离散数学答案【4】
年秋国家开放大学《离散数学》形考4试题及答案(答案全部正确)
2016年秋国家开放大学《离散数学》形考4试题及答案(答案全部正确)０4任务_0001试卷总分:1００测试时间:0单项选择题一、单项选择题(共１0 道试题，共10０分。
)1．无向树T有8个结点，则T的边数为（)．A. ６Ｂ. 7 C. 8 Ｄ. 92．图G如图三所示，以下说法正确的是（).Ａ．{(a，ｄ)}是割边Ｂ．{(a, d)}是边割集Ｃ. ｛(a, d) ,(b, d）｝是边割集 D. {(ｂ, d）}是边割集3. 设有向图(a）、(b)、(ｃ)与（ｄ）如图所示,则下列结论成立的是（ )．A. （ａ)只是弱连通的B. （ｂ)只是弱连通的C. （ｃ）只是弱连通的Ｄ． (d）只是弱连通的４．如图一所示，以下说法正确的是（).A. {(ａ, e)｝是割边B. ｛(a,e)}是边割集Ｃ. ｛(a, e）,(b，ｃ)}是边割集 D. {(d，e)}是边割集5. 设G是有ｎ个结点,ｍ条边的连通图，必须删去G的(）条边,才能确定G的一棵生成树．Ａ. m－ｎ+1Ｂ． m-n C. m＋n+1D． n-m+1６. 设G是连通平面图,有v个结点,ｅ条边，r个面，则r= ().A. e－v+2Ｂ. ｖ+ｅ－2 C. ｅ-v－2D．e+v＋27. 设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为（）.A．６ B. 5Ｃ．４ D. 38．如图所示，以下说法正确的是 ( )．A. ｅ是割点B. {a，ｅ}是点割集C．｛ｂ, e}是点割集D．｛d}是点割集9. 无向简单图Ｇ是棵树，当且仅当（).A. Ｇ连通且边数比结点数少１B. G连通且结点数比边数少1C. G的边数比结点数少１D. Ｇ中没有回路．10．以下结论正确的是( ).Ａ. 无向完全图都是欧拉图 B. 有n个结点n-1条边的无向图都是树C. 无向完全图都是平面图D. 树的每条边都是割边0４任务＿０002试卷总分:１00 测试时间：0单项选择题一、单项选择题（共10 道试题，共1０0 分。
离散数学章节练习4
离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
计算机科学与技术考试：2021离散数学与组合数学真题模拟及答案(4)
计算机科学与技术考试：2021离散数学与组合数学真题模拟及答案(4)1、设f是由群<G；×>到群<G`；*>的同态映射，则Ker（f）是（）。
（单选题）A. G`的子群B. G的子群C. 包含G`D. 包含G试题答案：B2、关于生殖器疱疹错误的是（）。
（单选题）A. 发病时起病缓慢，无明显自觉不适及淋巴结肿大B. 妇科检查见外阴疱疹及浅表溃疡C. 孕妇可发生宫内感染及产道扩散D. 新生儿经产道感染，可引起播散性感染，70％以上死亡E. 生殖器疱疹孕妇应在剖宫产分娩试题答案：A3、S1＝{1，2，...，8，9}，S2＝{2，4，6，8}，S3＝{1，3，5，7，9}，S4＝{3，4，5}，S5＝{3，5}，在条件X⊆S1且X⊄S3下，X与（）集合可能相等。
（单选题）A. X＝S2或S3B. X＝S4或S5C. X＝S1，S2或S4D. X与S1，…，S5中任何集合都不相等试题答案：C4、生殖器疱疹潜伏期为（）。
（单选题）A. 20小时B. 2～7天C. 10天D. 14天E. 1个月试题答案：B5、自然语言理解是人工智能的重要应用领域，下面列举中的（）不是它要实现的目标。
（单选题）A. 理解别人讲的话B. 对自然语言表示的信息进行分析概括或编辑C. 欣赏音乐D. 机器翻译试题答案：C6、某女，26岁，7天前有不洁性交史。
2天前开始出现尿痛、排尿困难。
妇科检查见尿道口肿胀外翻，有黄白色脓液流出，外阴阴道及子宫附件无明显异常。
可能的诊断是（）（单选题）A. 非淋菌性尿道炎B. 淋病C. 非特异性尿道炎D. 滴虫性尿道炎E. 尿道念珠菌病试题答案：B7、专家系统的推理机的最基本的方式是（）。
（单选题）A. 直接推理和间接推理B. 正向推理和反向推理C. 逻辑推理和非逻辑推理D. 准确推理和模糊推理试题答案：B8、为了解决如何模拟人类的感性思维，例如视觉理解、直觉思维、悟性等，研究者找到一个重要的信息处理的机制是（）。
离散数学第四章部分答案
（1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。
如果R=Is ，则（A ）；如果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。
（2）设有序对<x+2,4>与有序对<5,2x+y>相等，则 x=(D),y=(E). 供选择的答案A 、B 、C ：① x,y 可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。
D 、E ：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。
答案： A: ⑤ B: ③ C: ① D: ⑧ E: ⑩设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。
（2）domR=(B),ranR=(C).（3）R R 中有（D ）个有序对。
（4）R ˉ1的关系图中有（E ）个环。
供选择的答案A :①<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>； ②<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>；B 、C ：③1，2，3，4；④1，2，4；⑤1，4⑥1，3，4。
D 、E ⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。
答案： A:② B:③ C:⑤ D:⑩ E:⑦设R 是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即 {＜x,y ＞︳x,y ∈Z+∧x+3y=12}, 则 （1）R 中有A 个有序对。
（2）dom=B 。
(3)R ↑{2,3,4,6}=D 。
(4){3}在R 下的像是D 。
（5）R 。
R 的集合表达式是E 。
供选择的答案 A:①2;②3;③4.B 、C 、D 、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。
离散数学(简答题)
1、设简单图G所有结点的度数之和为12，则G一定有_____条边。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【6 】62、设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X 上的等价关系，R应取_______. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{〈a,c〉,〈c,b〉} 】{〈a,c〉,〈c,b〉}3、命题公式的任意两个不同极小项的合取式一定为_________. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【永假式】永假式4、一个公式在等价意义下，_______范式写法是唯一的。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【主析取】主析取5、若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为_______ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【P∧┐Q 】P∧┐Q6、设R是A上的二元关系,且RRR为R的子集,可以肯定R应是_____关系。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【传递】传递7、设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
