2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第七章 第3节圆的方程
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第三节 圆的方程(课件)
2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＞_r_2_． (2)若M(x0，y0)在圆上，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＝_r_2_．
答案：B
10
考点三 与圆有关的轨迹方程 [综合性]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P， Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2， 2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程 为(x－1)2＋y2＝1.
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
的最大值和最小值．
答案：(1)B
12
反思感悟 建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基 本不等式、函数单调性等方法求最值．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y_0－__b_)2_＜__r2_．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这 一条件．
2020年高考江苏版高考数学 14.2 圆的方程
14.2 圆的方程挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度2015江苏,10圆的标准方程直线与圆相切圆的方程1.圆的标准方程2.圆的一般方程2016江苏,18圆的标准方程、圆的一般方程直线方程、直线与圆的位置关系★★★分析解读 圆的方程是江苏高考的必考内容之一,最近几年很少有单独的试题考查圆的方程,通常和向量、直线、椭圆相结合,综合性比较强,以中档题的形式出现,不拘泥于填空题,有时候会出现在第17、18题,在复习中,也要注意以圆为背景的实际应用题.破考点【考点集训】考点 圆的方程1.(2018江苏天一中学月考)已知圆C 与直线y=x 及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x 上,则圆C 的方程为 __________.答案 (x-1)2+(y+1)2=22.(2018江苏金陵中学周考)圆C 的圆心在x 轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C 内,则m 6的取值范围为 . 答案 (0,4)3.(2018江苏金沙高级中学期中)设圆的方程是x 2+y 2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,则原点与圆的位置关系是 ____________. 答案 原点在圆外炼技法【方法集训】方法一 求圆的方程的方法1.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C 的5455方程为 . 答案 (x-2)2+y 2=92.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2及其内部所覆盖,则圆C 的方程{x ≥0,y ≥0,x +2y -4≤0为 .答案 (x-2)2+(y-1)2=5方法二 与圆有关的最值问题的求解方法1.已知圆O:x 2+y 2=8,点A(2,0),动点M 在圆上,则∠OMA 的最大值为 . 答案 π42.已知M(m,n)为圆C:x 2+y 2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n 的最大值;(2)求的最大值和最小值.n -3m +2解析 (1)由题意可知x 2+y 2-4x-14y+45=0的圆心C 的坐标为(2,7),半径r=2.2设m+2n=t,将m+2n=t 看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,|2+2×7-t |12+222解得16-2≤t ≤16+2,1010所以所求的最大值为16+2.10(2)记点Q(-2,3).因为表示直线MQ 的斜率k,n -3m +2所以直线MQ 的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点,得≤2.|2k -7+2k +3|1+k22解得2-≤k ≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.33n -3m +233过专题【五年高考】A 组 自主命题·江苏卷题组1.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1)2+y 2=22.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得+=,求实数t 的取值范围.TA TP TQ解析 圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0).因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0,从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为=2.4-02-0设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M 到直线l 的距离d==.|2×6-7+m |5|m +5|5因为BC=OA==2,而MC 2=d 2+,22+425(BC 2)2所以25=+5,解得m=5或m=-15.(m +5)25故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)解法一:+=,即=-=,即||=||,TA TP TQ TA TQ TP PQ TA PQ 因为||=,又0<||≤10,TA (t -2)2+42PQ 所以0<≤10,解得t ∈[2-2,2+2].(t -2)2+422121对于任意t ∈[2-2,2+2],欲使=,此时0<||≤10,只需要作直线TA 的平行线,使圆心到直线2121TA PQ TA 的距离为,必然与圆交于P,Q 两点,此时||=||,25-|TA |24TA PQ 即=,TA PQ 因此对于任意t ∈[2-2,2+2],均满足题意.2121故t ∈[2-2,2+2].2121解法二:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).因为A(2,4),T(t,0),+=,TA TP TQ 所以①{x 2=x 1+2-t,y 2=y 1+4.因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤≤5+5,[(t +4)-6]2+(3-7)2解得2-2≤t ≤2+2.2121因此,实数t 的取值范围是[2-2,2+2].2121解后反思 1.根据已知条件求圆的方程,一般地,可采用两种不同的方法:一是待定系数法,即先根据条件用圆的标准式或一般式设出方程,再根据条件来确定参数的值;二是通过几何图形的性质来确定圆心的位置或坐标及半径,进而求得圆的方程.2.已知直线与圆相交来确定弦长的问题,通常要利用圆心到直线的距离d,圆的半径r 以及弦长l 之间的关系l=2来进行求解.r 2-d 2B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 圆的方程1.(2018北京理改编,7,5分)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为 . 答案 32.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 答案 x 2+y 2-2x=03.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方x 216y24程为 .答案 +y 2=(x -32)22544.(2016北京改编,5,5分)圆(x+1)2+y 2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 . 答案 25.(2016课标全国Ⅱ改编,6,5分)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= . 答案 -436.(2015课标Ⅱ改编,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y 轴于M,N 两点,则|MN|= . 答案 467.(2014课标全国Ⅱ,16,5分)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是 . 答案 [-1,1]8.(2018课标全国Ⅱ理,19,12分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解析 (1)由题意得F(1,0),l 的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.{y =k (x -1),y 2=4x Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=.2k 2+4k2所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=.4k 2+4k2由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,4k 2+4k2因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则解得或{y 0=-x 0+5,(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16.{x 0=3,y 0=2{x 0=11,y 0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.9.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x,过点(2,0)的直线l 交C 于A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P(4,-2),求直线l 与圆M 的方程.解析 (1)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2.由可得y 2-2my-4=0,则y 1y 2=-4.{x =my +2,y 2=2x 又x 1=,x 2=,y 212y 222故x 1x 2==4.(y 1y 2)24因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为·==-1,所以OA ⊥OB.y 1x 1y 2x 2-44故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m,x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=2m 2+4.故圆心M 的坐标为(m 2+2,m),圆M 的半径r=.(m 2+2)2+m 2由于圆M 过点P(4,-2),因此 ·=0,AP BP 故(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0,即x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0.由(1)可得y 1y 2=-4,x 1x 2=4.所以2m 2-m-1=0,解得m=1或m=-.12当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为,圆M 的方程为(x-3)2+(y-101)2=10.当m=-时,直线l 的方程为2x+y-4=0,圆心M 的坐标为,圆M 的半径为,圆M 的方程为+12(94,-12)854(x -94)2=.(y +12)28516解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x 1,y 1)、(x 2,y 2)表示:(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.C 组 教师专用题组1.(2010课标理,15,5分)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 . 答案 (x-3)2+y 2=22.(2014陕西,12,5分)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 . 答案 x 2+(y-1)2=13.(2015课标Ⅱ改编,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离33为 . 答案 2134.(2014湖北文,17,5分)已知圆O:x 2+y 2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b ≠-2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b= ; (2)λ= . 答案 (1)- (2)12125.(2009江苏,18,14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l 过点A(4,0),且被圆C 1截得的弦长为2,求直线l 的方程;3(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.解析 (1)设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂径定理,得圆心C 1到直线l 的距离d==1,22-(232)2由点到直线的距离公式,得=1,|-3k -1-4k |k 2+(-1)2化简得24k 2+7k=0,解得k=0或k=-,724故直线l 的方程为y=0或y=-(x-4),724即y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P 坐标为(m,n),直线l 1、l 2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),1k 即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0.1k 1k 因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等.故有=,|-3k -1+n -km |k 2+(-1)2|-4k -5+n +1k m |1k2+1化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,由题意得或{2-m -n =0,m -n -3=0{m -n +8=0,m +n -5=0,解得或{m =52,n =-12{m =-32,n =132,故点P 的坐标为或.(-32,132)(52,-12)【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2019届江苏启东中学月考)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程为 . 答案 (x-2)2+(y-1)2=12.(2019届江苏淮阴中学期初)已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点,且圆C 与直线x+y+3=0相切,则圆C 的方程是 . 答案 (x+1)2+y 2=23.(2019届江苏清江中学质检)设P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q 是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为 . 答案 44.(2018江苏南京期中)过点P(1,1)的直线,将区域{(x,y)|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 . 答案 x+y-2=05.(2018江苏苏州中学月考)设A(-3,0),B(3,0)为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为1∶2,则点P 的轨迹所围成的面积是 . 答案 16π6.(2019届江苏常州五中周考)直线l 1:y=x+a,l 2:y=x+b 将单位圆C:x 2+y 2=1分成长度相等的四段弧,则a 2+b 2= . 答案 27.(2018江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C 上的点都在不等式组表示的平面区域内,则面积最大的圆C 的标准方程为 . {x ≤3,x -3y +3≥0,x +3y +3≥0答案 (x-1)2+y 2=48.(2019届江苏南通中学质检)在△ABC 中,|BC|=6,|AB|=2|AC|,则△ABC 面积的最大值为 . 答案 12二、解答题(共30分)9.(2019届江苏平潮中学月考)已知方程x 2+y 2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆,求实数m 的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N 两点,且OM ⊥ON(O 为坐标原点),求m 的值;(3)在(2)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程.解析 (1)由D 2+E 2-4F>0得(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由x+2y-4=0得x=4-2y.将x=4-2y 代入x 2+y 2-2x-4y+m=0得5y 2-16y+8+m=0,所以y 1+y 2=,y 1y 2=.1658+m5因为OM ⊥ON,所以·=-1,y 1x 1y 2x 2即x 1x 2+y 1y 2=0.因为x 1x 2=(4-2y 1)(4-2y 2)=16-8(y 1+y 2)+4y 1y 2,所以x 1x 2+y 1y 2=16-8(y 1+y 2)+5y 1y 2=0,即(8+m)-8×+16=0,解得m=.16585(3)设圆心C 的坐标为(a,b),则a=(x 1+x 2)=,b=(y 1+y 2)=,半径r=|OC|=,所以所求圆的方程为12451285455(x -45)2+=.(y -85)216510.(2019届江苏白蒲中学期中)如图,已知圆O 的直径AB=4,定直线l 到圆心的距离为4,且直线l 垂直于直线AB.点P 是圆O 上异于A,B 的任意一点,直线PA,PB 分别交l 于M,N 两点.(1)若∠PAB=30°,求以MN 为直径的圆的方程;(2)当点P 变化时,求证:以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点.解析 易得A(-2,0),B(2,0),☉O 的方程为x 2+y 2=4,直线l 的方程为x=4.(1)当点P 在x 轴上方时,因为∠PAB=30°,所以点P 的坐标为(1,),3所以l AP :y=(x+2),33l BP :y=-(x-2).3将x=4分别代入得M(4,2),N(4,-2),33所以线段MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4.3所以以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12.同理,当点P 在x 轴下方时,所求圆的方程仍是(x-4)2+y 2=12.综上,以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12.(2)证明:设点P 的坐标为(x 0,y 0),则y 0≠0,所以+=4(y 0≠0),x 20y 20所以=4-.y 20x 20易知l PA :y=(x+2),y 0x 0+2l PB :y=(x-2),y 0x 0-2将x=4分别代入得y M =,y N =,6y 0x 0+22y 0x 0-2所以M ,N ,(4,6y 0x 0+2)(4,2y 0x 0-2)所以|MN|==,|6y 0x 0+2-2y 0x 0-2|4|x 0-4||y 0|线段MN 的中点坐标为.(4,-4(x 0-1)y 0)以MN 为直径的圆O'截x 轴所得的线段长为24(x 0-4)2y 20-16(x 0-1)2y 2=4|y 0|12-3x 2==4.43|y 0|4-x 203则圆O'与x 轴的两交点坐标分别为(4-2,0),(4+2,0).33又(4-2)2=28-16<4,33)2=28+16>4,33所以圆O'必过圆O 内定点(4-2,0).3。
