极坐标与参数方程教案.doc
第36讲 极坐标与参数方程-教案
一.自我诊断 知己知彼1. 若圆M 的方程为，则圆M 的参数方程为 ．【答案】【解析】由圆M 的方程224x y +=,可知圆心()0,0,半径为 2.所以圆M 的参数方程为:. .2．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．【答案】2【解析】由于圆M 的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=，所以圆心(1,2)M ， 又因为直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 得普通方程为3450x y --=，422=+y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x由点到直线的距离公式得所求距离2d ==；故答案为：2．3在极坐标系中，点（2，6π）到直线θρsin ＝2的距离等于________． 【答案】1【解析】在极坐标系中，点（2，6π1），直线θρsin ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 4设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 ．【答案】7【解析】曲线的普通方程为()()22116x a y -+-=，直线的普通方程3450x y +-=，直线l 与圆C相切，则圆心(),1a 到l 的距离345475a d d +-==⇒= 5．直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 ． 【答案】)6,2(π【解析】由圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）得⎩⎨⎧-=-=1s in 3c os y x θθ可得圆的标准方程为1)1()3(22=-+-y x ，圆心坐标为)1,3(，离圆心的距离33tan ,21)3(22==+=θρ，由题意6πθ=，则圆心C 的极坐标是)6,2(π．二.温故知新 夯实基础1．平面直角坐标系C 4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a C l设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎪⎩⎪⎨⎧==0>,0>,''λμλλy y x x 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程4.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程三.典例剖析 举一反三考点一 坐标系（一）典例剖析例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=；（2）||AB = 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程2cos 24sin 30ρθρθ+-=， 化为2222cossin 4sin 30ρθρθρθ-+-=，即22430x y y -+-=．∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=．（2）将直线l的参数方程12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 方程得24100t t +-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-= 【方法点拨】（1）由极坐标与直角坐标相互转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程并整理可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t ，运用直线的参数方程的几何意义可知，12||||AB t t =-，代入即可得出所求的结果． （二）举一反三1. 已知圆C 的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C的交点的直角坐标为 ． 【答案】)1,1(±【解析】圆C 的普通方程为()2211x y +-=，直线的普通方程为1y =，所以交点为)1,1(± 2. 将曲线22132x y +=按ϕ：变换后的曲线的参数方程为（ ） A. B. C.D.【答案】Dcos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩l sin 1ρθ=l l【解析】由变换ϕ：可得：,代入曲线22132x y +=可得： ()()2232132x y ''+=，即为： 22321,x y +=令(θ为参数)即可得出参数方程.故选：D. 3.【2017北京卷理11】在极坐标系中，点A 在圆04sin 4-cos 2-2=+θρθρρ上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为 . 【答案】1【解析】将极坐标方程转化成标准方程：()();12122=-+-y x 所以AP 的最小值为1.4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1；（2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 考点二 参数方程（一）典例剖析例1已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=，直线L的普通方程为x m =+；（2）1m =± 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L的参数方程是212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），消去参数t可得x m +． （2）把212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入方程：222x y x +=，化为：2220t t m m ++-=， 由0∆>，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t ⋅==，∴221m m -=，解得1m =±0∆>．∴实数1m =±【方法点拨】（1）利用y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数t 即可将直线的参数方程化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得到一个含t 且关于x的一元二次方程2220t t m m ++-=，然后利用参数t 的几何意义知，12||||1PA PB t t ⋅==22m m =-，并由t 的范围（利用判别式大于零求范围）求出值域即可．例2. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6()sin 6x t t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围．【答案】（1）30x +=，22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）；（2）17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）直线:3l x +=，即：30x -+=由24cos ρρθ=得：224x y x +=，即：22(2)4x y -+=0,sin 02y πθρθ≤≤∴=≥.故C 的参数方程为：22cos (0)2sin x y ααπα=+⎧≤≤⎨=⎩ （2）设点(22cos ,2sin )M αα+到直线30x +=的距离为dd ==54sin()1654sin()(0)226παπααπ--⎛⎫==--≤≤ ⎪⎝⎭51sin()166626ππππαα-≤-≤-≤-≤时,min max 117sin()1,,sin(),62622d d ππαα∴-==-=-=时时点M 到直线l 的距离的范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【方法点拨】（1）消去t 可得直线l 的直角坐标方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程，进而引入参数α可得曲线C 的参数方程；（2）先计算点M 到直线l 的距离，再利用三角函数的性质可得点M 到直线l 的距离的范围． （二）举一反三 1. 若P 为椭圆上的点，则的取值范围是 ．【答案】[]2,2- 【解析】依题意可得sin m n θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 1sin 2cos sin 2sin 223m n πθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, R θ∈, []sin 1,13πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭, []2sin 2,23πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭.即[]2,2m n +∈-),(n m n m +2. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是 ． 【答案】)1 , 3(-【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3消去参数t ，得2C的普通方程为(0)y x x =≥，代入1C 方程5222=+y x 整理得：23x =，解得x =1y =-，因此交点为1)-.3. 参数方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为 ．【答案】212y x =-，[1,1]x ∈-【解析】由2cos 212sin θθ=-得212y x =-，又sin [1,1]θ∈-，所以[1,1]x ∈-，因此普通方程为212y x =-，[1,1]x ∈-4.（2019天津理12）设a ∈R ，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 . 【答案】34【解析】消去参数在，整理圆的方程22(2)(1)4x y -+-=；带入点到直线的距离公式，考点三 综合问题（一）典例剖析例1在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 为参数，0απ≤<），曲线C 的参数方程为 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于,M N 两点（异于原点），求OM ON +的最大值. 