0f -=，故A 正确；B ：令1e,ex y ==，得1((e)e (1)1e ef f f =+，又1(e)e f =，所以1()e ef =-，故B 正确；C ：令1y =-，得()(1)()()1f x f f x f x x--=+=--，所以()f x 为奇函数，故C 错误；D ：由()()()f x f y f xy y x=+，得()()()xyf xy xf x yf y =+，设函数()ln xf x x =，则ln ,0ln ()ln(),0xx x xf x x x x x⎧>⎪⎪==⎨-⎪<⎪⎩，当0x >时，21ln ()xf x x-'=，令()00e,()0e f x x f x x ''>⇒<<<⇒>，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以e x =是()f x 的极大值点，故D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，本题的关键是：根据()()()xyf xy xf x yf y =+，构造函数()ln xf x x =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()2,3a =-r ，()1,2b =- ，若()a b a λ+⊥，则λ=______．【答案】813【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算与向量垂直的坐标运算列方程求解即可.【详解】因为()2,3a =-r，()1,2b =- ，由()a b a λ+⊥ 可得()()()()()()21,322,32213321380a b a λλλλλλ+⋅=--+⋅-=-+-⨯-+=-=，解得813λ=.故答案为：813.13.除数函数（divisor function ）()()*Ny d n n =∈的函数值等于n 的正因数的个数，例如，()11d =，()43d =．则()2160d =______．【答案】40【解析】【分析】根据定义写出2160的质数因数，即可得解.【详解】因为432160235=⨯⨯，它的因数形如235i j k ⨯⨯，其中{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,3,0,1i j k ∈∈∈，所以不同的因数有54240⨯⨯=个，即()216040d =.故答案为：40.14.已知函数()21x f x x+=，若()()ln f x f a x >对任意()2e,e x ∈恒成立，则正数a 的取值范围为______．【答案】1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】一方面，通过题设条件可以证明1e e a ≤≤；另一方面，在1e ea ≤≤的情况下又可证明题设条件成立，这就得到了a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】一方面，如果对任意()2e,ex ∈有()()ln f x f a x >：设()()()ln g x f x f a x =-，则对任意()2e,ex ∈有()0g x >，从而由()2e 1e,e +∈知()e 10g +>.假设()e 0g <，则由零点存在定理知存在()e,e 1t ∈+使得()0g t =.但由()()2e,e 1e,et ∈+⊆又有()0g t >，矛盾，所以()e 0g ≥.代入得到()()e 0f f a -≥，从而22e 11e a a++≥，解之，得到1e e a ≤≤；另一方面，如果1e ea ≤≤：设()ln h x x x =，则()ln 1h x x ='+.从而当10e x <<时()0h x '<，当1e x >时()0h x '>.所以()h x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.当()2e,e x ∈时，有11111ln e ln e ln e e e e e a x x x x h x h x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-⋅=-⋅<-⋅=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()()111111ln ln ln e e e e e e e a x x x x h x h x x x x x≥=⋅=⋅>⋅=⋅=.所以1ln a x x x <<，这就意味着()1ln ln 0a x x a x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，展开即()21ln 1ln a x a x x x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，此即()2ln 11ln a x x x a x++>，故()()ln f x f a x >.综上，a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：分类讨论是求取值范围的典型方法.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -各棱长均为2，π3BAD ∠=，O 是线段BD 的中点．（1）求点O 到平面11AC D 的距离；（2）求直线AB 与平面11AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）255（2）55【解析】【分析】（1）连接AC ，11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接AC ，由题意，点O 为,AC BD 的交点，连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，如图，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，在ABD △中，π3BAD ∠=，则ABD △为等边三角形，则2,3BD AC ==则()()()()110,0,0,1,0,0,0,3,2,0,3,2O D A C -，故()()()1111,0,0,0,3,0,1,3,2OD A C DA =-==-，设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z = ，则有11130320n A C n DA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可取()2,0,1n =- ，则点O 到平面11AC D 的距离为555OD n n ⋅== ；【小问2详解】()()0,3,0,1,0,0A B ，故()3,0AB =，则cos,5n ABn ABn AB⋅===，即直线AB与平面11AC D．16.已知函数()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A为△ABC的内角，且()0f A=．（1）求角A的大小；（2）如图，若角A为锐角，3AB=，且△ABC的面积SE、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．【答案】（1）π6A=或5π6A=（2）73【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据()0f A=即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出边c，再将AM用,AF AC表示，结合数量积的运算律即可得解.【小问1详解】()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13131sin cos sin22222x x x x⎛⎫⎛⎫=+-+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭22311cos sin442x x=--21sin4x=-，则()21sin 04f A A =-=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以1sin 2A =，所以π6A =或5π6A =；【小问2详解】若角A 为锐角，则π6A =，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则13sin 244S bc A b ===，所以b =如图，连接CF ，因为点E 、F 为边AB 上的三等分点，所以E 为AF的中点，因为点D 为边AC 的中点，所以点M 为ACF △的重心，则()222112333233CM CE AE AC AF AC AF AC ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，所以()13AM AC CM AF AC =+=+，又2,AF AC ==，所以73AM ==== ，即线段AM 的长为73．