江西省南昌市第八中学2020届高三数学(文理)复习《圆的方程》专题练(学生版(无答案)
《圆的方程》专题练专题1 求圆的方程1.1 求圆的方程1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是3．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝254．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为5．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为6．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．7．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．8．已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为9．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是10．圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为11．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是12．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是13．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．14．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是15．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为16．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为17．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为18．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是19．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．20．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是21．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．22．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝23．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1.2 圆的一般式判断1．已知圆C∶x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝3．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是4．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是5．若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是6．若方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0的图形表示一个圆，则实数m 等于7．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．9．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.1.3 点与圆的位置关系1．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是2．若原点在圆(x －2m )2＋(y －m )2＝5的内部，则实数m 的取值范围是________．3．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是4．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．5．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是专题2 与圆有关的最值问题2.1 建立函数关系求最值1．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．2．设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB →的最大值为________．3．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．2.1 借助几何性质求最值(多维探究)1．已知实数x, y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．(1求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．2．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值．3．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为4．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．5．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x ＋y 的最大值和最小值分别为 、 ．6．一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长是7．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是_______8．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为9．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是10．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________．11．已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，则|3x ＋4y －26|的最小值为________．专题3 与圆有关的轨迹问题1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．3．动点P 与定点A (－1,0)，B (1,0)的连线的斜率之积为－1，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．y ＝1－x 24．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是5．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，则Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C的方程为__________．。
2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第七章第3节 圆的方程
第3节 圆的方程最新考纲核心素养考情聚焦掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程1.确定圆的方程，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养．2.与圆有关的最值，增强数学建模和数学运算的素养．3.与圆有关的轨迹问题，提升逻辑推理和数学抽象的素养圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考中的热点．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．题型以选择题、填空题，有时以解答题第一题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，要合理转化，必要时借助几何意义，三角换元求解1．圆的定义和圆的方程定义平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆标准方程一般方程方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心坐标(a ，b )(－D 2，－F2)半径r12D 2＋E 2－4F 充要条件 D 2＋E 2－4F ＞0 2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：(1)d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在 圆外 ；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在 圆上 ；(3)d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在 圆内 .1.圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．(1)同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中a ，b 为定值，r 是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中r 为定值，a ，b是参数．[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )(3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(5)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )解析：(3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜或m ＞1时才表示圆．14答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√[小题查验]1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：C [要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．]2．(2019·西城区模拟)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－，)33C ．(－，) D.22(－22，22)解析：C [∵(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－<m <，选C.]223．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1 B ．2 C. D ．222解析：C [由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y ＝x ＋3化成一般形式为x －y ＋3＝0，故圆心到直线的距离d ＝＝.故选C. ]|－1－0＋3|12＋(－1)224．[人教A 版教材P124A 组T4改编]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________________．解析：设圆心坐标为C (a,0)，∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即＝，(a ＋1)2＋1(a －1)2＋9解得a ＝2，∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝＝，(2＋1)2＋110∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝105．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋＝0，配方得2＋(y ＋1)2＝－<0，不52(x ＋12)54表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5考点一 确定圆的方程(自主练透)[题组集训]1．(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：Error!，解得Error!，则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.答案：x 2＋y 2－2x ＝02．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝05的距离为，则圆C 的方程为______________．455解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，由题意可得Error!解得Error!所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为_____________________________________________________________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F >0)则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为.(k ＋22，2k ＋12)∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝，∴k ＝－3.2k ＋12－k ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝01．求圆的方程，一般采用待定系数法(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择设圆的一般方程．2．在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的垂直平分线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．考点二 与圆有关的最值、范围问题(多维探究)[命题角度1] 与圆的几何性质有关的最值1．点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1.∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1.易知点P (1,2)在圆外．∴点P 到圆心C 的距离为：|PC |＝＝≥3.(k ＋1)2＋32(k ＋1)2＋9∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2.答案：21．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函数求最值．2．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．[命题角度2] 截距型最值问题2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则求y －x的最大值和最小值．直观想象、数学运算——直线与圆位置关系应用中的核心素养以直线与圆位置关系的相关知识为基础，借助直线和方程、圆与方程，来解决最值问题，提升了直观想象、数学运算的核心素养．具体见下表：信息提取信息解读直观想象、数学运算已知圆的方程x 2＋y 2－4x ＋1＝圆心(2,0)，半径3求y －x 的最大值和最小值设b ＝y －x ，则y ＝x ＋b ，因此y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距直观想象：数形结合，发现当直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0相切时，纵截距b 取得最大值或最小值．数学运算：利用点到直线的距离公式得＝|2－0＋b |23解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时＝，解得b ＝－2±.|2－0＋b |236所以y －x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.66形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，利用圆心到直线的距离列不等式即可，也可用三角代换求解．