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=；（2）【解析】（1）曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点()0,2，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1244424OM ON sin sin sin cos ππρρθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=， OM ON +取得最大值为【方法点拨】(1)由题意可得曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，将其转化为极坐标方程即24sin ρρθ=.(2)由参数方程可知直线l 过圆C 的圆心，则2MON π∠=，设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4OM ON πθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得OM ON +取得最大值为.例2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭ 或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【方法点拨】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大例 3. 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为 ，（ α为参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.【答案】（1）2213x y +=， 80x y +-=（2）【解析】（1）由曲线1C ：得{ cos y sin αα==即：曲线1C 的普通方程为： 2213x y +=由曲线2C ：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin cos ρθθ+=即:曲线2C 的直角坐标方程为： 80x y +-=（2）由（1）知椭圆1C 与直线2C无公共点，椭圆上的点),sin Pαα到直线80x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， d的最小值为【方法点拨】（1）对于1C ，利用22cos sin 1αα+=，化简得2213x y +=，对于2C ，展开后利用极坐标与直角坐标转化公式，化简的80x y +-=.（2）直接利用点到直线距离公式，求出距离，并用辅助角公式化简，利用三角函数最值求得距离的最小值. （二）举一反三例 1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 【答案】（1）260x y -+=，(222x y +=（2）2⎡-+⎣【解析】（1）由{26x t y t ==+，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C的普通方程为(222x y -+=；（2）据题意设点)Mθθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-⎣．例2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线12,l l 分别与曲线C 交于除原点外的,A B 两点，若3AOB π=，求AOB 的面积的最大值.【答案】(1)4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2) .【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(()2214x y -+-=，即2220x y y +--=，所以，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)不妨设()1,A ρθ， 2,3B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，,33ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.则14sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，224sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，AOB 的面积12112sinsin sin 232333S OA OB ππππρρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当0θ=时， AOB 的面积取最大值为例3. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是 （α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为)3y x m =-；（2）1m =±0m =或2m =.【解析】（1）()2212x y ⇒-+=故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.直线l)3x m y x m -+⇒=-. （2）直线l的参数方程可以写为,{12x m y t =+=（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =±0m =或2m =.四.分层训练 能力进阶【基础】1. 曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的焦距是 ．【答案】6【解析】消参后化为：14522=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，整理为1162522=+y x ，所以焦距6162522=-=c ． 2. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y tx 431（t 为参数）【答案】⑴1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆.⑵0434=-+y x ，它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 【解析】本题主要是考查参数方程化为普通方程，（1）对两个式子中右边的系数挪到左边，利用三角函数的平方关系式消去ϕ整理即得到；（2）可以代入消元或加减消元消去t 得普通方程.解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222s i n c o s 1625+=+y x 即1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆. ⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty t x 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431yx ⋅-=∴0434=-+y x∴它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 3.【2019北京卷理3】已知直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=+=，则点()0,1到直线l 的距离是A ．51 B ．52 C ．54 D ．56 【答案】D【解析】直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=+=，消参数得,3234+=x y 即0234=+-y x ，则点()0,1到直线l 的距离是564320422=++-=d ，故选D4. 已知直线l 的方程为2)4sin(=+πθρ，曲线C 的方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x ． （1）把直线l 和曲线C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）2=+y x ，122=+y x ；（2）12+=l ．【解析】（1）222cos 22sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅θθρ，根据⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入得：2=+y x 根据1cos sin 22=+θθ，消参后的方程是：122=+y x ．（2）直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，即222==d ，那么最大距离就是12+=l5. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+==tm x t y 2222（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值． 【答案】（Ⅰ）2240x y x +-=，y x m =-；（Ⅱ）1或3．【解析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ化为直角坐标方程为：0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=（5分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R =2，圆心到直线l 的距离22)214(222=-=d ，∴ 1222202=-⇒=--m m ∴ 31==m m 或解法二：把22x t my t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）代人方程2x 042=-+x y得222)40t m t m m -+-=∵ m m t t m t t 42(222121-=--=+），∴ 21221214)(t t t t t t AB -+=-= ∴ []14)442(222=---=m m m （）∴ 31==m m 或【巩固】1.【2018北京卷理7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x -my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】点P 的轨迹为x ²+y ²=1，则点P 到直线的距离可转化为圆上任意一点到直线的距离。
极坐标与参数方程教案
1
极坐标
极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做_____，引一条射线Ox ，叫做____，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的_____，θ叫做点M 的____，有序数对_______就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①_______②_____；③_________；④__________．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标.
