常见的空间曲面与方程

合集下载

83曲面及其方程

20
一般地,在空间解析几何
z
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴;
x 准线 xoy 面上的曲线 l1 : F ( x, y) 0
l1
y
z
l2
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
y
母线平行于 x 轴;
x
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G( y, z) 0
观察柱面的形成过程:
准线
C
母线
17
柱面演示
播放
18
例如: 考虑方程 x2 + y2 = R 2 所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面.
相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
24
(1) 椭球面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
z x2 y2 cot
两边平方
z2 a2( x2 y2 )

o
y
x
---圆锥面的标准方程
13
y2 z2
例6 以曲线

a
2
c2
1 为母线,
y 0

常用曲线和曲面的方程及其性质

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。

一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。

一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时，椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。

一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。

大学数学_7_4 曲面与曲线

z
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升，( , v都是常数) ，则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线（7-35），试建立其参数方程. z 解取时间 t 为参数，设t 0 时动点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面），在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b

空间曲面及其方程

旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面成为切平面，该点称为切点。
例求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方程。
解：显然整个球面在同一卦限，又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面以直线通过一定点，一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线定点固定线母线顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。

高等数学-几种常见的二次曲面

母线平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:

常见曲面方程总结(一)

常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。

在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。

本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。

正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。

它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。

•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。

•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。

二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。

•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。

三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。

•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。

•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。

四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。

•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。

空间解析几何基本知识《微积分》

2 2
39
例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
分别绕 x
x y z 1 2 2 a c 绕 z 轴旋转所成曲面方程为
2 2 2
z
x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2 2 2
x
y
7-1 空间解析几何基本知识
1
第七章第一节空间解析几何基本知识
一、空间直角坐标系
二、曲面及其方程的概念三、几种常见的曲面及其方程
2
复习
1.空间直角坐标系
Ⅲ
z 轴(竖轴)
z zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
Ⅷ
o
y
Ⅵ
Ⅴ
Ⅰ
y轴(纵轴)
x
x轴(横轴)
3
复习
2.平面基本方程: 一般式截距式 3.平面一般方程 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0) 的几种特殊情况： (1) D 0, 平面A x + B y + C z = 0通过坐标原点；
y
7
一般的 (1) 定义平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫
柱面的准线，动
直线L 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: C
8
三、柱面
(1) 定义平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C 叫柱面的准线，动
直线L 叫柱面的
x2 y2 4
y x 1
以 z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面

第三节空间曲面及方程

即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:

8_3空间曲面.

P0 d
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
机动目录上页下页返回结束
6.平行平面间的距离有两个平行平面:
Ax + By + Cz+D1 = 0, Ax + By +Cz+ D2 = 0,
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
机动目录上页下页返回结束
例2. 研究方程的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)Biblioteka y两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
机动目录上页下页返回结束
例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
第三节空间曲面
一、空间曲面的方程
二、空间平面三、几种常见的空间曲面
第八章
机动目录上页下页返回结束
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:

第四节曲面及其方程

1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上运动，且这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
机动目录上页下页返回结束
空间区域在坐标平面上的投影草图画法

几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线

O
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。解方程便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
机动目录上页下页返回结束
1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变，换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
z
x
l3
x
母线平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
机动目录上页下页返回结束
3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转
一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转

空间中的曲面和曲线及二次曲面

33

第六章二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a

第六章二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面当a = b = c = R时——半径为R的球面
23

高等数学几种常见的曲面及其方程

一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。

1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。

1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。

1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。

)。

曲面曲线方程

xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线平行于 yoz 面的平面圆心在(0,0) 半径为 3 的圆斜率为1的直线以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c

第三节曲面空间曲线的方程

根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32

x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？例4 方程
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2 特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
例 3 已知 A(1,2,3) ，B( 2,1,4) ，求线段AB 的垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
f y,

x 2 z 2 0.

例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为的圆锥面方程． z
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；（2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
R 例 1 建立球心在点M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为的球面方程.

几种常见的曲面及其方程(精)

方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2

y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0

三元方程表示空间中的曲面 -回复

三元方程表示空间中的曲面
三元方程是指涉及三个变量（通常用x、y、z 表示）的方程。

在空间几何中，可以使用三元方程表示曲面。

这些曲面可以是二次曲面、球面、圆柱面、锥面等等。

以二次曲面为例，一个常见的三元二次曲面方程是二次曲面的标准方程：
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J 是系数，代表曲面的性质和形状。

例如，若A、B、C 不全为零，且D、E、F 为零，方程就代表一个椭球面。

如果A、B、C 都相等，那么这个方程表示一个球面。

如果J 为零，方程代表一个曲面上的点集，而不是一个封闭的曲面。

其他类型的曲面也可以通过适当选择系数和形式来表示。

例如，圆柱面可以用一个二次方程与一个线性方程相乘的形式表示，锥面可以用一个二次方程除以一个线性方程的形式表示。

需要注意的是，三元方程只是表示曲面的一种方式，曲面还可以用参数方程、隐式方程等其他形式来表示，具体取决于所涉及的曲面和问题的要求。