[命题角度3] 斜率型最值问题3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则的最大值为________，最小值为yx ________．解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是3yx 圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k ，即y＝kx .yx 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值(如图)，此时＝，解得|2k －0|k 2＋13k ＝±.3所以的最大值为，最小值为－.yx 33答案： －33形如μ＝形式的最值问题，最后都转化为动直线斜率的最值问题．y －bx －a [命题角度4] 距离型最值问题4．在[命题角度2]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，(2－0)2＋(0－0)2所以x 2＋y 2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x 2＋y 2的最小值是2＝7－4.33(2－3)3 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上 B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析：B [将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即>a ，所以原点在圆外．故选B.](0＋a )2＋(0＋1)222．(2019·南开区模拟)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：B [圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，设圆的圆心(0，r )，半径为r ，则＝r .解得r ＝5，所求圆的方程为x 2＋(y －5)2＝25，即x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.](3－0)2＋(1－r )23．(2019·揭阳市模拟)设点P 是函数y ＝－的图象上的任意一点，点4－(x －1)2Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.－2B.8555C.－2D.－25755解析：C [如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1,0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为A ，则|CA |＝，|PQ |min ＝|CA |－2＝－2.故选C.]554．圆心在曲线y ＝(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )2x A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析：A [由圆心在曲线y ＝(x >0)上，设圆心坐标为，a >0.又圆与直线2x (a ，2a )2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝≥＝，当且仅当2a ＝，即2a ＋2a＋154＋1552a a ＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x －1)52＋(y －2)2＝5.故选A.]5．(2019·温州市一模)已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，B ，C 是圆上的两点，H 是点B 在AC 上的射影，当点C 运动，点H 运动的轨迹( )A ．是圆B ．是椭圆C ．是抛物线D ．不是平面图形解析：A [设定圆圆心为O ，半径为r ，连接OH ，设直径BD ，连接AD ，CD ，由AB ⊥平面BCD ，可得AB ⊥CD ，由直径所对圆周角为直角，可得CD ⊥BC ，即有CD ⊥平面ABC ，可得CD ⊥BH ，BH ⊥AC，即有BH ⊥平面ACD ，则BH ⊥DH ，在直角三角形BDH 中，可得OH ＝OB ＝OD ＝r ，即有H 的轨迹为以O 为圆心，r 为半径的圆．故选A.]6．已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为________．解析：方法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又因为k AC ＝，k BC ＝且k AC ·k BC ＝－1，yx ＋1yx －3所以·＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.yx ＋1yx －3因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)．由直角三角形的性质知，AD ＝DB ＝DC .由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．答案：x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)7．(2019·南充市模拟)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．解析：∵直线2ax －by ＋2＝0(a 、b ∈R )始终平分x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，可得－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a .∴a ·b ＝a (1－a )＝－2＋≤，当且仅当a ＝时等号成立，因此a ·b 的取值范围为.(a －12)141412(－∞，14]答案：(－∞，14]8．(2019·贵阳市一模)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝＝.|PM |2－|MQ |2|PM |2－1要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离．设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝＝2.所以|PM |的最小值为2.所|3－0＋1|12＋(－1)222以|PQ |＝≥＝.|PM |2－1(22)2－17答案：79．(2019·唐山市调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则＝2.(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝ ＝，|CQ |2－|CM |2|CQ |2－16当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝＝4，|5＋3|22则|QM |的最小值为＝4.32－1610．已知点(x ，y )满足(x －3)2＋(y －4)2＝9，求：(1)3x ＋4y 的最大值与最小值；(2)(x ＋1)2＋y 2的最小值．解：(1)设3x ＋4y ＝t ，直线与圆有公共点，∴≤3⇔|t －25|≤15⇔10≤t ≤40.|9＋16－t |5∴t min ＝10，t max ＝40.(2)解法一：(x ＋1)2＋y 2＝(4＋3cos θ)2＋(4＋3sin θ)2＝41＋24(sin θ＋cos θ)＝41＋24sin2，(θ＋π4)∴其最小值为41－24.2解法二：设M (x ，y )是圆上的点，圆外一点M 0(－1,0)，则(x ＋1)2＋y 2的几何意义是|MM 0|2，而|MM 0|最小值是|M 0C |－r ，即(－3)2＝41－24.42＋422。
高考数学一轮复习第七章第三讲圆的方程课件
∴圆的半径为 (a－3)2＋(1－2a－0)2＝ (a－0)2＋(1－2a－1)2，
求得 a＝1，可得半径为 5，圆心 M(1，－1)，
故⊙M 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
(1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设xy＝k， 即 y＝kx.
当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 |2kk2－＋01|＝ 3，解得 k＝± 3.
所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3(图 7-3-1). 图 7-3-1
(2)(方法一)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直
第三讲 圆的方程
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握 圆的标准方程与一般方程.
2.能根据直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际 问题.
1.圆的定义与方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方 程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b) 半径：r
θ＋2， θ＋1，
θ∈[0，2π)，
则 x－y＝(3cos θ＋2)－(3sin θ＋1)＝3(cos θ－sin θ)＋1＝
3 2cosθ＋4π＋1.
因为 cos θ＋π4的最大值为 1，所以 x－y 的最大值为 3 2＋ 1.故选 C.
答案：C
2.(考向 2)(2023 年北京市校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 P 是圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动点.若 A(－a，0)，B(a，
2020年高考数学专题讲解：平面解析几何(二)
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[答案] B[解析] 考查两平行直线的距离公式、直线与圆相切的性质及圆的标准方程．解：直线y ＝x 与y ＝x －4均与圆相切，设两直线间距离为d ，则圆的半径r ＝d 2＝41＋1·12＝2，设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝2⇒a ＝±1， ∵当a ＝－1时，圆不与直线y ＝x －4相切，∴a ＝1. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，选B.3．(教材改编题)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1[答案] D[解析] 原方程表示圆⇔(4m )2＋(－2)2－4×5m >0， 解得m <14或m >1.4．已知x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r ＝3的圆， 令d ＝x 2＋y 2，则d 为点(x ，y )到(0,0)的距离， ∴d max ＝－2－2＋－2＋r ＝5＋3，∴x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5.5．圆x 2＋(y ＋1)2＝1的圆心坐标是________，如果直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (0，－1)，1－2≤a ≤1＋ 2[解析] 可知圆心坐标为(0，－1)．直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，则|0－1＋a |12＋12≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 6．已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦，且|BC |＝6，则BC 的中点的轨迹方程是________． [答案] x 2＋y 2＝16[解析] 设BC 中点为P (x ，y )，则OP ⊥BC ，∵|OC |＝5，|PC |＝3，∴|OP |＝4，∴x 2＋y 2＝16. 7．根据下列条件求圆的方程：(1)经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.[解析] (1)解法1：∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3，∴圆心为C (7，－3)，又|CB |＝65.故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. 解法2：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r2－a 2＋－b2＝r23a ＋10b ＋9＝0，解得⎩⎨⎧a＝7，b ＝－3，r ＝65.所以所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0③设x 1，x 2是方程③的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36④由①②④得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.（四）典型例题1.命题方向：求圆的方程[例1] 根据下列条件，求圆的方程．(1)圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成12两部分的圆的方程； (2)求经过两已知圆C 1x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与C 2x 2＋y 2－2y －4＝0的交点，且圆心在直线l 2x ＋4y ＝1上的圆的方程．[分析] 用直接法或待定系数法．[解析] (1)如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成12两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.(2)由题意可设圆的方程为λ(x 2＋y 2－4x ＋2y )＋(x 2＋y 2－2y －4)＝0，(λ≠－1)即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－4λx ＋(2λ－2)y －4＝0，圆心坐标为(2λ1＋λ，1－λ1＋λ)，代入lx ＋4y ＝1，得λ＝3.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.[点评] 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式．另外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．所以的最大值为3，最小值为－ 3.x＝3，解得＝－2± 6.此时2＋6，最小值为－－ 6.又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，∴k max ＝3＋34，k min ＝3－34.3.命题方向：与圆有关的轨迹问题[例3] 如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[解析] 设动点P (x ，y )，由题意可知点P 是△ABD 的重心，∵A (－1,0)、B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，∴由重心坐标公式得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋1＋x 0－3y ＝2y 03，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12y 0＝3y2y，代入x 2＋y 2＝1得，所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49 (y ≠0)．[点评] 本题求轨迹方程的方法叫相关点法．用相关点法求轨迹方程的基本步骤：(1)设所求点的坐标为P (x ，y )(若x ，y 与题中已知的字母有冲突，则将这些已知字母全部替换成其他字母)，与P 相应的符合某已知曲线的点的坐标设为Q (x 0，y 0)；(2)建立二者之间的等量关系，从而求得x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )；(3)将Q (x 0，y 0)的坐标代入点Q 满足的方程进行求解，等价化简得所求轨迹方程．注意：求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形 ．跟踪练习3点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 [答案] A[解析] 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，又设P 、Q 连线中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.4.命题方向：圆方程的综合问题[例4] 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．[分析] 求圆M 的半径→求圆M 的方程→求圆N 的半径→求圆N 的方程→求弦长[解析] (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3， 则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度， 此弦的方程是y ＝33(x －3)， 即x －3y －3＝0， 圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.[点评] 1.解决有关圆的问题，常利用数形结合的方法，结合圆的有关性质可简化运算，解题时注意转化与化归的数学思想的应用．2．直线与圆相交所截得的弧，以及弧所对的圆周角或圆心角的有关问题，可转化为由弦心距、半弦长和半径所构成的直角三角形的三边之间的关系求解． 跟踪练习4已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心)，求圆的方程．[解析] 解法1：设A 、B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2. 由题设知⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1222＋y 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2222＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122－y 2222＋y 1－y 22.