极坐标与直角坐标的不同是，___________________________________________ 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
ϕ
θ=θ
ρcos a
=
θ
ρcos a -
=θ
ρsin a
=
图4
θ
ρsin a -
=图5
)
cos(ϕθρ-=
a 图1
2
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ：
5、极坐标与直角坐标互化公式：
x
⎩
（直极互化 图）
θ
ρcos 2a =
图2
θ
ρsin 2a =图4
θ
ρsin 2
a -=M
图5
θ
ρcos 2a -=a
=ρ图1
)
cos(2ϕθρ-=a 图6。
极坐标及参数方程
龙文教育一对一个性化辅导教案1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正向(通常取逆时针向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标程 (1)直线的极坐标程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线；ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线程． (2)圆的极坐标程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆；ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数程为________________(t 为参数)． (2)圆的程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数程为________________________(θ为参数)．(3)椭圆程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的参数程为________________(θ为参数)．(4)抛物线程y 2＝2px (p >0)的参数程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎨⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数程是⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标程．思维升华 直角坐标程化为极坐标程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标程化为直角坐标程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中程的两边同乘以(或同除以)ρ及程两边平是常用的变形法．但对程进行变形时，程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，数a 的值．题型二 参数程与普通程的互化例2 已知两曲线参数程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数程化为普通程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平后再加减消元等．对于与角θ有关的参数程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数程化为普通程时，还要注意其中的x ，y 的取值围，即在消去参数的过程中一定要注意普通程与参数程的等价性．将下列参数程化为普通程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数程的综合应用例3 在直角坐标平面，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，M ，N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数程和极坐标程的综合题，求解的一般法是分别化为普通程和直角坐标程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．【知识复习】 选修1-11、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分) 1．程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分2．若抛物线的准线程为x ＝－7，则抛物线的标准程为( ) A ．x 2＝－28y B ．x 2＝28y C ．y 2＝－28x D ．y 2＝28x3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.324．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 5．已知a 、b 为不等于0的实数，则a b>1是a >b 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件6．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为( )A. 3B. 6C.233D.2638．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为245，则此双曲线程是( )A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 9．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( ) A ．(a ，b ) B ．(a ，c ) C ．(b ，c ) D ．(a ＋b ，c ) 11．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.10312．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x是R 上的减函数．若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值围是( )A ．a ≤1B ．a <2C ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值围是________．14．一动圆圆心在抛物线x 2＝8y 上，且动圆恒与直线y ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．15．已知F 1、F 2是椭圆C x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.16．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．若綈q 是綈p 的充分条 件，求a 的取值围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且程f (x )＝0的一个根为2. (1)求c 的值； (2)求证：f (1)≥2.19.(12分) 如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．20．(12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，数a 的取值围．21.(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)恒成立，数a 的取值围．22.（12分）如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2=－2py （p>0） 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．选修1-2,4-1题型一圆的切线的判定与性质例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD ＝23，AE＝6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长．