则R×S ＝__________________, 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{(1,3),(2,2)} 】{(1,3),(2,2)}8、设谓词的定义域为{a, b},将表达式"任意xR(x)→彐xS(x)"中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) 】(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))9、设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{3} 】{3}10、设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【12 】1211、设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A∩B＝_________________________; 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{4} 】{4}12、设A={a, b, {a, b}}，B={a, b}，则B－A =________ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【Φ】Φ13、设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学课后答案(四)
--------------------------------------------------------------------------------
8、证明如下：设<S,*>为一个独异点，则它有一个幺元.
设在<S,*>中e是关于*的幺元，若对于任意a∈S，存在b∈S且b*a=e，则b是a的左逆元。
晓津认为题中所给<R,O>中的O应为o；答案中的(3)幺元是0,而不是[0].
--------------------------------------------------------------------------------
5、
晓津证明如下：
反证法：若V不是独异点，则V不存在幺元.
而因为x是任意的，则当x=a时，有
(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。
(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a.
--------------------------------------------------------------------------------
6、
证明： 设a,b,c∈I+
a*(b△c)=a^(b.c)
2、证明：二元运算□是可结合的。
根据结合律： (x□y)□z=x□(y□z)
(x□y)□z=(x*a*y)*a*z
x□(y□z)=x*a*(y*a*z)
由于*满足结合律，故：
(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)
=> (x□y)□z=x□(y□z)
=> 二元运算□是可结合的
离散数学 第四章 关系 参考答案
第四章关系1．设A={1，2，3，}，B={a，b}求1）A×B 2）B×A 3）B×B 4）2B×B[解] 1）A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}2）B×A={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}3）B×B={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}4）2B={∅，{a}，{b}，{a，b}}2B×B{（∅，{a}），（∅，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{a，b}，b）}2．使A⊆A×A成立的集合A存在吗？请阐明理由。
[解] 一般地说，使A⊆A×A成立的集合A不存在，除非A=∅。
否则A≠∅，则存在元素x∈A×A，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），从而y1，y2∈A×A，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），……。
这说明A 中每个元素x，其结构为元组的无穷次嵌套构成，这不可能。
我们讨论的元素的结构必须是由元组的有限次嵌套构成。
3．证明A×B=B×A⇔A=∅∨B=∅∨A=B[证] 必要性：即证A×B=B×A⇒A=∅∨B=∅∨A=B若A×B=∅，则A=∅或者B=∅若A×B≠∅，则A≠∅且B≠∅，因此对任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈A×B，根据A×B=B×A，可得（x，y）∈B×A，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A⊆B且B⊆A，所以由⊆的反对称性A=B。
充分性：即证A=∅∨B=∅∨A=B⇒A×B=B×A这是显然的。
4．证明（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）[证]证法一：（元素法）对任一（x，y）∈（A∩B）×（C∩D）有x∈A∩B，y∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。
离散数学(胡海涛)第4章答案
离散数学(胡海涛版)第四章1. 分析下列各个函数，指出其性质（入射、满射或双射）（1）f : Z →Z , f (j )=j mod 3（2）f : N →N ，{10()j j f j =是偶数是奇数（3）f : N →{0,1}，{10()j j f j =是偶数是奇数（4）f : Z →N ，f (i )=|2i |+1（5）f : R →R ，f (r )=2r –15解：（1）、（2）、（4）既不是入射，也不是满射。
（3）是满射。
（5）是双射。
2. 假设f 和g 是函数，求证f ∩g 也是函数。
证明：f ∩g ={<x ,y >|x ∈dom f ∧x ∈dom g ∧y =f (x )∧y =g (x )}={<x ,y >|x ∈dom f ∩dom g ∧y =f (x )=g (x )} 令h = f ∩g ，则dom h ={x |x ∈dom f ∩dom g ∧f (x ) =g (x )}若y 1≠ y 2，因为f 是函数，故必有y 1=f (x 1)，y 2=f (x 2)，且x 1≠x 2，所以h = f ∩g 是一个函数。
因为dom h 存在且y 1≠ y 2时x 1≠x 2，即h ={<x ,y >|x ∈dom h ，y =h (x ) =f (x ) =g (x )}3. 设A ={1，2，…，n }，证明从A 到A 的任意单射函数必是满射函数，其逆亦真。
证明：设f 是从A 到A 的单射函数，则|A |=| f (A )|，因为f 是A 到A 的函数，所以 f (A ) ⊆ A ，又因为|A |=| f (A )|，且|A |是有限的，因此必有f (A ) = A ，即f 是满射函数。
