比例线段与黄金分割综合题型
专题讲练：比例线段与黄金分割
专题讲练：比例线段与黄金分割¤题型讲练【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( ） A.a =2，b =3，c =2，d =3 B.a =4，b =6，c =5，d =10 C.a =2，b =5，c =23，d =15 D.a =2，b =3，c =4，d =1变式训练1：1.已知a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，(1) 请添加一边d ，使a 、b 、c 、d 四边成比例，求d 的长度； (2) a 、c 的比例中项x 的值.【例2】若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c b d d a +=+C.c d ba =22D.da cd ab =变式训练2： 1.已知dcb a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2 B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）【例3】已知 ，求x 的值变式训练3：1.已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值【例4】已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值.变式训练4：1.已知线段x 、y ，如果(x +y )∶(x -y )＝a ∶b ，求x ∶y .【例5】如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且 ,(1) 你能说明 吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若 ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
【例6】已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求AC －BC 的值：变式训练5：如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上. (1)求AM 、DM 的长. (2)求证：AM 2=AD ·DM .(3)根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ba ab b ax +=+=+=222ECAEBD AD =ACECAB BD =53===BCDE ACAE ABAD※基础训练 1．若43xx =，则x 等于（ ） A.12 B.32 C.-32 D.32± 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）A 、511=+yy x B 、51=-y y xC 、6=-yx xD 、5=-x y y 3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ） A 、1:2 B 、1:4 C 、1:6 D 、1:8 4．若3:2:1::=cb a ，则cb a cb a +---的值为（ ）A 、-2B 、2C 、3D 、-3 5．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ）A 、11B 、12C 、314D 、96．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -是（ ） A 、5 B 、-5 C 、20 D 、-20 7．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 8．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a9．已知a b a 3)(7=-，则=ba10．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232※能力提升 11．有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则dcb a = ②如果点C 是线段AB 中点，则AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（ ） A.1个B.2 个C.3个D.4个12．已知：2,2,1三个数，请你再写一个数，使这四个数组成一个比例式，并写出这些比例式。
初中数学浙教版九年级上册4.1比例线段-黄金分割同步训练(I)卷
初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段-黄金分割同步训练（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、基础巩固 (共12题；共34分)1. （2分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A . 4cmB . 6cmC . 8cmD . 10cm2. （2分）小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A . 12.36cmB . 13.6cmC . 32.36cmD . 7.64cm3. （2分）已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）A . AB2=AC2+BC2B . BC2=AC•BAC . AC2=AB•BCD . AC=2BC4. （2分）如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AC=mBC，则m的值是（）A .B .C .D .5. （2分）黄金矩形的宽与长的比值更接近于（）A . 3.14B . 2.71C . 0.62D . 0.576. （2分）如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A .B .C .D .7. （2分）有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．其中正确的判断有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分）在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（）A . 5kmB . 50kmC . 500kmD . 5000km9. （1分）已知线段a=8cm，c=4cm，b是a，c的比例中项，则b等于________．10. （1分）已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>BP，AB=4，那么AP=________．11. （1分）已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP= ________；12. （15分）（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．二、提高特训 (共8题；共33分)13. （2分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.如图，点将线段分成两部分，且，如果，那么称点为线段的黄金分割点.若是线段的黄金分割点，，则分割后较短线段长为（）A .B .C .D .14. （2分）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A . a=4，b= +2B . a=4，b= ﹣2C . a=2，b= +1D . a=2，b= ﹣115. （2分）已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A . AB2＝AC•BCB . BC2＝AC•BCC . AC＝ BCD . BC＝ AC16. （1分）设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是________．17. （1分）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么AC是线段________与________的比例中项，若AC=10cm，则BC约为________ cm．18. （10分）如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝C B∶AB＝k.（1）求k的值；（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．19. （10分）如图，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．（1）设AC=2，完成下面填空设AB=x，则BC=2﹣x∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，∴________，可列方程为________，解得方程的根为________，于是，AB的长为________．（2）在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（3）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根，①求证：（t+m）2=m2+n2；②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．20. （5分）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2=AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB 上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取=1.4，=1.7，=2.2）参考答案一、基础巩固 (共12题；共34分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、提高特训 (共8题；共33分) 13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、。
黄金分割及比例线段
3、黄金分割矩形4、人体中的黄金分割之美
5、美妙的黄金分割和黄金数6、线段黄金分割点的几种求法
7、中考黄金分割问题两例8、“黄金分割”考题透视
9、“比例线段”变式多多10、证明比例线段方法多多
11、巧用面积比来证线段比12、巧用面积比，妙解几何题
1、“黄金分割”之美
所谓的黄金分割矩形，是指矩形的长∶宽＝ ∶1，黄金分割矩形有一种特别的性质：在这种矩形中分出一个以宽为边长的正方形后，余下的矩形仍然是一个黄金分割矩形（如图2），由于它具有这一特性，因此每次余下的矩形都与原矩形相似，也就是说黄金分割矩形具有碎形自相似性的特质。
图2图3图4图5
至于黄金螺旋，则是将黄金矩形依黄金比例的长宽比往外扩张，然后将正方形顶点依序连接起来，就成为“黄金螺旋”如图3，4，5。同样地，黄金螺旋也普遍存在于自然界中，如下右图6的鹦鹉螺即是最著名的例子
析解：由黄金分割的定义可知 的数值为 。依据“黄金分割”知识可知节目主持人站在线段AB的黄金点C，这样台下的观众看上去感觉最好．
点评：本题实际上是属于黄金分割问题，即若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
3、黄金分割矩形
