分段函数、解析式与图像含详解答案

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2023届山东省德州市陵城区一中数学高一上期末学业水平测试试题含解析

13．已知 R 上的奇函数 f (x) 是增函数，若 f (a) f (3a 1) 0 ，则 a 的取值范围是________
14．已知 sin cos 7 ， 0, ，则 tan ________.
17 15．已知 f (x) (x 1)(ax 1) 是偶函数，则实数 a 的值为___________.
5．已知 m, n 为两条直线，, 为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若 m / /, / / ，则 m / /
B.若 , m ，则 m
C.若 m , m / /n, ，则 n / /
D.若 m , m / /n, / / ，则 n
6．已知命题 p : x R ， mx2 1 0 ；命题 q : x R ， x2 mx 1 0 ．若 p ， q 都是假命题，则实数 m 的取值范
宽为 ym
（1）若生态种植园面积为 72m2 ，则 x, y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A
【解析】 log6 15 log5 15 log5 16 2 21.5 0.51.5
则
a
1
3a
a
,
1 4
.
故答案为：
,
1 4
.
14、 15 8
【解析】根据已知条件求得 sin, cos 的值，由此求得 tan 的值.
【详解】依题意 sin cos 7 ，两边平方得 17
1 2sin cos 49 , 2sin cos 240 0 ，
289
289
而 0, ，所以 sin 0,cos 0 ，

新教材苏教版高中数学必修一知识点09 函数的表示方法

高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式．【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题．例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ；当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果．【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-，即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1，故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥，令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥，故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]，所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值．【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题．训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a，因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上，所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确；因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误，所以正确的有①①①，共3个，故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -．故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =，当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解；由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =，所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6，故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解；当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==，则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值．由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力．二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556；当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416，综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________．【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值；（2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________．【答案】154．【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--，当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅，可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()116f x ≤，作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =，由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154．故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；（3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域；（3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >；当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤；且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+，故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦，当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+，故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+，当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=，解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。

(必考题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(含答案解析)(5)

一、选择题1．函数()f x =的定义域是（） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞2．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（）(参考数据： 1.13e ≈) A ．38 B ．40C ．45D ．473．若x ，y ，z 是正实数，满足2x =3y =5z ，试比较3x ，4y ，6z 大小（）A ．3x >4y >6zB ．3x >6z >4yC ．4y >6z >3xD ．6z >4y >3x 4．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（）A ．(1)(1)0a c -->B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<5．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（） A ．12-B ．-1C ．-5D ．127．若13log 2a =，131()2b =，2log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b a c <>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>9．已知2log 0.8a =，0.7log 0.6b =，0.60.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <>，则22a c +与2的大小关系是（）A ．222a c +>B ．222a c +≥C ．222a c +≤D ．222a c +<11．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞ 12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．14．已知()f x 是定义在[0,)+∞的函数，满足(1)()f x f x +=-，当[0,1)x ∈时，()3x f x =，则3(log 30)f =________.15．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______. 16．若3log 14a>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为________ 17．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为11x x y y =⎧⎨=⎩或22x x y y =⎧⎨=⎩，则()1212lg x x y y =________. 18．已知43==m n k ，且20+=≠m n mn ，则k =______.19．给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．20．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .三、解答题21．已知函数()log (31)a f x x =+，()log (13)a g x x =-(0a >且1)a ≠．（1）求()()()F x f x g x =-的定义域；（2）判断函数()F x 的奇偶性；（3）若()()0f x g x ->，求x 的取值范围． 22．计算：（1）1ln 224()9e-+；（2）()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+=⎪+⎝⎭.24．设函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，且()312f =. （1）求k ，a 的值；（2）求函数()f x 在[)1,+∞上的值域；（3）设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅，若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值；（4）对于（3）中函数()g x ，如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 25．（1）求函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）求函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）求函数223y x x =--的单调递增区间.26．已知函数210(),22,01xx ax a x f x a a x ⎧+--≤<=⎨-≤≤⎩，其中a >0且a ≠1. （1）当12a =时，求f (x )的值域；（2）函数y =f (x )能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a 的范围；如果不能，则给出理由；（3）()2f x -在其定义域上恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.2．B解析：B 【分析】根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.3．B解析：B 【分析】令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg 5tz =，利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数，且235x y z ==，令235x y z t ===，则1t >，故2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3t y t ==，5lg log lg 5tz t ==， ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即36x z >； ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即64z y >，即364x z y >>成立，故选：B. 【点睛】关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式；（2）利用作差法比较大小.4．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.5．B解析：B【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x xf x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增，则()22x xh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====，对于()222x x g x --=，因为2xy =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.6．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.7．C解析：C 【分析】由题容易看出，0a <， 01b <<，2log 31c =>，便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=，31110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 3log 21c =>=，因此a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值0-1,1，来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据指数函数、对数函数的性质结合中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>．故选：A ．【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．9．C解析：C 【解析】因为22log 0.8log 10a =<=，0.70.7log 0.6log 0.71b =>=，0.6000.70.71c <=<=，所以a c b <<，故选C.10．D解析：D【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立，则有0c <且0a >，故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<．故选：D ．【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．11．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解．【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数，所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数，由对数函数性质知230a ->，即23<a ，综上023a <<．故选：C ．【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >，所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ；又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故解析：6 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++，整理得：22222222p q p q p qp qp q aq ap aq ap a pq+++++++++=1，解得：2p+q =a 2pq ，由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36，由于a ＞0，故：a=6．故答案为6 【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．14．【分析】利用对数的运算性质得出结合周期性即可得出的值【详解】且则则函数的周期为2故答案为：【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值涉及了对数的运算属于中档题解析：109-【分析】利用对数的运算性质得出3310log 303log 9=+，结合周期性，即可得出3(log 30)f 的值. 【详解】33333101010log 30log 27log 27log 3log 999⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，且333100log log log 9131=<<= (1)()f x f x +=-，(11)(1)()f x f x f x ∴++=-+=，则(2)()f x f x +=，则函数()f x 的周期为2310log 3333310101010(log 30)21log 1log log 39999f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：109- 【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值，涉及了对数的运算，属于中档题.15．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.16．【分析】讨论和两种情况利用函数单调性解不等式得到答案【详解】当时满足不成立；当时综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式分类讨论是解题的关键解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，利用函数单调性解不等式得到答案. 【详解】3log 1log 4aa a >=，当1a >时，满足34a >，不成立；当01a <<时，34a >. 综上所述：3,14a ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，分类讨论是解题的关键.17．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运解析：6【分析】利用换底公式得出5858log log 4111log log x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值. 【详解】由换底公式得5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②，由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()288log 2log 40y y --=，由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则261282y y ==，()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，因此，()61212lg lg106x x y y ==.故答案为：6. 【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．18．【分析】根据对数和指数的关系将指数式化成对数式再根据对数的运算计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系对数的运算属于基础题解析：36【分析】根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得. 【详解】解：43m n k ==4log m k ∴=，3log =n k20m n mn +=≠211n m ∴+=，1log 4k m =，1log 3k n = 2log 3log 41k k ∴+= 2log 3log 41k k ∴+=()log 941k ∴⨯=36k ∴=故答案为：36 【点睛】本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题.19．①③【分析】A 即为函数的定义域B 即为函数的值域求出每个函数的定义域及值域直接判断即可【详解】对①A ＝(﹣∞0)∪(0+∞)B ＝(﹣∞0)∪(0+∞)显然对于∀x ∈A ∃y ∈B 使得x+y ＝0成立即具有性解析：①③ 【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．20．【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x 所以函数y ＝x2比函数y ＝xlnx 在区间(0＋∞)上增长较快填解析：2yx【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x ，所以函数y ＝x 2比函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快，填2y x =.三、解答题21．（1）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域. （2）通过()()F x F x -=-证得()F x 是奇函数.（3）对a 进行分类讨论，结合对数型函数的单调性求得x 的取值范围. 【详解】（1）()log (31)log (13)a a F x x x =+--，310130x x +>⎧⎨->⎩，解得：1133x -<<，所以()F x 的定义域为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知()F x 的定义域关于原点对称，又()log (13)log (31)()a a F x x x F x -=--+=-，所以()F x 是奇函数，. （3）()()0f x g x ->，即log (31)log (13)a a x x +>-，当1a >时，3101303113x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：103x <<，当01a <<时，3101303113x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：103x -<<.【点睛】判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称性. 22．（1）32；（2）3. 【分析】（1）利用指对数运算对数恒等式直接得解（2）利用对数运算及换底公式得解. 【详解】（1）1ln 22433()22922e -++=+-=，（2）223(lg 2)lg 5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.22(lg 2)lg 5(1lg 2)log 4(lg 2)(lg 2lg 5)lg 52=+⋅++=+++lg 2lg523=++=【点睛】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值；（2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭，即可证明结论. 【详解】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=，整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦，因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-；当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=，整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦，因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =；（2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-， ()()()()()()1111lnln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----， ()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+，所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证.24．（1）2a =，2k =；（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2m =；（4）17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由奇函数性质求得k ，由3(1)2f =可求得a ；（2）利用函数的单调性得值域；（3）换元，设22x x t -=-，则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()g x 转化为()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由二次函数的性质求得最小值，再由最小值为2-可得m ，（4）在（3）基础上，由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，即()110k --=，2k =，∵()312f =.∴132a a -=，2a =， ∴2a =，2k =，（2）1()2222xxx x f x -=-=-是增函数，∴1≥x 时，13()222f x ≥-=，即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）()()2222222xx x x g x m --=+--，设22x x t -=-，[)1,x ∈+∞，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-，∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =，或2512m =(舍去)，故2m =；（4）()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立， ∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解不等式得出x ∈∅或1712m <， ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查指数函数的性质，考查奇偶性，由奇偶性同函数解析式，由单调性是函数的值域，在求函数()g x 的最值问题，不等式恒成立问题时，解题方法是换元法，即设22x x t -=-，把指数函数转化为二次函数，然后利用二次函数性质求解．25．（1）()(),12,-∞⋃+∞；（2）[]9,0-；（3）[]1,1-，[)3,+∞. 【分析】（1）解不等式2320x x -+>可求得函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）利用二次函数的基本性质可求得函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）将函数223y x x =--的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区间. 【详解】（1）对于函数()22log 32y x x =-+，有2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，函数()22log 32y x x =-+的定义域为()(),12,-∞⋃+∞；（2）当[]2,2x ∈-时，()[]222119,0y x x x =-+-=--∈-，因此，函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域为[]9,0-；（3）解不等式2230x x -->，解得1x <-或3x >，所以，222223,12323,1323,3x x x y x x x x x x x x ⎧--<-⎪=--=-++-≤≤⎨⎪-->⎩.二次函数223y x x =--的图象开口向上，对称轴为直线1x =. 当1x <-时，函数223y x x =--单调递减；当13x -≤≤时，函数2y x 2x 3=-++在区间[]1,1-上单调递增，在区间[]1,3上单调递减；当3x >时，函数223y x x =--单调递增.综上所述，函数223y x x =--的单调递增区间为[]1,1-，[)3,+∞.【点睛】本题考查与二次函数相关问题的求解，考查了对数型复合函数的定义域、二次函数的值域以及含绝对值的二次函数单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题. 26．（1）()f x 的值域为9[16-，1]；（2）能，a 的取值集合为{2}；（3）232a -. 【分析】（1）由二次函数和指数函数的值域求法，可得()f x 的值域；（2）讨论1a >，01a <<，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；（3）讨论x 的范围和a 的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．【详解】（1）当10x -<时，21122y x x =+-，对称轴为1[14x =-∈-，0)，可得y 的最小值为916-，y 的最大值为0；当01x 时，12?()1[02xy =-∈，1]；综上()f x 的值域为9[16-，1]；（2）当1a >时，函数22xy a a =-在[0，1]递增，故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递增，1222aa a⎧--⎪⎨⎪--⎩，故只有2a =符合要求；当01a <<时，函数22xy a a =-在[0，1]递减，故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递减，0222aa a⎧-⎪⎨⎪--⎩，无解．综上，a 的取值集合为{2}；（3）①当[1x ∈-，0]时，22x ax a +--恒成立，即有2(1)2a x x ---，即221x a x+-，由221x y x+=-，令1t x =-，[1t ∈，2]，可得32232y t t=+--，当且仅当t =时，取得等号，可得232a -；②当[0x ∈，1]时，①当1a >时，22x y a a =-，222x a a --，即有222a -，求得2a ，故12a <； ②当01a <<时，成立，综上可得a 的范围为232a -．【点睛】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．。