反之，若f 是从A 到A 的满射函数，根据满射定义有，f (A ) = A ，于是|A |=| f (A )|，又由|A |是有限的，故f 是从A 到A 的单射函数。
离散数学习题及答案04
SOLUTIONS OF HOMEWORK 4CIS 607: Mathematical Basis for ComputingHomework 4Due Date: April 27, 2017In this homework, you will answer the following questions. Prepare a pdf file for your solutions and upload that pdf file into the blackboard system.Q1)∙Show that 3x4 + 1 is O(x4/2) and x4/2 is O(3x4 + 1).3x4+1 <= cx4/2 whenever x>x06+1/ x4 <= c → c=7 x0=2x4/2 <= c(3x4 + 1) whenever x>x0x4/2 - c <= c3x41/6 –c/3x4 <= c → c=1 x0=1∙Suppose that f (x), g(x), and h(x) are functions such that f (x) is O(g(x)) and g(x) is O(h(x)). Show that f (x) is O(h(x)).f(x) <= c1*g(x) whenever x>x1g(x) <= c2*h(x) whenever x>x2f(x) <= c1*c2*h(x) whenever x > max(x1,x2)f(x) <= c*h(x) where c=c1*c2 whenever x > max(x1,x2)f(x) is O(h(x))Q2) Using mathematical induction,∙Prove that 12 + 32 + 52 +· · ·+(2n + 1)2 = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3 whenever n is a nonnegative integer.Basis Step:n=0 12 = 1 (0+1)(2*0+1)(2*0+3)/3 =1Inductive Hypothesis:12 + 32 + 52 +· · ·+(2n + 1)2 = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3Inductive Step:12 + 32 + 52 +· · ·+(2n + 1)2+(2(n+1) + 1)2= (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3+(2(n+1) + 1)2by IH= (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3+(2n+3)2= (2n+3) ((n + 1)(2n + 1)+3(2n+3))/3= (2n+3)(n+2)(2n+5)/3 = ((n+1)+1)+(2(n+1)+1)(2(n+1)+3)/3∙Prove that for every positive integer n, 1 · 2 + 2 · 3+· · ·+n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3.Basis Step:n=1 1.2=2 1(1+1)(1+2)/3=2Inductive Hypothesis:1 ·2 + 2 · 3+· · ·+n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3Inductive Step:1 ·2 + 2 · 3+· · ·+n(n + 1)+(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)/3+(n+1)(n+2) by IH= (n+1)(n+2)(n+3)/3∙Prove that for every positive integer n,Q3) Let P(n) be the statement that a postage of n cents can be formed using just 3-cent stamps and 5-cent stamps. The parts of this exercise outline a strong induction proof that P(n) is true for n ≥ 8.a) Show that the statements P(8), P(9), and P(10) are true, completing the basis step of the proof.b) What is the inductive hypothesis of the proof?c) What do you need to prove in the inductive step?d) Complete the inductive step for k ≥ 10.e) Explain why these steps show that this statement is true whenever n ≥ 8.a)Basis Step:P(8) is true 3+5=8P(9) is true 3+3+3=9P(10) is true 5+5=10b)Inductive Hypothesis:The inductive hypothesis is the statement that using just 3-cent and 5-cent stamps we can form j cents postage for all j with 8<= j <= k , where we assume that k >= 10.c)In the inductive step we must show, assuming the inductive hypothesis, that we can form k + 1 centspostage using just 3-cent and 5-cent stamps.d)We want to form k + 1 cents of postage. Since k >= 10, we know that P(k−2) is true, that is, that wecan form k−2 cents of postage. Put one more 3-cent stamp on the envelope, and we have formed k+1 cents of postage, as desired.e)We have completed both the basis step and the inductive step, so by the principle of strong induction,the statement is true for every integer n greater than or equal to 10.a) How many strings of three decimal digits∙do not contain the same digit three times?= 900 – 9∙begin with an odd digit?