(2013·改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型二与圆有关的比例线段例4(2012·)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA 的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．19．某厂采用新技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的成本y（万元）的几组对照数x 3 4 5 6y 3 3．5 4．5 5（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归程y＝b x＋a；（3）已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元．试根据（2）求出的线性回归程，预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？（参考数据：42186iix==∑42166.5iiy==∑4175.5i iix y==∑，1221ni iiniix y nx ybx nx∧==-=-∑∑）20．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12y 2 3 5 6（1）请在图中画出上表数据的散点图；=+；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归程y bx a（3）试根据（2）求出的线性回归程，预测记忆力为9的同学的判断力.21．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式22．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：是否需要帮助性别男女合计需要50 25 75不需要200 225 425合计250 250 500（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；]（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡统计量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++为样本容量，独立性检验临界值表为：2()P K k≥0.15 0.10 0.05 0．025 0. 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5. 6.635 7.879 10.828。
(极坐标与参数方程)教学案( 3 )
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 3 )曲线的极坐标方程的意义一、课前自主预习1.________________________________________________________________________________________ 这个方程称为这条曲线的极坐标方程, 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.2. 求曲线极坐标方程步骤:_______________________________________________________ _______________________________________________________________________________在极坐标系中，ρ＝r(r 为大于零的常数)表示 θ＝α(α为常数)表示3. ⑴过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程_________________。
⑵已知点p 的极坐标为(1,π)，那么过点p 且垂直于极轴的直线极坐标方程______________二、课堂合作探究例1、⑴求圆心在C （r,π/2), 半径为r 的圆的极坐标方程⑵求圆心在C(r,0),半径为r 的圆的极坐标方程例2.(1）化在直角坐标方程0822=-+x y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程ρ=6cos(θ-π/3) 为直角坐标方程。
三、课堂练习1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1) ρcos θ=4, (2) ρ=5, (3) ρ=2rsin θ2、化直角坐标方程为极坐标方程:⑴022=++x y x ⑵x y = ⑶x y 42=3.列条件写出圆的极坐标方程,并化成直角坐标方程:(1)以()3,A π为圆心,且过极点的圆 ________________________________________(2)以38,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心,且过极点的圆 _________________________________________________4.下列极坐标方程转化为直角坐标方程:(1) sin()34πρθ-= (2) 2cos24ρθ=高二数学解析几何作业 ( 3 )1.在极坐标系中，极轴上的点P 和)6A π，则点P 的极坐标为2.（1）求过点A(-2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程（2）已知点p 的极坐标为(4,π)，那么过点p 且垂直于极轴所在直线极坐标方程（3）求圆心在C(2,0),半径为2的圆的极坐标方程（4）求圆心在C （3,π/2), 半径为3的圆的极坐标方程3、化直角坐标方程为极坐标方程（1）228x y x += （2）0x y +=（3）220x y x +-= （4）0x =4、化极坐标方程为直角坐标方程(1) ρcos θ=5 （2）ρ=6(3) ρ=2sin θ （4）ρ=6cos(θ-π/3) 5、已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的点，点B 也在椭圆上，且满足OA OB →→+0→=，212AF F F →→⋅0=.若椭圆的离心率等于2，(1)求直线AB 的方程； (2)若△2ABF 的面积是.。
新人教版高中数学选修4-4《极坐标与参数方程》优质教案
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。
参数方程与极坐标教学设计
参数方程与极坐标合肥北城中学 徐松一 、知识回顾1、极坐标点M 的直角坐标 点M 的极坐标 M( ) M( ) 直角坐标化极坐标 极坐标化直角坐标 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a, π2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ． 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M (b, π2)且平行于极轴：（由学生完成）。