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。

第7节函数的图象(经典练习及答案详解)

第7节函数的图象知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；y＝a x(a>0，且a≠1)的图象y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换(4)翻折变换1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．来，再进行变换.而言的，利用“上加下减”进行.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.2.(多选题)若函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A.a＞1B.0＜a＜1C.b＞0D.b＜0答案AD解析因为函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD.3.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()答案B解析依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析 ∵f (－x )＝sin （－x ）－x cos （－x ）＋（－x ）2＝－f (x )，且x ∈[－π，π]，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C ，只有D 满足. 5.(2021·长沙检测)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝f (－|x |)C.y ＝|f (x )|D.y ＝－|f (x )|答案 B解析观察函数图象可得，②是由①保留y 轴左侧及y 轴上的图象，然后将y 轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y ＝f (－|x |).6.(2020·重庆联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________.答案 (2，8]解析当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0时，x ∈(2，8].考点一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.感悟升华 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】分别作出下列函数的图象： (1)y ＝sin |x |；(2)y ＝2x －1x －1. 解 (1)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图①.(2)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示. 考点二函数图象的辨识1.(2020·浙江卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 在区间[－π，π]的图象大致为( )答案 A解析因为f (x )＝x cos x ＋sin x ，则f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，又x ∈[－π，π]，所以f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C ，D 错误.且x ＝π时，y ＝πcos π＋sin π＝－π<0，知B 错误；只有A 满足. 2.(2021·重庆诊断)函数f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象大致为( )答案 A解析根据题意，f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝x sin x ，定义域为R ，关于原点对称.有f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，即函数y ＝f (x )为偶函数，排除B ，D.当x ∈(0，π)时，x >0，sin x >0，有f (x )>0，排除C.只有A 适合. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )答案 D解析法一先画出函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.法二由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )＝⎩⎨⎧31－x，x ≥0，log 13（1－x ），x <0，故该函数过点(0，3)，排除A ；过点(1，1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.4.函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x ＋sin xB.f (x )＝cos xxC.f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2D.f (x )＝x cos x 答案 D解析从图象看，y ＝f (x )应为奇函数，排除C ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，知f (x )＝x ＋sin x 不正确；对于B，f(x)＝cos xx ，得f′(x)＝－x sin x－cos xx2，当0<x<π2时，f′(x)<0，所以f(x)＝cos xx 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，B不正确；只有f(x)＝x cos x满足图象的特征.感悟升华 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质【例2】(多选题)(2021·滨州一模)在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点.设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是()A.函数y＝f(x)是奇函数B.对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C.函数y＝f(x)的值域为[0，22]D.函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增答案BCD解析由题意得，当－4≤x＜－2时，点B的轨迹为以(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x ＜2时，点B 的轨迹为以原点为圆心，22为半径的14圆；当2≤x ＜4时，点B 的轨迹为以(2，0)为圆心，2为半径的14圆，如图所示；以后依次重复，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数.由图象可知，函数f (x )为偶函数，故A 错误；因为f (x )的周期为8，所以f (x ＋8)＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x －4)，故B 正确；由图象可知，f (x )的值域为[0，22]，故C 正确；由图象可知，f (x )在[－2，0]上单调递增，因为f (x )在[6，8]的图象和在[－2，0]的图象相同，故D 正确.故选BCD.角度2 函数图象在不等式中的应用【例3】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a C.f （b ）b >f （a ）a >f （c ）cD.f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b(2)(2020·北京卷)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图象上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图象可知，当a >b >c >0时，f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c .(2)在同一平面直角坐标系中画出h (x )＝2x ，g (x )＝x ＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2). 又f (x )＞0等价于2x ＞x ＋1，结合图象，可得x ＜0或x ＞1.故f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.角度3 求参数的取值范围【例4】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________. 答案 (1)(0，1) (2)(0，1)∪(9，＋∞)解析 (1)画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1). (2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |， y 2＝a |x －1|的图象如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a （1－x ）(－3<x <0)有两组不同解.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（3－a ）2－4a >0，－3<a －32<0，（－3）2＋（3－a ）×（－3）＋a >0，02＋（3－a ）×0＋a >0，∴0<a <1.②⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a （x －1）(x >1)有两组不同解. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3、x 4， ∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，又∵x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a ＞1， ∴a >9.综上可知，0<a <1或a >9.感悟升华 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练2】(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)(2020·徽州一中期中)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________.(3)(多选题)(2021·淄博模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有()A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D.函数f(x)有且仅有两个零点答案(1)[－1，＋∞)(2)(－2，－1)∪(1，2)(3)ABD解析(1)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).(2)∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2).(3)函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.一、根据函数图象确定函数解析式【例1】(2021·长沙检测)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的是()A.y ＝sin(e x ＋e －x )B.y ＝sin(e x －e －x )C.y ＝cos(e x －e －x )D.y ＝cos(e x ＋e －x )答案 D解析由函数图象知，函数图象关于y 轴对称，∵y ＝sin(e x －e －x )为奇函数，图象关于原点对称，B 不正确；又－1<f (0)<0，但sin 2>0，cos 0＝1，故A ，C 不正确；只有y ＝cos(e x ＋e －x )满足图象特征.故选D.素养升华函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.二、由图象特征研究函数性质求参数【例2】设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.[1，4]C.[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 答案 D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，要使f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2. 因此a ≥4或a ≤1.素养升华 1.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.2.图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.A级基础巩固一、选择题1.(2020·天津卷)函数y＝4xx2＋1的图象大致为()答案A解析令f(x)＝4xx2＋1，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，因此，函数为奇函数，排除C，D.当x＝1时，f(1)＝42＝2>0，排除B.故选A.2.(2021·江南十校模拟)函数f(x)＝x cos x2x＋2－x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象大致为()答案C解析根据题意，有f(－x)＝－x cos x2x＋2－x＝－f(x)，且定义域关于原点对称，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B ；又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，x >0，cos x >0，2x >0，2－x >0，则f (x )>0，排除D ，只有C 适合.3.若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可能是( )答案 D解析由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到.因此D 正确.4.下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x ) D.y ＝ln(2＋x )答案 B解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.5.(2021·豫北名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，则不等式f (x )>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 答案 C解析根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，可得其图象如图，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，则不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝( ) A.－12 B.－54 C.－1D.－2答案 C解析由图象知⎩⎪⎨⎪⎧ln （a －1）＝0，b －a ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1.故f (－3)＝5－6＝－1.7.(多选题)(2021·山东新高考模拟)对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，下列说法正确的是( )A.f (x ＋2)是偶函数B.f (x ＋2)是奇函数C.f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数D.f (x )没有最小值答案 AC解析 f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)为偶函数，A 正确，B 错误.作出f (x )的图象如图所示，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0，C 正确，D 错误.8.若函数y ＝f (x )的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是( )A.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12B.y ＝f (2x －1)C.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12D.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1答案 B解析函数f (x )的图象先整体往右平移1个单位，得到y ＝f (x －1)的图象，再将所有点的横坐标变为原来的12，得到y ＝f (2x －1)的图象. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________. 答案 (3，1)解析由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1).10.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________. 答案－12解析函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.11.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________. 答案 (－1，0)解析在同一直角坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0).12.已知函数f (x )在R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1，2)，则实数t 的值为________. 答案 1解析由图象可知不等式－2<f (x ＋t )<4，即f (3)<f (x ＋t )<f (0).又y ＝f (x )在R 上单调递减，∴0<x ＋t <3，不等式解集为(－t ，3－t ). 依题意，得t ＝1.B 级能力提升13.若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x <0），2e x （x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个答案 B解析作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个.14.(2020·潍坊质检)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A.0 B.0或－12 C.－14或12D.0或－14答案 D解析因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，如图所示：由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y ＝x ＋a 经过点(1，1)或与曲线f (x )＝x 2(0≤x ≤1)相切于点A ，则1＝1＋a ，或方程x 2＝x ＋a 只有一个实数根.所以a ＝0或Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝0或a ＝－14.15.(多选题)(2021·日照模拟)设f (x )是定义在R 上的函数，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，则称函数f (x )具有性质P .那么下列函数中，具有性质P 的函数为( ) A.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≠0，0，x ＝0B.f (x )＝|x 2－1|C.f (x )＝x 3＋xD.f (x )＝2|x |答案 ABC解析对于A ，在函数f (x )的图象上取A (－1，－1)，B (0，0)，C (1，1)，有f (0)＝f （－1）＋f （1）2成立，故A 正确；对于B ，在函数f (x )的图象上取A (－2，1)，B (0，1)，C (2，1)，有f (0)＝f （－2）＋f （2）2成立，故B 正确；对于C ，在函数f (x )的图象上取A (1，2)，B (0，0)，C (－1，－2)，有f (0)＝f （－1）＋f （1）2成立，故C 正确；对于D ，因为f (x )＝2|x |，f （x 1）＋f （x 2）2＝2|x 1|＋2|x 2|2≥2|x 1|·2|x 2|＝2|x 1|＋|x 2|2≥2|x 1＋x 22|＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，又x 1≠x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2恒成立，故D 错误.故选ABC.16.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m ＝________.答案 9解析如图，作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故n m ＝9.。