= 5*100∙have exactly two digits that are 4s?o There are 3 ways to choose the position that is to be different from 4, and 9 ways to choose the digit to go there. Therefore there are 3 · 9 = 27 strings.b) How many functions are there from the set {1, 2, . . . , n}, where n is a positive integer, to the set {0, 1}∙that are one-to-one?= 0 when n>2= 2 when n=1 or n=2∙that assign 0 to both 1 and n?= 2(n-2)∙that assign 1 to exactly one of the positive integers less than n?= (n-1)*1 (n-1) ways to select the number and 1 way (all other goes to 0)Q5)a) How many bit strings of length 10 contain∙exactly four 1s?= C(10,4) =10*9*8*7/4*3*2 = 210∙at most four 1s?= C(10,4)+C(10,3)+C(10,2)+C(10,1)+C(10,0)∙an equal number of 0s and 1s?= C(10,5)b) How many permutations of the letters ABCDEFG contain∙the string BCD?= P(5,5) = 5! Strings with A,BCD,E,F,G (5 tokens)∙the strings BA and GF?= P(4,4) = 4! Strings with BA,C,D,E,GFa) Show that ≤ 2n for all positive integers n and all integers k with 0 ≤ k ≤ n.Since (nk ) is equal to (nn−k)we look at cases 0 ≤ k ≤ ⎿n/2⏌Proof by Induction: Basis Step:n=1 (10)= 1 ≤ 21Inductive Hypothesis:(n k )≤ 2n for all positive integers n and all integers k with 0 ≤ k ≤ ⎿n/2⏌Inductive Step:(n+1k )= (n+1)! / (n+1-k)!k!= ((n+1)/(n+1-k)) * (n!/(n-k)!k!)≤ ((n+1)/(n+1-k)) * 2n for all integers k with 0 ≤ k ≤ ⎿(n+1)/2⏌by IH Since possible values for ((n+1)/(n+1-k)) are between 1 and 2≤ 2 * 2n≤ 2n+1b) Prove that if n and k are integers with 1 ≤k ≤n, thenk(nk)= k*( n! / (n-k)!k!) = n! / (n-k)!(k-1)!n(n−1k−1)= n * ((n-1)! / (n-1-k+1)!(k-1)!) = n! / (n-k!)(k-1)!a) How many solutions are there to the equationx1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21,where xi , i = 1, 2, 3, 4, 5, is a nonnegative integer such that∙x1 ≥ 1?We require x1 >= 1. This uses up 1 of the 21 total required, so the problem is the same as finding the number of solutions to x1+x2 +x3 +x4 +x5 = 20 with each xi a nonnegative integer. The number of solutions is therefore C(5 + 20 − 1, 20) = C(24, 20)∙xi ≥ 2 for i = 1, 2, 3, 4, 5?the problem is the same as finding the number of solutions to x1+x2 +x3 +x4 +x5 = 11 with each xi a nonnegative integer. The number of solutions is therefore C(5 + 11 − 1, 11) = C(15, 4)∙0 ≤x1 ≤ 10?Total solutions = C(21+5-1,21) = C(25,4)Violating Solutions = C(10+5-1,10) = C(14,4)Non-Violating Solutions = C(25,4)-C(14,4)b) How many strings of 10 ternary digits (0, 1, or 2) are there that contain exactly two 0s, three 1s, and five 2s?= 10! / 2!3!5! = 10*9*4*7 = 1890a) What is the probability that the sum of the numbers on two dice is even when they are rolled?=1/2*1/2 + 1/2*1/2 = 1/2b) What is the probability that a card selected at random from a standard deck of 52 cards is an ace ora heart?=1/13+1/4-1/52c) Which is more likely: rolling a total of 9 when two dice are rolled or rolling a total of 9 when threedice are rolled?= 4/36 for two dice= 13/216 for three diceQ9)What is the probability of these events when we randomly select a permutation of the 26 lowercase letters of the English alphabet?a) The first 13 letters of the permutation are in alphabetical order.= 13!b) a is the first letter of the permutation and z is the last letter.= 24!/26!c) a and z are next to each other in the permutation.= 2*25! / 26!d) z precedes both a and b in the permutation.