－2k2)＝2，－2k2)×2＝2＝－12，±3.为圆心，以5为半径的圆的方程8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为12，则圆C的方程为()－4)2＝4.4，但应除去两点：⎝⎛y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离d >r 1＋r 2 无解 相外切d ＝r 1＋r 2 一解 相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两解 相内切(r 1≠r 2) 一解 内含(r 1≠r 2)无解 3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝＋k 2x A ＋x B 2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上，则以P 为切点的切线方程为.（三）基础自测1．(2010·江西理)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范是 （ ）A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 [答案] A[解析] 如图，取MN 中点为H ，连CH 、CN ，则△CHN 为Rt △，又HN ＝ 3.R ＝2，故CH ＝1.由HN ≥ 3知圆心到直线的距离等于CH |3k ＋1|k 2＋1≤1. ∴－34≤k ≤0，故斜率范围是[－34，0]，选A.2．直线ax －y ＋2a ＝0 (a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定[答案] B[解析] 依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为两圆方程相减得，2ay ∴|OC |＝1a. 又公共弦长为23，∴于是，由Rt △AOC 可得即1a2＝22－(3)2， 整理得a 2＝1，又a >0，∴7．直线l 经过点P (5,5)[解析] 若直线l 的斜率不存在，直线则l ：y －5＝k (x －5)．则不论m 为何值，圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 1的距离为d ＝|3m －m －＋b |10＝|3＋b |10. ∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d <r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．跟踪练习1(2011·启东调研)已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝6，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．[解析] (1)证明：l ：mx －y ＋1－m ＝0的方程可化为y －1＝m (x －1)，其恒过定点P (1,1)．∵|PC |＝＋2＋－2＝5<r ＝6，∴点P 恒在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒交于两点．(2)由(1)及平面几何知识知，当l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，又k PC ＝2－1－1－1＝－12， ∴k l ＝－1k PC ＝2，∴所求直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.2.命题方向：弦长问题[例2] 已知点P (0,5)及圆C x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[分析] (1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系．[解析] (1)方法1 如图所示，AB ＝43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD ＝23，AC ＝4，在Rt △ACD 中，可得CD ＝2.设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34.k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.方法2 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5，联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k )x －11＝0，①设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，x 1x 2＝－111＋k 2，② 由弦长公式得1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝43，将②式代入，解得k ＝34， 此时直线方程为3x －4y ＋20＝0. 又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0.∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.v(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.[点评] 在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB 两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)若OA ⊥OB (O 为原点)，则可转化为x 1x 2＋y 1y 2＝0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB 的中点为(x 0，y 0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 12＋y 12＝r 2，x 22＋y 22＝r 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 0y 0.该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点，直线的斜率有关的问题．跟踪练习2已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] 假设存在且令l 为y ＝x ＋m圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点即N (－m ＋12，m －12) 以AB 为直径的圆过原点，∴|AN |＝|ON |又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |2∴|AN |＝CA 2－CN 2＝9－＋m 22 又|ON |＝－m ＋122＋m －122由|AN |＝|ON |得m ＝1或m ＝－4∴存在直线l 方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0.[点评] 设l ：y ＝x ＋m 与圆方程联立，其根为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标，由条件OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，可求m ＝1或－4.3.命题方向：圆与圆的位置关系[例3] 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋(m 2－5)＝0与C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋(m 2－3)＝0，当m 为何值时：(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含．[解析] 欲求m 的值，只要列出关于m 的一个等式或不等式就可以了. 因两圆的方程已给定，那么两圆的圆心和半径就可以求出，进而获得含m 的式子，问题变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系.把圆C 1与圆C 2的方程变形(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4.故两圆的半径分别为3和2，圆心距为|C 1C 2|＝m ＋2＋－2－m 2＝2m 2＋6m ＋5. (1)若两圆外离，则|C 1C 2|>3＋2，即2m 2＋6m ＋5>5.两边平方整理得m 2＋3m －10>0，解之得 m >2或m <－5.∴当m >2或m <－5时，两圆外离.(2)若两圆外切，则|C 1C 2|＝3＋2，即 m 2＋3m －10＝0.解之得 m ＝2或m ＝－5.∴当m ＝2或m ＝－5时，两圆外切.(3)若两圆相交，则3－2<|C 1C 2|<3＋2，即⎩⎨⎧ 2m 2＋6m ＋5<5，2m 2＋6m ＋5>1.解之得，当－5<m <－2或－1<m <2时，两圆相交.(4)若两圆内切，则|C 1C 2|＝3－2，即2m 2＋6m ＋5＝1. 解之得 m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，两圆内切. (5)若两圆内含，则0<|C 1C 2|<3－2，即⎩⎨⎧2m 2＋6m ＋5<1，2m 2＋6m ＋5≥0，解之得 －2<m <－1.∴当－2<m <－1时，两圆内含．跟踪练习3已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，求动圆圆心的轨迹方程．[解析] 设动圆的圆心坐标为(a ，b )，当两圆外切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝1＋4，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝25； 当两圆内切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝4－1，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 所以动圆圆心的轨迹方程为(a －5)2＋(b ＋7)2＝25或(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 4.命题方向：圆系方程的简单应用[例4] 已知两个圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，直线l ：x ＋2y ＝0，求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程．[解析] 所求的圆经过C 1，C 2的交点，故可用圆系方程求解． 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＋λ(x 2＋y 2－4)＝0 (λ≠－1) 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0所以圆心为(11＋λ，21＋λ)，半径为：12－21＋λ2＋－41＋λ2－1－λ1＋λ依题意有|11＋λ＋41＋λ|5＝4＋16－－λ2＋λ22解之，得λ＝±1，舍去λ＝－1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0.[点评] 由于圆系方程中不包括圆x 2＋y 2－4＝0，故应检验圆x 2＋y 2－4＝0是否满足条件．而直线l ：x ＋2y ＝0显然通过该圆的圆心，故不满足条件． 跟踪练习4圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的点的圆的方程为________． [答案] x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即x 2＋y 2＋λ－λ＋1x ＋＋λλ＋1y －λ＋λ＋1＝0(λ≠－1)，圆心⎝⎛⎭⎪⎫1－λλ＋1，－5＋λλ＋1，∴1－λλ＋1－5＋λλ＋1＝0，解得λ＝－2.．相离D．以上情况都有可能M，连接MO和PF2，则两圆半径分别为＋2a，＝12|PF ＝12|PF ＝(2＋1)2＋(－1＋1)2＝9<2若直线y ＝bx ＋c 过圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心，则△ABC 面积的最大值为( ) A.3B.32 3 D. 3由m ⊥n 得b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b ＋c －a 2bc ＝12⇒A ＝π3，sin A ＝32.由于圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心为由点到直线的距离公式，得k 2＋1＝5，＝－12，∴切线方程为－12x ＋52＝＝52，令＝12×52×＝254.11．(2010·山东文)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，本题考查了圆的标准方程及圆的弦长问题，圆的弦长问题合理应用特殊直角三角形是关键，设圆心为。
2019-2020年高三数学第一轮复习 第七章直线与圆方程(小结)教案
2019-2020年高三数学第一轮复习 第七章直线与圆方程（小结）教案一．基础训练：1．点在直线上，为原点，则的最小值是 （ ） 22．过点，且横纵截距的绝对值相等的直线共有 （ ） 1条 2条 3条 4条 3．圆与轴交于两点，圆心为，若，则（ ） 84．若圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且只有两个点到直线距离等于，则半径取值范围是 （ ）5．直线与直线的交点为，则过点的直线方程是___________________。
6．已知满足38150536025100x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则的最大值为________，最小值为________。
二．例题分析：例1．过点作直线交轴，轴的正向于两点；（为坐标原点） (1)当面积为个平方单位时，求直线的方程；(2)当面积最小时，求直线的方程； (3)当最小时，求直线的方程。
例2．设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。
例3．设正方形（顺时针排列）的外接圆方程为，点所在直线的斜率为；（1）求外接圆圆心点的坐标及正方形对角线的斜率；（2）如果在轴上方的两点在一条以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程；（3）如果的外接圆半径为，在轴上方的两点在一条以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程。
三．课后作业： 班级 学号 姓名1．若方程22(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于轴的直线，则（ ） 或 1 不存在2．将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是（ ）3．是任意的实数，若在曲线上，则点也在曲线上，那么曲线的几何特征是 （ ）关于轴对称 关于轴对称 关于原点对称 关于对称4．过点任意的作一直线与已知直线相交于点，设点是有向线段的内分点，且，则点的轨迹方程是 （ ）5．如果实数满足不等式，那么的最大值是 （ ）6．过点作直线交圆于两点，则 。
2020届高考数学(文)总复习课件： 圆的方程
取值范围是
()
A．(－1,1)
B．(－ 3， 3)
C．(－ 2， 2)
D．－
22，
2 2
解析：∵点(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－ 2＜m＜ 2.故选C.
答案：C
(三)填一填
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4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，
圆心：(a，b)，半径： r ❶
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) ❷
圆心：－D2 ，－E2
，
半径：12 D2＋E2－4F
❶标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r. ❷(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2 ，－E2 ； (2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
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考点二 与圆有关的轨迹问题
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[典例] (1)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任意一点连线的
中点的轨迹方程是 A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
() B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
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2．已知圆心在直线 y＝－4x 上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0 相 切于点 P(3，－2)，则该圆的方程是________________． 解析：过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线方程为 x－y－5 ＝0，与 y＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径 r＝ 3－12＋－2＋42＝2 2， 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝8
2020年高考数学一轮复习第七章解析几何第3讲圆的方程课件理
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝0 上的圆的方程为______________； 解析：方法一，从数的角度，选用标准式. 设圆心P(x0，y0)，则由|PA|＝|PB|，得 (x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.