4.几种常见曲线的参数方程(1)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．二．典例剖析例．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ．(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解析过程：解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1． 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．感悟升华：极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．例：(2017·全国卷Ⅰ)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．活动：找一位同学板演，其余同学独立思考、合作交流，教师适当启发，最后根据学生板书情况给予恰当点评；三：变式训练1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk ，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22ty ＝5－22t (t 为参数)若以O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．3.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ．(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．活动：由学生独立思考、合作交流，教师适当启发，然后提问学生，并给予恰当点评；四：课堂总结：本节课你有哪些收获？请从知识、技能、思想方法等方面分别加以总结。
第三章 参数方程、极坐标教案 直线和圆的极坐标方程 教案
第三章参数方程、极坐标教案直线和圆的极坐标方程教案教学目标1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤．3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应．教学重点与难点建立直线和圆的极坐标方程．教学过程师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程．师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．)解设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|，(两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．)师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？(2)在极坐标系下：在△AOP中|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ．化简整理，得2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容．一、曲线的极坐标方程的概念师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ=(投影)定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同．(先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义)曲线的极坐标方程定义：如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系：1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程．师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程．求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．解设M(ρ，θ)为射线上任意一点，因为∠xOM=θ，师：过极点的射线的极坐标方程的形式你能归纳一下吗？生：是．师：一条曲线可与多个方程对应．这是极坐标方程的一个特点．你能猜想一下过极点的直线的极坐标方程是什么形式吗？学生讨论后，得出：θ=θ0(θ0是倾斜角，ρ∈R)是过极点的直线的极坐标方程．师：把你认为在极坐标系下，有特殊位置的直线都画出来．例2 求适合下列条件的极坐标方程：(1)过点A(3，π)并和极轴垂直的直线；解(1)设M(ρ，θ)是直线上一点(如图3-15)，即ρcosθ=-3为所示．解(2)设M(ρ，θ)是直线上一点，过M作MN⊥Ox于N，则|MN|是点B到Ox的距离，师：不过极点也不垂直极轴、不平行极轴的直线的极坐标方程如何确立呢？例3 求极坐标平面内任意位置上的一条直线l的极坐标方程(如图3-17，图3-18)．让学生根据以上两个图形讨论确定l的元素是什么？结论直线l的倾斜角α，极点到直线l的距离|ON|可确定直线l的位置．解设直线l与极轴的夹角为α，极点O到直线l的距离为p(极点O到直线l的距离是唯一的定值，故α、p 都是常数)．直线l上任一点M(ρ，θ)，则在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p为直线l的极坐标方程．(如图3-19，图3-20)师：直线的极坐标方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直线的倾斜角，p是极点到l的距离，当α、p 取什么值时，直线的位置是特殊情形呢？当α=π时，ρsinθ=p，直线平行极轴；当p=0时，θ=α，是过极点的直线．师：以上我们研究了极坐标系内的直线的极坐标方程．在极坐标系中的圆的方程如何确立呢？如图3-21：圆上任一点M(r，θ)，即指θ∈R时圆上任一点到极点的距离总是r，于是ρ=r是以极点为圆心r为半径的一个圆的极坐标方程．师：和在直角坐标系中，把x=a和y=b看作是二元方程一样，θ=θ0及ρ=r也应看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出现，说明ρ可取任何非负实数值；同样，在方程ρ=r中，θ不出现，说明θ可取任何实数值．例4 求圆心是A(a，0)，半径是a的圆的极坐标方程．(让学生画图，教师巡视参与意见)解设⊙A交极轴于B，则|OB|=2a，圆上任意一点M(ρ，θ)，则据直径上的圆周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圆的极坐标方程．如图3-22．师：在极坐标系下，目前我们理解下面几种情形下的圆的极坐标方程即可．让学生自己得出极坐标方程．图3-23：ρ=2rcosθ；图3-24：ρ=-2rcosθ；图3-25：ρ=2rsinθ；图3-26：ρ=-2rsinθ．师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件ρ的点M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0为最简形式．练习：分别作出下列极坐标方程表示的曲线(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；设计说明直线和圆的极坐标方程一节的教学重点是如何根据条件列出等式．至于在极坐标系中由于点的极坐标的多值性，而带来的曲线的极坐标方程与直角坐标系中的方程有不同的性质，这一点只需学生了解即可．另外，由于删除了3种圆锥曲线的统一的极坐标方程，实际上就降低了对极坐标一节学习的难度．所以用一课时来学习曲线的极坐标方程只能是在前面学习曲线的直角坐标方程的基础上初步掌握建立极坐标方程的方法．为此本节课围绕着这一主题进行了充分的课堂活动，达到了教学目的．。
参数方程与极坐标教学案
参数方程与极坐标教学案一、引言参数方程与极坐标是高中数学教学中的重要内容，它们在解决几何问题和计算问题中具有广泛的应用。
本教学案主要介绍参数方程与极坐标的概念、性质和应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这两种坐标系的特点和使用方法。
二、参数方程的概念与性质1.1 参数方程的定义参数方程是以参数为自变量，通过参数与变量之间的对应关系描述曲线的一种坐标系表示方法。
1.2 参数方程的性质（1）参数方程可以表示平面曲线上的任意一点。
（2）参数方程描述的曲线不一定是函数图像。
（3）参数方程能够简化一些复杂的曲线方程的求解过程。
三、参数方程与几何图形2.1 直线的参数方程（1）斜率存在时的参数方程：设直线的斜率为k，过点P(x₁, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₁ + ty = y₁ + kt其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。