= 1/3Looking at the relative placements of z , a, and b, we see that one third of the time, z will come first.Therefore the answer is 1/3.Q10) Suppose that 8% of all bicycle racers use steroids, that a bicyclist who uses steroids tests positive for steroids 96% of the time, and that a bicyclist who does not use steroids tests positive for steroids 9% of the time. What is the probability that a randomly selected bicyclist who tests positive forsteroids actually uses steroids?P(S) = 0.08 P(NS) = 0.92P(Pos/S) = 0.96 P(Pos/NS) = 0.09P(S/Pos) = P(Pos/S)*P(S) / (P(Pos/S)*P(S)+P(Pos/NS)*P(NS))= 0.96*0.08 / (0.96*0.08+0.09*0.92) = 0.0768 / (0.0768+0.0828) = 0.0768 / 0.1596= 0.48。
离散数学第4章答案
立。 设 R R
i i 1
… R I A ( R I A )i 则
但 R1 R2 ={<1,2>,<2,1>}非反对称，也不保持传递，如 R1 ={<1,2>}, R2 ={<2,1>}均课传递， 但 R1 R2 ={<1,2>,<2,1>}非可传递。
R1 R2 保持自反，反自反，对称，反对称，可传递。 R1 R2 保 持 反 自 反 ， 对 称 ， 反 对 称 。 但 不 保 持 自 反 ， 如 R1 ={<1,1>,<2,2>,<1,2>}, R2 ={<1,1>,<2,2>}均为{<1,2>}上的自反关系，但 R1 R2 ={<1,2>}
2.
R1 R2
自反 反自反 对称 反对称 传递 √ √ √ × ×
R1 R2
√ √ √ √ √
R1 R2
× √ √ √ ×
A A R1
× × √ × ×
R1 的反
√ √ √ √ √
R1 R2
√ × × × ×
R1 R2 保持自反，反自反，对称。但不保持反对称，如 R1 ={<1,2>}, R2 ={<2,1>}均反对称，
t ( R1 ) t ( R2 ) {<1,3>}, t ( R1 R2 ) , t ( R1 ) t ( R2 ) t ( R1 R2 )
8.(1) i I , R1 R2 R1 R2 ，即 t ( R1 ) t ( R2 )
2
(1)
离散数学4习题答案
离散数学4习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以巩固知识，提高思维能力。
在本文中，我将为大家提供离散数学第四章的一些习题答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题1：证明集合A和B的幂集具有相同的基数。
解答：我们知道，集合A的幂集是由A的所有子集构成的集合。
假设A的基数为n，那么A的幂集的基数为2^n。
同理，集合B的基数为m，那么B的幂集的基数为2^m。
我们需要证明2^n=2^m。
根据集合的定义，两个集合的基数相等意味着存在一一对应的关系。
我们可以构造一个函数f：A→B，使得对于A中的每个元素a，都有f(a)=b，其中b是B中的某个元素。
由于A和B的基数相等，所以函数f是一一对应的。
根据幂集的定义，A的幂集中的每个子集都是A中的元素。
我们可以构造一个函数g：P(A)→P(B)，使得对于A的每个子集X，都有g(X)=f(X)，其中f(X)是B中的某个子集。
同样地，由于A和B的基数相等，所以函数g是一一对应的。
因此，我们可以得出结论：A的幂集和B的幂集具有相同的基数，即2^n=2^m。
2. 习题2：证明任意两个自然数之和是偶数的充要条件是这两个自然数的奇偶性相同。
解答：我们需要证明两个命题：“若两个自然数之和是偶数，则这两个自然数的奇偶性相同”以及“若这两个自然数的奇偶性相同，则它们之和是偶数”。
证明第一个命题：假设两个自然数a和b的和是偶数。
根据偶数的定义，偶数可以被2整除，即存在一个整数k，使得a+b=2k。
我们可以分别讨论a和b的奇偶性。
如果a是偶数，那么存在一个整数m，使得a=2m。
代入等式a+b=2k得到2m+b=2k，整理得到b=2(k-m)。
由于k和m都是整数，所以k-m也是整数，即b是偶数。
如果a是奇数，那么存在一个整数n，使得a=2n+1。
代入等式a+b=2k得到2n+1+b=2k，整理得到b=2(k-n)-1。
2021国家开放大学离散数学(本)形考任务4答案
2021国家开放大学离散数学(本)形考任务4答案★ 形成性考核作业★1离散数学作业4离散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业．要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word 文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ．2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是{ f }，{ e,c} ．3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则G 的结点度数之和等于边数的两倍．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且不含奇数度结点．5．设G=<V ，E >是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于��v ��，则在G 中存在一条汉密尔顿路．6．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为W ≤ S ．7．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 n 为奇数时时，K n 中存在欧拉回路．8．结点数v 与边数e 满足 e=v - 1 关系的无向连通图就是树．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
国家开放大学《离散数学(本)》形考任务4参考答案