(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与MN最接近的是（）(参考数据：lg30.48≈) A ．3310B ．5310C ．7310D ．93103．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（）A ．a b c <>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>5．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（） A ．12-B ．-1C ．-5D ．126．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，x ∈[1，2]与函数.2y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A ．y =xB ．1y x x=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5x 9．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a ⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3二、填空题13．函数12()log (2)f x x =-的定义域为______.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 15．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 16．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 17．若函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ，则函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是_____.18．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 19．设函数()f x =，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.20．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.三、解答题21．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 22．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数．（1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．23．设函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，且()312f =. （1）求k ，a 的值；（2）求函数()f x 在[)1,+∞上的值域；（3）设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅，若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值；（4）对于（3）中函数()g x ，如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 24．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.25．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值；（2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 26．已知函数()21log 1x f x x +=-，（1）求函数()y f x =的定义域；（2）证明：()y f x =是奇函数；（3）设()()()14h x f x f x =+，求函数()y h x =在[]3,7内的值域；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数，故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．D解析：D 【分析】设36180310M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】解：设36180310M x N ==，两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，故选：D . 【点睛】关键点睛:本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令36180310x =，两边取对数后进行化简整理.3．B解析：B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<．故选：B ．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答4．A解析：A 【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.5．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.6．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得：c a b >>，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可.【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确；对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ，所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1，所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.10．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算11．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.12．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果. 【详解】根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3]. 【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.14．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根解析：21-【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称，且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称，故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根，此时()21log 12x +=，解得21x =. 21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.15．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >，且320a -≥，∴312a <≤．故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．16．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解. 【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤，综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.17．【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为：【点睛】关键点睛：把指数型解析：34【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到1,2m n =-=，换元，令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，即可求解. 【详解】函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-，则1,2m n =-=，区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-，由函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则()2213124f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，当12t =时，()min 34f t =，则函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是34.故答案为：34. 【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.18．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >.所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．19．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====， ()()12x x x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()5434566f f f f f f -+-+-++++==.故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-，故()f x 关于1x =对称；又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-，故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1x f x e =-，故()()201911f f e =-=-，则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为：31e e --. 【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.三、解答题21．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞.【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足；当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有0a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩. 22．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数，则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x-==-，则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±，当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意；当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意；故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减，所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增，所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min 32log 182993g x g -===+，所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值. 23．（1）2a =，2k =；（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2m =；（4）17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由奇函数性质求得k ，由3(1)2f =可求得a ；（2）利用函数的单调性得值域；（3）换元，设22x x t -=-，则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()g x 转化为()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由二次函数的性质求得最小值，再由最小值为2-可得m ，（4）在（3）基础上，由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，即()110k --=，2k =， ∵()312f =.∴132a a -=，2a =， ∴2a =，2k =，（2）1()2222xxx x f x -=-=-是增函数，∴1≥x 时，13()222f x ≥-=，即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）()()2222222xx x x g x m --=+--，设22xxt -=-，[)1,x ∈+∞，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-，∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =，或2512m =(舍去)，故2m =；（4）()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立， ∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解不等式得出x ∈∅或1712m <， ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：本题考查指数函数的性质，考查奇偶性，由奇偶性同函数解析式，由单调性是函数的值域，在求函数()g x 的最值问题，不等式恒成立问题时，解题方法是换元法，即设22x x t -=-，把指数函数转化为二次函数，然后利用二次函数性质求解．24．（1）2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y-+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()3x y x yx yx y--====--+.（2）原式22(lg2)lg5(1lg2)(lg2)lg5lg2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.25．（1）1；（2）1010．【分析】（1）根据4()42xxf x=+的表达式，求出()(),1f a f a-的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a+-=．（2）设12320202021202120212021S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x+-=求出S的值．【详解】（1）4()42xxf x=+，x∈R．∴()()1f a f a+-1144444442424224a a a aa a aa--=+=+++++4214224aa a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则20201202120212021202321S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：202022011 09211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴220201010S S=⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力. 26．（1）见解析；（2）见解析；（3）[]4,5 【分析】（1）由不等式101x x +>-即可求出()f x 的定义域；（2）证明()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数；（3）先求出()f x 在[]3,7上的值域，令()t f x =，求()14h t t t=+的值域. 【详解】（1）由101x x +>-得：1x >或1x <-， ()f x ∴的定义域为()(),11,-∞-+∞；（2）()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-， ()f x ∴为奇函数；（3）()22log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在[]3,7上单调递减，令()t f x =，则24log ,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而()14h t t t=+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()2411log 15,4342h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数()h x 在[]3,7内的值域为[]4,5.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，奇偶性，考查了复合函数的单调性，值域求解，属于中档题.。

河南省周口市部分学校2024-2025学年高一上学期阶段性测试(一)(10月)数学试题含答案

2024-2025学年高一年级阶段性测试（一）数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{3,1,0,1,2,4}A =--，{}21B x x =-≤<，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,0,1}-C.{2,1,0}--D.{}1-【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{3,1,0,1,2,4}A =--，{}21B x x =-≤<，所以{}1,0A B ⋂=-.故选：A2.不等式22950x x --<的解集为（）A.{5x x <-或12x ⎫>⎬⎭ B.12x x ⎧<-⎨⎩或}5x >C.1|52x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.152x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】将式子因式分解为()()2150x x +-<，从而解得.【详解】由22950x x --<，即()()2150x x +-<，解得152x -<<，所以不等式22950x x --<的解集为152x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：D3.命题“矩形都有外接圆”是（）A.全称量词命题、真命题B.全称量词命题、假命题C.存在量词命题、真命题D.存在量词命题、假命题【答案】A 【解析】【分析】根据全称量词命题的定义判断即可.【详解】命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题.故选：A4.下列图象中，不能表示函数的是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值值与之对应.【详解】C 选项的函数图像中存在()00,x ∈+∞，对应两个不同的函数值，故不是函数图像.故选：C 5.函数22y x =-的定义域为（）A.[2,)-+∞B.(2,2)(2,)-+∞ C.(2,)+∞ D.(2,2)-【答案】B【解析】【分析】根据分母不为零及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.【详解】函数22y x =-，则2020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，解得2x >-且2x ≠，所以函数22y x =-的定义域为(2,2)(2,)-+∞ .故选：B6.已知函数21,2()1,237,3x f x x x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，且()02f x =，则0x =（）A.1B.2C.3D.6【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为21,2()1,237,3x f x x x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，且()02f x =，则002312x x ≤<⎧⎨-=⎩或020372x x ≥⎧⎨-=⎩，解得03x =.故选：C7.已知集合{}20,0A x ax a =+≤>，{3B x x =≤-或 u l ，且x A ∈是x B ∈的充分条件，则a 的最大值为（）A.23 B.13C.29D.19【答案】A 【解析】【分析】首先化简集合A ，依题意A B ⊆，即可得到230a a ⎧-≤-⎪⎨⎪>⎩，解得即可.【详解】因为{}220,0,0A x ax a x x a a ⎧⎫=+≤>=≤->⎨⎬⎩⎭，又x A ∈是x B ∈的充分条件，所以A B ⊆，因为{3B x x =≤-或 u l ，所以230a a ⎧-≤-⎪⎨⎪>⎩，解得203a <≤，所以a 的最大值为23.故选：A8.若正实数a ，b 满足223a b ab ++=，则a b +的最大值为（）A.1B.2C. D.4【答案】B 【解析】【分析】整理已知等式，利用基本不等式建立不等式，解出即可得答案.【详解】∵223a b ab ++=∴2223a b ab ab ++=+∵0,0a b >>∴()2223a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭-∴()()222243a b a b a b ab ++⎛⎫+=≤=⎝⎭-⎪∴2a b +≤，当且仅当1a b ==时取等号，故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列每组函数是同一函数的是（）A.()f x =，()g x = B.2()21f x x x =+-，2()(1)g x x =+C.241()21x f x x -=+，()21g x x =- D.()1,01,0x f x x >⎧=⎨-<⎩，()g t t t=【答案】AD 【解析】【分析】根据题意，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，两函数的定义域均为[)0,+∞,且函数()f x x ===与()g x =两函数的对应关系也相同，所以是同一函数，符合题意；对于B 中，函数2()21f x x x =+-与22()(1)21g x x x x =+=++，两函数的对应关系不同，所以不是同一函数，不符合题意；对于C 中，函数241()21x f x x -=+的定义域为1{|}2x x ≠-，()21g x x =-的定义域为R ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，不符合题意；对于D 中，函数lt ult， ᦙ䁪lt䁪ult䁪，两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数，符合题意.故选：AD.10.已知集合{},,Z A x x a a b ==+∈，则下列各项为A 中的元素的是（）A.0B.1+C.212+D.【答案】ABD 【解析】【分析】元素与集合的关系，就是看元素是否符合集合的要求，逐个验证即可.【详解】A 选项：000=+0Z,0Z a b =∈=∈，∴0A ∈，故A 正确；B 选项：1a +=+，且1Z,2Z a b =∈=∈，∴1A +，故B 正确；C 选项：212a +=+，且11Z,Z 2a b =∈=∉，∴212A +∉，故C 不正确；D 选项：3a +==+3Z,2Z ab =∈=∈A ，故D 正确.故选：ABD11.如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是边AD 的中点，点P 从点B 出发，沿着正方形的边按B C D E ---的方向运动（与点B 和点E 均不重合）.设点P 运动的路程为x ，BEP △的面积为y ，若y 关于x 的函数解析式为()y f x =，则（）A.()f x 的定义域为(0,5)B.()f x 随着x 的增大而增大C.当(2,4)x ∈时，()32x f x =- D.()f x 的最大值为2【答案】ACD 【解析】【分析】分P 在线段BC 上（不与B 重合）、P 在线段CD 上（不含端点C 、D ）、P 在线段DE 上（不与E 重合）三种情况，分别求出函数解析式，即可得到()f x 的及诶小时，再画出图象，一一判断即可.【详解】当P 在线段BC 上（不与B 重合），此时02x <≤，则122BEP y S x x ==⨯=△；当P 在线段CD 上（不含端点C 、D ），此时24x <<，则()()()1111122221432222BEP y S x x x ==+⨯-⨯⨯--⨯⨯-=- ；当P 在线段DE 上（不与E 重合），此时45x ≤<，则()12552BEP y S x x ==⨯⨯-=- ；所以(),0213,2425,45x x f x x x x x <≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≤<⎪⎩，故函数()f x 的定义域为(0,5)，故A 正确；函数()f x 的图象如下所示：由图可知当02x <≤时()f x 随着x 的增大而增大，当25x <<时随着x 的增大而减少，故B 错误；当(2,4)x ∈时，()32xf x =-，故C 正确，()()max 22f x f ==，故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}244(2)10A x ax a x =++-=中只有一个元素，则a 的所有可能取值组成的集合为______.【答案】{}0,1,4--【解析】【分析】分40a =和40a ≠两种情况讨论，当40a ≠时0∆=，即可得解.【详解】集合{}244(2)10A x ax a x =++-=表示关于x 的方程244(2)10ax a x ++-=的解集，因为集合A 中只有一个元素，当40a =，即0a =，解得18x =，此时18A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当40a ≠，则()2Δ162160a a =++=，解得1a =-或4a =-，当1a =-时12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，4a =-时14A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合题意；综上可得a 的所有可能取值组成的集合为{}0,1,4--.故答案为：{}0,1,4--13.已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】根据给定条件结合均值不等式即可计算作答.【详解】因04x <<，则40x ->，于是得2(4)(4)[]42x x x x +--≤=，当且仅当4x x =-，即2x =时取“=”，所以()4x x -的最大值为4.故答案为：414.已知关于x 的不等式2812x x a ++≥的解集为A ，集合{}31B x x =-≤≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________.【答案】(],21-∞【解析】【分析】A B ≠∅ 说明两个集合有相同元素，即集合B 中存在元素使得不等式2812x x a ++≥成立，令函数()2812f x x x =++，求出最大值，只需最大值大于等于a 即可.【详解】∵令()2812f x x x =++，对称轴：42bx a=-=-∴()f x 在[]3,1x ∈-上单调递增，∴当[]3,1x ∈-时，()[]3,21f x ∈-，∵A B ≠∅ ，即集合B 中存在元素使得不等式2812x x a ++≥成立，∴21a≥故答案为：(],21-∞四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假：（1）*n ∃∈N ，*1n∈N ；（2）x ∀∈R ，210x x ++>；（3）所有三角形的三个内角都是锐角.【答案】（1）*n ∀∈N ，*1n∉N ，为假命题（2）x ∃∈R ，210x x ++≤，为假命题（3）存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题【解析】【分析】（1）根据特称量词命题的否定为全量词命题写出其否定，再判断其真假；（2）（3）根据全称量词命题的否定为特称量词命题写出其否定，再判断其真假；【小问1详解】命题“*n ∃∈N ，*1n ∈N ”的否定为：*n ∀∈N ，*1n ∉N ，为假命题；因为当1n =*∈N ，*11n =∈N ，即命题*n ∀∈N ，*1n∉N ，为假命题；【小问2详解】命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定为：x ∃∈R ，210x x ++≤，为假命题；因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以不存在R x ∈使得210x x ++≤，故命题x ∃∈R ，210x x ++≤，为假命题；【小问3详解】命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题；因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角，所以命题：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题.16.（1）若2a >，求12a a +-的最小值；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求4a bab+的最小值.【答案】（1）4；（2）9【解析】【分析】（1）根据题意，得到20a ->，得到112222a a a a +=-++--，结合基本不等式，即可求解；（2）由题意，得到4144()()5ab b aa b ab a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为2a >，可得20a ->，则11222422a a a a +=-++≥=--，当且仅当122a a -=-时，即3a =时，等号成立，所以12a a +-的最小值为4；（2）因为0a >，0b >，1a b +=，则4144()()559a b b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =时，即12,33a b ==时，等号成立，所以4a b ab+的最小值9.17.已知集合{|43211}A x x =-<+<，{3B x x =<-或1}x >，{|24}C x a x a =-<<.（1）求()A B R ð；（2）若R ()C A B =∅ ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|2x x ≤-或1}x >.（2）][(),31,∞∞--⋃+【解析】【分析】（1）求得集合{|23}A x x =-<<，得到{|2A x x =≤-R ð或3}x ≥，结合并集的运算，即可求额吉；(){|2A B x x ⋃=≤-R ð或1}x >.（2）由（1）知R (){|32}A B x x =-≤≤- ð，分24a a -≥和24a a -<，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由集合{|43211}{|23}A x x x x =-<+<=-<<，{3B x x =<-或1}x >，可得{|2A x x =≤-R ð或3}x ≥，则(){|2A B x x ⋃=≤-R ð或1}x >.【小问2详解】解：由（1）知，{|23}A x x =-<<，{3B x x =<-或1}x >，所以{|3A B x x =<- 或2}x >-，可得R (){|32}A B x x =-≤≤- ð，当24a a -≥时，即4a ≥时，C =∅，此时满足R ()C A B =∅ ð；当24a a -<时，即4a <时，要使得R ()C A B =∅ ð，则满足4242a a <⎧⎨-≥-⎩或43a a <⎧⎨≤-⎩，解得14a ≤<或3a ≤-，综上可得，实数a 的取值范围为][(),31,∞∞--⋃+.18.已知函数22064,[3,12),()32476,[12,40].x x x f x x x x ⎧-+-∈⎪=⎨--+∈⎪⎩（1）求((10))f f 的值；（2）若实数a 满足215360a a -+<且()0f a =，求a 的值；（3）求()f x 的最大值.【答案】（1）31（2）4（3）40【解析】【分析】（1）由分段函数解析式代入计算，即可得到结果；（2）由不等式可得312a <<，然后代入计算，即可求得a ；（3）分别求得[)3,12x ∈与[]12,40x ∈时，函数()f x 的最大值，然后比较大小即可得到结果.【小问1详解】因为()2101020106436f =-+⨯-=，则()()()324103636763136f f f ==--+=；【小问2详解】由215360a a -+<可得()()3120a a --<，解得312a <<，且()0f a =，则220640a a -+-=，解得4a =或16a =（舍）.【小问3详解】当[)3,12x ∈时，()()2220641036f x x x x =-+-=--+，当10x =时，()f x 有最大值，最大值为()1036f =；当[]12,40x ∈时，()3243247676762187640f x x x x x ⎛⎫=--+=-++≤-=-⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当324x x=时，即18x =时，等号成立，则最大值为()1840f =；综上所述，当18x =时，()f x 有最大值为40.19.已知函数2()(1)(3)2f x a x a x a =+-++-.（1）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求实数a 的值；（2）若1a =-，求不等式2237()1x x f x x ++≤-+的解集；（3）若对任意的(0,)x ∈+∞，2()22f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1（2）(,1)[2,)-∞-+∞ （3）[1,)+∞【解析】【分析】（1）根据题意，利用二次函数的性质，列出方程，即可求解；312(1)a a +=+，（2）当1a =-，得到不等式2237231x x x x ++--≤-+，结合分式不等式的解法，即可求解；（3）根据题意，转化为对任意的(0,)x ∈+∞，21x a x x ≥-+恒成立，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】由函数2()(1)(3)2f x a x a x a =+-++-，因为()f x 的图象关于直线1x =对称，根据二次函数的性质，可得312(1)a a +=+，解得1a =，即实数a 的值为1.【小问2详解】当1a =-，不等式2237()1x x f x x ++≤-+，即为2237231x x x x ++--≤-+，即22372423011x x x x x x ++-+-=≥++，解得1x <-或2x ≥，所以不等式2237()1x x f x x ++≤-+的解集为(,1)[2,)-∞-+∞ .【小问3详解】因为对任意的(0,)x ∈+∞，2()22f x x x ≥--恒成立，即对任意的(0,)x ∈+∞，22(1)(3)222a x a x a x x +-++-≥--恒成立，即对任意的(0,)x ∈+∞，2(1)0ax a x a -++≥恒成立，即对任意的(0,)x ∈+∞，21x a x x ≥-+恒成立，由211111x x x x x =≤=-++-，当且仅当1x x =时，即1x =时，等号成立，所以1a ≥，即实数a 的取值范围为[1,)+∞.。