（2）斜率不存在时的参数方程：设直线垂直于x轴，交点为(x₀, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₀y = y₁ + t其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。
2.2 曲线的参数方程（1）椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的两个半轴长度。
（2）抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以表示为：x = at²y = 2at其中a为抛物线的参数和焦点到准线的距离。
四、极坐标的概念与性质3.1 极坐标的定义极坐标是以极径和极角为坐标的一种表示方法，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
3.2 极坐标的性质（1）极坐标中的极径和极角是有序对，唯一确定一点的。
（2）同一点在极坐标和直角坐标系中的表示不同。
五、极坐标的转化与应用4.1 直角坐标转极坐标已知点P(x, y)，其极坐标就可以表示为：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)4.2 极坐标转直角坐标已知点P(r, θ)，其直角坐标可以表示为：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)六、参数方程与极坐标的应用5.1 参数方程在运动学中的应用通过用参数方程描述物体的运动轨迹，可以更方便地计算物体的位置、速度和加速度等运动学问题。
极坐标与参数方程教学设计
极坐标与参数方程教学设计教学目标:1.了解极坐标和参数方程的概念和特点。
2.掌握极坐标和参数方程的转换关系。
3.能够利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形。
教学内容:1.极坐标的引入极坐标是一种用极径和极角表示平面上点的坐标系统。
极坐标中，每个点由它到极点的距离和与极轴的夹角确定。
极点是坐标轴的原点，极轴是一条从极点到无穷远处的射线。
极径通常用正数表示，极角用角度或弧度表示。
2.参数方程的引入参数方程是一种用参数表示物体的坐标方程。
在参数方程中，坐标值都是由参数决定的表达式，用来描述一个曲线或曲面的运动或变化。
3.极坐标和参数方程的转换方法(1)极坐标转参数方程:已知点P的极坐标(r,θ)，则其对应的参数方程为x = rcosθ，y = rsinθ。
(2)参数方程转极坐标:已知参数方程x = f(t)，y = g(t)，则其对应的极坐标为r =√(f(t)²+g(t)²)，θ = tan^(-1)(g(t)/f(t))。
4.极坐标和参数方程的应用利用极坐标和参数方程可以描述和绘制很多有趣的图形，如圆、椭圆、心形线等。
教学步骤:步骤一:导入1.引出极坐标和参数方程的概念和特点。
2.通过示例和图示介绍极坐标和参数方程的基本表示方法。
步骤二:极坐标和参数方程的转换关系1.介绍极坐标和参数方程的转换关系，包括极坐标转参数方程和参数方程转极坐标的方法。
2.通过示例演示转换过程，让学生理解和掌握转换的思路和方法。
步骤三:极坐标和参数方程的绘制1.引导学生利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形，如圆、椭圆、心形线等。
2.通过实例演示和练习让学生掌握绘制图形的方法和技巧。
步骤四:综合应用1.引导学生利用极坐标和参数方程解决实际问题，如天文学中的行星运动、工程中的曲线绘制等。
2.通过实例和讨论，激发学生的兴趣和创造力，培养学生的实际应用能力。
步骤五:总结和拓展1.对极坐标和参数方程的知识进行总结归纳。
极坐标与参数方程教案
极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对),(θ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,2pt x 2为参数⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M 的极坐标)32,5(π化为直角坐标为（ ）B A ．)235,25(--B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)235,25( （2）点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）B A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(πD ．)6,2(π 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点()22-，的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在)4A(1,π，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化 成直角坐标方程为（ ）A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4【解析】将ρ=22y x +，sin θ=22yx y+代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.（2）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. ①把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）. 过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式1：极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.抛物线 D .圆【解析】原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.变式2：在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-【解析】A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切．例3、在极坐标系中，已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．变式2、在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．例4、极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________；变式1、把极坐标方程cos()16πρθ-=化为直角坐标方程是 ．变式2、在极坐标系中，圆心在)π且过极点的圆的方程为_ .变式3、在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB _________ _．题型二：参数方程的互化和应用例1、若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .变式1、设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______变式2、已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
极坐标与参数方程教案
、教学过程设计一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一、教学过程设计 一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠极径为, r为, r,为的直线○θ○θ点,垂点,平＜0；当点。
极坐标与参数方程教案
极坐标与参数方程教案目标：通过本节课的学习，学生能够理解和应用极坐标和参数方程的原理，能够将直角坐标系下的函数转换为极坐标或参数方程，并能够使用极坐标和参数方程解决问题。
一、引入（10分钟）1.通过引诱学生思考问题，引出极坐标和参数方程的概念。
提问：如果我们要描述一个物体在平面上运动的轨迹，可以使用直角坐标系的方程来表示。