国家开放大学《离散数学(本)》下载作业参考答案一、公式翻译题（每小题4分，共16分）1．将语句“我会英语，并且会德语．”翻译成命题公式．参考答案：设p.我学英语Q:我学法语则命题公式为:pΛQ2．将语句“如果今天是周三，则昨天是周二．”翻译成命题公式．参考答案：设P：今天是周三Q：昨天是周二则命题公式为：P→Q3.将语句“C3次列车每天上午9点发车或者10点发车”翻译成命题公式．参考答案：设P：C3次列车每天上午9点发车Q：C3次列车每天上午10点发车则命题公式为：┐(P↔Q)4.将语句“小王是个学生，小李是个职员，而小张是个军人．”翻译成命题公式．参考答案：设P：小王是个学生Q：小李是个职员R:而小张是个军人则命题公式为：P∧Q∧R二、计算题（每小题12分，共84分）1．设集合A={{a}, a, b }，B={a, {b}}试计算：（1）A⋂B；（2）A ⋃ B；（3）A-(A⋂B)参考答案：（1）A ⋂B ={a}（2）A ⋃ B ={{a},a,b{b}}（3）A -(A ⋂B )={{a},a,b}-{a}={a,b}2.设集合A ={2, 3, 6, 12, 24, 36}，B 为A 的子集，其中B ={6, 12}，R 是A 上的整除关系，试（1）写出R 的关系表达式；（2）画出关系R 的哈斯图；（3）求出B 的最大元、极大元、最小上界．参考答案：（1）R={<2,2>,<2,6>,<2,12>,<2,24>,<3,3>,<3,6>,<3,12>,<3,24>,<6,6>,<6,12>,<6,24>,<12,12>,<12,24>,<24,24>}（2）关系R 的哈斯图（3）B 的最大元素：12极大元素：12最小上届：123．设G =<V ，E >，V ={v 1, v 2, v 3, v 4}，E ={(v 1,v 2) , (v 1,v 3) , (v 1,v 4) , (v 2,v 3) , (v 3,v 4)}，试（1）给出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形。
离散数学答案【4】
第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z 和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2） 非零整数集合错误！未找到引用源。
普通的除法运算。
不封闭（3） 全体n n ⨯实矩阵集合错误！未找到引用源。
（R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n 错误！未找到引用源。
2。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n n ⨯实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 错误！未找到引用源。
2。
不封闭（5）正实数集合错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
运算，其中错误！未找到引用源。
运算定义为：错误！未找到引用源。
不封闭 因为 +∉-=--⨯=R 1111111（6）n 错误！未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1（7）A = {},,,21n a a a 错误！未找到引用源。
n 错误！未找到引用源。
运算定义如下：错误！未找到引用源。
封闭 不满足交换律，满足结合律，（8）S = 错误！未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S = 错误！未找到引用源。
,S 关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题7．设* 为+Z错误！未找到引用源。
上的二元运算+yx,，∀Z∈X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.(1)求4 * 6，7 * 3。
4, 3Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？(2)* 在+满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及+Z中所有可逆元素的逆元。
离散数学(简答题)
1、设简单图G所有结点的度数之和为12，则G一定有_____条边。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【6 】62、设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X 上的等价关系，R应取_______. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{〈a,c〉,〈c,b〉} 】{〈a,c〉,〈c,b〉}3、命题公式的任意两个不同极小项的合取式一定为_________. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【永假式】永假式4、一个公式在等价意义下，_______范式写法是唯一的。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【主析取】主析取5、若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为_______ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【P∧┐Q 】P∧┐Q6、设R是A上的二元关系,且RRR为R的子集,可以肯定R应是_____关系。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【传递】传递7、设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
则R×S ＝__________________, 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{(1,3),(2,2)} 】{(1,3),(2,2)}8、设谓词的定义域为{a, b},将表达式"任意xR(x)→彐xS(x)"中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________. 问题反馈【教师释疑】正确答案：【(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) 】(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))9、设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{3} 】{3}10、设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【12 】1211、设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A∩B＝_________________________; 问题反馈【教师释疑】正确答案：【{4} 】{4}12、设A={a, b, {a, b}}，B={a, b}，则B－A =________ 问题反馈【教师释疑】正确答案：【Φ】Φ13、设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答4．1 A ：⑤； B ：③； C ：①； D ：⑧； E ：⑩4．2 A ：②； B ：③； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑦4．3 A ：②； B ：⑦； C ：⑤； D ：⑧； E ：④分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的}2,2,1,2,2,1,1,1{},2,2,1,1{><><><><=><><=s s E I};2,2,2,1,1,1{><><><=s I而题4.2中的}.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{><><><><><=R为得到题4.3中的R 须求解方程123=+y x ，最终得到}.1,9,2,6,3,3{><><><=R求R R 有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将ranR ran domR domR,, 的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R 的每个有序对，若R y x >∈<,，则从domR 中的x 到ranR 中的y 画一个箭头。