美丽宜人的黄金分割矩形是古希腊时代被认为地球上最具有调和性而美丽的比例。在古希腊时代，除了著名的巴特农神殿之外（如右图1），有许多建筑物、美术品、工艺品都具有十分接近黄金分割的作品。文艺复兴时代的万能艺术家达文西（Leonardo da Vinci,1452~1519）据说用黄金分割的长方形绘画。黄金分割不仅是几何学，也是整个数学的重要内容。十七世纪德国著名的天文学家、数学家开普勒（kepler,1571~1630）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割”。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
黄金比例初中数学题型
5、黄金比例的代数问题
例：求解含有黄金比例的代数方程，如求解x与x+1之间的黄金比例，即x/(x+1) = φ（1.618）。
答：求解x与x+1之间的黄金比例，即 x / (x+1) = φ。
解方程得：x ≈ φ / (φ - 1) ≈ 0.618。
黄金比例初中数学题型
1、黄金矩形问题
例：给定一个矩形，其长和宽之比为黄金比例φ（1.618），已知其宽度为6 cm，求矩形的长。
答：设矩形的长为x cm，则根据黄金比例φ（1.618）有：x / 6 = φ。
解方程得：x = 6φ ≈ 9.708 cm。
2、黄金三角形问题
例：一个三角形的三边之比为黄金比例φ（1.618），已知其中一条边长为8 cm，求另外两条边的长度。
答：设AC的长度为x cm，则CB的长度为6 - x cm。根据黄金比例φ（1.618）有：x / (6 ≈ 2.236 cm，CB ≈ 6 - x ≈ 3.764 cm。
4、黄金螺旋问题
例：在一个正方形中，画出一个以正方形边长为半径的四分之一圆，然后不断在新画出的圆弧上画出更小的正方形，并延长边界，形成一个黄金螺旋。已知初始正方形的边长为5 cm，求第n个正方形的边长。
答：设另外两条边的长度为x cm和y cm，根据黄金比例φ（1.618）有：x / 8 = φ，y / x = φ。
解方程得：x = 8φ ≈ 12.944 cm，y ≈ 8φ² ≈ 20.944 cm。
3、黄金分割线段问题
例：已知线段AB的长度为10 cm，点C在AB上，且AC与CB的比为黄金比例φ（1.618），求AC和CB的长度。
初三数学黄金比例的练习题
初三数学黄金比例的练习题【正文】黄金比例是数学中的一个重要概念，它是指一条分割线段被分为两部分时，整个线段与较大部分的比值等于较大部分与较小部分的比值。
黄金比例常常出现在艺术、建筑和自然界中，被认为是一种比例美。
在初三数学中，黄金比例的练习题是一种常见的题型，旨在帮助学生巩固和应用黄金比例的概念。
下面将提供一些黄金比例的练习题，供同学们练习和思考。
1. 请计算下列线段中，黄金比例的比值：a) AB = 6厘米, BC = 4厘米；b) DE = 9厘米, EF = 6厘米；c) GH = 15毫米, HI = 10毫米。
2. 请绘制一个线段AB，将它分割成两部分，使得整个线段与较大部分的比值等于较大部分与较小部分的比值。
3. 一根棒高为20厘米，将其分割成两部分，使得较长部分与整个棒的比值是黄金比例。
求较长部分的长度。
4. 一家公司的总利润为300万元，根据黄金比例，将利润按比例分配给员工和公司。
如果员工获得的利润与公司获得的利润的比值为黄金比例，请计算员工获得的利润。
以上是一些初三数学黄金比例的练习题，同学们可以按照以下步骤进行解答：步骤一：理解黄金比例的概念和计算方法。
黄金比例的计算公式为（a+b）/a = a/b，其中a为整体的长度，b为较短部分的长度。
步骤二：根据给定的线段长度，将其代入黄金比例的计算公式中，求解未知变量。
计算过程需要注意单位的转换和四舍五入。
步骤三：对于绘制分割线段的问题，可以利用画图工具，或者用纸和尺子进行实际绘制。
根据黄金比例的定义，将线段分割成两部分，确保较大部分与整个线段的比值等于较大部分与较小部分的比值。
步骤四：对于利润分配的问题，需要将总利润按照黄金比例进行分割，计算出员工获得的利润。
通过完成这些练习题，同学们可以更好地理解和掌握黄金比例的概念和应用。
同时，在解答问题的过程中，要注意思维的灵活性和逻辑的合理性，灵活应用数学知识，培养解决问题的能力。
黄金比例作为数学中的一个重要概念，不仅与艺术、建筑和自然界有关，也有着广泛的实际应用。
专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略(原卷版)
专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 比例线段的识别】 (1)【考点二 比例线段的计算】 (2)【考点三 黄金分割点的定义】 (2)【考点四 黄金分割点的应用】 (3)【考点五 黄金分割点的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 比例线段的识别】【例题1】若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．D ．【变式1】已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）．A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72+= 【变式2】由5a=6b （a≠0），可得比例式（ ）A ．B ．C ．D ．【考点二 比例线段的计算】【例题2】 设，求的值．432z y x ==2222232z xy x z yz x --+-【变式1】若=，则=（）.A. B. C. D. 无法确定【变式2】已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【变式3【考点三黄金分割点的定义】【例题3】已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）.A. B. C. D.【变式1】已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长为__________cm；【变式2】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B.C. 或D.以上都不对【考点四黄金分割点的应用】【例题4】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【变式1】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.【变式2△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【考点五 黄金分割点的拓展提高】【例题5】是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【变式1】如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【变式2道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC ，那么EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．BC AB 215-【变式3】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【过关检测】一．选择题1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ).A ．3 kmB ．30 kmC ．300 kmD ．3 000 km2.已知线段满足把它改写成比例式，其中错误的是（ ）.A. B. C.D. 3. （2014•牡丹江）若x ：y=1：3，2y=3z ，则的值是（）. 4.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示a 、b 、c 、d =ab cd ::b c d a =::a b c d =::c b a d =::a c d b =长为AB 、宽为PB 的矩形的面积，那么S 1（ ）S 2．A.>B.=C.<D.无法确定6. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二. 填空题8.线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足=，那么AP的长为 cm ． ，（填写一个即可）．10.已知若若5x -4y=0,则x:y=________. -3=,=____;4x y x y y则三．综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC ，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B 的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边 长①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD 的长；③在直线AB 或BC 上是否存在点P （点A 、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P ，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++y kx m =+15. 如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）。
4.1 比例线段 第3课时 比例中项与黄金分割练习题 2021—2022学年浙教版九年级数学上
第3课时比例中项与黄金分割【基础练习】知识点1比例中项1.如果a︰b=3︰2,且b是a,c的比例中项,那么b︰c等于()A.4 3B.3 4C.2 3D.3 22.如果a=3,b=2,且b是a,c的比例中项,那么c=.3.已知三个数a,b,c,其中a=1,b=4,c是a,b的比例中项,则c=.4.已知线段a=2 cm,b=8 cm,它们的比例中项c为cm.知识点2黄金分割5.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下面的等式成立的是()A.AB2=AC·BCB.BC2=AC·ABC.AC2=BC·ABD.AC2=2AB·BC6.图5是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中脸部被围在矩形ABCD内,点F 是AB的黄金分割点,BF>AF,若AB=10,则BF的长为.图57.已知点E是线段AB的黄金分割点,且BE>AE,若AB=2,则AE=.【能力提升】8.已知线段AB及AB上一点P,再添加一个条件,使P为AB的黄金分割点,其中错误的是()A.AP=√5-12AB B.PB=3-√52AB C.APPB=√5-12D.ABAP=√5-129.如果三条线段的长a,b,c满足ba =cb=√5-12,那么a,b,c叫做“黄金线段组”.黄金线段组中的三条线段()A.必构成锐角三角形B.必构成直角三角形C.必构成钝角三角形D.不能构成三角形10.如图6,已知P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,若S1表示以P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1S2(填“>”“=”或“<”).图611.已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边长与腰长的比值为黄金分割比).如图7,△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,已知AB=1,求CE的长度.图712.如图8,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B',因而EB'=EB.类似地,在AB上折出点B″,使AB″=AB'.这时点B″就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.图8答案1.D [解析] ∵a ∶b=3∶2,b 是a ,c 的比例中项,∴a ∶b=b ∶c ,∴b ∶c=3∶2. 2.433.±2 [解析] 根据比例中项的概念,得c 2=a ×b=4×1,解得c=±2.4.4 [解析] 根据比例中项的概念得c 2=ab ,则c 2=2×8,解得c=±4. ∵线段长是正数,∴c=4 cm .5.C6.5√5-5 [解析] ∵点F 是AB 的黄金分割点,BF>AF , ∴BF=√5-12AB=√5-12×10=5√5-5. 7.3-√5 [解析] ∵E 是线段AB 的黄金分割点,且BE>AE , ∴BE AB =√5-12,则BE=√5-12AB=√5-12×2=√5-1,故AE=AB -BE=3-√5.8.D9.D [解析] ∵ba =cb =√5-12, ∴b=√5-12a ,c=√5-12b=3-√52a , ∴b+c=√5-12a+3-√52a=a , ∴长为a ,b ,c 的三条线段不能构成三角形. 故选D .10.= [解析] ∵P 是线段AB 的黄金分割点,且P A>PB ,∴P A 2=PB ·AB.又∵S 1表示以P A 为一边的正方形的面积,S 2表示长是AB ,宽是PB 的矩形的面积, ∴S 1=P A 2,S 2=PB ·AB ,∴S 1=S 2.11.解:∵△ABC ,△BDC ,△DEC 都是黄金三角形, ∴DE=CD ,BC AB =√5-12,CD BC=√5-12,CE CD =√5-12. ∵AB=1, ∴BC=√5-12AB=√5-12, ∴CD=√5-12BC=√5-122=3-√52, ∴CE=√5-12CD=√5-12×3-√52=√5-2.12.证明:设正方形ABCD的边长为2.∵E为BC的中点,∴BE=1,∴AE=√AB2+BE2=√5.又∵B'E=BE=1,∴AB'=AE-B'E=√5-1,∴AB″=AB'=√5-1,∴AB″∶AB=(√5-1)∶2,∴点B″是线段AB的黄金分割点.。