17.混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A 、B 两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A 的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中鱼苗A 的数目为随机变量)i 1,2,(,X n =⋯；③记随机变量11ni i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该鱼塘中鱼苗A 的数目为M ，鱼苗B 的数目为N ，其中M N <，每一次试验都相互独立．．．．．．．．．．．（1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A 的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A 的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A 的概率；（2）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，（i ）证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（ii ）试验结束后，记i X 的实际取值分别为()1,2,,i x i n = ，平均值和方差分别记为x 、2s ，已知其方差2758s n=．请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算M N 和x ．【答案】（1）1949（2）（i ）证明见解析，（ii ）13M N =，252x =【解析】【分析】（1）设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，然后根据题意求出()P M 和()P MN ，再利用条件概率公式即可求得所求概率；（2）（i ）由题意可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，然后利用期望和方差的公式计算即可得证；（ii ）由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()M E X M N =+，1X 的方差1()50M ND X M N M N=⨯⋅++，然后结合题意即可求解．【小问1详解】设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，由题意可得，120150C 2()C 5P M ==，220250C 38()C 245P MN ==，所以5()938242519(|)()4P MN P N M P M ===；【小问2详解】（i ）证明：由题可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，11111111()()()()()()n nn i i i i i i i E X E x E X E X nE X E X n n n n=======⨯=∑∑∑，1122211111111()()()()()()n nn i i i i i i D X D X D X D X nD X D X n n n n n ========∑∑∑，所以1()()E X E X =，11()()D X D X n=；（i i ）解：由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()ME X M N=+，1X 的方差1()50M N D X M N M N=⨯⨯++，所以25075()()8MN D X n M N n ==+，解得13M N =或3MN=，又0M N ≤<，则01MN≤<，所以13M N =，15025()()2M x E X E X M N ====+．18.已知抛物线2:2y x Γ=，点000(,)(0)R x y y ≠在抛物线Γ上．（1）证明：以R 为切点的Γ的切线的斜率为1y ；（2）过Γ外一点A （不在x 轴上）作Γ的切线AB 、AC ，点B 、C 为切点，作平行于BC 的切线11B C （切点为D ），点1B 、1C 分别是与AB 、AC 的交点（如图）．（i ）若直线AD 与BC 的交点为E ，证明：D 是AE 的中点；（ii ）设三角形△ABC 面积为S ，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如11AB C △．再由点1B 、1C 确定的切线三角形221B B C △，133C B C △，并依这样的方法不断作1，2，4，…，12n -个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于13S ．【答案】（1）证明过程见解析（2）（i ）证明过程见解析；（ii ）证明过程见解析【解析】【分析】（1）设出切线方程并和抛物线联立，再由方程有唯一解得到结论；（2）使用（1）的结论即可直接得到（i ）的结论；求出每次作的切线三角形的面积与前一次作的切线三角形的面积的比值，从而确定每个切线三角形的面积，然后即可证明（ii ）.【小问1详解】设()00y k x x y =-+是以R 为切点的Γ的切线，则0k ≠.由于该直线和Γ有唯一公共点()00,R x y ，故联立后的方程组()0022y k x x y y x⎧=-+⎨=⎩只有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩.从而将第一个方程代入第二个，得到的方程2002y y y x k -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭只有唯一解0y y =.此方程展开即为2002220y y y x k k -+-=，从而002y y k=+，所以01k y =.【小问2详解】（i ）设211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12y y ≠.根据上一小问的结论，可知Γ在B 和C 处的切线分别是2112y y y x =+和2222y y y x =+.联立两直线解得121222y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于A 不在x 轴上，所以120y y +≠，故1112221212222B C BC y y k k y y y y -===+-，所以D 的纵坐标是122y y +，从而212121,222y y y y D ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，A 在Γ外，D 在Γ上，所以直线AD 的方程是122y y y +=.这表明该直线通过BC 的中点221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以直线AD 与BC 的交点E 就是BC 的中点，即221212,42y y y y E ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212121124222y y y y y y ⎛⎫++⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AE 的中点坐标为212121,222y y y y ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，这就是点D 的坐标，所以D 是AE 的中点.（ii ）由于D 是AE 的中点，11B C 和BC 平行，故11,B C 分别是,AB AC 的中点.所以()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.首先有3322312121212121111224282ABC B C y y y y S AE y y y y y y y y ⎛⎫+⎛⎫=⋅-=-⋅-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .从而3ABCS S ==，1131144AB C ABC S S == .而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，故根据点的一般性可知对Γ外的任意一点(),T x y ，该点确定的切线三角形的面积为314.再由()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，可知1221133311114448B BC AB C S S ⎛ ==== ⎝，同理1331118C B C AB C S S = .这就表明，不断作11,2,4,...,2n -个切线三角形后，第()2,3,...,k k n =次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第1k -次作的切线三角形的面积的18.