第三章第一节

高 考 体 验 · 明 考 情
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且 Smax＝100 cm2. l 40－2×10 这时圆心角 θ＝ ＝ ＝2 rad. r 10
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1 1 1．求扇形的弧长和面积，可利用公式 l＝|α|· 和 S＝ l· |α|·2， r r＝ r 2 2 但注意角的单位必须是弧度．
单
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3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向 量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高
考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求．
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【解析】 点 A 的坐标为( 3，1)． 1 π ∴sin α＝ ＝ ，又 α 为锐角，∴α＝ . 2 6 3 ＋1 2 1
【答案】 C
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2．角的度量 (1)1 弧度的角：把长度等于 半径长 弧度的角． (2)角的度量制有
角度
的弧所对的圆心角叫做 1
制和
弧度
制．
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π 180 (3)换算关系：1° ＝ rad,1 rad＝( )° . 180 π
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(4)扇形的弧长与面积公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为 r， 则 l＝rα 1 12 ，则扇形的面积为 S＝ lr＝ r α. 2 2
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(教师用书独具)
三角函数是高考命题的重点，分值约占14%左右，试题大都源于 教材，是例题、习题的变形与创新，以中低档题为主．
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1．三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定
【尝试解答】 为 l，半径为 r，
(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长
l＋2r＝10， 依题意有1 2lr＝4.
① ②
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①代入②得 r2－5r＋4＝0，解之得 r1＝1，r2＝4. 当 r＝1 cm 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去． 2 1 当 r＝4 cm 时，l＝2 cm，此时，θ＝ ＝ rad. 4 2
(1)写出终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合； (2)已知 α 是第二象限的角，求 180° 所在的象限． －α
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【思路点拨】 根据象限角和终边相同角的概念转化求解．
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2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( A．第一象限角 B．第二象限角
)
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上， 又tan α＞0，∴α在第三象限．
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【答案】 C
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2 ∴圆心角所对的弧长 l＝2r＝ . sin 1
【答案】 C
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4．(2011· 江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的 2 5 正半轴． P(4， 若 y)是角 θ 终边上一点， sin θ＝－ 且 ， y＝________. 则 5 y 【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝ 16＋y2
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理及其应用是高考的热点，且题目常考常新． 2．三角函数题型全面，一般是两道小题，一道大题．客观题主
要是涉及三角函数的求值、函数的图象、简单性质，解答题主要以三
角变换为工具，综合考查函数图象和性质；或以正弦、余弦定理为工 具，考查解三角形及其应用．
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3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)， 那么 sin α＝
y
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y ，cos α＝x，tan α＝ . x
x轴 上，余弦线的起点都是 原点
(见学生用书第 49 页) 1.了解任意角的概念和弧度制的概念． 考纲传真 2．能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
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6π 若角 θ 的终边与 角的终边相同，求在[0,2π)内终 7 θ 边与 角的终边相同的角． 3
6π θ 2π 2kπ 【解】 ∵θ＝ ＋2kπ(k∈Z)，∴ ＝ ＋ (k∈Z)． 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ ＋ ＜2π⇒－ ≤k＜ ，k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与 相同的角为 ， ， . 3 7 21 21
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2 5 y 2 5 又 sin θ＝－ ＜0，∴y＜0 且 ＝－ ， 2 5 5 16＋y 解之得 y＝－8.
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【答案】 －8
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(见学生用书第 50 页)
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1．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化 成 2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根据 α 所在的象限予以判 断． 2．注意区分象限角与终边在坐标轴上的角．
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1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、
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负角
和 零角
．
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(2)从终边位置来看，可分为 象限角
与轴线角．
(3)若 β 与 α 是终边相同的角， β 用 α 表示为 β＝2kπ＋α(k∈Z)． 则
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3． 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2， 则这个圆心角所对的弧 长是( A．2 ) 2 B．sin 2 C. D．2sin 1 sin 1
1 【解析】 由题设，圆弧的半径 r＝ ， sin 1
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(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦 线的起点都在 点都是(1,0)． ，正切线的起
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1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？
【提示】 充分不必要条件． 2．三角函数值和点P在角α的终边上的位置是否有关？ 【提示】 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和 点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，对于确定 的角α，其终边位置也就确定了，因此三角函数的大小只与角有关．
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解答下列各题： (1)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧 度数； (2)已知一扇形的周长为40 cm， 当它的半径和圆心角取什么值时，
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才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【思路点拨】 (1)由周长及面积列出方程组求解； (2)用半径及弧长表示扇形面积，利用函数性质求解．
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1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、
图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的
变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背． 2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众
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【尝试解答】
π (1)所求集合为{α|α＝2kπ＋ ，k∈Z}∪{α|α＝(2k 3
π π ＋1)π＋ ，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋ ，k∈Z}． 3 3 (2)因 α 为第二象限角，
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∴k· ＋90° 360° <α<k· ＋180° 360° ，(k∈Z) ∴－k· －180° 360° <－α<－k· －90° 360° ，(k∈Z) ∴－k· <180° 360° －α<－k· ＋90° 360° ，(k∈Z) 故 180° 是第一象限的角． －α
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2．本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问 题，利用配方法使问题得到解决，有关最值的问题，一般把所求问题 表示成某一变量的函数，转化为求函数的最值．
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第一节
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角的概念与任意角的三角函数
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(2)设扇形的圆心角为 θ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S， 则 l＋2r＝40，∴l＝40－2r， 1 1 ∴S＝ lr＝ ×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100. 2 2 ∴当半径 r＝10 cm 时，扇形的面积最大，
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π 1．(教材改编题)已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标是(2sin ， 2cos 3 π )，则 α 弧度数是( 3 A．2 ) π B. 3 π C. 6 2π D. 3
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多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题
时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．
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3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换
公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关
系，力争整体处理． 注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.