线段的比与黄金分割的题目类型
线段的比与黄金分割的题目类型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2“线段的比与黄金分割”的题目类型课前过关：1. .k 为何值时，关于x 的方程 1)2)(1(23+++=++x x kx x 的解为非正数。
教学过程： 一. 回忆：1. 什么叫线段的比什么叫成比例线段2. 比例有什么性质？什么叫线段a.b.c 的比例中项？3. 什么叫线段的黄金分割点如何画一条线段的黄金分割点4.5. 什么叫黄金矩形黄金三角形6.二. 方法规律：（成比例线段） 1. 求线段的比必须单位统一. 2. 线段的比是没有单位的正数.3. 成比例的线段是有序的.四条线段是否成比例，按“排、算、判”的顺序进行。
三.练习题例1.A 、B 两地相距8km ,在地图上相距16cm ,求比例尺。
例2.判断下列线段是否成比例.1. a=12cm b=8cm c=15cm d=10cm2.a=50cm b=30cm c=5cm d=3cm3.a=30mm b=2cm c=0.8cm d=12mm4. a=5cm b=0.02m c=7cm d=0.3dm例3.已知 2x=3y(x 、y 均不为0)求：1.y x 2.x y x - 3.xy x + 例4.已知一次函数y=kx+b 过点（0,1），且k 满足k=a cb +=c ba b c a +=+,求该一次函数解析式。
例5．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，,482334+=+=+c b a 且a+b+c=12,试判断△ABC 的形状。
例6．X;y;z=1;3;5,求zy x zy x +--+33的值。
例7.已知a 、b 、c 满足.m cab b ac a c b =+=+=+求m. 例8.已知： ,EC AE DB AD =求（1）EC AC DB AB = （2.）AC AEAB AD = ADE3B C 四．作业1.根据下列条件分别求b a 的值 1）.57=+b b a 2.25=-+b a b a 2.已知3x=4y=5z,且x ≠0,求zy x zy x 423632+-+-的值.3.已知x:y:z=2:3:4,且x+y-z=121,求x 、y 、z4.a:b:c=2:3:4.ax=by=cz ≠0,求x:y:z5.若 .d c b a =那么ddc b -=b -a 成立吗？证明之.6.已知1，2，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。
比例线段+黄金分割+相似概念测试
比例线段及相似形测试1、若四条比例线段为a ,b ,c ,d ，且a =3cm ，b =2cm ，c =6cm ，则线段d 的长为.2、若2x －5y =0，则y ∶x =________，x y x +=________，22-x y xy=________.3、某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4∶5∶7. 若由外校转入1人加入乙队，则后来乙与丙的人数比为.4、设14ac e bd f ===，则a c e b d f+-=+-_____. 5、若a d d c c b b a ===，则d c b a dc b a +-+-+-的值是. 6、已知43322a c cb b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+=.7、设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果ab ba c bc a =+=-，那么( )A 、3b=2cB 、3a=2bC 、2b=cD 、2a=b8、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，则AE 的长为.第8题图第9题图9、如图，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的选项为.A ．AD BF DB FC =B ．AD EF BC BF =C ．AE DEEC FC= D ．BCDEAB EF =10、如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且61=EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则FDAF等于______．第10题图第11题图11、如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交EDCBAAC 于P 、Q 两点，则AP ∶PQ ∶QC =．12、请写出一定相似的三角形（写两种）和一定相似的四边形（写一种）： .13、如图，ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分别是AB AC ，的中点，则1112D E a =；若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213224aD E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则33137248D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.14、已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.求4a －3b +c 的值.15、若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，求abca c cb b a ))()((+++的的值.16、已知：a cb d=，求证：ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项.E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1CBA17、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.18、如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点. （1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.19、如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ，求的值.FE DCBAF E DCBAFDAFFC EF+20、已知△ABC 中，AB =AC ，∠A =36゜，该三角形的底BC 与腰AB 的比等于黄金比，这样我们称顶角为36度的等腰三角形为黄金三角形. 若BD 是∠ABC 的角平分线，可以得到如下结论：△BCD 和△ABD 都是等腰三角形，且△ABC 相似于△BCD ，从而得到这两个相似三角形的对应边成比例.利用上述知识，试求证黄金三角形的底BC 与腰AB 的比为黄金比.21、心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）： 第一步：作一个任意正方形ABCD ；第二步：分别取AD BC ，的中点M N ，，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ； 第四步：过B 作EF AD ⊥交AD 的延长线于F ；请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取2AB =）ABCDEFMN（第21题图）。
九年级数学上册相似三角形比例线段黄金分割同步练习新版浙教版
第3课时 黄金分割一、选择题1．已知线段a ，b ，c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a ＝4，b ＝9，则c 等于( ) A ．4 B ．6 C ．9 D ．362．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ． cmB ． cmC ． cmD ． cm3．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )＝b c ＝b c＝c d ＝c d4．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A ．6 cmB ．10 cmC ．4 cmD ．8 cm5．已知C 是线段AB 上的一个点(AC ＞BC )，有以下命题：①若AC AB ＝BC AC ，则C 是线段AB 的黄金分割点；②若AC AB ＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ③若BC AC＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ④若AC 2＝BC ·AB ，则C 是线段AB 的黄金分割点. 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10，则PQ 的长为( ) A ．5( 5－1) B ．5( 5＋1) C ．10( 5－2) D ．5(3－5)7．宽与长的比是5－12(约的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K －29－1②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )图K －29－1A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二、填空题8．(1)实数2和18的比例中项是________；(2)已知线段a ＝5 cm ，b ＝15 cm ，则a 与b 的比例中项是________；(3)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．9．已知C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则BC AB ＝________，BC AC＝________.10．据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为________℃(精确到1 ℃).