而1114AB C S S =，所以第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的面积均为28k S .设所有切线三角形的面积之和为t S ，由于第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的个数为12k -，故11112221884k k nn nt k k kk k k S S S S -===⋅==⋅=⋅∑∑∑.从而2111 (44)4t n S S ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，这就得到21444114...1 (44)444t nn S S S -⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121111111 (44444)4t n n nS S S S S -⎛⎫⎛⎫<++++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3t S S <，即13t S S <，结论得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线性质的使用和探究.19.贝塞尔曲线（Be'zier curve ）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD 设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein 多项式．引入多项式()C (1)niin ii n B x x x -=-(0,1,2,,)i n =L ，若()f x 是定义在[]0,1上的函数，称()0;()()nnn ii iB f x f Bx n ==∑，[0,1]x ∈为函数()f x 的n 次Bernstein 多项式．（1）求()202B x 在()0,1上取得最大值时x 的值；（2）当()f x x =时，先化简();n B f x，再求2n B f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值；（3）设()00f =，()f x x 在()0,1内单调递增，求证：();n B f x x在()0,1内也单调递增．【答案】（1）110（2）();n B f x x =，22;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，进而可求出函数的单调区间，即可得解；（2）根据Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义化简即可求出();n B f x ，再令2x =即可得解；（3）根据()00f =及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义求导并化简，再根据()f x x在()0,1内单调递增，可得11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，即可得出结论.【小问1详解】由题意()()182022220C 1B x x x =-，()0,1x ∈，则()()()()()()1817172022222020C 21181C 21110B x x x x x x x x '⎡⎤=---=⋅--⎣⎦令()()2020B x '=，得110x =，当1010x <<时，()()2020B x '>，当1110x <<时，()()2020B x '<，所以()202B x 在10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,110⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当110x =时，()202B x 在()0,1上取得最大值；【小问2详解】()()()0;;nn n i i n i B x x B B f x n x =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑()()0!1!1!nn ii i i n x x n i n -==⋅--∑()()()()01!11!1!n n ii i n x x i n -=-=---∑()()()111!1!1!n n i i i n x x x i n i ---=-=---∑()()11101n n n i i x B x x x x x ---===+-=∑，所以2233;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问3详解】()()()200;1nn n nni i i i B f x i i x fB x f B x x x n n =='⎡⎤'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()11120011C 1C 1n nn i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑由()00f =，上式()()11120111C 1C 1n nn i n i i ii in n i i i i i x n f f x x f x x x n n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()1111111200111C 1C 1n n n i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n ------++-==⎡⎤⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()()()()11101!1!11!1!1!1!n n i i i n i i n i x x n f f f i n i n n i n i n ----=⎡⎤-⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!1111!1!1n n i i i n i i i x x f f f i n i n n i n ----=⎡++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!11,0,1,,1!1!1n n i i i n ii i x x f f i n i n i i n n ----=⎡+⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ ，而()f x x 在()0,1内单调递增，所以11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，所以11i i i f f i n n +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故();0n B f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以();n B f x x在()0,1内也单调递增．【点睛】关键点点睛：理解Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义是解决本题的关键.。

安徽省合肥市四校2024年名校冲刺高考最后一卷(联考通用版)数学理试题

“合肥市一、六、八、168中学”2024年高三四校联考最终一卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数123,1z i z i =+=-,则复数12z z z =⋅在复平面内的对应的点位于A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2.已知实数,x y 满意1,1,x y >>且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy 有 A.最大值e B.最大值e C.最小值e D.最小值e3.下列三种说法中:①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”②“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要而不充分条件;③“若22am bm <,则a b <的逆命题为真”其中错误的是A.③B. ①②C.①③D.②4.一个三棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的体积等于A.43B.8C.4D.835.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示,且图象经过点(0,1)和 11(,0)12π,则 A.10,116πωϕ== B.2,12πωϕ== C.2,6πωϕ== D.10,1112πωϕ== 6.