若danR 中的x 经过2步有向路径到达ranR 中的y ，则R R y x >∈<,。
由图4.3可知}.1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{><><><><>><<><=R R如果求G F ，则将对应于G 中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F 中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为ranF domF ran domG ,, ，然后，同样地寻找domG 到ranF 的2步长的有向路径即可。
《离散数学》课后习题解答--第4章
习题 4.11.设A =⎨a ,b ⎬，列出A 上的所有二元关系。
解：A ×A=⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >⎬A 上的二元关系有2|A ×A |=2|A ||A |=22×2=24=16。
其中： ①空集1个∅②含有1个元素的子集4个：⎨<a ,a >⎬，⎨<a ,b >⎬，⎨<b ,a >⎬，⎨<b ,b >⎬。
③含有2个元素的子集C 24=1234⨯⨯=6个：⎨<a ,a >,<a ,b >⎬，⎨<a ,a >,<b ,a >⎬，⎨<a ,a >,<b ,b >⎬， ⎨<a ,b >,<b ,a >⎬，⎨<a ,b >,<b ,b >⎬，⎨<b ,a >,<b ,b >⎬④含有3个元素的子集C 34=123234⨯⨯⨯⨯=4个：⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,a >⎬，⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,b >⎬，⎨<a ,a >,<b ,a >,<b ,b >⎬，⎨<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >⎬⑤含有4个元素的子集1个：⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >⎬ 2.设A 和B 是有限集，A 到B 的二元关系有多少种？解：A 到B 的二元关系有|P (A ×B )|=2|A ||B |种。
3.用列举法表示A 到B 的二元关系R ，写出关系矩阵，画出关系图。
离散数学答案-第四章习题解答.doc
习题四1.用归结法证明:(1)\= p^q^r(2)p T r , q — r# pvqir(3)p W 匕(p T q)v(p f r)(4)p /\q r |= (/? ^ r) v(t? r)(5)p v v r , p t r A q v『⑹(〃T q) T O T 厂)f= p T (q T r)解(1)首先将p I q , p I f , 7p T q八门化为合取范式。
p T q o —\p 7 q , p T r o —yp v r ,—>(# T q /\ 厂)u> -1(-1/? v(q A /*)) u> /? /\ (—v -i厂)给出子句集\rpy q’rpy l ”，p,->^rv—»r｝的反驳如下。
①rpy q②~yp v r③p④-it?v—«r⑤q由①和③⑥r由②和③⑦由④和⑤⑧口由⑥和⑦因此，p — q , p T r b p I q z⑵将p T r, q T厂7p v q —厂)化为合取范式。
/? T 厂O -1〃\/儿q t ro-yq 7 丫、-i( p v q r) <=> (p v q) /\—^r 给111子句集｛ v r, v r, p v ty, -.r｝的反驳如下：—p v r②->q v r③p y q④—if⑤q 7 T rti①和③⑥r由②和⑤⑦□由④和⑥因此，p—> r, q T r 匕p v q T r。
⑶首先将p t qy r, -•((/?^^)v(p^r))化为合取范式。
p T q \z 厂 o -yp v <7 v r ,T q) \/ (p —> r)) o -i((-ip v^) v (-i/? v r))<=> p A —yq A -ir给出子句集\rp7 q\/ F ,p, -yq , 的反驳如下。
—7 q7 丫 Prq—>rq7 丫由①和② r由③和⑤ □由④和⑥①②③④⑤⑥⑦因此，p T qvr \= (j?->(7)v(/?^r)(4)首先将 p /\qf r, -i((pr) v ((? -> r))化为合取范式。
年秋国家开放大学《离散数学》形考4试题及答案(答案全部正确)
2016年秋国家开放大学《离散数学》形考4试题及答案(答案全部正确)０4任务_0001试卷总分:1００测试时间:0单项选择题一、单项选择题(共１0 道试题，共10０分。
)1．无向树T有8个结点，则T的边数为（)．A. ６Ｂ. 7 C. 8 Ｄ. 92．图G如图三所示，以下说法正确的是（).Ａ．{(a，ｄ)}是割边Ｂ．{(a, d)}是边割集Ｃ. ｛(a, d) ,(b, d）｝是边割集 D. {(ｂ, d）}是边割集3. 设有向图(a）、(b)、(ｃ)与（ｄ）如图所示,则下列结论成立的是（ )．A. （ａ)只是弱连通的B. （ｂ)只是弱连通的C. （ｃ）只是弱连通的Ｄ． (d）只是弱连通的４．如图一所示，以下说法正确的是（).A. {(ａ, e)｝是割边B. ｛(a,e)}是边割集Ｃ. ｛(a, e）,(b，ｃ)}是边割集 D. {(d，e)}是边割集5. 设G是有ｎ个结点,ｍ条边的连通图，必须删去G的(）条边,才能确定G的一棵生成树．Ａ. m－ｎ+1Ｂ． m-n C. m＋n+1D． n-m+1６. 设G是连通平面图,有v个结点,ｅ条边，r个面，则r= ().A. e－v+2Ｂ. ｖ+ｅ－2 C. ｅ-v－2D．e+v＋27. 设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为（）.A．６ B. 5Ｃ．４ D. 38．如图所示，以下说法正确的是 ( )．A. ｅ是割点B. {a，ｅ}是点割集C．｛ｂ, e}是点割集D．｛d}是点割集9. 无向简单图Ｇ是棵树，当且仅当（).A. Ｇ连通且边数比结点数少１B. G连通且结点数比边数少1C. G的边数比结点数少１D. Ｇ中没有回路．10．以下结论正确的是( ).Ａ. 无向完全图都是欧拉图 B. 有n个结点n-1条边的无向图都是树C. 无向完全图都是平面图D. 树的每条边都是割边0４任务＿０002试卷总分:１00 测试时间：0单项选择题一、单项选择题（共10 道试题，共1０0 分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合普通的除法运算。
不封闭（3）全体实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。
不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为（6）关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（），零元是0；单位元是1（7）A = {n运算定义如下：封闭不满足交换律，满足结合律，（8）S =关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S =,S关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题7．设 * 为上的二元运算，X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.(1) 求4 * 6，7 * 3。