广东省肇庆中学2023届高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
A. y 1 x
B. y tan x
C. y sin x
D. y cos x
6．将函数 y sin x 的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐 10
标不变），所得图象的函数解析式是
A. y sin(2x ) 10
C. y sin(1 x ) 2 10
A B {2,3,5}，C 错；
A B {2,5} ，D 错；
故选:B
3、C
【解析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集
，
，所以根据补集的定义得
，故选 C.
【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解
4、C
【解析】∵函数
f
x
2x, x 0
2x x2, (x 0)
2x(x 0)
A.-3 或 5
B.3 或-3
C.-3
D.3 或-3 或 5
11．若, 都是锐角，且 cos 5 ， sin( ) 3 ，则 cos
5
5
A. 2 5 25
B. 2 5 5
C. 2 5 或 2 5 25 5
D. 5 或 5 5 25

分段函数的求法高中数学解题方法含详解

分段函数的求法高中数学解题方法一、单选题 1．若f （x ）＝,0,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，且f （x ）＝1，则x ＝（）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．02．为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”．假设计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月的用水量（） A ．13B ．14C ．15D ．163．设函数()121,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()02f x >，则0x 的取值范围是（） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．(),1-∞- C ．()4,+∞D ．()1,4-4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则使得1(())2f f x =成立的x 的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知函数()0,πcos ,0,3x f x xx ≤=⎨>⎪⎩则()()100f f -=（） A ．12-B ．12C ．1D ．1-6．已知函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩若()04f f m ⎡⎤=⎣⎦，则实数m =（）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．已知函数,0(),0x e x f x mx m x ⎧≥=⎨+<⎩，在R 上单调递增，其中e 为自然对数的底数，那么当m 取得最大值时，关于x 的不等式()()ln f x m ≤的解集为（） A ．(,1]-∞B ．(]1,1-C ．(]0,eD ．(1,]e -9．已知()()[)2,0,1log ,1,2aax x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若()1f x =有两解，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．()1,210．若f (x )=,13,1ax x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()21,12,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩.若()1212,x x R x x ∀∈≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．(]1,3C ．[]3,4D ．(]1,4 12．已知函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤<⎩，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ． ][(,13,) -∞-⋃+∞D ．(3],-∞13．已知函数ln ,1(),()(2),1xx x f x g x kx f xe x ≥⎧==+'⎨<⎩，对12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立，则k 的取值范围是（）A ．11(,]36e -∞-- B ．11[)36e ++∞， C ．1111[,]3636e e --+ D ．11(,]36e -∞--11[)36e ++∞， 14．已知函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，，若存在实数1234x x x x ，，，，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x +++的取值范围是（） A ．2573⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[257)3，C ．46143⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则 A ．12a ≥-B ．1123a -≤≤ C ．13a ≥D ．102a -≤<或0a >二、多选题16．已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在实数m 满足()12(())12f m f f m ++=，则（）A ．()0f m ≤B ．()f m 可能大于0C ．(,1]m ∈-∞-D ．(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦17．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题18．设函数()ln ,01,0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩，若()1f m =，则实数m =______.19．已知函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =-，则0x =___________.20．已知函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，若((2))2f f =，则实数a 的值为______．21．已知函数221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，若1()14f a f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则实数a 的值为__________． 22．已知函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是________．23．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．24．已知函数()2log 1,033x x f x x ⎧-<≤⎪=>，则使不等式()12f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围为______.25．已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________. 26．11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________．27．已知函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称，则实数m 的取值范围为___________． 28．若函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩1)a ≠,的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．29．已知函数()||f x x x a =--，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为_________．30．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．31．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.(1) 解不等式：()0x f x ⋅≤；(2) 当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，求实数m 的取值范围； (3) 对于满足(2)的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求实数k 的取值范围.32．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.33．已知函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩，数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数t 的取值范围是_________.34．已知0a >且0a ≠，函数223,2()1log ,2a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩存在最小值，则(4)f a 的取值范围为__________．四、双空题35．已知函数()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦_______，若()5f a =-，则a =______．36．若函数12,0()2,0x x x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，则((1))f f -=_________，若1()2f a =，则a =________．37．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，当()1f a =时，a =_______；如果对于任意实数R 都有()2f x b ≥成立，那么实数b 的取值范围是_________．超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 39．若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =__________．②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是__________． 40．已知函数[][]()sin,1,12f x x x x π=+∈-.其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]3.54,2.12-=-=.(1)函数()f x 是_________函数（奇偶性）；(2)函数()f x 的值域是________.五、解答题41．已知函数()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求()3f 、()()2ff -的值；（2）若()10f a =，求a 的值. 42．已知函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩（1）若1()()12f x f x +->，求x 的取值范围；（2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，求b 的取值范围.43．已知()f x x x a b =-+，x ∈R .（1）当1a =、0b =时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当1a =、1b =时，若()2log 3f x =，求x 的值.44．已知函数22,2()2,2x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩（1）若0)(8f x =，求0x 的值；（2）解不等式()8f x >.45．设函数()1 ,01(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中a 为常数且()0,1a ∈.新定义：若0x 满足()()00ff x x=，但()00f x x ≠，则称0x 为()f x 的回旋点.（1）当12a =时，分别求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）当(],1x a ∈时，求函数(())y f f x =的解析式，并求出()f x 回旋点；（3）证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点，并求出回旋点12,x x . 46．已知函数()3,0ln ,0x x f x x x e-<⎧=⎨<<⎩的值域为M ,函数()()142x x g x x M +=-∈.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时,若函数()()142xx h x b b R +=--∈有零点,求b 的取值范围,并讨论零点的个数.47．已知函数2()22,()2|1|f x x tx t g x x =-+-=-，函数()min{(),()}F x f x g x =，其中{},min ,.,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩ （1）若()24f x t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若6t ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围； ②求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M t ． 48．已知()f x x x a =-，0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 在[]1,3-上的最大值；（2）对任意的1x ，[]21,1x ∈-都有()()124f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】分段讨论即可求出. 【详解】解：当x ≥0时，f （x ）＝x ，由f （x ）＝1，得x ＝1，当x ＜0时，f （x ）＝﹣x ，由f （x ）＝1，得1x =-．综上，x ＝±1．故选：C ． 2．B 【分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可. 【详解】当用水量为312m 时，水费为12336⨯=，而本月交纳的水费为48元，显然用水量超过312m ，当用水量为318m 时，水费为36(1812)672+-⨯=，而本月交纳的水费为48元，所以本月用水量不超过318m ，所以有(4836)62-÷=，因此本月用水量为312214m +=，故选：B 3．A 【分析】分别在00x ≤和00x >的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】当00x ≤时，()0001222x x f x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，01x ∴->，解得：01x <-；当00x >时，()12002f x x ==>，解得：04x ；综上所述：0x 的取值范围为()(),14,-∞-+∞.故选：A. 4．B 【分析】令()f x t =，由()12f t =得到12t =-，2t =()1f x t =和()2f x t =，得到x 的值，从而得到答案.【详解】令()f x t =，则()12f f x =⎡⎤⎣⎦的零点，转化为()12f t =，而21,0()ln ,0t t f t t t ⎧-+≤=⎨>⎩，由21120t t ⎧-+=⎪⎨⎪≤⎩，解得12t =-（正值舍），由1ln 20t t ⎧=⎪⎨⎪>⎩，解得2t =，所以()1f x t ==，即0x ≤时，21x -+=，得12(1)x =-+（正值舍）， 0x >时，ln x =x e =， ()2f x t ==即0x ≤时，21x -+，得x 无解，0x >时，ln x =，得x = 所以()12f f x =⎡⎤⎣⎦有3个零点. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查求复合函数的零点，关键在于通过换元法，区分内外层函数，逐层求解，属于中档题. 5．A 【分析】直接代入，先求()100f -，再求()()100f f -.【详解】由题意知()10010f -==，则()()()10π4ππ10010coscos cos π333f f f ⎛⎫-====+ ⎪⎝⎭π1cos 32=-=-．故选：A【点睛】求分段（复合）函数函数值的方法步骤：（1）找到给定自变量所在的区间；（2）将自变量带入解析式求解. 6．C 【分析】根据分段函数的解析式，先求出()02f =，再根据()04f f m ⎡⎤=⎣⎦可得答案. 【详解】因为函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩，所以()0012f e =+=，所以()()02424f f f m m ⎡⎤==+=⎣⎦，解得2m =，故选：C. 7．B 【分析】依题意，当0x >时，(21)))((1a x x a f =-+-为减函数，再比较分段点处函数值大小，即可得答案. 【详解】依题意()f x 在R 上为减函数，所以02101()13a a -<⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得102a ≤<，故选：B. 8．B 【分析】首先根据函数()f x 的单调性求得01m <≤，从而确定m 的最大值为1，接着确定函数()f x 的解析式，接着分类讨论()()ln 1f x ≤的解集即可.解：因为函数()f x 在R 上单调递增，则有000m m m e>⎧⎨⨯+≤⎩，解得01m <≤，所以m 的最大值为1，此时,0()1,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，令()()ln 1f x ≤，解得()0f x e <≤，当0x <时，01x e <+≤，解得11x e <≤-﹣，所以10x -<<，当0x ≥时，0x e e <≤，解得01x ≤≤，综上，不等式的解集为(]1,1-，故选：B. 【点睛】本题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，处理这类问题主要是每一段上的单调性要考虑，还要考虑两段的端点值进行比较大小才能最后确定函数的单调性. 9．D 【分析】解方程()1f x =，根据该方程有两解可得出关于a 的不等式组，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知0a >且1a ≠.当12x ≤<时，由()log 1a f x x ==，可得x a =；当01x <<时，由()21f x ax ==，可得x =由于方程()1f x =有两解，则1201a ≤<⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得12a <<. 因此，实数a 的取值范围是()1,2. 故选：D. 10．D由()a f x x =在[1，+∞)上单调递减且131aa ≤-+可解得结果. 【详解】因为函数()3f x x a =-+在(,1)-∞上是单调递减的，又()f x =,13,1ax xx a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，所以()af x x =在[1，+∞)上单调递减，即a >0，并且131a a ≤-+，解得12a ≥．综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞.故选：D 【点睛】易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误. 11．B 【分析】首先可得函数()f x 在R 上是增函数，然后保证函数()f x 在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果. 【详解】依题意可知，函数()f x 在R 上是增函数，则11412a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪-≤⎪⎩，解得13a.故选：B . 【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断． 12．B先根据已知条件求解出()f x 的值域以及()g x 的最小值，然后根据题意得到224a a -与()f x 值域的端点的大小关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()2g x x x =-，a 为实数，所以22()24g a a a =-，因为224y a a =-，所以当1a =时，y 的最小值为2-，因为函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象如下图，且2(7)6,()2,()1f f e f e --==-=，所以结合图象可知()f x 值域为[2,6]-，因为存在实数m ，使()2()0f m g a -=，所以22246a a -≤-≤，即13a -≤≤，故选：B ．【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集． 13．D 【分析】由题知，()()min min g x f x ≤，先求出()min f x ，再对k 分类讨论求出范围. 【详解】 1x >时，()ln f x x =()1f x x '∴=∴()122f '=∴1()2g x kx =+12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立()()min min g x f x ∴≤对函数ln ,1(),1xx x f x xe x ≥⎧=⎨<⎩当1x >时，()ln f x x =，此时()min 0f x = 当1x <时，()x f x xe =()(1)x f x x e '∴=+令()(1)0x f x x e '+==得1x =- 当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增所以1x =-为极小值点，此时1(11)f e e-=-=--故()min 1f x e=- 当0k =，1()2g x =不合题意；当0k >，()()min 1332g x g k =-=-+所以1132k e -+≤-，解得1136k e ≥+ 当0k <，()()min 1332g x g k ==+所以1132k e +≤-，解得1136k e ≤--综上得11(,]36k e ∈-∞--11[)36e ++∞，故选：D. 14．D 【分析】画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像, 令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =，分析1234x x x x ，，，所在的区间，结合对数函数，余弦函数的性质，可得1234x x x x +++的取值范围.【详解】解：画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像如图，令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =，当3x =时，(3)cos 1f π=-=，当9x =时，(9)cos31f π=-=，由图像可知，当01a <<时，直线与()f x 有4个交点，且1234013 4.59x x x x <<<<<<<<，则：3132log x log x =，可得3132log x log x =-，121=x x ，由()3y cos x π=-的图像关于直线6x =对称，可得3412x x +=，可得1234x x x x +++=2221211)3(x x x ++<<，设2222121()13()g x x x x =++<<，由对勾函数性质可得其在(1,3)区间上单调递增，当21x =时，123414x x x x +++=，当23x =时，1234463x x x x =+++，故可得1234x x x x +++的取值范围是46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选：D. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质、对数函数与余弦函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题. 15．B 【分析】因为()cos f x x x =-在[1,0]-单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在(0,2]也是单调递增，且31a -≥-，解不等式组，即可得到本题答案. 【详解】当10x -≤≤时，()cos 2sin ,1,6666f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=--∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[1,0]-上单调递增，因为()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，所以2()23f x ax x a =+-在区间(0,2]上单调递增，当0a >时，对称轴10x a=-<，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤；当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a=->，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足3112a a-≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上得，1123a -≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法. 16．AD 【分析】若()0>f m ，将()f m 代入上支函数，可得(())f f m =ln[()]2f m -，结合题意，可得()f m 的范围，同理若()0f m ≤，将()f m 代入下支函数，又可解得()f m 范围，根据()f m 范围，再分别讨论0m ≤，0m >，将m 代入不同方程，即可得答案. 【详解】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-．若()0>f m ，则()1ln[()]222f m f m -=-，．ln 1≤-x x ，2x x >，．ln 23x x -≤-，112122xxx -<-<-，．1ln 23122x x x x -≤-<-<-，．方程无解；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +，故只需解()0f m ≤即可，当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-；当0m >时，由()ln 20f m m =-≤，解得20e m <≤．