某赛季,甲,乙两名运动员都参与了11场竞赛,他们每场竞赛的得分的状况用如图所示的茎叶图表示,则甲,乙两名运动员得分的中位数之和是A.32B.30C.36D.417.已知点(,)P x y 在曲线2cos (sin x y θθθ=-+⎧⎨=⎩为参数,且[,2))θππ∈上,则点P 到直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)的距离的取值范围是 A.3232[,]22- B.3232[1,1]22-+ C.(2,22] D.32(2,1]2+ 8.已知函数()|21||23|f x x x =++-,若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空,则实数a 的取值范围是A.[3,5]-B.(3,5)-C.(,3][5,)-∞-+∞D.(,3)(5,)-∞-+∞9.若ABC ∆所在平面内一点P 使得6320PA PB PC ++=,则,,PAB PBC PAC ∆∆∆的面积的比为A.6:3:2B.3:2:6C.2:6:3D.6:2:310.已知实数,(1,2,3)i i a b i =满意123123,a a a b b b <<<<,且123()()()1(1,2,3)i i i a b a b a b i ---=-=,则下列结论正确的是A.112233b a a b b a <<<<<B.112233a b b a a b <<<<<C.121233a a b b a b <<<<<D.121233b b a a b a <<<<<二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.11.二项式42()x x -的绽开式中,含2x 项的系数为12.由计算机产生的两个0到1上的随机数,按右侧流程图所示的规则,则能输出数对(,)x y 的概率是13.已知ABC ∆为直角三角形,AB 是斜边,三个顶点在平面α的同侧, ABC ∆在平面α内的正投影为正'''A B C ∆,且'3,'4,'5AA CC BB ===,则ABC ∆的面积是14.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“合一曲线”,已知12,F F 是一对“合一曲线”的焦点,P 是他们在第一象限的交点,当12||10,||8PF PF ==时,这一对“合一曲线”中椭圆的离心率为15.已知函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,给出下列命题: ①函数()f x 为偶函数;②函数()f x 是周期函数; ③存在(1,2,3)i x i =,使得(,())i i x f x 为顶点的三角形是等边三角形;④存在(1,2,3)i x i =,使得(,())i i x f x 为顶点的三角形是等腰直角三角形.其中的真命题是 (填上你认为正确的全部命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且72,tan ,53C A A a c ==+=. (Ⅰ)求sin ,cos A A ;(Ⅱ)求b .17(本小题满分12分)合肥八中模拟联合国协会共有三个小组:中文组,英文组,辩论组,现有12名新同学(其中3名为男同学)被平均安排到三个小组.(Ⅰ)求男同学甲被分到中文组,其他2名男同学被分到另外两个不同小组的概率;(Ⅱ)若男同学所在的小组个数为X ,求X 的概率分布列及数学期望.18(本小题满分12分)如图,在三棱锥P ABC -中,ABC ∆为等边三角形,2,AB AP =⊥平面,ABC D 为PC 上的动点. (Ⅰ)若2,PA =当DB 与平面PAC 所成的角最大时,求二面角D AB C --的正切值;(Ⅱ)若A 在平面PBC 上的射影为PBC ∆的重心,求三棱锥P ABC -的外接球的体积.19(本小题满分13分)已知(1,0)F 为肯定点,(0,)P b 是y 轴上的一动点,x 轴上的点M 满意0PM PF ⋅=,点N 满意 20PN NM +=.(Ⅰ)求点N 的轨迹曲线C 的方程;(Ⅱ)过直线:210l x y -+=的点Q 作曲线C 的切线,QA QB ,切点分别为,A B ,求证:当点Q 在直线l 上运动时,直线AB 恒过定点S .20(本小题满分13分)已知k R ∈,函数()ln f x x kx =-. (Ⅰ)若0k >,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若()f x 有两个相异的零点12,x x ,求证:212x x e ⋅>.21(本小题满分12分)已知数列{}n a 满意*0110,()2n n a a n N a -==∈-. (Ⅰ)求证:101()n n a a n N +≤<<∈; (Ⅱ)在数列{}n a 中随意取定一项k a ,构造数列{}n b ,满意*10121,()n k n n b b a b n N b ---==∈,问:数列{}n b 是有穷数列还是无穷数列?并证明你的结论; (Ⅲ)令1()n n c a n N =-∈,求证:33223*2121)2n c c c n N +++<+∈。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)部编版考试(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题从原点向圆作两条切线，则两条切线的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°第(2)题平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（）A．B．C．D．第(3)题函数，且，则（）A．4B．5C．6D．8第(4)题某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（）A．B．C．D．第(5)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题在古典概型中，若，为互斥但不对立事件，则（）A．B．C．D．第(7)题已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（）A．B．C．D．与的大小关系不能确定第(8)题设复数满足，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（）A．椭圆的长轴长为B．椭圆的离心率C．△的周长为D．的取值范围为第(2)题在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（）A．图中a的值为0.005B．低于70分的考生人数约为40人C．考生成绩的平均分约为73分D．估计考生成绩第80百分位数为83分第(3)题已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（）A．的值为3B．的值为2C．的值可以为D．的值可以为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是______．第(2)题函数满足，当时，方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为_______．第(3)题在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：；（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（Ⅰ）写出列联表；判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如表的临界值表供参考）0.100.050.0100.0052.7063.841 6.6357.879（Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中恰好有一人在岁之间的概率．　（参考公式：，其中）第(2)题如图在平行六面体中，，．(1)求证：直线平面；(2)求直线和夹角的余弦值．第(3)题已知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程；直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.第(4)题如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，点，，，分别在侧棱，，，上，且，，，(1)证明：，，，四点共面；(2)如果，，为的中点，求二面角的正弦值．第(5)题定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)人教版质量检测(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下列命题正确的是A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行第(2)题的展开式中系数最大的项为（）A．