那么是否还有其他方式来表示这个轨迹呢？2.引入极坐标的概念，定义极坐标的含义。
讲解：极坐标是一种描述平面上点位置的方式，使用极径和极角来表示点的坐标。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与坐标轴正半轴的夹角。
二、极坐标（20分钟）1.转换方式讲解：将直角坐标系转换为极坐标可以通过以下公式进行：x = rcosθ，y = rsinθ这样，一个在直角坐标系上的点(x,y)就可以用极坐标(r,θ)来表示。
2.根据已知的极坐标点，求直角坐标示例：已知一个点的极坐标为(r,θ)，求出对应的(x,y)坐标。
练习：学生进行练习题，验证是否掌握了极坐标与直角坐标之间的转换。
三、参数方程（20分钟）1.参数方程的概念讲解：参数方程是一种描述曲线的方式，使用参数的形式来表示坐标点的位置。
通过给出参数的范围，可以描绘出整个曲线。
2.转换方式讲解：将直角坐标系转换为参数方程可以通过以下形式进行：x=f(t)，y=g(t)这样，一个在直角坐标系上的点(x,y)就可以用参数t来表示。
3.根据已知的参数方程，求直角坐标示例：已知一个点的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，求出对应的(x,y)坐标。
练习：学生进行练习题，验证是否掌握了参数方程与直角坐标之间的转换。
四、综合运用（30分钟）1.根据已知的直角坐标系方程，转换为极坐标或参数方程示例：将直角坐标系方程y=x²转换为极坐标和参数方程。
2.根据已知的极坐标或参数方程，转换为直角坐标系方程示例：将极坐标方程r = 2cosθ转换为直角坐标系方程。
第13章 极坐标与参数方程(文)教案
．
2 9 2 2 x (t t 2) 4 16 4 (t为参数) 消去 t 得双曲线方程： x 2 y 2 4 ， 解析： 9 9 y 2 9 (t 2 t 2 2)， 16
所以离心率为
5 ． 2
【例 2】 若直线 y x b与曲线
2 x y 4 0( 2 x 3)
x sin cos 3．参数方程为 ，化为普通方程为_______________． (为参数） y sin2
解 析 ： 由 x sin cos 得 ： x 2 1 2 sin 2 ， 所 以 x 2 y 1 0 ，
4 cos ( 0,0 ) ，则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为
2
解析：我们通过联立解方程组
．
cos 3 ( 0, 0 ) 2 4 cos
2 3 解得 ，即两曲线的交点为 (2 3, 6 ) ． 6
（2008 江苏） 在平面直角坐标系 xOy 中， 【例 2】
为
x2 y 2 1 上的一个动 解题要点： 点 P (x，y ) 是椭圆 3 凡 是 形 如 a sin b cos 的 点 ， 则 S x y 的 最 大 值 式 子 ， 都 可 以 化 为 a 2 b 2 sin( 0 ) ， 从 而
2
sin 2 cos ，即： x 2 y 2 y 2 x ，所
5
3 ,
，则 P 点的直角坐标__________，曲线的极坐标方程 4
．
4 sin 化成直角坐标方程为
解析： (
6 6 , , 1) 2 2
选修4-4极坐标与参数方程教学案1
4．1 坐标系基础知识1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。
）设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以ρθ射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。
那么有序数对(,)称为点M的极坐标。
其中ρ称为极径，θ称为极角。
说出下图中各点的极坐标A（）B（）C（）D（）E（）F（）G（）①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③不同的极坐标是否可以写出统一表达式P7约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为ρθ，则（x，y）和(,)x=2ρ=y=tanθ=题型练习1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 2．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π 3．已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形4.已知△ABC 的三边a,b,c 满足2225b c a +=,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系，探究BE 与CF 的位置关系。
高中数学备课教案极坐标系与参数方程
高中数学备课教案极坐标系与参数方程高中数学备课教案：极坐标系与参数方程一、引言数学中的坐标系是描述平面上点位置的重要工具，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
而参数方程则是一种描述曲线的方程形式。
本教案将介绍高中数学中的极坐标系和参数方程，并探讨其应用。
二、极坐标系1. 定义与转换公式极坐标系是以原点为中心，极轴为正方向的坐标系。
任意点P在极坐标系中的位置可以由两个量确定：极径r和极角θ。
其中，极径r表示点P距离原点的长度，极角θ表示点P与极轴的夹角。
将直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)的公式为：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，曲线的方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是关于θ的函数。
常见的极坐标曲线有：- 极径为常数：以原点为圆心的圆。
- 极径关于角度的函数：如r = a + bsin(θ)，表示螺旋线。
- 极径为角度的函数：如r = aθ，表示阿基米德螺线。
三、参数方程1. 定义与示例参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
常用的参数方程形式为x = f(t)和y = g(t)，其中x和y分别表示平面上的横纵坐标，t是参数。
例如，参数方程x = cos(t)，y = sin(t)，描述了一个单位圆的轨迹。
2. 参数方程与直角坐标系之间的转换将参数方程x = f(t)和y = g(t)转换为直角坐标系中的方程，可以通过消去参数t来实现。
通常使用代数方法或几何方法进行转换，并根据具体情况选择适当的方法。
四、极坐标系与参数方程的应用1. 曲线的绘制极坐标系和参数方程在曲线的绘制中具有很强的优势，特别适用于描述复杂的几何图形，如心形线、螺旋线等。
通过设置极角或参数的范围，可以绘制出完整的曲线图形。
2. 积分计算对于一些特殊形状的区域，使用极坐标系可以简化积分计算。
通过转换成极坐标系的面积元素，可以减少积分的复杂程度，简化计算过程。
参数方程、极坐标含教案