链接学习手册例2归纳总结11．如图K －29－2所示，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB .若S 1是以PA 为边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)．图K－29－2三、解答题12．如图K－29－3，扇子的圆心角为x°，余下的扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观．若取黄金比为，求x的值(精确到1°)．图K－29－313．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图K－29－4，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，求DE的长．图K－29－414．以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取一点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图K －29－5所示．(1)求AM ，DM 的长；(2)求证：M 是线段AD 的黄金分割点．图K －29－515思维拓展如图K －29－6①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗为什么(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．图K－29－61．[答案]B2．[解析] A 设这本书的宽为x cm ，则x20≈，解得x≈，故选A.3．[答案]B4．[解析] D 先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解． 根据已知条件得下半身长是160×＝96(cm)．设需要穿的高跟鞋的高度是y cm ，则根据黄金分割的定义，得y ＋96160＋y ≈.解得y≈8.故选D. 5．[答案]D6．[解析] C 由黄金分割的意义可得PQ ＝10×⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12－（1－5－12）＝10( 5－2)．7．[解析] D 设正方形的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1. 在Rt △DCF 中，DF ＝12＋22＝5， ∴FG ＝5，∴CG ＝5－1， ∴CG CD ＝5－12， ∴矩形DCGH 为黄金矩形． 故选D.8．[答案] (1)±6 (2)5 3cm (3)32，12或±3 2(写出一个即可) [解析] (3)设这个数为x ，则3，6或x 都可能是比例中项，因此本题应分三种情况讨论．设这个数为x ，则32＝6x 或62＝3x 或x 2＝3×6，解得x ＝32或x ＝12或x ＝±3 2.9．[答案]3－525－12[解析] 因为C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，所以AC AB ＝5－12.又因为BC ＝AB －AC ，所以BC AB ＝AB －AC AB ＝1－AC AB ＝1－5－12＝3－52.由黄金分割可知BC AC ＝AC AB ＝5－12.10．[答案] 23[解析] 用近似的黄金比值直接与37相乘即可． 11．答案] ＝[解析] 根据黄金分割的定义得到PA 2＝PB·AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，即可得到S 1＝S 2.∵P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ， ∴PA 2＝PB·AB.又∵S 1是以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积， ∴S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，∴S 1＝S 2.12．解：∵x 与y 的比通常按黄金比来设计， ∴x ∶y ≈，∴y ≈53x.又∵x＋y ＝360，∴x ＋53x≈360，解得x≈135.13．解：∵△ABC，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形，AB ＝1，∴AB ＝AC ，AD ＝BD ＝BC ，DE ＝BE ＝CD.设DE ＝x ，则CD ＝BE ＝x ，AD ＝BC ＝1－x.∵EC DE ＝BCAB ，EC ＝BC －BE ＝1－x －x ＝1－2x ，∴1－2x x ＝1－x1， 解得x ＝3－52(x ＝3＋52>1舍去)，∴DE 的长为3－52.14．解：(1)∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点， ∴AB ＝AD ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°， ∴PD ＝AP 2＋AD 2＝5，∴在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝5－1，DM ＝AD －AM ＝3－ 5. (2)证明：由(1)，得AD·DM＝2(3－5)＝6－2 5. 又∵AM 2＝(5－1)2＝6－2 5. ∴AM 2＝AD·DM，即M 是线段AD 的黄金分割点． 15解：(1)对．理由如下： 设△ABC 中边AB 上的高为h.则S △ADC ＝12AD·h，S △BDC ＝12BD·h，S △ABC ＝12AB·h，∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为AB 边的黄金分割点， ∴AD AB ＝BD AD ， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDCS △ADC，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． (3)∵DF∥CE，∴△DEC 和△FCE 的公共边CE 上的高相等，∴S △DEC ＝S △FCE .设直线EF 与CD 交于点G ， ∴S △DGE ＝S △FGC ，∴S △ADC ＝S 四边形AFGD ＋S △FGC ＝S 四边形AFGD ＋S △DGE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC . 又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ，∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFCS △AEF ，∴直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．。
比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型—2023-2024学年九年级数学下(苏科版)
比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 比例的性质之等比性质】 (1)【考点二 由平行判断成比例的线段】 (4)【考点三 由平行截线求相关线段的长或比值】 (6)【考点四 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (9)【考点五 利用黄金分割求线段的长】 (12)【考点六 与黄金分割有关的证明】 (13)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一 比例的性质之等比性质】【答案】6或3−【分析】分两种情况：当0x y z ++≠时，当0x y z ++=时，分别求出m 的值即可．【详解】解：当0x y z ++≠时，根据比例的等比性可得：3333336x y y z z x m z x y +++++==++； 当0x y z ++=时，可得x y z +=−，∴()333x y z m z z +−===−．【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【变式训练】【答案】12【分析】根据比例的性质解答即可；【详解】解：由 0346x y z ==≠，可设 0346x y z k ==≠=，即 34,6x k y k z k ===，， 把3,4,6x k y k z k ===代入3131262x k y z k k ==−−，故答案为：12．【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．【答案】6【分析】将已知等式35a c e b d f ===变形为53b d f a c e ===，得到555,,333b a d c f e ===，代入计算即可． 【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴53b d f a c e ===， ∴555,,333b a d c f e ===， ∵10b d f ++=，∴55510333a c e ++=，∴()5103a c e ++=，∴6a c e ++=故答案为：6．【点睛】此题考查了比例的性质，正确理解题意得到555,,333b a d c f e ===是解题的关键．【答案】8或1−【分析】观察 ()()()a b b c c a c a b +++== 与 ()()()+++a b b c c a abc 发 现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 ()()()a b b c c a c a b +++== 的值解出，因此设()()()a b b c c a k c a b +++=== 通过变换化为 ()(2)0a b c k ++−= 那么可能是 0a b c ++= 或 2k = 对这两种情况分别讨论；【详解】设,a b b c c a k c a b +++===则 ,,a b kc b c ka c a kb +=+=+=()()()a b b c c a kc ka +++++=+kb +2()()a b c k a b c ++=++即()(2)0a b c k ++−=所以 0 a b c ++=或2k =当0a b c ++=时，则,a b c +=−1, a b c +=−同理1, b c a +=−1c a b +=−所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()(1)(1)b c c a a b ++⨯⨯=−⨯−(1)1⨯−=− 当 2 k =时，()()()2a b b c c a c a b +++===所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()2228b c c a a b ++⨯⨯=⨯⨯=故答案为 8 或 -1【点睛】做好本题的关键是找出a 、b 、c 三个变量间的关系，因而假设,a b b c c a k c a b +++===做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系【考点二 由平行判断成比例的线段】 九年级统考开学考试）如图，在ABC 中， A ．BD DF AD AC = B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥，得BD DF BA AC =，故A 选项错误； B ．由DF AC ∥，得BF BD FC DA =，又由DE BC ∥，得BD CE DA EA =，则 BF CE FCEA =，故B 选项错误，D 选项正确； C ．由DF AC ∥，得BF DF BC AC =，故C 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于【变式训练】A ．AB DE AF EA = B ．