70B．56C．或D．第(3)题执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是A．1B．2C．4D．7第(4)题在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（）A．7B．C．D．4第(5)题在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（）A．B．C．D．第(6)题若集合，则（）A．或B．或C．或D．或第(7)题已知是直线的倾斜角，则的值为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题投掷两枚质地均匀的正方体骰子，则（）A．向上点数之和为5的概率为B．向上点数之和为7的概率为C．向上点数之和为6的倍数的概率为D．向上点数之和为偶数的概率为第(2)题已知定义域为R的奇函数，当时，,下列叙述正确的是（）A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根B．当时，有C．当时，的最小值为1，则D．若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则第(3)题函数对任意实数x都有，若，，则以下结论正确的是（）A．函数对任意实数x都有B．函数是偶函数C．函数是奇函数D．函数，都是周期函数，且是它们的一个周期三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．第(2)题已知向量，若，则在上的投影向量为__________．第(3)题一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则=________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，平面，平面平面．(1)证明：；(2)若为的中点，，求到平面的距离．第(2)题如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，，，，，(1)求证：平面平面；(2)若点为的中点，求三棱锥的体积.第(3)题某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出关于的线性回归方程.（参考公式：回归直线方程为，其中，）第(4)题某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将他们的期中成绩（均为整数）分成六段，，后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：(1)求，并估计此次期中考试成绩的众数.(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在和两个分数段内的学生中抽5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.第(5)题随着人们生活水平的提高，对零食的需求也在增加，特别是在年轻人群中，零食已经成为他们日常消费的一部分，新兴的消费群体和消费观念为零食集合店的发展提供了巨大的机会和包容性某公司为了了解青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意程度，统计了10名青少年消费者对这两个品牌零食集合店的打分（满分10分），结果如下：甲品牌零食集合店61079656885乙品牌零食集合店59545710988(1)求样本平均数和方差；(2)判断青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度是否有明显差异（若，则认为青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度无明显差异，否则认为有明显差异）．。

安徽省合肥市(新版)2024高考数学部编版质量检测(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市（新版）2024高考数学部编版质量检测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题的展开式中常数项为（）A．B．15C．20D．第(2)题下列函数中是减函数的为（）A．B．C．D．第(3)题如图，某几何体的三视图都是边长为的正方形，则该几何体的体积为A．B．C．D．第(4)题正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（）A．B．C．D．第(5)题的展开式中，的系数为A．B．C．D．第(6)题点（2，5）关于y轴的对称点的坐标是（）A．( 5， 2 )B．(2，－5)C．(－2，5)D．(－2，－5)第(7)题设函数，则使得成立的取值范围是A．B．C．D．第(8)题已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（）A．8B．9C．10D．11二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A．的图象关于直线对称B．在上为减函数C．有4个零点D．，使第(2)题已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（）A．B．C．D．、均为的最大值第(3)题已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（）A．是等差数列B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为__________．第(2)题在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不与两个端点重合），为线段的中点，则以下正确的是____________.①直线与是异面直线；②三棱锥的体积是定值；③存在点，使平面；④存在点，使平面.第(3)题已知实数x，y满足约束条件，若恒成立，则实数m的取值范围为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆：的左、右焦点分别为和，为上的任意一点，，且该椭圆的短轴长等于焦距.（1）求椭圆的标准方程.（2）已知点，是上关于原点对称的两点，过的左顶点作直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，判断是否为定值.若是，求出该值；若不是，请说明理由.第(2)题已知（）（1）若对恒成立，求实数a范围；（2）求证：对，都有.第(3)题已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调区间；(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．第(4)题流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰，某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄x23456患病人数y2222171410(1)求y关于x的线性回归方程；(2)计算变量x，y的样本相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关程度很强．（若，则x，y相关程度很强；若，则x，y相关程度一般；若，则x，y相关程度较弱．）参考数据：．参考公式：相关系数，线性回归方程第(5)题设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．(1)求证：函数不具有性质；(2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)部编版考试(押题卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（）A．245B．244C．242D．241第(2)题已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（）．A．B．C．D．第(4)题已知（a，，i为虚数单位），则复数（）A．2B．C．D．6第(5)题已知命题：，：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件第(6)题已知数列为等比数列，公比，若，，则（）A．4B．8C．16D．32第(7)题若直线与圆相交，则点（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能第(8)题已知长方体的全面积为，十二条棱长度之和为，则这个长方体的一条对角线长为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．