一般形式的柯西不等式优秀教学设计

一般形式的柯西不等式

【教学目标】

认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。

【教学重点】

会证明二维柯西不等式及三角不等式。

【教学难点】

理解几何意义。

【教学过程】

一、复习准备：

1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

(0,0)2a b a b +>>及几种变式。 2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+

证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=…=2()0ad bc -≥

二、讲授新课：

1． 柯西不等式：

① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+。

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+。 （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+ ∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n ⋅=<>，则||||||m n m n ⋅≤。 ∴ …。。

证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则

22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立。

∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…。。

③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

222||c d

ac bd +≥+ 或22||||

c d ac bd

+≥+ ac bd ≥+。

④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤。

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）

⑤

练习：已知A ．B ．

C ．d ≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）

2．教学三角不等式：

出示定理3：设

1122,

,,x y x y

R ∈≥ 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

三、应用举例：

例1：已知a ，b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++

说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。（2222||d c b a bd ac +⋅+≤+）

解：函数的定义域为(1，5)，且y>0 3

6427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x x

x y 当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27

127=

x 时，函数取最大值36

课堂练习：1．证明： (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)2

2．求函数x x y -+-=6453的最大值。

例3．设a ，b 是正实数，a+b=1，求证411≥+b a 分析：注意到)11)((11

b a b a b a ++=+，有了)11)((b

a b a ++就可以用柯西不等式了。

四、巩固练习：

1． 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2． 已知x+2y=1， 求x 2+y 2的最小值。 五、课堂小结：

二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）