(2)已知圆 M 与直线 x－y＝0 及 x－y＋4＝0 都相切，圆心 在直线 y＝－x＋2 上，则圆 M 的标准方程为____________.
答案：x2＋(y－直角坐标系中，经过三点(0,0) ， (1,1)，(2,0)的圆的方程为______________.
考点 3 圆的综合应用 例 3：(1)(2014 年大纲)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切 线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于 ________.
图 7-3-1
思想与方法 ⊙ 利用函数与方程的思想求圆的方程 例题：(2017 年新课标Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0) 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求直线 l 与圆 M 的方程.
所以 OA⊥OB. 故坐标原点 O 在圆 M 上.
【互动探究】 3.已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线x＋2y－4＝0上一动 点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA ，PB，A，B 为切点，则直线 AB 经过定点( )
答案：B
3.圆的一般方程
>
1.(2015 年北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
第3节 圆的方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第三节圆的方程1．圆的定义及圆的方程＝D 2＋E 2－4F2的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，－D 2，D2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2或x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0之间存在着下列关系：位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MC |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点在圆外|MC |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点在圆内|MC |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <01．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13答案D解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.故选D.(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．答案(x－1)2＋(y－1)2＝2解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的标准方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．答案2解析∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．答案(x＋3)2＋(y－3)2＝10解析点(0，2)与点(－4，0)确定直线的斜率为k＝2－00－（－4）＝12，其中点为(－2，1)，所以线段的中垂线方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圆心在直线x＋y＝0上，由x＋y＋3＝0，＋y＝0，＝－3，＝3，所以圆心为(－3，3)，r＝（－3）2＋（3－2）2＝10，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.考点探究——提素养考点一求圆的方程例1(1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．答案x2＋y2＋4x－2y＝0解析设直径的两个端点分别为A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得a＋02＝－2，0＋b2＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝（－2＋4）2＋（1－0）2＝5，∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．答案(x＋1)2＋(y－1)2＝2解析设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，2＋b2＝r2，2＋（2－b）2＝r2，2－a）2＋（2－b）2＝r2，＝－1，＝1，＝2，因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程．【通性通法】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【巩固迁移】1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝13解析由题设知，|PA|＝10，|PB|＝13，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y＋1)2＝13.2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，得2－a）2＋（－3－b）2＝r2，2－a）2＋（－5－b）2＝r2，－2b－3＝0，＝－1，＝－2，2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，x＋y＋4＝0，－2y－3＝0，解得交点坐标C(－1，－2)，又点C到点A的距离d＝10，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考点二与圆有关的轨迹问题例2(2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，所以k AC k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式，得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)，知点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入，得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．所以直角边BC 的中点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．【通性通法】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【巩固迁移】3．已知两点A (－5，0)，B (5，0)，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程为________________．答案x 2＋y 2－252x ＋25＝0解析设P (x ，y )，由题意可知|PA |＝3|PB |，由两点间距离公式，可得（x ＋5）2＋y 2＝3（x －5）2＋y 2，化简，得x 2＋y 2－252x ＋25＝0.4．(2023·江苏淮安一模)已知点A (2，0)是圆x 2＋y 2＝4上一点，点B (1，1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．解(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x －2，2y )．因为点P在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)如图，设PQ 的中点N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.考点三与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|k2＋1≤22，解得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线x－y＋b＝0与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，解得b＝9或b＝1，所以y－x的最大值为9，最小值为1.【通性通法】借助几何性质求最值的常见形式及求解方法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【巩固迁移】5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析设圆心为C (x ，y )，则（x －3）2＋（y －4）2＝1，化简得(x －3)2＋(y －4)2＝1，所以圆心C 的轨迹是以M (3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC |＋1≥|OM |＝32＋42＝5，所以|OC |≥5－1＝4，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号．故选A.6．已知A (－2，0)，B (2，0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最大值为()A ．40B ．46C ．48D ．58答案D解析设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，|OC |＝4，所以|PO |2的最大值为(|OC |＋r )2＝(4＋1)2＝25，所以|AP |2＋|BP |2的最大值为58.考向2构建目标函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.【通性通法】建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．【巩固迁移】7．等边三角形ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为()A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案A解析设等边三角形ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且|OM |＝13|OC |，则A (－3，0)，B (3，0)，C (0，33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－2 3.考向3利用对称性求最值例5一束光线，从点A (－2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长度是()A ．52－1B ．52＋1C ．32＋1D ．32－1答案A解析如图，依题意知，圆C 的圆心C (3，3)，半径r ＝1，点A (－2，2)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－2)，连接A ′C 交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点A ′与圆C 上的点的距离的最小值为|A ′B |＝|A ′C |－r ＝（－2－3）2＋（－2－3）2－1＝52－1.在x 轴上任取点P ，连接AP ，A ′P ，PC ，PC交圆C于点B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，当且仅当点P与点O重合时取“＝”，所以最短路径的长度是52－1.故选A.【通性通法】求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【巩固迁移】8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．答案213－1解析根据题意画出圆C：x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，则当A，P分别是B′C与圆和x轴的交点时，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|为点C(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝（6－0）2＋（－2－2）2－1＝213－1.课时作业一、单项选择题1．(2023·甘肃酒泉模拟)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为() A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析∵点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，∴a2－4a＞0，且12＋12＋a＋a＞0，解得－1＜a ＜0或a＞4.∴实数a的取值范围为(－1，0)∪(4，＋∞)．故选C.2．(2023·重庆九龙坡期中)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M 以PQ为直径，则圆M的标准方程为()A．x2＋(y＋5)2＝5B．x2＋(y－5)2＝5C．x2＋(y＋5)2＝25D．x2＋(y－5)2＝25答案B解析因为圆M以PQ为直径，所以圆心M的坐标为(0，5)，半径为|MQ|＝（0－2）2＋（5－6）2＝5，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5.故选B. 3．(2024·河南洛阳阶段考试)方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是() A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]答案A解析由方程x2＋y2＋2x－m＝0，可化为(x＋1)2＋y2＝m＋1，要使得方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则满足m＋1>0，解得m>－1，所以m的取值范围为(－1，＋∞)．故选A. 4．(2024·山东淄博淄川区期末)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的方程为()A．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4B．(x－4)2＋(y＋6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x－6)2＋(y－4)2＝4答案D解析由圆的方程(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得，圆心坐标为(－2，12)，半径为2，由题意可得关于直线x－y＋6＝0对称的圆的圆心为(－2，12)关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为(a，b)，－b＋122＋6＝0，1，解得a＝6，b＝4，故圆的方程为(x－6)2＋(y－4)2＝4.故选D.5．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是() A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x答案B解析∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1，0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.故选B.6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4答案B解析∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3，4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.故选B.7．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1，0)，B (1，0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为()A ．2B ．22C ．42D ．4答案B解析由已知，得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式，得≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．故选B.8．(2023·内蒙古赤峰模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)是直线l ：3x ＋2y －4＝0上的动点，若在圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则y 0的取值范围为()AB ，2413C－1013，D．－1013，答案C解析在圆O 上总存在不同的两点A ，B 使得AB 垂直平分OP .若P 为直线l 与y 轴的交点，得P (0，2)，此时圆O 上不存在不同的两点A ，B 满足条件；若P为直线l 与x 轴的交点，得此时直线AB 的方程为x ＝23，满足条件，y 0＝0；当直线AB 的斜率存在且不为0时，∵AB ⊥OP ，k OP ＝y 0x 0，∴k AB ＝－x 0y 0，∴直线AB 的方程为y －y 02＝－化为2x 0x ＋2y 0y－x 20－y 20＝0，由圆心到直线AB 的距离d ＝x 20＋y 202<1，得x 20＋y 20<4，又3x 0＋2y 0－4＝0，化为13y 20－16y 0－20<0，解得－1013<y 0<2，∴y 0－1013，故选C.二、多项选择题9．已知△ABC 的三个顶点为A (－1，2)，B (2，1)，C (3，4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是()A ．圆M 的圆心坐标为(1，3)B ．圆M 的半径为5C ．圆M 关于直线x ＋y ＝0对称D ．点(2，3)在圆M 内答案ABD解析设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＋4－D ＋2E ＋F ＝0，＋1＋2D ＋E ＋F ＝0，＋16＋3D ＋4E ＋F ＝0，＝－2，＝－6，＝5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －6y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝5.