的单调递减区间为C ．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到D．满足条件的最小正整数为2第(2)题已知是定义在上的函数，则（）A．若为增函数，则的取值范围为B．若为增函数，则的取值范围为C．若为减函数，则的取值范围为D．若为减函数，则的取值范围为第(3)题如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论中正确的是（）A．若，则点M的轨迹是线段B．若保持，则点M的运动轨迹长度为C．若点在平面内，点为的中点，且，则点Q的轨迹为一个椭圆D．若点到与的距离相等，则动点的轨迹是抛物线的一部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则____．第(2)题已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为________.第(3)题函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C关于直线x＝对称；②图象C关于点对称；③函数f(x)在区间内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角.第(2)题如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.第(3)题已知数列是首项为的单调递增的等比数列，且满足成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和，并证明.第(4)题如图所示，与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．第(5)题已知数列．求：(1)数列的通项公式；(2)数列的前项和的最大值．。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(综合卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题数列表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是（）A．B．C．D．第(2)题一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（）A．B．2C．D．第(3)题苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（）（可能用到数值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23）A．3.23B．2.881C．1.881D．1.23第(4)题已知三棱锥的体积是，A，B，C是球O的球面上的三个点，且，，，则球O的表面积为（）．A．B．C．D．第(5)题已知向量、和单位向量满足，，则的最大值为（）A．B．C．2D．第(6)题已知函数函数，则下列说法错误的是A．若，则函数无零点B．若，则函数有零点C．若，则函数有一个零点D．若，则函数有两个零点第(7)题记全集，集合，集合，则=（）A．B．C．D．第(8)题设集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（）A．点到的距离比到轴的距离大2B．点到直线的最小距离为C．以为直径的圆与轴相切D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形第(2)题已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(3)题已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（）A．为偶函数B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+x，则f(-1)=_______第(2)题已知x，y满足约束条件，则点与点连线的斜率的取值范围为___________.第(3)题若对于任意的x，．不等式恒成立，则b的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知为正项数列的前项积，且，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，的前项和为，证明：．第(2)题已知椭圆的左焦点为，且．(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，设点，直线，分别与椭圆交于不同的点，若和点共线，求的值．第(3)题已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.（i）求的面积与的面积之比；（ⅱ）证明：为定值.第(4)题已知函数.（1）当时，比较与的大小，并证明；（2）令函数，若是函数的极大值点，求的取值范围.第(5)题求的二项展开式中，(1)第3项;(2)含的项的系数。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)考试(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题已知a，，满足，则下列错误的是（）A．B．C．D．第(3)题已知抛物线，O为坐标原点.若存在过点的直线l与C相交于A､B两点，且，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(5)题从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（）A．6B．8C．12D．16第(6)题若复数，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4B．3C．2D．1第(8)题（）A．2B．C．5D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（）A．若在同一球面上，则B．若平面，则C．若点到四点的距离相等，则D．若平面，则第(2)题已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（）A．B．d的最大值为C．是等腰三角形D．的最小值为第(3)题若直线∥平面，直线，则与的位置关系可以是（）A．与相交B．C．D．与异面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的单调递增区间是__________.第(2)题已知向量，，则______.第(3)题如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则的面积的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．(1)若点是的重心，证明；点在平面内；(2)求二面角的正弦值．第(2)题对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和；(2)若是公差为2的等差数列，求.第(3)题已知函数.(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试讨论函数的零点个数.第(4)题生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.第(5)题已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.。

安徽省合肥市2024高三冲刺(高考数学)部编版质量检测(综合卷)完整试卷

