微观经济学计算题练习

河南 洛阳（平顶山）李恒运 微观经济学计算题

1.某君对消费品x 的需求函数为Q P -=100，分别计算价格P ＝60和P ＝40时的价格弹性系数。

解：由Q P -=100，得2)100(P Q -=，

这样，P

P

P P P Q P dP dQ E d --=-⋅-⋅-=⋅=

1002)100()1()100(22 于是，3401206010060260-=-=-⨯-==P d

E 3460804010040240-=-=-⨯-=

=P d E 即，当价格为60和40时的点价格弹性系数分别为-3和 -4/3。

2.假设某商品的50％为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50％为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少? 解：设被这100个消费者购得的该商品总量为Q ，其市场价格为P 。

据题设，其中75人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-2，这样，他们每人的弹性

75,2,1,2,2Λ=⋅-=⋅=-=i P

Q dP dQ Q P dP dQ E i i i i di 且 ∑==7512/i i Q Q

又，另外25人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-3，这样，他们每人的弹性

25,,2,1,3,3Λ=⋅-=⋅=-=j P

Q dP dQ Q P dP dQ E j j j j dj 且 ∑==2512/j j Q Q

由此，这100个消费者合计的弹性为

∑∑∑∑==⋅+=⋅+=⋅=751251)()(i j j i j i d Q P dP

dQ dP dQ Q P dP Q Q d Q P dP dQ E 将式(1)、(3)代入，得

∑∑∑∑====⋅-+-=⋅⋅-+⋅-=751251751251]32[)]3()2([i j j i i j j i d Q P Q P Q P Q P P Q P Q E

将式(2)、(4)代入，得

25)2322()2322(-=⋅⋅--=⋅⋅-⋅-

=Q P P Q Q P Q P Q P E d

3.若无差异曲线是一条斜率是-b 的直线，价格为Px 、Py ，收入为M 时，最优商品组合是什么?

解：预算方程为：Px ·x+Py ·y ＝M ，其斜率为-Px/Py

MRS XY =MU X /MU Y =-b

由于无差异曲线是直线，这时有角解。

当b>Px/Py 时，角解是预算线与横轴的交点，如图3—19(a)所示。

这时，y ＝0

由预算方程得，x=M/Px

最优商品组合为(M/Px ，0)

当b

这时，x ＝0

由预算方程得，y=M/P

最优商品组合为(0，M/Py)

当b=Px/Py 时，预算线上各点都是最优商品组合点。

4. 若需求函数为q=a-bp ，a 、b>0，求：

(1)当价格为P1时的消费者剩余是多少?

(2)当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少?

解：(1)由g ＝a-bP ，得反需求函数为b

q a P -= 设价格为p1时，需求量为q1，q1=a-bP1

消费者剩余=⎰+-=--=--11021121102211122)(q q p b ap b a q p b q aq q p dq b q a

(2)设价格为p 2时，需求量为q 2，q 2＝a-bp 2

消费者剩余变化量

1221222112222221122222212211222022100112222)2

2(22)2

2()22(])([)(22

1ap ap p b p b p b ap b a p b ap b a p b ap b a q p b q aq p b ap b a q p b q aq q p dq b

q a q p dq b q a q q q +--=+--+-=+----=+----=-----=⎰⎰

5. X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者。这两家公司的主要产品的需求曲线分别为： 公司X ：Px ＝1 000-5Qx ，公司Y ：Py ＝1 600-4Qy 。

这两家公司现在的销售量分别为100单位X 和250单位Y 。

(1)求X 和Y 当前的价格弹性。

(2)假定Y 降价后，使Qy 增加到300单位，同时导致X 的销售量Qx 下降到75单位，试问X 公司产品X 的交叉价格弹性是多少?

解：(a)由题设，Qx ＝100，Qy=250，则

Px ＝1 000-5Qx ＝1 000-5×100＝500

Py ＝1 600-4Qy ＝1 600-4×250＝600

于是x 之价格弹性

5

325060041-=⨯-=⋅=y x x x dx Q P dP dQ E y 之价格弹性

5

325060041-=⨯-=⋅=y y y y dy Q P dP dQ E (b)由题设，Q ’y ＝300，Q ’x ＝75

这样， P ’y ＝1 600-4Q ’y

＝1 600-4×300

=400

△Qx ＝Q'x-Qx

＝75-100

＝-25

△Py=P'y-Py

=400-600

=-200

于是，X 公司产品x 对Y 公司产品y 的交叉价格弹性

175125175

1000812/)75100(2/)4006000(200252

/)'(2/)'(=⨯=++⨯--=

++⋅∆∆=x x y y y x xy Q Q P P P Q E =5/7

即交叉价格弹性为5/7。

6.令消费者的需求曲线为p ＝a-bp ，a 、b>0，并假定征收 lOOt ％的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。

解：设价格为p 时，消费者的需求量为q1，由p=a-bq1，得

b

p a q -=1 又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为q2，由P ＝a-bq2

得 b

P t a q )1(2+-= 消费者剩余损失

12222211122120021)1()2()2()1(2

()1()(])1()([)(121

212

pq pq t q b aq q b aq pq pq t q b aq pq q t P dq bq a q t P dq bq a pq dq bq a q

q q q q q -++---=-++-=-⋅++-=⋅+-----=⎰⎰⎰

政府征税而提高的收益=(1+t)pq 2-pq 1

消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益