4, 3(2)* 在上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及中所有可逆元素的逆元。
单位元无，零元1, 所有元素无逆元8． 为有理数集，*为S上的二元运算，<a,b>,<x,y >S有< a，b >*<x，y> = <ax，ay + b>（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：<x,y>*<a,b >= <xa，xb +y>< a，b >*<x，y>可结合：(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax，ay + b>*<c,d>=<axc，axd + (ay+b) ><a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc，a(xd +y)+b >(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<a,b >*(<x,y>*<c,d>)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
设<a,b>是单位元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<x,y>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>，解的<a,b>=<1,0>，即为单位。
设<a,b>是零元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<a,b>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>，无解。
即无零元。
<x,y >S，设<a,b>是它的逆元<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<1,0> <ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x0时，10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律没有单位元, 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元, 没有零元(2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？（1）S1=是（2）S2=不是 加法不封闭（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即"x,y∈S, xy=(xy)mod 4问〈S，〉是否构成群？为什么？解：(1) x,y∈S, xy=(xy)mod 4,是S上的代数运算。
(2) x,y,z∈S,设xy=4k+r(xy)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4同理x(yz) =(xyz)mod 4所以，(xy)z = x(yz)，结合律成立。
(3) x∈S, (x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。
(4) 0和2没有逆元所以，〈S，〉不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。
如下：" x,y∈Z,xoy= x+y-2问Z关于o运算能否构成群？为什么？解：(1) x,y∈Z, xoy= x+y-2,o是Z上的代数运算。
(2) x,y,z∈Z,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设是单位元，x∈Z, xo= ox=x,即x+-2= +x-2=x, e=2(4) x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，所以〈Z，o〉构成群11.设G=，证明G关于矩阵乘法构成一个群．解：(1) x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律(3)设是单位元，(4)每个矩阵的逆元都是自己。
所以G关于矩阵乘法构成一个群．14.设G为群，且存在a∈G,使得G={a k∣k∈Z}证明：G是交换群。
证明:x,y∈G，设，则所以，G是交换群17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
证明:设也是幂等元，则，即，由消去律知18.设G为群，a,b,c∈G,证明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣证明：先证设设则，即 左边同乘，右边同乘得 反过来，设则由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，，当时，是一阶元，当时，至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以是有限阶的，设是k阶的,则也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元,这与群G是偶数阶的矛盾。
所以，偶数阶群G必含2阶元20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.证明：先证明G含至少含3阶元。
若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；若G除了1阶元e外,其余元均为2阶元，则，，与G为Abel群矛盾；所以，G含至少含一个3阶元，设为，则，且。
令的证。
21.设G是M n(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。
（1）全体对称矩阵 是子群（2）全体对角矩阵 是子群（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。
是子群22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即N（a）={x∣x∈G∧xa=ax}证明N（a）构成G的子群。
证明：ea=ae, ,所以由，得，即，所以所以N（a）构成G的子群31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。
证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。
所以:1·2是G1到G3的同态。
33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。
证明：设G是循环群,令G=<a>,,令,那么,G是阿贝尔群克莱因四元群,是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。
36.设是5元置换，且，(1)计算；(2)将表示成不交的轮换之积。
(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。
解：(1)(2)(3) 奇置换，偶置换奇置换。