2013年中考数学模拟试题及答案

九年级数学试卷
一、选择题（30分） 1
）
A 、4±
B 、4
C 、2±
D 、2 2、下列事件中，是确定事件的是( ) .
A.打雷后会下雨
B. 明天是睛天
C. 1小时等于60分钟
D.下雨后有彩虹
3、如图所示的Rt ⊿ABC 绕直角边AB 旋转一周，所得几何体的主视图为（ ）
4、二次函数y=kx 2
） A.K ﹤3 B.K ﹤3且K ≠0 C.K ≤
3 D.K ≤3且K ≠0
5、已知⊙1O ，与⊙2O 的半径分别为2和3，若两圆相交．则两圆的圆心距m 满足（ ） A . 5m = B ．1m = C . 5m > D . 15m <<
6、如图，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其
对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为( ) A ．4π cm
B ．3π cm
C ．2π cm
D ．π cm
7、若△ABC ∽△DEF ,△DEF 与△ABC 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为
( )
A.1:2
B.1:4
C.2:1
D.4:1 8、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3
cos 5
A =，BE =2， 则tan ∠DBE 的值是( )
A ．1
2 B ．2 C ．2 D ．5
9、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：
03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为（ ）
A 、－3
B 、5
C 、5或－3
D 、－5或3
C
C
第8题图
（第6题）
A
B
C
D
O
10、已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如右图所示， 下列结论: ①0abc > ②b a c <+
③20a b += ④()(1a b m am b m +>+≠的实数)， 其中正确的结论有( )
A 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个
二、填空题（18分） 11、在函数y =
x 的取值范围是 . 12、已知三角形两边长是方程2
560x x -+=的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是
13、从1，2，3，…，19，20这二十个整数中任意取一个数，这个数是3的倍数的概率是 ． 14、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为2和3，则∠BAC 的度数为 。

、 15、如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的 小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似 中心的坐标是___________． 16、已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线
732+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x 上，
且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为
三、解答题（7+7+7+8+8+8+8+9+10=72分） 17、计算(7分) 2sin45°-|-2|-（1-3）°+（
31）1
--121-
18、已知1
31-=
a ，1
31+=
b ，求⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+a b b a
ab 的值。

19、解方程组:
12=-y x
04322=++--y x y xy x
20、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A 、B 、C 。

若A 点的坐标为 （0，4），D 点的坐标为（7，0），
（1）圆弧所在圆的圆心M 点的坐标为 （2）点D 是否在经过点A 、B 、C 三点的抛物线上； （3）在（2）的条件下，求证直线CD 是⊙M 的切线。

21、春节期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、
绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书
券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那
么可以直接获得10元的购书券． （1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；
（2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合
算？请说明理由．
22、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝A 的仰角为60°，风筝B 的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？ （2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.
(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin 60°≈0.866,cos60°=0.5,tan 60°≈1.732）
２3、如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200 m 、120 m ，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m 、2x m ． （1）用代数式表示三条通道的总面积S ；当通道总面积为花坛总面积的
125
11
时，求横、纵通道的宽分别是多少？ （2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168 x 元，
第18题图
(第22题)
那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价． （以下数据可供参考：852 = 7225，862 = 7396，872 = 7569）
24、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ， OE ＝
1
2
BC ． （1）求∠BAC 的度数．
（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ．求证：四边形AFHG 是正方形． （3）若BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．
25、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－
3
2x 2
+b x +c ，经过A （0，－4）
、 B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．
（1）求b 、c 的值；
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以
BC 为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标， 并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
参考答案：
一、BCCDD CCBAB
二、（11）2
1
1≠-≥x x 且 (12) 51<<c (13)
10
3 (14) 15。

或75。

（15）（9，0） （16）y=x 2--2x+6 或y=x 2--2x--4 或y=--x 2+2x+4 或y=--x 2+2x--6
三、17、21-
18、3=+b a 19、
1
311==y x
3
13122-
==
y x
20、（1）(2,0) （2分）
（2）由A （0，4），可得小正方形的边长为1，从而B （4，4）、C （6，2）
设经过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y ax bx =++2
4
依题意4164423664=++=++⎧⎨⎩a b a b ，解得a b =-=
⎧
⎨⎪⎪⎩
⎪⎪16
23
所以经过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y x x =-
++162
3
42
把点D （7，0）的横坐标x =7代入上述解析式，得
y =-⨯+⨯+=≠164923741
2
0 所以点D 不在经过A 、B 、C 的抛物线上 （3分）
（3）设过C 点与x 轴垂直的直线与x 轴的交点为E ，连结MC ，作直线CD 。