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．【详解】解：A ．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，∵CD AB ∥， ∴CD DE AF EA =， ∵AB CD =， ∴AB DE AF EA =，故A 正确，不符合题意； B ．∵AE BC ∥， ∴AE AF BC FB =， ∵AD BC =， ∴AE AF AD FB =，故B 正确，不符合题意； C ．∵AE BC ∥， ∴FA FE AB EC =，故C 正确，不符合题意；D ．∵AE BC ∥， ∴FA AE FB BC =， 即FA AE FA AB BC =+，∵AB CD =， ∴FA AE FA CD BC =+， ∴C FA CD AE B ≠，故D 错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线a b c ∥∥，分别交直线m 、n 于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，下列结论不正确的是（ ）A ．AC BD CE DF =【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：a b c ∥∥，∴=AC BD CE DF ，AC BD AE BF =，CE DF AE BF =，AE BF AC BD =；∴选项A 、C 、D 正确，故选：B ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【考点三 由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CD EF ，∴BE AF CE DF =，6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，∴966DF =，4DF ∴=，6410AD AF DF ∴=+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知AB DE BC EF =，然后代入4DE =求解即可．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴23AB DE BC EF ==，∵4DE =，∴6EF =，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 分别在ABC 的边【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合2BD AD =可得BH DH AD ==；由平行线分线段成比例定理可得2AG BC =，即有2AG BC =，再证明EF CG ∥，进一步可得13AF AE AG AC ==，易知23AF BC =，可得43FG AG AF BC =−=，即可获得答案．【详解】解：如下图，设CG 、AB 交于点H ，∵2BD AD =，CG 平分线段BD ， ∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥， ∴2AG AH AD DH BC BH BH +===，∴2AG BC =，∵DE BC ∥，∴AED ACB ∠=∠，13AE AD AD AC AB AD BD ===+，∵EF 平分AED ∠，CG 平分ACB ∠ ∴12AEF AED ∠=∠，12ACG ACB ∠=∠，∴AEF ACG ∠=∠，∴EF CG ∥， ∴13AF AE AG AC ==， ∴1233AF AG BC ==， ∴24233FG AG AF BC BC BC =−=−=， ∴4433BC FG BCBC ==． 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．【考点四 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在ABC 中，D 为BC 边的中点，点E 在线段AD 上，BE 的延长线交AC 边于点F ，若13AE ED ：＝：，2AF ＝，则线段FC 的长为 ．【答案】12【分析】过点D 作DG BF ∥于点G ,由平行线分线段成比例定理得AE AF ED FG =，求得6FG =，再结合中点进一步可得12GF GC FC ==，从而得到答案．【详解】解：如图，过点D 作DG BF ∥于点G ；则AE AF ED FG =； 而13AE ED =，2AF =， 6FG ∴=；D 为BC 边的中点，12GF GC FC ∴==，212CF FG ∴==，故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】 是ABC 边BC【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，依据平行线分线段成比例定理，即可得到::BD CD EG GC =，::DF AF EG AE =，进而可得CEAE 的值．【详解】解：如图所示，过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，则::2:5BD CD EG GC ==，即：52CG EG =，72EC CG EG EG =+=，::1:4DF AF EG AE ==，即：4AE EG =，∴77248EG CE AE EG ==．故答案为：78．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．在ABC 中，【答案】32【分析】先过E 作EG BC ∥，交AD 于G ，再作∥DH A B 交CE 于H ，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出EF FC 和AFFD 的值，相加即可．【详解】解：作EG BC ∥交AD 于G ，作∥DH A B 交CE 于H ，如图所示：∵:1:3AE EB =， ∴14AE AB =，∵EG BC ∥， ∴14EG AE BD AB ==， ∴14EG BD=，∵:2:1BD DC =， ∴12EG CD=，∵EG BC ∥， ∴12EF EG FC CD ==， ∵:2:1BD DC =， ∴13CD BC =， ∵∥DH A B ， ∴13DH CD BE BC ==， ∴13DH BE AE==， ∵∥DH A B ，∴1AF AEFD DH ==， ∴13122EF AF FC FD +=+=． 故答案为：32．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．【考点五 利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，则它的宽为（ ）【答案】D【分析】根据黄金比例求解即可．【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，∴它的宽()147cm ==，故选：D ．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．【变式训练】【答案】C【分析】较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．根据黄金分割的定义即可列方程求解． 【详解】解：较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．则22(2)x x =−，解得1x =或1（舍去）．较短的线段长是21)3−=故选：C ．【点睛】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，若线段AB 的长为4cm ，则AP 的长为（ ）【答案】A【分析】根据黄金分割的定义可得AP =据此求解即可．【详解】解：∵P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，4cm AB =，∴()42cm AP ==；故选：A ．【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．【考点六 与黄金分割有关的证明】九年级假期作业）ABC 中，ACD ABD ABCABDS SSS=，则称为ABC 的黄为ABC 的黄金分割线，则(2)若20ABCS=，求ACD 的面积．（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)30−【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得ABD ABCSBDS BC =，ACD ABDS CDSBD =，又因为ACD ABD ABCABDS S SS=，等量代换得出BD CDBC BD =，根据黄金分割点的定义即可证明D 是BC 的黄金分割点； （2）由（1）知BDCDBC BD =，那么BD =，DC BC BD BC BC =−==，又等高的两个三角形面积之比等于底之比ACD ABCSCD S BC ==，将20ABCS=代入，即可求出ACD 的面积．【详解】（1）证明：∵ABD ABCSBD S BC =，ACD ABDSCD SBD =，又∵ACD ABD ABCABDS S SS=，∴BD CDBC BD =， ∴D 是BC 的黄金分割点； （2）解：由（1）知BD CDBC BD =， ∴BD，∴DC BC BD BC =−==，∵ACD ABCSCD S BC ==，∴3535203022ACDABCSS =−−==−【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】(1)AM 1，DM 的长为3 (2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =−，PF PD ==，则1,3AM AF DM AD AM ===−=（2）根据（1）中的数据得：AM AD=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==−=−=，3DM AD AM =−=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD=， ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）在直角三角形△ABD 中设BD x =则2AB x = ，利用勾股定理求出AD =，再求出)1AE x=，即)1AC x=，则AC AB=，即可得出结论；（2）若BD ＝1，则22AB BD == ，把AB 代入到AC AB =即可求出AC ，进而可求出BC ． 【详解】解：（1）∵BD ⊥AB ，∴△ABD 是直角三角形，∵BD ＝12AB ，∴设BD x =则2AB x = ，∴AD ，∵DE ＝DB ，AC ＝AE ， ∴DE x = ，∴)1AE x =∴)1AC x=，∴)12x ACAB x= ，故C 是线段AB 的黄金分割点． （2）若BD ＝1，则22AB BD == ，由（1）知AC AB =，∴2AC =，∴1AC = ，∴)213BC AB AC =−=−=．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据 12x y =，可以得到2y x =，代入x y x y −+即可求解； 【详解】解：∵12x y =， 2y x ∴=，21.233x y x x x x y x x x −−−∴===−++故选：B ．【点睛】把两个未知数的问题转化为一个未知数的问题，消元是解决本题的基本思想．九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中， A ．AD DGDB CG= B ．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出DE BF =，,EF AB DE BC ∥∥，，根据相似三角形的判定得出DGE CGF ∽，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．