图形密铺的实际应用

图形密铺的实际应用

一、一般图形的密铺

二、图案的密铺

三、生活中的密铺

四、自然界的密铺

创意密铺图形设计

一. 密铺图形

1. 密铺图形的概念

如果由全等的某个图形可以无空隙地铺满整个平面, 则这个图形称為密铺图形。

2. 密铺图形的例子

密铺图形密铺

正三角形是密铺图形

正六边形是密铺图形

皇冠图形是密铺图形

这幅密铺皇冠图形是怎麼设计出来的呢?

二. 任意四边形都是密铺图形

由於四边形的四个内角和=360°，因此将四个完全相同的四边形按如下的方法：把四个不同的顶点重合在一处，如下图右，可以无空隙地排列开来形成密铺。

1.任意凸四边形都是密铺图形

2. 任意凹四边形都是密铺图形

由於凹四边形的四个内角和也等於360°，同样地将四个完全相同的凹四边形按如下的方法：把四个不同的顶点重合在一处，如上图右，可以无空隙地排列开来形成密铺。

3. 由四边形组合的密铺图形

如上图A是由四个凹四边形密铺而成的山字型图形，由於凹四边形是密铺图形，因此，这个山字型图形也是密铺图形。用多边形工具可以通过勾画轮廓的方法，重新画出一个独立的山字型多边形，如上图B，这个山字型多边形也是一个密铺图形。

三. 密铺图形设计

1. 密铺图形设计之一 ---- 由四边形构成的密铺图形

(1) 密铺图形的线性变换仍然是密铺图形

如上图A的凸四边形是一个密铺图形，将四个凸四边形组合成图B，也是一个密铺图形。利用施转，相似缩放、水平缩放、垂直缩放、水平切变或垂直切变等图形线性变换，得到图D，图D仍然是密铺图形。

由图C或图D密铺平面如图E和图F，经过填色后，如图所见，图C或图D的组合仍然是密铺图形。

这样一来，由四边形可以密铺整个平面发展出千变万化的密铺图形，為密铺图形创意设计提供了非常广宽的天地。一般人难以想像这样一个三尖八角的图形可以无空隙地密铺整个平面，而且具有深刻的数学原理。学生可以从中学习数学的知识，学习理解和欣赏数学的美，同时与艺术创作、艺术思维相联繫，陶冶学生的艺术性情。创作过程要求学生的细心和耐心也是对学生人性品格和治学精神的培育。密铺图形创意设计是多元智能教育的一种极具创意的活动。

以上还仅是以四边形為基础的密铺，创作的著力点只是「形」，有如只是一座房子的外表及结构，如果对房子再加上装修，房子可以有如脱胎换骨，装修可能蕴含著更大的创意天地。下面是一些例子。

(2) 有立体感的密铺图形

将密铺图形内部填色，可以构成有立体感的密铺图形。

(3) 密铺图形加工

将山字型密铺图形填成绿色，并加上叶脉，加工成一枫叶密铺图形。

将山字型密铺图形作线性变换，加上眼和翅膀，便成了飞鸟密铺图形。

(4) 密铺图形的挖补

有时為了某种造形的需要，可以对密铺图形进行适当挖补，如上图左，為了隐形战机机头座仓的造型，在机尾部分挖出一块补到机头处，上图可见机身上方近机尾处有一凹位，便是挖出来补到机头处形成座仓的凸位。这种挖补技巧要求较高，但也正是如此，使密铺图形设计具有更大的创意空间。

2. 密铺图形设计之二 ---- 由中心对称构造密铺图形

上图是另类密铺图形，与由四边形构成的密铺图形有著截然不同的风格和特色，这类密铺图形是利用中心对称原理设计而成。

设计步骤

步骤1. 以一块正方形作起始图形，如下图左。

步骤2. 用小刀小心按如下图右的路线将正方形切割成一中心对称图形。

将两个图形分开，得两个完全一样的图形如下图，显然每一个图形都是密铺图形。 将四个如下的密铺图形，旋转、翻转，合拼成一个如小昆虫般的图形(下图右)仍然是密铺图形。

"起始图形除了正方形之外，还可以是矩形或平行四边形。

"由於起始图形不只一类，中心对称图形的设计又是任意的，密铺图形经线性变换之后仍然是密铺图形，因而又提供了密铺图形设计的另一个广宽天地。

3. 密铺图形设计之三 ---- 四边形分割重组技术

任意四边形都是密铺图形，其原理是四边形的四个内角之和等於360°。根据这一原理，将一个四边形分割，然后再重组，只要将四隻角在同一顶点上能拼在一起就可保证新图形可以密铺。先看看下面一些例子。

例1.

将四边形分割重组

填色密铺

一般地很难想像，这样一个不规则图形可以天衣无繨地密铺整个平面。由於切割是随意的，如果经过精心设计可以演幻出无穷的花式。

例2.

将四边形分割重组

填色变换

加工成海豚海豚密铺