所以CE ＝2，ME ＝4，ED ＝1，MD ＝5 在Rt △CEM 中，∠CEM ＝90° 所以MC ME CE 2
2
2
2
2
4220=+=+= 在Rt △CED 中，∠CED ＝90° 所以CD ED CE 2
2
2
2
2
125=+=+= 所以MD MC CD 222
=+
所以∠MCE ＝90° 因为MC 为半径，
所以直线CD 是⊙M 的切线 （３分）
21、解：（1）P （获得45元购书券） =
1
12
； （４分） （2）123
45302515121212
⨯
+⨯+⨯=（元）. ∵15元＞10元， ∴转转盘对读者更合算 （４分）
22、（1）分别过A ，B 作地面的垂线，垂足分别为D ，E ．
在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°，∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m 在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m ∵17.32>16.97 ∴风筝A 比风筝B 离地面更高． （４分） （2）在Rt △ADC 中， ∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m 在Rt △BEC 中， ∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m
∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m 即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ．（４分）
23、（1）由题意得 S = 3x · 200 + 2x · 120×2－2×6x 2 =－12x 2
+ 1080x ．
由 S =
125
11
×200×120，得 x 2－90x + 176 = 0，解得 x = 2 或 x = 88． 又 x ＞0，4x ＜200，3x ＜120，解得0＜x ＜40，所以x = 2，得横、纵通道的宽分别是 6 m 、4 m ． （４分）
（2）设花坛总造价为y 元．则 y = 3168x +（200×120－S ）×3 = 3168x +（24000 + 12x 2－
1080x ）×3= 36x 2－72x + 72000 = 36（x －1）2 + 71964， 当x = 1，即纵、横通道的宽分别为3 m 、2 m 时，花坛总造价量低，最低总造价为71964元． （４分） 24、（1）连结OB 和OC ．∵ OE ⊥BC ，∴ BE ＝CE ．
∵ OE ＝
1
2
BC ，∴ ∠BOC ＝90°，∴ ∠BAC ＝45° （３分） （2）∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90°． 由折叠可知，AG ＝AF ＝AD ，∠AGH ＝∠AFH ＝90°， ∠BAG ＝∠BAD ，∠CAF ＝∠CAD ， ∴ ∠BAG ＋∠CAF ＝∠BAD ＋∠CAD ＝∠BAC ＝45°． ∴∠GAF ＝∠BAG ＋∠CAF ＋∠BAC ＝90° ∴四边形AFHG 是正方形． （3分）
（3）由（2）得，∠BHC ＝90°，GH ＝HF ＝AD ，GB ＝BD ＝6，CF ＝CD ＝4． 设AD 的长为x ，则 BH ＝GH －GB ＝x －6，CH ＝HF －CF ＝x －4．
在Rt △BCH 中，BH 2＋CH 2＝BC 2，∴ （x －6）2＋（x －4）2＝102． 解得，x 1=12，x 2＝－2（不合题意，舍去）．∴ AD ＝12． （3分） 25、（1）解法一：∵抛物线y =－
3
2x 2
+b x +c 经过点A （0，－4）
，∴c =－4
又由题意可知，x 1、x 2是方程－3
2x 2
+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=
23b ， x 1x 2=－2
3
c =6 由已知得（x 2-x 1）2=25又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2
－4x 1x 2=
4
9b 2
－24 ∴
49b 2－24=25 ，解得b =±314 当b =3
14
时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b =－
3
14
． 解法二：∵x 1、x 2是方程－
3
2x 2
+b x +c=0的两个根， 即方程2x 2
－3b x +12=0的两个根．∴x =
4
96
9b 32-±
b ，
∴x 2－x 1=2969b 2-=5， 解得 b =±3
14
（以下与解法一相同．） （３分）
（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴
上， 又∵y =－
32x 2－314x －4=－32（x +27）2+6
25
∴抛物线的顶点（－27，6
25
）即为所求的点D ． （３分）
（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与
抛物线y =－
32x 2-3
14
x -4的交点， ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2
－3
14×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形．
四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是 （－3，3），但这一点不在抛物线上． （４分）。