综上所述，当(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=．故选：AD . 【点睛】本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的(())f f m 的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题. 17．ABC 【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.18．e【分析】当0m>时，()ln1f m m==，当0m<时，()11f m m=-=，分别解出m的值，再验证．【详解】函数ln,0,()1,0,x xf xx x>⎧=⎨-<⎩∴当0m>时，()ln1f m m==，解得m e=，当0m<时，()11f m m=-=，解得0m=（舍），∴实数m e=．故答案为：e．19．4【分析】根据题意，由函数的解析式分01x ≤与01x >两种情况讨论，求出0x 的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，当01x ≤时，()()20012f x x =-=-，无解；当01x >时，()0102log 2f x x ==-，解可得04x =，符合题意，故04x =，故答案为：4. 20．2 【分析】根据分段函数解析式计算可得；【详解】解：因为2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，((2))2f f = 所以2log (2)21f ==，则((2))(1)342f f f a a ==-+=，解得2a =．故答案为：2． 21．：8或2- 【分析】根据分段函数解析式先求出1()4f 的值，然后分类讨论解方程即可求a 的值．【详解】因为221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，所以22211()log log 2244f -===-，又因为()f a 1()14f +=，所以()f a 11()1(2)34f =-=--=．若0a >，由()3f a =得2log 3a =，解得8a =；若0a ≤，由()f a 3=得213a --=，即24a -=，2a ∴-=，2a =-，综上8a =或2a =-．故答案为：8或2-．【点睛】方法点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值． 22．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先利用已知条件，结合图象确定,m n 的取值范围，设()()f m f n t ==，即得到n m -是关于t 的二次函数，再求二次函数的取值范围即可. 【详解】先作函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩图象如下：由图可知，若m n <，()()f m f n =，设()()f m f n t ==，则(]0,1t ∈，0m n ≤<，由()1f m m t =+=知，1m t =-；由()f n t ==知，2n t =；故()222131124n m t t t t t ⎛⎫-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，(]0,1t ∈，故12t =时，n m -最小值为34，1t =时，n m -最大值为1，故n m -的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断,m n 的取值范围，才能分别找到,m n 与相等函数值t 的关系，构建函数求值域来突破难点. 23．15,48⎛⎫⎪⎝⎭【分析】采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】令()0f x t =，则()f t A ∈. ．若t A ∈，则()12f t t =+，11022t ∴≤+<，解得：102t -≤<，不满足t A ∈，舍去；．若t B ∈，则()()21f t t =-，()10212t ∴≤-<，解得：314t <≤，即()0314f x <≤，若0x A ∈，则()0012f x x =+，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭；若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴<-≤，解得：01528x ≤<，015,28x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：求解复合函数()()f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件.24．1,32⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数，列出不等式，分类求解即可. 【详解】211log 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭得，当03x <≤时，由2log 12x -<，得132x <≤；当3x >2<，此时无解. 综上所述，不等式()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分段函数的应用，考查计算能力，属于中档题． 25．2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.26．12,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先判断出()y f x =为减函数，列不等式组，解出a 的范围. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，不妨设12x x <，则有()()12f x f x >，所以()y f x =为减函数，所以需满足：1103011113a a a a ⎧-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎛⎫⎪-⨯+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1233a <≤.则a 的取值范围12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法： (1)分段函数的每一段都单调； (2)根据单调性比较端点函数值的大小. 27．()2,+∞ 【分析】根据偶函数的性质可得函数()1e exxg x =+和函数()2h x x m =-+存在两个交点，再结合函数的单调性得()()00h g >，由此可得出结论．【详解】解：∵函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称，构造定义在R 上的函数()1e exx g x =+和函数()2h x x m =-+，易得函数()g x 和函数()h x 均为偶函数， ∴函数()g x 和函数()h x 在R 上存在两个交点， ∴函数()g x 和函数()h x 在()0,∞+上存在一个交点，又函数()g x 在()0,∞+上单调递增，函数()h x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()max min h x g x >，即()()00h g >，即112m >+=，故答案为：()2,+∞． 28．1[,1)3【分析】先求出当2x ≥时，()f x 的范围，再由()f x 的值域为R ，列不等式组，解出a 的范围．【详解】当2x ≥时，2log 1x ≥．因为()f x 的值域为R ，所以只需201341a a a <<⎧⎨-+≥⎩，解得113a ≤<．故答案为1[,1)3． 29．1 【分析】当2a ≥时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，矛盾，故不满足；当02a <<时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，进而得212a a -≤+-，解不等式(]0,1a ∈，进而得实数a 的最大值【详解】解：当2a ≥时，取绝对值得()(),,(),,x x a x a f x x x a x a x x a --≥⎧⎪=--=⎨--<⎪⎩，作出函数()f x 的图像如图1，此时，1(2,)x ∈+∞，()(]1,0f x ∈-∞，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，显然不满足，；当02a <<时，函数图像如图2所示，此时，1(2,)x ∈+∞，()()1,42x a f ∈-∞-+，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，所以当212a a -≤+-时，才能满足对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立，整理不等式212a a -≤+-得：20a a -≤，解得：[]0,1a ∈，由于02a <<，所以(]0,1a ∈.由于所求为实数a 的最大值，故不需要再讨论0a ≤的情况.所以，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分2a ≥时和02a <<时两种情况分别讨论求解. 30．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a+∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点，设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，12a x =02a <=，1222a x +=+4022a +==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4a x 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a+∞上单调递增，欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤，综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 31．(1) 1x ≤；(2) [0,2]；(3) [4,)+∞. 【分析】(1) 分段函数需分段讨论；(2) 先求方程()1f x =的实根，在结合函数的单调性求解； (3) 利用分离参数的方法，转化为函数的最大值问题. 【详解】(1) 当0x ≤时，由()20x x f x x ⋅=⋅≤得，0x ≤；当0x >时，由2()log 0x f x x x ⋅=⋅≤得，2log 0x ≤，解得01x <≤. 综上可知，不等式()0x f x ⋅≤的解集为{}|1x x ≤.(2) 解()1f x =得0x =或2x =，又函数2x y =为增函数，所以当0x <时，()21xf x =<，2log y x =为增函数，所以当2x >时，()1f x >，当02x <≤时，()1f x ≤，故若(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则m 的取值范围为[]0,2.(3)在(2)的条件下，有()1f x ≤恒成立，若2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，只需2(2)3101m k m k --+-≥，对[]0,2m ∈恒成立.整理得22113m m k m+-≥--，令3t m =-，有[]1,3t ∈，3m t =-，()()23231148t t k t t t -+--⎛⎫≥-=-++ ⎪⎝⎭，又44t t +≥=，当且仅当2t =时等号成立，所以48484t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭，故4k ≥，所以k 的取值范围为[)4,+∞. 32．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作出()y f x =，()1y f x =-的大致图象，由()()1f x f x -<恒成立，利用数形结合可得到关于a 的不等式()91a a ---<，解不等式即可得解. 【详解】(),3,33,313,3313,3333x a a x ax a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <，又0a >，所以108a <<. 故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数()f x 的大致图象，然后根据函数()y f x =与()1y f x =-的图象的关系，数形结合判段a 的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题. 33．12,1⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由分段函数及复合函数单调性的性质,可得t 的取值范围.再由分段函数单调性的性质,及数列的自变量取值特征,即可确定t 的取值范围. 【详解】数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈,若数列{}n a 是单调递减数列函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩当03,*n n N <<∈时, ()2144tn n a f n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由复合函数单调性性质可知2y tn =-为单调递增函数.则0t >;当3,*n n N ≥∈时,()()241518n a f n tn t n t ==-+-+-为单调递减,则()04722t t t >⎧⎪-⎨-<⎪⨯-⎩,解得12t >当2n =时222144t a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当3n =时, ()3934151836a t t t t =-+-+-=-.因为数列{}n a 是单调递减数列所以满足2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立而当1t =时,2214364t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 22144t y -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减,36y t =-单调递增由函数性质可知2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1t <由以上可得t 满足0121t t t >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩,所以112t <<.即1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为:1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列的函数性质,分段函数单调性的综合应用,由数列的单调性求参数的取值范围.注意数列与函数的取值范围区别,不等式边界的选取也是解决问题的关键,属于难题. 34．[4,)+∞ 【解析】当2x ≤时．()()222312f x x x x =-+=-+，当且仅当1x =时．()f x 取得最小值2．当2x >时，若01a <<．则()1log 22a f x <+<．显然不满足题意．若1a >．要使()f x 存在最小值，必有1log 22a +≥．解得12a <≤．即448a <≤．()()4141log 42log 42log a a f a a a =+=+=+．由410log 2a <≤．可得212log a ≥．可得()44f a ≥．故答案为[)4,+∞. 35．2172或1或2利用函数解析式由内到外逐层计算可得()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；分0a ≤和0a >解方程()5f a =-，综合可得出实数a 的值. 【详解】()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()11335f =--=-，则()()1510122f f f ⎡⎤=-=-+=⎣⎦；当0a ≤时，()2125f a a =+=-，解得172a =-，合乎题意；当0a >时，()2335f a a a =--=-，可得2320a a ，解得1a =或2.综上所述，172a =-或1或2. 故答案为：2；172或1或2.36．21-或14【分析】根据分段函数定义计算，注意自变量的取值范围，在已知1()2f a =求a 时要分类讨论．【详解】121(1)2f --==，所以1211((1))()22f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭1()2f a =，若122x=，1x =-，符合题意，若1212x =，14x =也符合题意．故答案为：2；1-或14．37．2e -或52- (],1-∞- 【分析】分类讨论将a 代入()f x 进行求值即可，再根据恒成立问题的解法求得()f x 的最小值即可得解.若1a ≥-可得()ln(2)1f a a =+=，所以2a e =-，满足题意，若1a <-，()241f a a =--=，所以52a =-，满足题意，当1x ≥-，ln(2)0x +≥，当1x <-，242x -->-，根据题意可得22b -≥，所以1b ≤-. 故答案为：2e -或52-；(],1-∞-. 38．163,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可. 【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，当01x ≤<时，5332x -=，即16x =；当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<，综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.39．①0 ②2]．【分析】．1）若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则x e =，舍去．（2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，所以为使得值域为[]0,2，则ln x 的值能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．【详解】．1）分段讨论：若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则1lnx =，则x e =，不在定义域范围内，所以舍去因此0x =（2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，为使得值域为[]0,2，则ln x 的值域能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．所以122e a e ≤≤ ，即2a e ⎤∈⎦【点睛】本题考查分段函数定义域与值域的求解，关键分清自变量取值对值域取值的影响，属于难题． 40．非奇非偶 (){}1,12-⋃ 【分析】根据函数奇偶性定义，可判断函数[][]()sin ,1,12f x x x x π=+∈-是非奇非偶函数，再根据三角函数值域，可分段求解函数值域. 【详解】（1）(1)110,(1)112f f -=-+==+=函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数.（2）由题意得[)(]1sin ,1,02()sin ,0,122,1x x xf x x x ππ⎧--∈-⎪⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩当[)1,0x ∈-时，函数()f x 是减函数，(0)()(1)f f x f <≤-得1()0f x -<≤；当()0,1x ∈时，函数()f x 是增函数，(0)()(1)f f x f ∴<<，得0()1<<f x ；当1x =时，()2f x =.综上得函数()f x 的值域为(){}1,12-⋃. ．．．．：①非奇非偶；② (){}1,12-⋃ 【点睛】本题考查具体函数的奇偶性定义，和新函数的值域求法，综合性较强，有一定难度. 41．（1）()36f =，()()20f f -=；（2）5. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算可得答案；（2）分类讨论，代入求解可得a 的值. 【详解】（1）因为()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，所以()3236,f =⨯=()2220,f -=-+=则()()200f f f -==⎡⎤⎣⎦.（2）当 1a ≤-时，()210f a a =+=，解得8a =（舍）；当1?2a -<<时，()210f a a ==，则a =；当2a ≥时，()210f a a ==，则5a =. 所以a 的值为5. 42．（1）14x >-；（2）12b ≤.【分析】（1）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可；（2）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，求出21()2f x x +的最小值，即可求得的b 取值范围. 【详解】（1）若0x ≤，则1122x -≤-，则1()()12f x f x +->等价为11112x x ++-+>，解得14x >-，此时014x -<≤；当0x >时，()21x f x =>，1122x ->-，当102x ->即12x >时，满足1()()12f x f x +->恒成立，当11022x -<-≤，即102x <≤时，1111()12222f x x x -=-+=+>，此时1()()12f x f x +->恒成立.综上所述：14x >-. （2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，即2min 1[()]2b f x x ≤+.令21()()2g x f x x =+，当0x ≤时，22211111()()1(1)22222g x f x x x x x =+=++=++≥，当0x >时，2211()()222x g x f x x x =+=+在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=，综上，21()()2g x f x x =+的最小值是12，所以12b ≤. 43．（1）非奇非偶函数；（2）x 的值为4 【分析】（1）根据题意得出()1f x x x =-，然后得出()f x -与()f x -，再根据奇函数与偶函数性质即可得出结果；（2）根据题意将()2log 3f x =转化为22log log 120x x --=，然后分为2log 1x ≥、2log 1x <两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当1a =、0b =时，()1f x x x =-，则()11f x x x x x -=---=-+，()1f x x x -=--，因为()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，所以函数()f x 是非奇非偶函数.（2）当1a =、1b =时，()11f x x x =-+，()2log 3f x =，即22log log 113x x -+=，22log log 120x x --=，若2log 1x ≥，即2x ≥，()22log log 120x x --=，()222log log 20x x --=，()()22log 2log 10x x -+=，解得2log 2x =或2log 1x =-（舍去），即4x =；若2log 1x <，即02x <<，()22log 1log 20x x --=，()222log log 20x x -+=，无解，综合所述，x 的值为4. 【点睛】关键点点睛：定义域关于y 轴对称的函数()f x ，若函数()f x 满足()()f x f x =-，则函数()f x 是偶函数，若函数()f x 满足()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数.44．（1）0x =；（2）{|>x x .【分析】（1））当02x ≤时，根据解析式求出0x ，当02x >时，求出对应的0x ，判断0x 是否符合要求，进而即可求解.（2）根据分段函数对x 进行分类讨论，分别求出2x ≤和2x >时的满足()8f x >的范围，进而求解即可.【详解】（1）当02x ≤时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x0x =(舍去)，故0x （2）()8f x >等价于228x x ≤⎧⎨>⎩ ——①或2228x x >⎧⎨+>⎩——②解①得x φ∈，解②得>x综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于一般题目. 45．（1）12(())33f f =，4455f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩；211x a a =-++是()f x 的回旋点（3）见解析，121a x a a =-++，2211x a a =-++. 【分析】（1）利用函数解析式即可求出13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）由1a x <≤得出()()111f x x a=--，讨论21a x a a <<-+和211a a x -+≤≤时，()()f f x 的解析式，即可得出当(],1x a ∈时，函数(())y f f x =的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出()f x 回旋点；（3）将0x a ≤≤分成20x a ≤≤和2a x a <≤两种情况进行讨论，得出[]0,x a ∈内()f x 的回旋点，结合（2）中得出的(],1x a ∈内()f x 的回旋点，即可证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点. 【详解】解：（1）当12a =时，()()1 2,02121,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝ 44221555f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴422425555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）f x 中[]0,1x ∈时，值域也是0,1又1a x <≤，()0,1a ∈()()111f x x a∴=-- 由()1111a x a<-≤-，得21a x a a <<-+ ∴当21a x a a <<-+时，()()21111(1)()11(1)f f x x x a a a a ⎡⎤=--=-⎢⎥---⎣⎦ 同理，当211a a x -+≤≤时，()10()11f x x a a≤=-≤- ()()f f x ∴=()()111111(1)x x a a a a ⎡⎤⨯-=-⎢⎥--⎣⎦∴当(],1x a ∈时，()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩当21a x a a <<-+，由21()(1)x a x a -=-得12x a=∈-2(,1)a a a -+ 1111(1)2122f a a a a ⎛⎫∴=-= ⎪----⎝⎭，故12x a =-不是()f x 的回旋点. 当211a a x -+≤≤时，由()11(1)x x a a -=-得211x a a =∈-++]2(1,1a a -+。