【详解】解：A ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴DG DE BFCG CF CF ==，∴AD DGDB CG =，故本选项错误；B ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴EG DE BFGF CF CF ==，∴AD EGDB GF =，故本选项错误；C ．DE BC ∥，DE BF =，∴AD DE BF ADAB BC BC DB ==≠，故本选项正确；D ．,EF AB DE BC ∥∥Q DE BF =， ∴AD AE BF DEDB EC FC FC ===，故本选项错误； 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．A ．32B ．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵AB EF CD ∥∥， ∴BE AFEC FD =， ∵2AO =，1OF =，2FD =， ∴2+13=22BE EC =， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解答的关键．4．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，3BE EC =，D 是线段AC 的中点，BD 和AE 交于点F ，已知ABC 的面积是28，求四边形DCEF 的面积（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8【答案】B【分析】如图，过D 点作DH ∥，交BC 于H ，先证得EH CH =，再证明6BEEH =，由此得到11281422ABD ABC S S ==⨯=，根据3BE CE =， 求出ACE ∆的面积，即可得到答案．【详解】如图，过D 点作DH AE ∥，交BC 于H ，∵点D 是AC 的中点，∴1AD EH CD CH ==，即EH CH =，∵3BE CE =，∴32BE BE CE EH ==， ∴6BE EH =， ∴6BF BE DF EH ==， ∵11281422ABD ABC S S ==⨯=，∴1114277ADF ABD S S ==⨯=，∵3BE CE =，∴1128744ACE ABC S S ==⨯=， ∴725ACE ADF DCEF S S S =−=−=四边形，故选：B ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，根据线段比的关系求出三角形的面积，题中由中点引出辅助线是解题的关键． ，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，，ABC 看，BCD 看作第二个黄金三角形；作，CDE 看作第三个黄金三角形；⋯⋯【答案】A【分析】由黄金三角形的定义得BC AB ==，同理BCD △是第二个黄金三角形，CDE 看作第三个黄金三角形，则2CD ==，得出规律，即可得出结论．【详解】1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 是第一个黄金三角形，∴底边与腰之比等于，即BC AB=，BC AB ∴=，同理：BCD △是第二个黄金三角形，CDE 是第三个黄金三角形，则2CD ==，即第一个黄金三角形的腰长为01=，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为1，第三个黄金三角形的腰长为，⋯，∴第2023个黄金三角形的腰长是20231−，即2022，故选：A ．【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．二、填空题【答案】53/213 【分析】设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =，代入a b c a +−求解即可． 【详解】解：设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =， ∴23555233a b k k k c a k k k ++===−−． 故答案为：53．【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键． 7．（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为 ．【答案】125【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【详解】解：直线123l l l ∥∥，AB DE BC EF ∴=，2AB =，5BC =，6EF =， 256DE ∴=，125DE ∴=，故答案为：125．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．【答案】35/0.6 【分析】根据题意可得333,,555a b c d e f ===，再代入，即可求解． 【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴333,,555a b c d e f ===， ∴2323a c eb d f −+−+3232335535b d f b d f −⨯+⨯=−+()335223b d f b d f −+=−+35=． 故答案为：35【点睛】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置离A 近，根据黄金分割比列式求解即可得到答案．【详解】解：由题意可知，当黄金分割点C 离A 近，如图所示：20m AB =，∴由黄金分割比可知AC BC BC AB =，设m AC x =，则()20m BC x =−，代入得到202020xx x−=−， 解得123030x x =−=+经检验，123030x x =−=+30AC ∴=−3020AC =+>（舍弃）；综上所述，主持人站在离A 点(30m −处最自然得体，故答案为：(30−．【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，还考查了解分式方程，解一元二次方程，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．【答案】4或9/9或4【分析】分当52CE CF ==时，当52CE EF ==时，当CF EF =时三种情况求解即可． 【详解】当52CE CF ==时，如图，∵点F 为AC 的中点，∴25AC CF ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D Ð=°，AB CD =，∴4AB CD =；当52CE EF ==时，如图，作FH CD ⊥于点H ，∵90D Ð=°，∴FH AD∥，∴1 CH CFHD AF==，∴CH DH=，∴EF是ACD的中位线，∴1322 FH AD==，∴2 HE==，∴92 CH HE CE=+=∴99922AB CD==+=；当CF EF=时，∵点F为AC的中点，∴DF CF=，∴DF EF=，∴点D与点E重合，∴52CD CE==，这与3AB CD=>矛盾，故不符合题意，舍去．综上可知，AB的长度为4或9．故答案为：4或9．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形中位线的性质，以及平行线分线段成比例定理，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题【答案】(1)2(2)10【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；（2）利用等比性质，进行计算即可解答．【详解】（1）解：2a c e b d f ===，且0b d f ++≠，∴2a c e b d f ++=++， ∴a c eb d f ++++的值为2；（2）解：2a c e b d f ===，∴23223a c e b d f −===−， ∴23223a c e b d f −+=−+，235b d f −+=，232510a c e ∴−+=⨯=，23a c e ∴−+的值为10．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 12．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．(1)如果4AB =，8BC =，12EF =，求DE 的长；(2)如果:2:3DE EF =，25AC =，求AB 的长．【答案】(1)6DE =(2)10AB =【分析】对于（1），根据平行线分线段成比例的性质得AB DE BC EF =，再代入计算； 对于（2），根据平行线分线段成比例得性质得AB DE BC EF =，再代入计算即可． 【详解】（1）∵123l l l ∥∥，4AB =，=8BC ，=12EF ， ∴AB DE BC EF =， 即4812DE =， 解得6DE =；（2）∵123l l l ∥∥，2=3DE EF ，=25AC ， ∴AB DE BC EF =， 即2253AB AB =−，解得10AB =．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解定理是解题的关键．即一组平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例．【答案】-9或6． 【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得2()3()a b c d a b c d ++++++=k ，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a ，代入即可计算出k 的值．【详解】∵2222a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++=k ，∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，2()3()a b c d a b c d ++++++=k ， k=2()3()a b c d a b c d ++++++=23；当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a ，∴k=22a a b c d a =++−=-2；当k=23时，2222343433k k ⎛⎫−−=−⨯−=− ⎪⎝⎭509； 当2k =−时，()()223423246k k −−=−−⨯−−=．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 14．（2023秋·全国·九年级专题练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.6．(1)求该女士下半身长x ；(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）【答案】(1)该女士下半身x 为99cm ；(2)她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【分析】（1）列式计算即可求解；（2）设需要穿的高跟鞋是cm y ，列方程求解即可．【详解】（1）解：1650.699cm x =⨯=；答：该女士下半身x 为99cm ；（2）解：设需要穿的高跟鞋是cm y ，则：()990.618165y y +=+，解得：7.8y ≈，答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．15．