故圆M 的圆心坐标为(1，3)，圆M 的半径为5，因为直线x ＋y ＝0不经过圆M 的圆心(1，3)，所以圆M 不关于直线x ＋y ＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M 内．故选ABD.10．设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3，0)C ．经过点(2，2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心C 的坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，故A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简，得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，故B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简，得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆C k 有两个，故C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D 正确．故选ABD.三、填空题11．(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A (4，0)，P 是圆x 2＋y 2＝4上的一动点，Q 是AP 的中点，则点Q 的轨迹方程是________．答案(x －2)2＋y 2＝1解析如图所示，设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，则x 20＋y 20＝4①，因为Q 为AP 的中点，所以x ，y 0＝2x －4，0＝2y②，所以由①②得，(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点Q 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.12．(2023·广东湛江三模)已知圆C 过点A (－2，0)，B (2，4)，当圆心C 到原点O 的距离最小时，圆C 的标准方程为________．答案(x －1)2＋(y －1)2＝10解析由A (－2，0)，B (2，4)，可得线段AB 中点的坐标为(0，2)，又k AB ＝4－02－（－2）＝1，所以AB 垂直平分线的方程为y ＝－x ＋2，则圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，当圆心C 到原点O 的距离最小时，则OC 垂直于直线y ＝－x ＋2，则OC ∥AB ，所以直线OC的方程为y ＝x ，＝x ，＝－x ＋2＝1，＝1，所以圆心C (1，1)，又半径r 2＝|AC |2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝10.13．(2024·福建泉州期中)已知点P (m ，n )在圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝9上运动，则(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为________．答案64解析由题意得，圆心C (2，2)，半径r ＝3.(m ＋2)2＋(n ＋1)2表示圆C 上的点P 到点M (－2，－1)的距离的平方，因为|CM |＝5，所以|PM |max ＝5＋3＝8，即(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为64.14．已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________．答案25解析因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，＋n ＋22＋2＝0，1，＝－4，＝－2，故A ′(－4，－2)．由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |≥|A ′C |－r ＝2 5.四、解答题15．(2023·广东佛山期中)已知圆C 过点A (4，0)，B (0，4)，且圆心C 在直线l ：x ＋y －6＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若从点M (4，1)发出的光线经过直线y ＝－x 反射，反射光线l 1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线l 1的一般方程．解(1)由A (4，0)，B (0，4)，得直线AB 的斜率为k AB ＝0－44－0＝－1，线段AB 的中点D (2，2)，所以k CD ＝1，直线CD 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x ，＋y －6＝0，＝x ，＝3，＝3，即C (3，3)，所以半径r ＝|AC |＝（4－3）2＋（0－3）2＝10，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝10.(2)由l 1恰好平分圆C 的圆周，得l1经过圆心C (3，3)，设点M 关于直线y ＝－x 的对称点N (x ，y )，则直线MN 与直线y ＝－x 垂直，且线段MNy ＝－x 上，则有（－1）＝－1，＝－x ＋42，＝－1，＝－4，所以N (－1，－4)，所以直线CN 即为直线l 1，且k l 1＝k CN ＝3－（－4）3－（－1）＝74，反射光线l 1的方程为y －3＝74(x －3)，即7x －4y －9＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，由题意可得Δ＝m 2－8m >0.则m <0或m >8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M －14，，半径r ＝|CM |＝174，＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理，得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.2＋y 2－y ＝0，＋2y －2＝0，＝0，＝1＝25，＝45.故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)17．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案ACD解析因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，故A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；由C 项知，它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·浙江温州期末)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，点M (4，2)，点P 在圆C 上，O 为原点，则下列命题正确的是()A ．M 在圆上B ．线段MP 的长度的最大值为5＋1C ．当直线MP 与圆C 相切时，|MP |＝2D ．MO →·MP →的最大值为25＋6答案BCD解析将M (4，2)代入圆的方程，(4－2)2＋(2－3)2＝5>1，所以M 在圆外，A 错误；线段MP的长度的最大值为|MC |＋1＝（4－2）2＋（2－3）2＋1＝5＋1，B 正确；当直线MP 与圆C 相切时，|MC |2＝|MP |2＋1＝[（4－2）2＋（2－3）2]2，∴|MP |＝2，C 正确；设动点P (x ，y )，点P 的轨迹是圆心为(2，3)，半径为1的圆，x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，又M (4，2)，所以MO →·MP →＝(－4，－2)·(x －4，y －2)＝－4(x －4)＋(－2)·(y －2)＝－4x －2y ＋20，因为x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，所以MO →·MP →＝－4cos θ－2sin θ＋6＝25sin(θ＋φ)＋6，θ∈[0，2π)，且sin φ＝－255，cos φ＝－55，则MO →·MP →的最大值为25＋6，D 正确．故选BCD.。
2020届高考数学(理)二轮高分冲刺专题九：解析几何(3)圆的方程+Word版含答案
解析几何（3）圆的方程1、已知圆C 方程为22()(21)9x y --+=,直线l 的方程为34120x y --=,在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个( )A ．4B ．3C ．2D ．12、过点1(1,)A －与()11B －，且圆心在直线20x y +=－上的圆的方程为（ ） A ．()22()314x y ++=－B ．22()(114)x y +=－－C ．()22314()x y ++=－D ．()()22114x y +++= 3、已知圆的方程22290x y ax +++=圆心坐标为()5,0,则它的半径为( )A. 3?B. C. 5D. 44、圆()222224121600x y ax ay a a +-++=<的周长等于( )A. aB. a -C. 22a πD. a5、方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（ ）A. 2a <-B. 203a -<<C. 20a -<<D. 223a -<< 6、已知两点(0,3)A -,(4,0)B ,若点P 是圆2220x y y +-=上的动点,则ABP △面积的最小值是( ) A.112 B.6 C.8 D.2127、P 为圆221x y +=上任一点，则P 与点(3,4)M 的距离的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．5D ．68、 设点P 是函数y =图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)(R)a a a -∈，当||PQ取得最小值时圆2221:()(0)C x a y r r -+=>上至多有2个点到直线30x +=的距离为1， 则实数r 的取值范围为( )A ．13r <<B ．13r ≤<C ．03r <<D ．03r <≤9、已知圆221:(1)(1)1C x y -++=,圆222:(4)(5)9C x y -+-=,点,M N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．210、已知圆的方程为2260,x y x +-=过点(1,2)的该圆的所有弦中，最短弦的长为( ) A.12 B.1 C.2 D.411、过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点()3,1的圆的方程是_______________.12、若方程22222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,则的取值范围是____________.13、设两条直线20,320x y x y +-=--=的交点为M ，若点M 在圆22()5x m y -+=内，则实数m 的取值范围为_____________14、已知点P 为直线1y x =+上的一点，,M N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点,则PM PN -的最大值为___________.15、已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点M1.求圆C 的方程；2.已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：圆心(2,1)C ,半径3r =,圆心C 到直线34120x y --=的距离2d == 即1r d -=∴在圆C 上到直线l 的距离为1的点有3个．2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：D解析：由题得252a -=,5a ∴=-842==,故答案为:D 点睛:(1)本题主要考查圆的一般方程,意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2) 当2240D E F +->时, 220x y Dx Ey F ++++=表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,半径为2的圆.4答案及解析：答案：B解析：原方程配方得()()22232x a y a a -++=.∵0a <,∴半径r =.∴圆的周长为()2πa ⨯=-.5答案及解析：答案：B解析：∵直线330x my +-=与6410x y ++=互相平行，∴直线330x my +-=可化为6460x y +-=，∴两平行线之间的距离d ==． 故选：B ．6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：B解析：因为(3,4)M 在圆221x y +=外，且圆心与(3,4)M 5=，又P 为圆221x y +=上任一点，所以P 与点(3,4)M 的距离的最小值等于圆心与M 的距离减去半径，因此最小值为514-=.故选B8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：B解析：圆()()221111C x y -++=：的圆心1(1,)E -，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心()4,5F ，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+;()4,5F 关于x 轴的对称点)5(4,F '-，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选：B10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析： 答案：2213203x y x y +-++= 解析：12答案及解析：答案： 1a <解析：方程,即为它表示圆,需满足故解得二:要使方程表示圆,需满足,解得13答案及解析：答案：(1,3)-解析：14答案及解析： 答案：6解析：15答案及解析：答案：1.圆C 的半径为||132CM =+=， 所以圆C 的方程为224x y += 2.圆心到直线l 的距离为222211d ==+，所以P 到直线:40l x y +-=的距离的最小值为：222 解析：。
2020年高考文科数学一轮总复习：圆的方程
2020年高考文科数学一轮总复习：圆的方程第3讲 圆的方程1．圆的方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系． (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2，3) B ．(－2，3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D.圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1解析：选B.由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 所以－1<a <1. 答案：(－1，1)(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1，1)，B (1，3)，则圆C 的方程为________．解析：因为点A (－1，1)和B (1，3)为圆C 直径的两个端点，则圆心C 的坐标为(0，2)，半径|CA |＝（2－1）2＋1＝2，所以圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝2.答案：x 2＋(y －2)2＝2求圆的方程(师生共研)(1)圆心在x 轴上，半径长为2，且过点A (2，1)的圆的方程是( ) A ．(x －2－3)2＋y 2＝4 B ．(x －2＋3)2＋y 2＝4 C ．(x －2±3)2＋y 2＝4D ．(x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(一题多解)(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．【解析】 (1)根据题意可设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4，因为圆过点A (2，1)，所以(2－a )2＋12＝4，解得a ＝2±3，所以所求圆的方程为(x －2±3)2＋y 2＝4.(2)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，①（1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋b 2＝r 2，③②由①－③，得a ＝1，代入②，得(1－b )2＝r 2，结合①，得b ＝0，所以r 2＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. 法三：记A (0，0)，B (2，0)，C (1，1)，连接AB ，由圆过点A (0，0)，B (2，0)，知AB的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC ，又圆过点C (1，1)，BC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，12，BC 所在直线的斜率k BC ＝－1，所以BC 的垂直平分线为直线y ＝x －1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1，0)，半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.【答案】 (1)C (2)x 2＋y 2－2x ＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1．(2019·湖北名校摸底)过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：选C.