安徽省合肥市2024高三冲刺（高考数学）部编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，集合，集合，则（）A．B．C．D．第(3)题若底面半径为r，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（）A．B．C．D．第(4)题抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．第(5)题若复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．第(6)题，则A．R<Q<P B．P<R<Q C．Q<R<P D．R<P<Q第(7)题十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（）A．B．C．D．第(8)题定义在R上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.如图，A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.则下面叙述正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温不低于20℃的月份有5个第(2)题已知菱形中，，，与相交于点，将沿折起来，使顶点移至点的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A．存在某个位置使得B．当为等边三角形时，C．当二面角为时，三棱锥外接球表面积为D．设为线段的中点，则三棱锥体积的最大值为第(3)题（多选）给出下列说法其中正确的是（）A．两个相交平面组成的图形叫做二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设集合，，则________．第(2)题已知函数的定义域为，记的最大值为，则当取得最小值时，的值为______．第(3)题将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．(1)求证：；(2)若点是线段AD上靠近的四等分点，，求点到平面的距离．第(2)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求面积的最大值；(2)若，求的周长．第(3)题已知函数．(1)当时，求的图像在点处的切线方程；(2)若函数有一个零点，求k的取值范围．第(4)题已知中，角，，的对边分别为，，，.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，且，求的面积的最小值.第(5)题已知函数.（1）当时，讨论函数在上的单调性；（2）当时，求证：函数(为自然对数的底数)存在唯一极值点且.。

安徽省合肥市(新版)2024高考数学人教版考试(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市（新版）2024高考数学人教版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点为的外接圆圆心，则“”是“为直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题长春54路有轨电车建成于上个世纪30年代，大概是现存最美的电车路线了，见证着这座城市的历史与发展.学生甲和学生乙同时在长影站上了开往西安大路方向的电车，甲将在创业大街站之前任何一站下车，乙将在景阳大路站之前任何一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（）A．B．C．D．第(3)题设，则（）A．B．C．D．第(4)题若复数满足（i是虚数单位），的共轭复数是，则的模是（）A．B．4044C．2D．0第(5)题已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题已知函数的三个零点分别为，其中，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题已知正项数列满足，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．是等比数列D．第(2)题在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A．平面B．C．，，，四点共面D．平面平面第(3)题投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（）A．和互为对立事件B．事件和不互斥C．事件和相互独立D．事件和相互独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，给出以下命题：①当时，存在，有两个不同的零点②当时，存在，有三个不同的零点③当时，对任意的，的图象关于直线对称④当时，对任意的，有且只有两个零点其中所有正确的命题序号是______.第(2)题的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.第(3)题已知函数，若f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题国家放开二孩政策后，不少家庭开始生育二胎，随机调查110名性别不同且为独生子女的高中生，其中同意生二胎的高中生占随机调查人数的，统计情况如下表：同意不同意合计男生20女生20合计110（l）求，的值（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为同意生二胎与性别有关?请说明理由.附：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828第(2)题在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；(2)若l与C只有一个公共点，求a的值．第(3)题如图，在四棱台中，底面是菱形，，，是的中点．（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．第(4)题设函数.（1）若函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）设，方程有两根，记.试探究值的符号，其中是的导函数.第(5)题已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.若时，函数是“恒切函数”，求证：.。

安徽省合肥市(新版)2024高考数学人教版质量检测(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市（新版）2024高考数学人教版质量检测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设函数，则的值域是（）A．B．C．D．第(2)题某教师要把语文、数学、外语、历史四个学科排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天的课表的不同排法种数有（）第一节第二节第三节第四节星期一语文数学英语历史星期二星期三星期四A．B．C．D．第(3)题已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（）A．2B．C．或2D．第(4)题已知.若是以2为最小正周期的周期函数，则（）A．2B．1C．D．第(5)题已知函数，若有3个不同的解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（）．A．B．C．D．1第(7)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )A．3864种B．3216种C．3144种D．2952种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列命题为真命题的是（）A．过任意三点有且仅有一个平面B．为直线，为不同的两个平面，若，则C．为不同的直线，为平面，若，则D．为不同的直线，为平面，若，则第(2)题进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（）A．由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关B．由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好C．利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30D．利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨第(3)题下列命题中，正确的有（）A．线性回归直线必过样本点的中心B．若平面平面，平面平面，则平面平面C．“若，则”的否命题为真命题D．若为锐角三角形，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.第(2)题已知复数（i是虚数单位），则______第(3)题若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．第(2)题已知质量均匀的正面体，个面分别标以数字1到．(1)抛掷一个这样的正面体，随机变量表示它与地面接触的面上的数字．若求n；(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量表示这两个正面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，分别取值0，1，2，求的分布列及期望．第(3)题如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若直线OM与平面ABCD所成角为60°，求三棱锥O-ABM的体积.第(4)题已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.第(5)题某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20172018201920202021年份编号12345单价（元/公斤）1820232529药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：(1)若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2022年药材A的单价；(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2022年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.参考公式：回归直线方程，其中.。