2022-2023学年江苏省盐城市高一年级上册学期第二次学情调研考试数学试题【含答案】

综上所述：时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
21.如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.
【详解】由函数为奇函数且在上是减函数，，
可知时，时，，
，时；
等价于或或，
即或或，
解得的范围是 .
故选：A
二、多选题：（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质与对数函数的性质列出不等式且，即可求解.
【详解】由题意可得且，
即且，
整理可得，
解得：
所以函数的定义域为
故选：C
3.函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复合函数的单调性判断即可.
【详解】令，则有或，即函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，函数在定义域内单调递增，故的单调递增区间为 .
（2）分两种情况讨论a的取值范围，当时，根据基本不等式的性质求出S的最小值，以及满足条件的的值；当时，借助于导数解决问题，求得答案.
【小问1详解】
由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是，宽是，

分段函数(含解析)

2022高考数学专项测试01（分段函数）一、单选题1.若函数()2100x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则()2f =（）A ．−4B ．−3C ．4D ．62、已知()()23,0,0x x x f x g x x ⎧-->⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()2f g -=（）A ．3−4B ．−3C ．2D ．-263．已知函数2,0()1,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()0(1)2af f +=，则实数a 的值等于（） A ．−6B ．−3C ．3D ．64．已知函数()4,04,0,x xe xf x e x -⎧-≥=⎨-<⎩()2g x x =，则函数()()y f x g x =⋅的大致图象是（） A ．B ．C ．D ．5．已知函数22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，函数()3(2)g x f x ，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]7．函数1,0,()ln ,0.ax x f x x x +<⎧=⎨>⎩若()f x 的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．1[,0]2-D ．1(,1]28．函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，且函数()()h x f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞ C ．(,1]-∞9．设函数2()2()g x x x R =-∈，{()4,(),(),().()++<-≥=g x x x g x g x x x g x f x 则()f x 的值域是（）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦10．已知偶函数()y f x =的定义域为R ，当0x ≥时，()23sin ,01221,1x x x f x x π-⎧≤≤⎪=⎨⎪+>⎩函数()()2221g x x ax a a R =-+-∈，若函数()()y g f x =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]2,3D ．()2,311．定义在R 上的函数()f x ，当[)1,x ∈+∞时，()()()[)()[)1213,1,312,3,2x x x f x f x x ⎧---∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，且()1y f x =+为偶函数.函数()2log 1g x x =-，则方程()()0f x g x -=所有根的和为（）A ．6B ．8C ．10D ．1212．已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为 A ．23-B ．12-C ．34- D ．1-二、填空题：13. 设函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())2f f =________．14. 已知函数22,0()2,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于___________．15. 己知函数()331,0,22,0,xx x x f x x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是______.16. 函数()()()200x x e e m x f x x e x -⎧+->⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上存在两点关于y 轴对称，则实数m 的取值范围是______．1.C 2、B 3．（A 4．A5．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，函数()3(2)g x f x ，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a=--有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]【答案】A7．（2020·湖北高三月考（文、理））已知函数1,0,()ln ,0.ax x f x x x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．1[,0]2-D ．1(,1]2【答案】B8．（2020·四川泸县五中高三月考（文、理））已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，且函数()()h x f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞C ．(,1]-∞【答案】B9．（2020·天津南开中学高三月考）设函数2()2()g x x x R =-∈，{()4,(),(),().()++<-≥=g x x x g x g x x x g x f x 则()f x 的值域是（）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞ D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】当,即,时,或,,其最小值为，无最大值为,因此这个区间的值域为:. 当时,,其最小值为，其最大值为因此这区间的值域为:9[,0]4-.综合得:函数值域为:9[,0](2,)4-⋃+∞ ，故选D. 10．（2020·湖南长沙一中高三月考（理））已知偶函数()y f x =的定义域为R ，当0x ≥时，()23sin ,01221,1x x x f x x π-⎧≤≤⎪=⎨⎪+>⎩函数()()2221g x x ax a a R =-+-∈，若函数()()y g f x =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]2,3D ．()2,3【答案】B11．（2020·安徽高三期末（理、文））定义在R 上的函数()f x ，当[)1,x ∈+∞时，()()()[)()[)1213,1,312,3,2x x x f x f x x ⎧---∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，且()1y f x =+为偶函数.函数()2log 1g x x =-，则方程()()0f x g x -=所有根的和为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C由图可知，两函数在[)1,+∞上，()f x 与()g x 有5个交点，故方程()()0f x g x -=所有根的和为为2510⨯=.故选：C.12．（2017·河南高三（文、理））已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23-B ．12-C ．34-D ．1-【答案】A【解析】函数()()()F x f x g x =-的零点为函数()y f x =与()y g x =图象的交点，在同一直角坐标下作出函数()y f x =与()y g x =的图象，如图所示，当函数()y g x =的图象经过点（2，0）时满足条件，此时20102k -==-- ，当函数()y g x =的图象经过点（4，0）时满足条件，此时201042k -==-- ，当函数()y g x =的图象与2211(0,0)x y x y -+=>>（）1= ，解得34k =-，综上所述，1k =-或12k =-或34k =-．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

2023年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷﹑草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}1A x x =>-，下列关系式中成立的是（）A.0A ⊆ B.{}0A ∈ C.{}0A⊆ D.A∅∈【答案】C 【解析】【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系得答案.【详解】因为集合{}1A x x =>-所以0A ∈，A 错误；{}0A ⊆，B 错误，C 正确；A ∅⊆，D 错误.故选：C.2.设集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}34B x x =-<<，则A B = （）A.{}2,1,0,1,2,3-- B.{}2,1,0,1,2-- C.{}2,1,1,2-- D.{}1,1,3-【答案】D 【解析】【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}34B x x =-<<，则{}1,1,3A B ⋂=-.故选：D.3.函数x y x x=+的图象是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】讨论得到分段函数解析式，由此可得图象.【详解】1,01,0x x xy x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩，结合一次函数的图象可知ABC 错误；D 正确.故选：D.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.两次购买同一种物品，每次的价格不同可以用两种不同的策略，第种策略每次购买这种物品的数量一定；第二种策略每次购买这种物品所花的钱数一定．则哪种购物方式比较经济？（）A.第一种 B.第二种C.都一样D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】设两次购物的价格分别为1p 、2p ，第一种策略：每次购买量为n ，第二种策略：每次花钱数为m ，计算出按第一种策略购物，两次购物的平均价格，按第二种策略购物，两次购物的平均价格，做差比较大小即可.【详解】设两次购物的价格分别为1p 、2p ，第一种策略：每次购买量为n ，第二种策略：每次花钱数为m ，若按第一种策略购物，两次购物的平均价格为121222np np p p n ++=，若按第二种策略购物，两次购物的平均价格为12121222p p mm m p p p p =++，因为12p p ≠，所以()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以12121222p p p p p p +>+.故选：B.6.对于函数()53f x ax bx cx d =+++（,,a b c ∈R ，Z d ∈），选取a b c d ,,,的一组值计算()2f 和()2f -，所得的正确结果一定不可能是（）A.3和4B.2和6C.1和7D.4和8【答案】A 【解析】【分析】利用函数奇偶性可知53y ax bx cx =++为奇函数，所以可得()()2f f x d x +-=，验证选项即可得出结论.【详解】根据题意可知()()82,23232228f b c d f a b c d a +++---==-+，所以可得()()222f f d +-=，又Z d ∈，可知()()222f f d +-=一定是偶数，经检验可知，A 选项两数之和为7，不是偶数，不合题意；其余选项两数之和均为偶数，符合题意；故选：A7.设a 、b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设()f x x x =，分析函数()f x 在R 上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.【详解】设()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，则函数()f x 在(],0-∞、[)0,∞+上均为增函数，又因为函数()f x 在R 上连续，故函数()f x 在R 上单调递增，若a b >，则()()f a f b >，即a a b b >；若a a b b >，则()()f a f b >，可得a b >.因此，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.故选：C.8.已知函数()()123,11,1a x a x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是（）A.(],1-∞- B.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】根据解析式得出()f x 在[)1,x ∞∈+上有()0f x ≥，由题意可得1201230a a a ->⎧⎨-+≥⎩，然后求解即可.【详解】当1x ≥时，()1f x x x=-单调递增，所以()f x 在[)1,x ∞∈+上有()0f x ≥，所以要使函数()()123,11,1a x a x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则需1201230a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得112a -≤<.故选：C二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.Z n ∃∈，2n n +为奇数B.R a ∀∈，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称C.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件D.()2f x x =与()4g x =是同一函数【答案】BC 【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当n 是整数时，()21n n n n +=+是偶数，故为假命题.B 选项，二次函数2y x a =+的对称轴为y 轴，所以B 选项正确.C 选项，当22ac bc >时，a b >，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要条件，所以C 选项正确.D 选项，()f x 的定义域是R ，()g x 的定义域是{}|0x x ≥，所以不是同一函数，故为假命题.故选：BC10.设()2211x f x x +=-，则（）A.()()f x f x -= B.()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（0x ≠）C.()f x 在()1,+∞上单调递增D.()f x 的值域为(),-∞+∞【答案】ABC 【解析】【分析】代入()f x -以及1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可判断AB ；利用增函数的定义，即可判断C ；由已知2101y x y -=≥+，即可求函数的值域.