由题知直线AB 的垂直平分线为y ＝x ，直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点是(1，1)，所以圆的圆心为(1，1)，圆的半径为2，故圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.2．与x 轴切于原点且过点(2，1)的圆的方程是________．解析：设圆心坐标为(0，r )，则方程为x 2＋(y －r )2＝r 2，代入点的坐标求得r ＝52，所以圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254与圆有关的最值问题(典例迁移)(一题多解)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3(如图所示)．所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)法一：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.法二：由x 2＋y 2－4x ＋1＝0，得(x －2)2＋y 2＝3.设⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ.所以当cos θ＝－1时，(x 2＋y 2)min ＝7－43， 当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝7＋4 3.[迁移探究1] (变问法)在本例条件下，求y －3x ＋1的最大值和最小值．解：y －3x ＋1的几何意义是圆上一动点P (x ，y )与定点A (－1，3)连线的斜率．所以设y －3x ＋1＝k 即y ＝kx ＋k ＋ 3.当直线y ＝kx ＋k ＋3与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值． 此时，|2k ＋k ＋3|k 2＋1＝3，解得k ＝0或k ＝－3(如图所示)． 所以y －3x ＋1的最大值为0，最小值为－ 3.[迁移探究2] (变问法)在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． 解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图所示)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.求解与圆有关的最值问题的方法1．(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．解析：由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：122．设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．解析：函数y ＝－4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆(包括与x 轴的交点)．令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝5>2，所以直线x －2y－6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.答案：5－2与圆有关的轨迹问题(师生共研)已知A (2，0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 【解】 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． 解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[基础题组练]1．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝4解析：选A.根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1，2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选 D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋2B ．2C ．1＋22D ．2＋22解析：选A.将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.4．(2019·河南六校联考(一))圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝4解析：选B.设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为A (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，所以a ＝1，b ＝3，所以A (1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选B.5．(2019·山西太原模拟)已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，则实数F ＝________．解析：法一：因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以4＋4－4F4＝4，得F ＝－2.法二：方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2－F ，因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以F ＝－2.答案：－26．过两点A (1，4)，B (3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________． 解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上，所以b ＝0，所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1，4)，B (3，2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.答案：(x ＋1)2＋y 2＝207．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0. 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.8．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[综合题组练]1．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3)，则n －3m ＋2的最大值为( )A ．3＋2B ．1＋2C ．1＋3D ．2＋3解析：选D.由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，其中n －3m ＋2＝k ，将圆C 的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，C (2，7)，半径r ＝22，由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，故选D.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．3．已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 的外接圆的方程是________．解析：由题意，得2a ＝－4，所以a ＝－2.所以B (－4，－2)，C (－2，2)． 所以圆的半径为BC2＝（－4＋2）2＋（－2－2）22＝5，圆心为(－3，0)．所以△ABC 的外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5. 答案：(x ＋3)2＋y 2＝54．(应用型)已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝55．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是 (x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN .因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，OC ＝5，此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.6．(2019·河北唐山调研)已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则（x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，故此曲线方程为(x －5)2＋y 2＝16.(2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题知直线l 2与圆C 相切于M ，连接CQ ，CM ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，此时|CQ|＝|5＋3|2＝42，故|QM|的最小值为32－16＝4.。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系2.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以，可设圆心为.因为圆与轴相切，所以，半径，又因为圆截轴所得弦长为所以，.解得，故所求圆的方程为.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系.3.（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．【答案】（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．【解析】（1）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（2）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．4.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D6.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．【答案】（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b ＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．8. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.9.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A．(x-)2+y2=5B．(x+)2+y2=5C．(x-5)2+y2=5D．(x+5)2+y2=5【答案】B【解析】设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-2)2=2【解析】【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心一定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.解:∵圆A:(x-6)2+(y-6) 2=18,∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,显然所求圆B的直径2r2=2,即r2=,又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.11.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A．(x-2)2+(y+1)2=1B．(x-2)2+(y+1)2=4 C．(x+4)2+(y-2)2=4D．(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】设圆上任一点为Q(x0,y),PQ的中点为M(x,y),则解得又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.12.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.13.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，当CQ⊥l时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.114.过点引直线与曲线相交于两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于．【答案】－【解析】由得：；表示圆心在原点，半径的圆位于轴下方的部分（含端点）；如下图：直线的方程为：，即，所以，当，即，整理得：又因为，所以，.故答案填：【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、数形结合.15.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
高考数学总复习 第七章 第三节圆的方程课时精练 理(1)
第三节 圆的方程1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.故选B.答案：B2．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝100B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25答案：C3．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，由中点公式得点A (2x －3,2y )．∵点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.故选C.答案：C4．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM ＝－2，所以k l ＝12.所以直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0. 答案：D5．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4表示以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆，当－a <－2且2a ＞0， 即a >2时，曲线C 上所有的点均在第二象限内，故选D.答案：D6．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则||PM 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案：D7．(2013·吉林模拟)圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，得b ＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，∴a －b <4，故选A.答案：A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.故选C.答案：C9．(2013·佛山、江门二模)已知圆C 经过点A (0,3)和B (3,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，则圆C 的方程为__________．解析：设圆心坐标为C (a ，a )，则由题意可得半径r ＝a 2＋(a －3)2＝(a －3)2＋(a －2)2，解得 a ＝1，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝510．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为____________．解析： 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22， 解得k ＝1或177. 答案：1或17711．(2013·温州模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b 为正实数)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________．解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋a b ＋2b a≥3＋2 2.等号成立的条件为a ＝2－2，b ＝2－1.答案：3＋2 212．已知曲线C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －|x |x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －|y |y 2＝8，给出下列三个结论：①曲线C 与两坐标轴有公共点；②曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P ，Q 在曲线C 上，则|PQ |的最大值是6 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：显然x ≠0，y ≠0，所以①错误．分四种情况去掉绝对值，可画出其图形，其图形是圆(x －1)2＋(y －1)2＝8在第一象限的圆弧关于x ，y 和原点对称而形成的不包括坐标轴上的点的图形，其图形上两点间的最大距离是圆半径的3倍，即62，所以②③正确．答案：②③13．求过两点A (1,4)，B (3,2)，且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程，并判断点M 1(2,3)，M 2(2,4)与圆的位置关系．解析：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A ，B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上，因此圆心坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)，半径r ＝(－1－1)2＋(0－4)2＝20，所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.因为M 1到圆心C (－1,0)的距离为(2＋1)2＋(3－0)2＝18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |＝(2＋1)2＋(4－0)2＝25>20，所以M 2在圆C 外．14．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＋4＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2· (x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1. 所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0).15．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴|OC |2＝t 2＋4t2. ∴圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2. 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解析：∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12. ∴直线OC 的方程是y ＝12x . ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，满足圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.此时圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