参数方程、极坐标一、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数) ② 2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式 ⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 二、知识点(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化 例 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)例 在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 例 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( )A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4例 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆三、能力训练 (一)选择题1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线 B.一条垂直于x 轴的直线 C.一个圆 D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心 3.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( ) BA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 4.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) C A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1, -3π),r=25.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A.3π B.32πC.3π或32π D. 3π或35π6．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π7．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 8．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π9．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ10、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆 11、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定(二)填空题12.直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为 ；13.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .14、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
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极坐标与参数方程教案极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为．有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点．极点O的坐标为.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆的参数方程可表示为. 椭圆(ab0)的参数方程可表示为. 抛物线的参数方程可表示为.经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用例1、（1）点M的极坐标化为直角坐标为（）BA．B．C．D．（2）点M的直角坐标为化为极坐标为（）BA．B．C．D．评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点的极坐标为．（2）在极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为（）A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为．有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点．极点O的坐标为.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆的参数方程可表示为. 椭圆(ab0)的参数方程可表示为. 抛物线的参数方程可表示为.经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用例1、（1）点M的极坐标化为直角坐标为（）BA．B．C．D．（2）点M的直角坐标为化为极坐标为（）BA．B．C．D．评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点的极坐标为．（2）在极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为（）A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y：综合运用例1、以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.例2、在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线在极坐标系中的方程为．若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是．例3、在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标．例4、已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值。
【巩固练习】1．直线：3x-1、以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.例2、在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线在极坐标系中的方程为．若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是．例3、在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标．例4、已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值。
【巩固练习】1．直线：3x：，(θ为参数)的位置关系是（）A.相切 B.相离 C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心2．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线3、点的极坐标为．4、已知直线经过点P（1，1），倾斜角=，直线的参数方程为．5、极坐标系中，圆=10cos的圆心坐标为．6、点P的直角坐标为(1,-3、点的极坐标为．4、已知直线经过点P（1，1），倾斜角=，直线的参数方程为．5、极坐标系中，圆=10cos的圆心坐标为．6、点P的直角坐标为(1,：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是．12．（09江苏）直线上与点距离等于的点的坐标是．13、求椭圆．【课后练习】1、已知曲线C的参数方程为（为参数，）.求曲线C的普通方程。
2、已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为3、已知直线的参数方程：（为参数），圆C的极坐标方程：，试判断直线与圆C的位置关系．4、（求曲线过点的切线方程为5、在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为最大值为6、若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，求线段的长．7、求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。
【拓展练习】1、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值．2、（2009通州第四次调研）求经过极点三点的圆的极坐标方程.3、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为，求直线的极坐标方程．4、（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
5、（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。
13 达到当天最大量API KEY 超过次数限制。