【详解】210x -≠，得1x ≠±，所以函数的定义域为{}1x x ≠±，()()()22221111x x f x x x +-+-==---，即()()f x f x -=，故A 正确；()22221111111x x f f x x x x++⎛⎫===- ⎪-⎝⎭-，()0x ≠，故B 正确；设121x x >>，则()()()()()2222121212222212122111111x x x x f x f x x x x x -++-=-=----，因为121x x >>，所以2212x x >，且2110x -<，2210x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故C 正确；由2211x y x+=-，得211y x y -=+，由101y y -≥+，得1y ≥或1y <-，所以函数的值域为()[),11,∞∞--⋃+，故D 错误.故选：ABC11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x fy =+，则（）A.()00f =B.()10f =C.()f x 是奇函数D.()f x 是偶函数【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，令0x y ==得到()00f =；B 选项，令1x y ==得到()10f =；CD 选项，先赋值求出()10f -=，进而令1y =-得到()()f x f x -=，得到C 错误，D 正确.【详解】A 选项，()()()22f xy y f x x fy =+中，令0x y ==得，()00f =，A 正确；B 选项，()()()22f xy y f x x fy =+中，令1x y ==得，()()()111f f f =+，解得()10f =，B 正确；CD 选项，()()()22f xy y f x x fy =+中，令1x y ==-得，()()()111f f f =-+-，解得()10f -=，()()()22f xy y f x x f y =+中，令1y =-得，()()()()()201f x f x x f f x f x -=+=+=-，函数()f x 的定义域为R ，故()f x 为偶函数，C 错误，D 正确.故选：ABD12.已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（）A.22a b +的最小值为15B.ab 的最大值为18C.1a b +的最大值为43 D.11a b+的最小值为【答案】AB 【解析】【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确．对于B ：由0a >，0b >，12a b =+≥，即18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-，所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b<<+，故C 错误；对于D ：112221233a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+，当且仅当2b a a b =，即22b =，1a =-时取等号，故D 错误；故选：AB第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()24f x x ax =-+的值域是[)0,∞+，则=a ______.【答案】4±【解析】【分析】由二次函数图象可知Δ0=，解方程计算可得4a =±.【详解】根据二次函数性质可知，()24f x x ax =-+的最小值为0，所以可得2440a ∆=-⨯=，解得4a =±；故答案为：4±14.已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】因为a b >，1ab =，则0a b ->，所以222()22()a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+---≥=，当且仅当2a b a b -=-，即,22a b ==时，等号成立，所以22a b a b+-的最小值是故答案为：15.已知R μ∈，函数()23,32,x x f x x x x μμ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 与x 轴恰有2个交点，则μ的取值范围是______.【答案】(]()1,23,+¥ 【解析】【分析】先求出每一段的零点，然后根据函数()f x 与x 轴的交点情况分类讨论求μ的取值范围.【详解】令30x -=，得3x =，令2320x x -+=，得1x =或2x =因为函数()f x 与x 轴恰有2个交点，当两个交点为()()1,0,2,0时，()1,2,3,μ∈-∞，得3μ>，当两个交点为()()1,0,3,0时，()1,μ∈-∞，[)2,3,μ∈+∞，得12μ<≤，当两个交点为()()2,0,3,0时，()2,μ∈-∞，[)1,3,μ∈+∞，不可能，综合得μ的取值范围是(]()1,23,+¥.故答案为：(]()1,23,+¥.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．则求出函数()323f x x x =+的图象的对称中心为______；类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =为偶函数”的一个推广结论是______.【答案】①.()1,2-②.()y f x =的图像关于x a =对称的充要条件是()y f x a =+为偶函数【解析】【分析】根据函数()y f x a b =+-为奇函数，即可求解,a b ，根据偶函数的定义，并且类别推广，即可求解推广结论.【详解】()()()()()3232232333363f x a b x a x a b x a x a a x a a b +-=+++-=++++++-为奇函数，所以330a +=且3230a a b +-=所以1a =-，2b =，所以函数()f x 的图象的对称中心为()1,2-；若函数()y f x =关于x a =对称，则()y f x a =+为偶函数，因为若()y f x a =+为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，即函数()y f x =关于x a =对称，反过来若函数()y f x =关于x a =对称，则()()f x a f x a -+=+，即()y f x a =+为偶函数，综上可知，命题的推广结论为“()y f x =的图像关于x a =对称的充要条件是()y f x a =+为偶函数”.故答案为：()1,2-；()y f x =的图像关于x a =对称的充要条件是()y f x a =+为偶函数四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合A ={x |x 2-3x +2=0}，B ={x |x 2+2（a +1）x +a 2-5=0}.（1）若A ∩B ={2}，求实数a 的值；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）-1或-3；（2）(,3]-∞-.【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；【小问1详解】由x 2-3x +2=0得x =1或x =2，故集合A ={1，2}.因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，将x =2代入B 中的方程，得a 2+4a +3=0，解得a =-1或a =-3，当a =-1时，B ={x |x 2-4=0}={-2，2}，满足条件；当a =-3时，B ={x |x 2-4x +4=0}={2}，满足条件，综上，实数a 的值为-1或-3；【小问2详解】对于集合B ，∆=4（a +1）2-4（a 2-5）=8（a +3）.因为A ∪B =A ，所以B ⊆A .当∆<0，即a <-3时，B 为空集，满足条件；当∆=0，即a =-3时，B ={2}，满足条件；当∆>0，即a >-3时，B =A ={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系，得1+2=-2（a +1），1×2=a 2-5，解得a =-52，且a 2=7，矛盾.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.18.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：x A ∃∈，x B ∈是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(],3-∞（2）[]2,4【解析】【分析】（1）分类讨论B =∅和B ≠∅，根据条件列出不等式组求解m 的取值范围；（2）将条件转化为A B ⋂≠∅，进而求出m 的取值范围.【小问1详解】当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为(],3-∞【小问2详解】由题意A B ⋂≠∅，所以B ≠∅即2m ≥，此时13m +≥.为使A B ⋂≠∅，需有15m +≤，即4m ≤.故实数m 的取值范围为[]2,419.已知函数f (x )＝的定义域为R .（1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )＝，结合f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R .所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min2，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y （升)与速度x （千米/每小时）(50120)x 的关系可近似表示为：21(1304900),[50,80)7512,[80,120]60x x x y x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩（1）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？（2）已知A ，B 两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？【答案】(1)65km/h (2)当速度为120km/h 时，总耗油量最少．【解析】【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，比较可得结论；（2）分类讨论，利用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论．【详解】解：（1）当[)50,80x ∈时，2211(1304900)[(65)675]7575y x x x =-+=-+，65x =，y 有最小值1675975⨯=当[]80,120x ∈，函数单调递减，故当120x =时，y 有最小值10因910<，故65x =时每小时耗油量最低（2）设总耗油量为l 由题意可知120:l y x= ①当[)50,80x ∈时，120849008(130)130)1655l y x x x ==+--= 当且仅当4900x x=，即70x =时，l 取得最小值16②当[]80,120x ∈时，12014402l y x x==- 为减函数当120x =，l 取得最小值101016< ，所以当速度为120时，总耗油量最少．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查函数模型的建立，考查函数的单调性，利用基本不等式是解决本题的关键．21.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数．（1）若对任意的1x ，2R x ∈，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x -<-，()11f =-，求满足()121f x -≤-≤的实数x 的取值范围；（2）若对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()1122120x f x x f x x x -<-，解关于m 的不等式()mf m -()()21210m f m -->．【答案】（1）[]1,3（2）()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）首先判断函数()f x 的单调性，再求解不等式；（2）首先设函数()()g x xf x =，并判断函数的单调性，并结合函数是偶函数，以及单调性，求解不等式.【小问1详解】由题意奇函数()f x 满足()()111f f -=-=，∴()121f x -≤-≤变为()()()121f f x f ≤-≤-，又()()12120f x f x x x -<-，即当12x x <时，()()12f x f x >，∴()f x 在R 上单调递减，∴121x -≤-≤，解得13x ≤≤，故实数x 的取值范围为[]1,3；【小问2详解】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x xf x =为定义在R 上的偶函数，又∵()()1122120x f x x f x x x -<-，即12x x <，()()1122x f x x f x >，∴()()g x xf x =在[)0,∞+上递减，则()g x 在(),0∞-上递增，()()()21210mf m m f m --->，即()()()2121mf m m f m >--，则()()21g m g m >-，则21m m <-，整理为23410m m -+>，解得：()1,1,3m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ .22.已知函数()225f x x ax =-+（1a >）．（1）若()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]1,1x a ∈+，都有()0f x ≤．求实数a 的取值范围；（3）若()211x x g x x +-=+，且对任意的[]0,1x ∈，都存在[]00,1x ∈，使得()()0f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2（2）[)3,+∞（3）7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解；（2）根据函数单调性求出()f x 在区间[]1,1a +上的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题列不等式求解；（3）求出函数()g x 和()f x 的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解.【小问1详解】()()222255f x x ax x a a =-+=-+- ∴()f x 在(],a -∞上单调递减，又1a >，∴()f x 在[]1,a 上单调递减，()()11f a f a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，即22125251a a a a -+=⎧⎨-+=⎩，解得2a =；【小问2详解】()f x 在区间(],2-∞上是减函数，(](],,2a ∴∞-∞-⊆，2a ∴≥，1(1)a a a ∴-≥+-，()()11f f a +≥[]1,1x a ∴∈+时，()()max 1f x f =，又对任意的[]1,1x a ∈+，都有()0f x ≤，∴()11250f a =-+≤，3a ∴≥；【小问3详解】∵()21111x x g x x x x +-==-++，明显其在[]0,1上单调递增，当[]0,1x ∈时，()11,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又()f x 在[]0,1上单调递减，()[]62,5f x a ∈-∵对任意的[]0,1x ∈，都存在[]00,1x ∈，使得()()0f x g x =成立∴[]11,62,52a ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦∴621a --≤∴72a ≥。