2020版高中数学总复习教案及练习讲义归纳整理65圆的方程(提高)提高巩固练习
【巩固练习及参考答案与解析】1.方程y =表示的曲线是( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆2.圆的方程为(1)(2)(2)(4)0x x y y -++-+=,则圆心坐标是( ) A.(1,1)- B.1(,1)2- C.(1,2)- D.1(,1)2-- 3.若方程224250x y x y k +-++=表示圆,则实数k 的取值范围是( ) A.R B.(,1)-∞ C.(,1]-∞ D.[1,)+∞4.(2015 黑龙江高考)过三点()((1,0,,A B C 则ABC ∆的外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B. C. D. 435.过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是( ) A.22(3)(1)4x y -++= B.22(3)(1)4x y ++-= C.22(1)(1)4x y -+-= D.22(1)(1)4x y +++=6.设(,)P x y 是圆22(4)4x y ++=上任意一点,( )2 C.5 D.67.若直线10(0,0)ax by a b ++=>>过圆222210x y x y ++++=的圆心,则ab 的最大值为( ) A.116 B.14C.4D.16 8.圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=()a b ∈R 、对称,则ab 的取值范围是 A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d=________. 10.若圆经过点A(a,0)、B(2a,0)、C(0,a)(a≠0),则这个圆的方程是_________________.11.(2015 河池一模)在平面直角坐标系xoy 中,设直线:10l kx y -+=与圆C:220x y +=相交于A 、B 两点,以OA,OB 为领边作平行四边形OAMB,若点M 在圆C 上,则实数k = .12.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是________________. 13.设P 为圆221x y +=上的动点,则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值是________________.14.两圆交于点A(1,3)和B(m,1),两圆的圆心都在直线02cx y -+=上,则m c +的值等于________. 15.点P 是圆22:42110C x y x y +-+-=上的任一点,PC 的中点是M,试求动点M 的轨迹方程. 16.在平面直角坐标系xoy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上. (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点,且OA OB ⊥,求a 的值.17.(2015 盐城校级模拟)已知圆O 的方程为x 2+y 2=13,直线l:x 0x+y 0y=13,设点A(x 0,y 0). (1)若点A 在圆O 外,试判断直线l 与圆O 的位置关系；(2)若点A 在圆O 上,且x 0=2,y 0＞0,过点A 作直线AM,AN 分别交圆O 于M,N 两点,且直线AM 和AN 的斜率互为相反数.①若直线AM 过点O,求tan ∠MAN 的值；②试问:不论直线AM 的斜率怎么变化,直线MN 的斜率是否为定值？若是,求出该定值；若不是,说明理由. 【参考答案与解析】1.D 解析:方程y =化为229(0)x y y +=≥,所以方程y =229x y +=位于x 轴上方部分,是半个圆.故选D.2.D 解析:由题意得圆的直径的两个端点是(1,2)和(-2,-4),所以圆心是1(,1)2--.故选D. 3.B 解析:由题意得164200k +->,解得1k <.故选B. 4.【答案】B【试题解析】因为ABC ∆的外接圆圆心在直线BC 的垂直平分线上,即直线x=1上,可设圆心()1,P p 由PA=PB 得p =p =圆心坐标为1,3P ⎛ ⎝⎭所以圆心到原点的距离3OP ===故选B. 5.C 解析:AB 的垂直平分线方程是0x y -=,解方程组20x y x y +-=⎧⎨=⎩,得1,1.x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标是(1,1),仅有选项C 中的圆心是(1,1).故选C.6.A 解析:如图,设||PA =,则|PA|的最大值为|AC|+r 2=.故选A.7.B解析:圆心为(-1,-1),所以10a b --+=.则1b a =-.则2211(1)()24ab a a a a a =-=-+=--+. 由于0a >,所以当12a =时,ab 取得最大值为14.故选B. 8. A解析:∵ 直线过圆心,∴ -2a -2b+2=0,即a+b=1,∴ 2221()24a b a a b b a b =+=++≥, ∴ 14ab ≤. 9. 3解析:∵ 222440x y x y +--+=,∴ 22(1)(2)1x y -+-=. 圆心(1,2)到3440x y ++=的距离为3d ==.10.x 2+y 2-3ax-3ay+2a 2=0 解析:本题给出了三个点,所以可设圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将三个点的坐标代入就可以求得圆的方程. 11.【答案】0【试题解析】直线10kx y -+=于圆224x y +=相交于AB 两点 联立两方程得:()221230k x kx ++-=()2222,211A B A B A Bk x x y y k x x k k ∴+=-+=++=++ AB ∴中点C 的坐标为221,11k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭依题意2OM OA OB OC =+= 2222,11kM k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭M 在圆上,代入方程化简得()2210kk+=解得k =012.425)23()2(22=-+-y x 解析:直线与两坐标轴的交点是A 、B,AB 为圆的直径,即AB 的中点为圆心,AB 长的一半为圆的半径. 13.1解析:圆221x y +=的圆心是O(0,0),圆心O 到直线34100x y --=的距离是2d ==,所以点P 到直线34100x y --=的距离的最小值是211d r -=-=.故填1. 14. 3解析:由题意,AB 与直线02c x y -+=垂直,且AB 中点在02cx y -+=上,∴ 1311AB k m -==--,m=3,12022m c+-+=,∴ c=0,∴ m+c=3. 15.分析:由于动点M 的变化是由点P 的变化引起的,点P 在圆上,所以用中间量法求点M 的轨迹方程. 解:设(,)M x y ,由已知圆心(2,1)C -,则(22,21)P x y -+. 又点P 在圆22:42110C x y x y +-+-=上,所以动点M 的轨迹方程22(22)(21)4(22)2(21)110x y x y -++--++-=, 即224210x y x y +-++=.16. 解析:(1)曲线261y x x =-+与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+,(3-.故可设C 的圆心为(3,)t ,则有22223(1)t t +-=+,解得1t =.则圆C 3=,所以圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=.(2)设1122(,),(,)A x y B x y ,其坐标满足方程组:220,(3)(1)9.x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩ 消去y ,得到方程222(28)210x a x a a +-+-+= 由已知可得,判别式2561640a a ∆=-->因此1,2x =,从而21212214,2a a x x a x x -++=-=(1)由于OA OB ⊥,可得12120,x x y y +=又1122,y x a y x a =+=+,所以212122()0,(2)x x a x x a +++=由(1)(2)得1a =-,满足0,∆>故1a =-. 17.【试题解析】(1)∵点A 在圆O 外,∴x 02+y 02＞13,由于圆心(0,0)到直线l:x0x+y0y=13的距离d=＜=r,故直线和圆相交.(2)∵点A在圆O上,且x0=2,y0＞0,可得y0=3,∴点A(2,3).①若直线AM过点O,则AM的斜率为K AM=,∴K AN=﹣,tan∠MAN=||=||=.②记直线AM的斜率为k,则直线AM的方程为:y=kx+3﹣2k.将y=kx+3﹣2k代入圆O的方程得:x2+(kx+3﹣2k)2=13,化简得:(k2+1)x2+2k(3﹣2k)x+(3﹣2k)2﹣13=0,∵2是方程的一个根,∴2x M=,∴x M=, 由题意知:k AN=﹣k,同理可得,x N=,∴kMN==k•=k•=,∴不论直线AM的斜率怎样变化,直线MN的斜率总为定值.。
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第七章 第3节
1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( ) A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内
D ．不确定
解析：B [将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．故选B.]
2．(2019·南开区模拟)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0
D ．x 2＋y 2－10x ＝0
解析：B [圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，设圆的圆心(0，r )，半径为r ，则(3－0)2＋(1－r )2＝r .解得r ＝5，所求圆的方程为x 2＋(y －5)2＝25，即x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.] 3．(2019·揭阳市模拟)设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )
A.855－2
B. 5
C.5－2
D.755
－2
解析：C [如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1,0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C.]
4．圆心在曲线y ＝2
x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25
解析：A [由圆心在曲线y ＝2
x (x >0)上，设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，2a ，a >0.又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝2a ＋2
a ＋1
5≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2
a ，即a ＝1时取等号，所以
圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.故选A.]
5．(2019·温州市一模)已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，B ，C 是圆上的两点，H 是点B 在AC 上的射影，当点C 运动，点H 运动的轨迹( )
A ．是圆
B ．是椭圆
C ．是抛物线
D ．不是平面图形
解析：A [设定圆圆心为O ，半径为r ，连接OH ，设直径BD ，连接AD ，CD ，由AB ⊥平面BCD ，可得AB ⊥CD ，由直径所对圆周角为直角，可得CD ⊥BC ，即有CD ⊥平面ABC ，可得CD ⊥BH ，BH ⊥AC ，即有BH ⊥平面ACD ，则BH ⊥DH ，在直角三角形BDH 中，可得OH ＝OB ＝OD ＝r ，即有H 的轨迹为以O 为圆心，r 为半径的圆．故选A.]
6．已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为________． 解析：方法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.
又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3且k AC ·k BC ＝－1，
所以y x ＋1·y
x －3
＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.
因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)． 由直角三角形的性质知，AD ＝DB ＝DC .
由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．
答案：x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)
7．(2019·南充市模拟)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．
解析：∵直线2ax －by ＋2＝0(a 、b ∈R )始终平分x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，可得－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a .∴a ·b ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤1
4，当且仅当a ＝1
2
时等号成立，因此a ·b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14. 答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，1
4 8．(2019·贵阳市一模)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
解析：设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝
|PM |2－|MQ |2＝
|PM |2－1.
要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离． 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝
|3－0＋1|
12＋(－1)2
＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |
＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7.
答案：7
9．(2019·唐山市调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；
(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．
解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则
(x ＋3)2＋y 2＝2
(x －3)2＋y 2.
化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝
|CQ |2－|CM |2＝
|CQ |2－16，
当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， 此时|CQ |＝
|5＋3|
2
＝42， 则|QM |的最小值为
32－16＝4.
10．已知点(x ，y )满足(x －3)2＋(y －4)2＝9，求： (1)3x ＋4y 的最大值与最小值； (2)(x ＋1)2＋y 2的最小值．
解：(1)设3x ＋4y ＝t ，直线与圆有公共点， ∴|9＋16－t |5
≤3⇔|t －25|≤15⇔10≤t ≤40.
∴t min ＝10，t max ＝40.
(2)解法一：(x ＋1)2＋y 2＝(4＋3cos θ)2＋(4＋3sin θ)2＝41＋24(sin θ＋cos θ)＝41＋242sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4， ∴其最小值为41－24 2.
解法二：设M (x ，y )是圆上的点，圆外一点M 0(－1,0)，则(x ＋1)2＋y 2的几何意义是|MM 0|2，而|MM 0|最小值是
|M 0C |－r ，即(42＋42－3)2＝41－24 2.。