重积分论文

重积分论文

摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。

关键词：重积分

在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积

分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数

的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二

重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，

三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实

过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种

知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科

中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于

重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而

计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学

习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。

I .重积分的应用归纳如下:

1.1曲面的面积 设曲面∑的方程为()，y x f z

,=∑在xoy 面上的投影为xy D ，函数()y x f ,在D 上具

有连续偏导数，则曲面∑的面积为：

()()⎰⎰⎰⎰++=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D y x D d y x f y x f dxdy y f x f A σ,,112

22

2

若曲面∑的方程为()，z y g x ,=

∑在yoz 面上的投影为yz D ，则曲面∑的面积为：

()()⎰⎰⎰⎰

++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D

z y D

d z y f z y f dydz z g y g A σ,,112

22

2

若曲面∑的方程为

()，x z h y ,=∑在zox 面上的投影为zx D ，则曲面∑的面积为：

()()⎰⎰⎰⎰

++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D

x z D

d x z f x z f dzdx x h z h A σ,,112

22

2

例1：计算双曲抛物面xy z =被柱面222

R y x =+所截出的面积A 。

解：曲面在xoy 面上投影为222

:R y x

D ≤+,则

⎰⎰++=D

y x dxdy z z A 2

2

1

即有

:

()322

20

2113D

A d R πθπ⎡⎤===+-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰⎰

从而被柱面222

R y x

=+所截出的面积A 如上所示。

例2:求半径为a 的球的表面积.

解:取上半球面方程为222y x a z --=

,

则它在xoy 面上的投影区域(){}222

,a y x

y x D ≤+=.

又由 ,222y x a x x z ---=∂∂,

222y x a y y z ---=∂∂

得 .12

222

2

y x a a y z x z --=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+

因为这函数在闭区域

D 上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域

(){}

()a b b y x y x D <<≤+=0,2221为积分区域,算出相应于1D 的球面面积1A 后,令a b →取1A 的极限就得半球面的面积.

⎰⎰

--=1

,2

2

2

1D dxdy y

x a a A

利用极坐标,得

⎰

⎰⎰

⎰-=-=b

D a d d a d d a a A 0

2

220

2

211

ρρ

ρθθρρρπ

于是 ()

.22lim lim 2221a b a a a A a

b a b ππ=--=→→ 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为

.42a A π=

1.2质量

1.2.1平面薄片的质量

若平面薄片占有平面闭区域D ，面密度为()y x ,μ，则它的质量为()⎰⎰=D

d y x m σμ,，

其中()σμ

d y x dm ,=称为质量元素.

1.2.2物体的质量

若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ

，则它的质量为()⎰⎰⎰=D

dv

z y x m ,,μ