（2023秋·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：如图1，在线段AB 上找一点C ()AC BC >，若::BC AC AC AB =，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图，在OEF 中，且12EF OE =，连接OF ；以F 为圆心，EF 长为半径作弧，【答案】(1)EF FH =，OH OP =(2)1OP =(3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH =，OH OP =，然后作答即可；（2）由勾股定理得OF =OP OH OF FH ==−，计算求解即可；（3）由1OP ，可得)2216OP ==−，)213PE OE OP =−=−=，(236OE PE ⋅=−=−2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，进而结论得证．【详解】（1）解：由题意知，EF FH =，OH OP =，故答案为：EF FH =，OH OP =；（2）解：∵EF OE ⊥，∴90OEF ∠=︒∵2OE =，∴112EF OE ==，由勾股定理得OF =∵1FH EF ==∴1OP OH OF FH ==−，∴1OP ．（3）证明：∵1OP =，∴)2216OP ==−)213PE OE OP =−=−=−(236OE PE ⋅==−∴2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，∴点P 是线段OE 的黄金分割点．【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．为边AB 上的点，过点于点O ．若2AE =，中，点G 在DA 的延长线上，直线点G 是边AD 上任意一点，连接GB 、GC 分别交EF 于点M 、N ，则GMN ∆周长的最小值是 ．【答案】（1）2.7；（2）见解析；（33【分析】（1）ABCD Y ，AD BC ∥，EF AD ∥，EF AD BC ∥∥，AE GO EB OH =，即可求得OH ；（2）ABCD Y ，AD BC ∥，ODG OBC ∆∆∽，OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，OD OC OB OE =，即可证明GO OC CO OE =；（3）过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN 为GBC ∆的中位线，12MNG BCG C C ∆∆=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，根据勾股定理即可求出BCC '∆进而求出MNG C ∆作答．【详解】解（1）：ABCD ，AD BC ∴∥，又EF AD ∥，EF AD BC ∴∥∥，∴AE GO EB OH =，即2 1.83OH =， 2.7OH ∴=，故答案为：2.7；（2）证明：ABCD ，AD BC ∴∥，ADB CBD ∴∠=∠，DGO OCB ∠=∠，ODG OBC ∴∆∆∽，∴OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，∴OD OC OB OE =， ∴GO OC CO OE =；（3）解：过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，如图，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN ∴为GBC ∆的中位线，11()22MNG BCG C MN MG GN BC BG GC C ∆∆∴=++=++=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，60ABC ∠=︒，90BCC '∠=︒，30DCM '∴∠=︒，4CM '==2CC CM ''∴==在Rt AOE '中，BC '=111()6)3222MNG BCG C C BC BC ∆∆'∴==+==，3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用．。
专题08 比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型全攻略(解析版)
专题08比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一比例的性质之等比性质】 (1)【考点二由平行判断成比例的线段】 (3)【考点三由平行截线求相关线段的长或比值】 (6)【考点四构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (9)【考点五利用黄金分割求线段的长】 (12)【考点六与黄金分割有关的证明】 (13)【过关检测】 (17)【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】【变式训练】【考点二由平行判断成比例的线段】例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在ABC 中，DE BC ∥，DF AC ∥，则下列比例式中正确的是（）A ．BD DF AD AC =B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥【变式训练】A ．AB DE AF EA =B ．AE AD 【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出例定理逐项进行判断即可．A ．AC BD CE DF =【考点三由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CDBE AF【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知【详解】解：∵AD BE ∥∥∴2AB DE ==，BC 【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合即有2AG BC =，再证明EF CG ∥即可获得答案．∵2BD AD =，CG 平分线段BD ，∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥，∴2AG AH AD DH +===，【考点四构造平行线截线求相关线段的长或比值】【答案】12【分析】过点D作DG==一步可得GF GC【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·一模）如图，点DF AF=点为F，:1:【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥::DF AF EG AE =，进而可得则::BD CD EG GC ==::1:DF AF EG AE ==∴772EG CE ．【考点五利用黄金分割求线段的长】【变式训练】【考点六与黄金分割有关的证明】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【过关检测】一、单选题A．AD DG DB CG=【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出DGE CGF∽，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．A ．32B ．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵AB EF ∥∥A ．4B ．【答案】B 【分析】如图，过D 点作DH 11281422ABD ABC S S ==⨯=∵点D 是AC 的中点，∴1AD EH CD CH==，即EH =∵3BE CE =，∴32BE BE CE EH ==，A．512⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 二、填空题【答案】12 5【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【详解】解： 直线1l∥AB DEBC EF∴=，三、解答题(1)如果4AB=，8BC=，DE EF=，AC (2)如果:2:3【答案】(1)6DE=AB=(2)10(1)求该女士下半身长x为边AB 上的点，过点于点O ．若2AE =，中，点G 在DA 的延长线上，直线【答案】（1）2.7；（2）见解析；（3）213+【分析】（1）ABCD Y ，AD BC ∥，EF AD ∥，EF AD BC ∥∥，AE GO EB OH =（2）ABCD Y ，AD BC ∥，ODG OBC ∆∆∽，OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，EF BC，且E、F分别是边∥∴为GBCMN∆的中位线，。
专题10 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略(原卷版)
专题10比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一比例的性质之等比性质】 (1)【考点二利用黄金分割求线段的长】 (2)【考点三与黄金分割有关的证明】 (2)【考点四由平行判断成比例的线段】 (4)【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】 (5)【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (5)【过关检测】 (7)【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】【变式训练】【考点二利用黄金分割求线段的长】【变式训练】A ．52-B ．522-C ．352-D ．52-【考点三与黄金分割有关的证明】【变式训练】【考点四由平行判断成比例的线段】A ．BD DF AD AC =B ．BF FC 【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）延长线于点F ，则下列结论错误的是（A ．AB DE AF EA =B ．AE AD 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线下列结论不正确的是（）A ．AC BD CE DF =【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】【变式训练】1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线那么线段EF的长是2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点∥，分别交∠A作AF BCFGBC=．【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在ABC【变式训练】1．（2023·四川成都·DF AF=点为F，:2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）AD与CE相交于点F，则【过关检测】一、单选题1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段152AC =，则线段AB 的长是（）A ．52B ．2C ．32D ．52．（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD 中，点E 是CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 延长线于点F ，若13BG CG =，25E F =，则菱形ABCD 的边长是（）A ．35B ．1455C ．5D ．63．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若:3:1BF FD =，10BC =，则CE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．1034．