第三十五讲 基本不等式及其应用课件.ppt
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第七模块 不等式 推理与证明
(必修 5：第三章 不等式； 选修 2－2：第二章 推理与证明)
第三十五讲 基本不等式及其应用
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1.算术平均数
a＋b
如果 a，b∈R＋，那么 2 叫做这两个正数的算术平
等于它们的几何平均数．
4．变式形式
①ab≤a2＋2 b2；② ab ≤a＋2 b2；③ba＋ab≥ 2 (ab>0)；④
a＋2 b2≤
a2＋b2 2
；⑤ a＋b
≤
2a2＋b2.上述不等式中等号
成立的充要条件均为 a＝b.
5．已知 x，y 都是正数
(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取最大
[解] (1)解法一：∵a>0，b>0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116，所以 ab 的最大值为116.
思考感悟 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意什么？ 提示 (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)回到实际问题中，写出实际问题的答案．
考点陪练
1.函数 y＝log2x＋logx2 的值域是( )
A．(－∞，－2]
均数．
2．几何平均数
如果 a，b∈R＋，那么 ab 叫做这两个正数的几何平均
数．
3．重要不等式
如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥ 2ab (当且仅当 a＝b 时，
取“＝”)；
均值定理：如果 a，b∈R＋，那么a＋2 b≥ ab (当且仅当 a
＝b 时，取“＝”)． 均值定理可以叙述为：两个正实数的算术平均数大于或
22＋abb＝1a·1＋b b2＝1a1b＋12≤1a＋1b2＋122＝196.
答案 A
名师讲解·练思维
类型一 证明不等式 解题准备 证明不等式是均值不等式的一个基本应用， 注意分析不等式的左右两边的结构特征，通过拆(添)项创设一 个应用均值不等式的条件．在解决本类问题时注意以下几点： ①均值不等式成立的前提条件；②通过加减项的方法配凑成 算术平均数、几何平均数的形式；③注意“1”的代换；④灵活 变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用．
值 14S2. (2)若 xy＝P(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最
小值 2 P.
即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定 值，则可求其和的最小值．应用此结论要注意三个条件；“一 正二定三相等”，即：
① 各项或各因式为正 ；②和或积为定值 ；③各项或 各因式都能取得相等的值．
【典例 1】 证明：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a ＋b＋c)．
[分析] 利用 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)求证即可．
[证明] ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， 又 a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2， c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即 a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)． 即原命题可得证．
[反思感悟] 证明不等式时，可依据求证式两端的 式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证．
如 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b ≥ ab(a，b∈{正实数})可变形为 ab≤a＋2 b2 等．同时要从整 体 上 把 握 基 本 不 等 式 ， 如 ： a4 ＋ b4≥2a2b2 ， a2b2 ＋ b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活运 用．本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通 过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明 方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性.
(3)ab≤a＋2 b2(当且仅当 a＝b 时取等号)； (4)a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当 a＝b＝c 时取等 号)．
【典例 2】 解下列问题： (1)已知 a>0，b>0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； (2)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求4x＋9y的最小值．
答案 B
评析 本题考查“基本不等式”的知识，题目中涉及的 代数表达式较多，解题时可采用特值检验法．平时复习还要 注意“调和平均数”与这些式子的大小关系．
5．(2011·11 月全国百校联盟)a，b 都为正实数，且1a＋1b＝
1，则22＋abb的最大值为(
)
9
1
A.16
B.2
5
ห้องสมุดไป่ตู้
3
C.16
D.4
解析
B．[2，＋∞)
C. [－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 D
2．已知 x＋3y＝2，则 3x＋27y 的最小值为( )
A．6 C．2 2
B．33 9 D．4
答案 A
3．给出下列各式：①a2＋1>2a；②x＋1x≥2；③a＋abb≤2；
④x2＋x2＋1 1≥1.其中正确的个数是(
)
A．0
类型二 求最值
解题准备 1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式
的最值．
2．应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不
等式，主要有
(1)如果 a，b∈(0，＋∞)，
那么
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b.
(2)若 x∈(0，＋∞)，则 x＋1x≥2；若 x∈(－∞，0)，则 x ＋1x≤－2(当且仅当 x＝y 时取等号)；
B．1
C．2
D．3
答案 C
4．(2011·陕西)设 0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解析 代入 a＝1，b＝2，则有 0<a＝1< ab＝ 2<a＋2 b＝ 1.5<b＝2.我们知道算术平均数a＋2 b与几何平均数 ab的大小 关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为 B.