安徽省合肥市(新版)2024高考数学人教版真题(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市（新版）2024高考数学人教版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题已知集合则（）A．B．C．D．第(3)题执行如图所示的程序框图，若输入的，则（）A ．输出的的最小值为，最大值为5B．输出的的最小值为，最大值为6C．输出的的最小值为，最大值为5D．输出的的最小值为，最大值为6第(4)题已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(5)题已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知x、y满足，则的最小值是（）A．1B．C．D．4第(7)题（）A．B．C．D．第(8)题专家导航，聚焦课堂．江苏省省教育科学院4名专家到南通市某县指导教育教学工作．现把4名专家全部分配到A，B，C三个学校，每个学校至少分配一名专家，每名专家只能到一个学校，其中甲专家不去A学校，则不同的分配方案种数为（）A．18B．24C．30D．36二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线交圆：于，两点，下列结论正确的是（）A．椭圆离心率的取值范围是B．若，且，则C．的最小值为D．若，则第(2)题已知，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的定义域为，若，且，则（）A．B．无最小值C．D．的图象关于点中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知在处有极大值，若有两个零点，则实数n的取值范围为____________.第(2)题已知是抛物线：的焦点，，是上不同的两点，为坐标原点，若，，垂足为，则面积的最大值为_________.第(3)题已知，设，则函数的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．第(2)题李老师在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课三年来学生考试成绩分布：成绩人数105010025015040（1）求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数.附：.第(3)题已知数列的前项和为，且对任意正整数均满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值．第(4)题起源于汉代的“踢毽子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在高一年级进行了“踢毽子”比赛，以学生每分钟踢毯子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢毽子的分值均在分之间，从中随机抽取了100个样本学生踢毽子的成绩进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在之间为“踢毽健将”，90分以上为“踢建达人”．(1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)；(2)要在“踢毽健将”和“踢毽达人”中分层抽样抽出6名同学在全级进行表演，试问“踢毽达人”张睿被抽取的概率是多少？(3)以样本的频率值为概率，若高一(1)班有60个同学，试估计该班“踢毽健将”和“踢毽达人”各有多少人．第(5)题如图，椭圆的左､右焦点分别为､，过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于M､N两点，动点P､Q分别在直线MN与椭圆C上.已知，的周长为.(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形的面积；(3)是否存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.。

安徽省合肥市(新版)2024高考数学部编版真题(冲刺卷)完整试卷

安徽省合肥市（新版）2024高考数学部编版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（）A．B．C．与相交但不垂直D．或第(3)题若复数，为虚数单位，则的虚部为（）A．B．C．1D．2第(4)题已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，是数列的前项和，则（）A．45B．42C．84D．135第(5)题已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（）A．B．C．D．第(6)题已知向量，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．第(7)题若，则在中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100第(8)题设函数，是公差为的等差数列，，则A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）A．B．C．D．第(2)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．若，且，则椭圆C的离心率为B ．若，且，则C的离心率为C．若对任意的直线l总有，则椭圆C的离心率的取值范围为D．若存在直线l，使得，的等比中项为，则椭圆C的离心率的取值范围为第(3)题已知动点M到点的距离等于2，动点M的轨迹为Γ，直线l：，则（）A．l可能是Γ的切线B．l与Γ可能没有公共点C．l与Γ可能有两个公共点D．Γ上的点到l的距离的最大值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数对任意的，都有，若的图像关于直线对称，且，则______．第(2)题已知等差数列前9项的和为27，，则______．第(3)题设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.（1）设，，请计算，，；（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.第(2)题某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男､女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：（单位：分），得到频率分布直方图.(1)试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛学生成绩的众数及平均数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表）(2)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”.把随机抽取的参赛学生数据统计如下，请将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关.科技知识达人非科技知识达人合计男生15女生合计附：（其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828第(3)题已知函数．（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）如果函数恰有两个不同的极值点，证明：．第(4)题已知函数．(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若有两个极值点，，证明：．第(5)题给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.（1）设数列为2，1，6，3，写出，，的值；（2）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：是等差数列.。