（2023春·山东威海·八年级统考期末）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一A．1045-B．二、填空题5．（2023·安徽安庆·统考二模）如图，在6．（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）如图，在平行四边形平分线交AC于点E，交7．（2023·陕西渭南·统考一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即AC BC BC AB=雕像，则该雕像的下部高度BC应设计为8．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在且H是BC的中点．若AH三、解答题9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，=，求AC的长．BD DC2(1)问题背景：如图1，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且BD AE =，(2)点G ，H 分别在边BC ，AC 上，GH 与CD 交于点O ，且HOC ∠①尝试运用：如图2，点D 在边AB 上，且43OH OG =，求AB BD的值；②类比拓展：如图3，点D 在AB 的延长线上，且256OH OG =，直接写出证明：延长BA 至E ，使得AC 结论应用：已知在 ABC 中，30C ∠=︒，连接AB '交BC 于点E ．(1)如图2，当30α=︒，AB '⊥（2）数学活动二如图⑤，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a d c b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a ===Λ332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ΛΛ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) =2，b=3，c=2，d=3 =4，b=6，c=5，d=10=2，b=5，c=23，d=15 =2，b=3，c=4，d=1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )∶d=c ∶b ∶b=c ∶d ∶a=b ∶c ∶c=d ∶b例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶d 2 B. a ∶d=c ∶bC. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
例7.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______例8.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.例9．（1）已知b a a b b a x +=+=+=222，求x 的值 （2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值 例10.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM =215-AB =215-AB ≈ 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：ACCD 的值 【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、cd a b = 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-xy y 3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:84．若3:2:1::=c b a ，则cb ac b a +---的值为（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-35．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314 D 、9 6．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ） A 、5 B 、-5 C 、20 D 、-207．若43x x =，则x 等于（ ） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32±8．已知AB=1，)15(21-=AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（ ） A C D BA 、215-B 、215+C 、)53(21-D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ） A 、2 B 、15+ C 、2或15+ D 、以上都不对10．已知572z y x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（ ） A 、A>B>C B 、A<B<C C 、C>A>B D 、A<C<B11．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba 14．如果2===c zb y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填一个数，可写成一个比例式，这个数是16．把长为5的线段进行黄金分割，则较短的线段长是17．若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.试求a ∶b ∶c. 一、填空题：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ . 5.若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若b a b +＝53，那么ba ＝ . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝23，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm.11.已知3∶x ＝8∶y ，求y x = 12. 已知b b a 23+＝27，求ba =13. 若2x ＝3y ，求y y x += 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝ 18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则d b c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 19．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 20．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 21．已知a b a 3)(7=-，则=b a 22．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232 三、解答题：1、已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x-y)2、已知c b a +=a c b +=ba c +＝x ，求x 4、已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.5、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b c a ++＝fd e c ++＝3. 6、如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE 的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长. （1）如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项．7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ）(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5-5、若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝__________PB ＝ 。
4．（2010佛山）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看（精确到1cm ）2．（2011六盘水）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约，下身长约，她要穿约（ ）cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到）1．（2013莆田）定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2=BCAB ，则称7、已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ， 求c b a 23-+的值。
8、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2 9、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．10、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a ::点C 为线段AB 的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．（1）求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）求出线段AD 的长．13．（2001南京）以长为2cm 的定线段AB 为边，作正方形ABCD ，取AB 的中点P ．在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 落在AD 上，如图所示．（1）试求AM 、DM 的长；（2）点M 是线段AD 的黄金分割点吗请说明理由．34．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 长为20米，主持人现站在A 处，请问主持人应走到离A 点至少多少米处才最自然得体（结果精确到米）39．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，设以AP 为边长的正方形面积为S 1，以PB 为宽和以AB 为长的矩形面积为S 2，试比较S 1与S 2的大小．3．（2010本溪）如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=7．（2005太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC=（ ）cm ，DC=（ ）cm ．11．（2013闸北区一模）已知点D 是线段AB 的黄金分割点，且线段AD 的长为2厘米，则最短线段BD 的长是（ ）厘米．13．（2013秀洲区二模）如图，平行四边形ABCD 中，E 为AD 延长线上的一点，D 为AE 的一个黄金分割点，即AD= AE ，BE 交DC 于点F ．若CF=2，则AB 的长为（ ）6 .已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555 ，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。