(必修 5：第三章 不等式； 选修 2－2：第二章 推理与证明)
第三十五讲 基本不等式及其应用
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1.算术平均数
a＋b
如果 a，b∈R＋，那么 2 叫做这两个正数的算术平
等于它们的几何平均数．
4．变式形式
①ab≤a2＋2 b2；② ab ≤a＋2 b2；③ba＋ab≥ 2 (ab>0)；④
a＋2 b2≤
a2＋b2 2
；⑤ a＋b
≤
2a2＋b2.上述不等式中等号
成立的充要条件均为 a＝b.
5．已知 x，y 都是正数
(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取最大
[解] (1)解法一：∵a>0，b>0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116，所以 ab 的最大值为116.
思考感悟 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意什么？ 提示 (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)回到实际问题中，写出实际问题的答案．
考点陪练
1.函数 y＝log2x＋logx2 的值域是( )
A．(－∞，－2]
均数．
2．几何平均数
如果 a，b∈R＋，那么 ab 叫做这两个正数的几何平均
数．
3．重要不等式
如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥ 2ab (当且仅当 a＝b 时，
取“＝”)；
均值定理：如果 a，b∈R＋，那么a＋2 b≥ ab (当且仅当 a
＝b 时，取“＝”)． 均值定理可以叙述为：两个正实数的算术平均数大于或
22＋abb＝1a·1＋b b2＝1a1b＋12≤1a＋1b2＋122＝196.
答案 A
名师讲解·练思维
类型一 证明不等式 解题准备 证明不等式是均值不等式的一个基本应用， 注意分析不等式的左右两边的结构特征，通过拆(添)项创设一 个应用均值不等式的条件．在解决本类问题时注意以下几点： ①均值不等式成立的前提条件；②通过加减项的方法配凑成 算术平均数、几何平均数的形式；③注意“1”的代换；④灵活 变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用．
值 14S2. (2)若 xy＝P(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最
小值 2 P.
即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定 值，则可求其和的最小值．应用此结论要注意三个条件；“一 正二定三相等”，即：
① 各项或各因式为正 ；②和或积为定值 ；③各项或 各因式都能取得相等的值．
【典例 1】 证明：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a ＋b＋c)．
[分析] 利用 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)求证即可．
[证明] ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， 又 a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2， c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即 a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)． 即原命题可得证．
[反思感悟] 证明不等式时，可依据求证式两端的 式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证．
如 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b ≥ ab(a，b∈{正实数})可变形为 ab≤a＋2 b2 等．同时要从整 体 上 把 握 基 本 不 等 式 ， 如 ： a4 ＋ b4≥2a2b2 ， a2b2 ＋ b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活运 用．本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通 过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明 方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性.
(3)ab≤a＋2 b2(当且仅当 a＝b 时取等号)； (4)a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当 a＝b＝c 时取等 号)．
【典例 2】 解下列问题： (1)已知 a>0，b>0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； (2)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求4x＋9y的最小值．
答案 B
评析 本题考查“基本不等式”的知识，题目中涉及的 代数表达式较多，解题时可采用特值检验法．平时复习还要 注意“调和平均数”与这些式子的大小关系．
5．(2011·11 月全国百校联盟)a，b 都为正实数，且1a＋1b＝
1，则22＋abb的最大值为(
)
9
1
A.16
B.2
5
ห้องสมุดไป่ตู้
3
C.16
D.4
解析
B．[2，＋∞)
C. [－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 D
2．已知 x＋3y＝2，则 3x＋27y 的最小值为( )
A．6 C．2 2
B．33 9 D．4
答案 A
3．给出下列各式：①a2＋1>2a；②x＋1x≥2；③a＋abb≤2；
④x2＋x2＋1 1≥1.其中正确的个数是(
)
A．0
类型二 求最值
解题准备 1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式
的最值．
2．应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不
等式，主要有
(1)如果 a，b∈(0，＋∞)，
那么
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b.
(2)若 x∈(0，＋∞)，则 x＋1x≥2；若 x∈(－∞，0)，则 x ＋1x≤－2(当且仅当 x＝y 时取等号)；
B．1
C．2
D．3
答案 C
4．(2011·陕西)设 0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解析 代入 a＝1，b＝2，则有 0<a＝1< ab＝ 2<a＋2 b＝ 1.5<b＝2.我们知道算术平均数a＋2 b与几何平均数 ab的大小 关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为 B.