2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第七章 第3节圆的方程

第七章 第3节

1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0

D ．不确定

解析：B [将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为00，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．故选B.]

2．(2019·南开区模拟)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0

D ．x 2＋y 2－10x ＝0

解析：B [圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，设圆的圆心(0，r )，半径为r ，则(3－0)2＋(1－r )2＝r .解得r ＝5，所求圆的方程为x 2＋(y －5)2＝25，即x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.] 3．(2019·揭阳市模拟)设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )

A.855－2

B. 5

C.5－2

D.755

－2

解析：C [如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1,0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C.]

4．圆心在曲线y ＝2

x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )

A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5

B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5

C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25

D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25

解析：A [由圆心在曲线y ＝2

x (x >0)上，设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，2a ，a >0.又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝2a ＋2

a ＋1

5≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2

a ，即a ＝1时取等号，所以

圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.故选A.]

5．(2019·温州市一模)已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，B ，C 是圆上的两点，H 是点B 在AC 上的射影，当点C 运动，点H 运动的轨迹( )

A ．是圆

B ．是椭圆

C ．是抛物线

D ．不是平面图形

解析：A [设定圆圆心为O ，半径为r ，连接OH ，设直径BD ，连接AD ，CD ，由AB ⊥平面BCD ，可得AB ⊥CD ，由直径所对圆周角为直角，可得CD ⊥BC ，即有CD ⊥平面ABC ，可得CD ⊥BH ，BH ⊥AC ，即有BH ⊥平面ACD ，则BH ⊥DH ，在直角三角形BDH 中，可得OH ＝OB ＝OD ＝r ，即有H 的轨迹为以O 为圆心，r 为半径的圆．故选A.]

6．已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为________． 解析：方法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.

又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3且k AC ·k BC ＝－1，

所以y x ＋1·y

x －3

＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.

因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)． 由直角三角形的性质知，AD ＝DB ＝DC .

由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．

答案：x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)

7．(2019·南充市模拟)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．

解析：∵直线2ax －by ＋2＝0(a 、b ∈R )始终平分x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，可得－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a .∴a ·b ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤1

4，当且仅当a ＝1

2

时等号成立，因此a ·b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14. 答案：⎝

⎛⎦⎤－∞，1

4 8．(2019·贵阳市一模)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．

解析：设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝

|PM |2－|MQ |2＝

|PM |2－1.

要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离． 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝

|3－0＋1|

12＋(－1)2

＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |

＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7.

答案：7

9．(2019·唐山市调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；

(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．

解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则

(x ＋3)2＋y 2＝2

(x －3)2＋y 2.

化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．

(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝

|CQ |2－|CM |2＝

|CQ |2－16，

当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， 此时|CQ |＝

|5＋3|

2

＝42， 则|QM |的最小值为

32－16＝4.

10．已知点(x ，y )满足(x －3)2＋(y －4)2＝9，求： (1)3x ＋4y 的最大值与最小值； (2)(x ＋1)2＋y 2的最小值．

解：(1)设3x ＋4y ＝t ，直线与圆有公共点， ∴|9＋16－t |5

≤3⇔|t －25|≤15⇔10≤t ≤40.