组合数学引论课后答案部分

组合数学引论课后答案

习题一

1.1任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。

1.2任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数

1.3任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数

1.4在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…，21).

问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋

1.5将1.1节例5推广成从1,2，…，2n中任选n+1个数的问题

1.6从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个

能被另一个整除

1.7从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除

1.8任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数

1.9在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以

它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。

1.10上题中若改成9个整点，问是否有相同的结论？试证明你的结论

1.11证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。

1.12 证明：对任意的整数N ，存在着N 的一个倍数，使得它仅有数字0和7组成。

（例如，N=3,我们有3259=777⨯;N=4,有41952=7700⨯;N=5,有514=70⨯;……）

1.13

(1) 在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两个点，该两点的距离

至多为1

2；

(2) 在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两个点，该两点的距离

至多为

13；

(3) 确定

n m ，使得在一边长为1的等边三角形中任取n m 个点，则其中必有两个点，

该两点的距离至多为1

n ；

1.14 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，她知道至多只需要60个小

时的复习时间，她决定每天至少复习1小时，证明：无论她的复习计划怎样，在此期间都存在一些天，她正好复习了13个小时。

1.15 从1,2,…,2n 中任选n+1个整数，则其中必有两个数，它们的最大公约数为1

出的数属于同一个鸽巢，即它们的最大公约数为1

1.16 针对1.1节的例6，当m,n 不是互素的两个整数时，举例说明例中的结论不一

定成立

习题二

2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：

假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。

2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的

中点的坐标也是整数。

证明：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数 = 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。

2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，

至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？

证明：

根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出

多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？

证明：

根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

2.6证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。（书

上例题2.1.3）

证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。而现在有任意给定的n+2个整数，我们需要构造n+1个盒子，即对上面2n个余数进行分组，共n+1组：

{0},{1，2n-1},{2，2n-2},{3,2n-3},…，{n-1,n+1}，{n}。

根据鸽巢原理，n+2个整数，必有两个整数除以2n落入上面n+1个盒子里中的一个，若是{0}或{n}则说明它们的和与差都能被2n整除；若是剩下n-1组，因为一组有两个余数，余数相同则它们的差能被2n整除，不同则它们的和能被2n整除。证明成立。

2.7一个网站在9天中被访问了1800次，证明：存在连续的3天，这个网站的访问量

超多600次。

证明：

设网站在9天中访问数分别为a1，a2，...，a9 其中a1+a2+...+a9 = 1800，

令a1+a2+a3 = b1，a4+a5+a6 = b2，a7+a8+a9 = b3

因为（b1+b2+b3）/3 >= 600 由推论2.2.2知，b1，b2，b3中至少有一个数大于等于600。

所以存在有连续的三天，访问量大于等于600次。

2.8将一个矩形分成5行41列的网格，每个格子涂1种颜色，有4种颜色可以选择，