衔接教材08 分段函数(解析版)

衔接教材08 分段函数知识点讲解一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．分段函数，就是对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。

它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。

但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。

本段介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考。

分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。

求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。

判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。

经典例题解析例1 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为80,(0,20]160(20,40]240,940,80]320(60,80]400,(80,100]x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．x (克)y (分) O图2.2－920 40 60 80 100 400 320 240 160 80例2如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔPAC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围．分析：要对点P 所在的位置进行分类讨论．解：（1）①当点P 在线段AB 上移动，即0＜x ≤2时，y ＝＝x ； ②当点P 在线段BC 上移动，即2＜x ＜4时， y ＝12PC AB ⋅＝1(4)22x -⋅＝4－x ； ③当点P 在线段CD 上移动，即4＜x ≤6时，y ＝12PC AD ⋅＝1(4)22x -⋅＝x －4；④当点P 在线段DA 上移动，即6＜x ＜8时，实时训练1．把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：（1）|1|y x =-；（2）|23|1y x =+-.【答案】（1）定义域为R ，值域为[0,)+∞，图像见解析；（2）定义域为R ，值域为[1,)-+∞，图像见解析. 【分析】（1）化简得到1,11,1x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩，再计算定义域和值域，画出图像得到答案. （2）化简得到322,2342,2x x y x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩，再计算定义域和值域，画出图像得到答案.【详解】（1）1,111,1x x y x x x -⎧=-=⎨-<⎩，定义域为R ，值域为[0,)+∞，图像如图所示：12AP BC ⋅AC BDP图2.2－10（2）322,2=231342,2x x y x x x ⎧+≥-⎪⎪+-=⎨⎪--<-⎪⎩定义域为R ，值域为[1,)-+∞.图像如图所示：【点睛】本题考查了分段函数的图像，定义域，值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 2．已知函数y =|x +1|+|1﹣x |.（1）用分段函数形式写出函数的解析式；（2）画出该函数的大致图象.【答案】（1）y =2,12,112,1x x x x x -<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩；（2）答案见解析.【分析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号可得分段函数解析式；（2）分段作出函数图象，得折线即函数图象．【详解】（1）函数y =|x +1|+|1﹣x |=2,12,112,1x x x x x -<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩．（2）据（1）的函数的解析式画出图象如图所示：【点睛】本题考查含绝对值的函数，考查分段函数的表达式及函数的图象，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得分段函数解析式．分段作出函数图象即可．3．依法纳税是每个公民应尽的义务，规定：公民全月工资薪金所得不超过3500元的免征个人所得税；超过3500元的部分．．为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算.（1）若应纳税额为()f x .试用分段函数表示1～3级纳税额()f x 的解析式；（2）某人一月份应交纳此项税款303元，那么他当月的工资薪金所得是多少？【答案】（1）y = 0.030.11050.2555xx x ⎧⎪-⎨⎪-⎩,01500,15004500,45009000x x x <≤<≤<≤；（2）7580元.【详解】试题分析：（1）根据题中表格，可以将自变量范围分为3段，从而可得分段函数；（2）由（1）知0.1x -455=303，可得结论．试题解析：（Ⅰ）由题意及图表得全月应纳税所得额为x 元时，应纳税额()f x 的解析式为：y = ()()()3%,0150015003%150010%,1500450015003%4500150010%9000450020%,45009000x x x x x ⎧⋅<≤⎪⨯+-⨯<≤⎨⎪⨯+-⨯+-⨯<≤⎩即y = 0.030.11050.2555xx x ⎧⎪-⎨⎪-⎩,01500,15004500,45009000x x x <≤<≤<≤（Ⅰ）当303y =元时，符合2级纳税额公式，即0.1105303x -= 4080x ∴=∴该人当月的工资薪金所得是：408035007580+=（元）4．依法纳税是每个公民应尽的义务，规定:公民全月工资薪金所得不超过5000元的免征个人所超过5000元的部分为全月应纳税所得额，设全月应纳税所得额为x ，此项税款按下表分段累计计算.（1)若某人一月份工资收入为15800元，求某人该月要交多少税款?（2）若应纳税额为()f x .试用分段函数表示1~3级纳税额()f x 的解析式；【答案】（1）870（2）()0.03150500080000.17108000170000.224101700030000x x f x x x x x -<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，，，【分析】（1）应交税款=不超过3000元的部分3%⨯+超过3000元，不超过12000元的部分10%⨯+超过12000元，不超过25000元的部分15%⨯，依此列式计算即可求解；【详解】（1）若某人一月份工资收入为15800元，应交税款=()30003%158003000500010%=870⨯+--⨯（元）（2）根据题意有：05000x <≤时，0y =；50008000x <≤时，()0.0350000.03150y x x =-=-； 800017000x <≤时，()900.180000.1710y x x =+-=-； 1700030000x <≤时，()9900.2170000.22410y x x =+-=-，Ⅰ()0.03150500080000.17108000170000.224101700030000x x f x x x x x -<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，，，. 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，确定函数模型是关键，属于中档题.5．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数()211(1)x y xx x ⎧-≤-⎪=⎨⎪->-⎩的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()15,A y -，27,2B y ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值2y =时，求自变量x 的值；③在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【分析】（1）描点连线即可；（2）①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y =2代入y =|x -1|进行求解即可；③由图可知13x -≤≤时，点关于x =1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】（1）如图所示：（2）①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在2y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<； 15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x ， C 与D 在|1|y x =-上，且|1|y x =-在[1,)+∞单调递增，∴12x x <，故答案为<，<； ②当2y =时，22x=-，1x ∴=-，当2y =时，21x =-，3x ∴=或1x =-（舍去）；综上：当2y =时，3x ∴=或1x =-； ③()33,P x y ，()44,Q x y 在1x =-的右侧，13x ∴-≤≤时，点关于1x =对称，34y y =，342x x ∴+=；④由图象可知，02a <<. 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．6．目前，某市出租车的计价标准是：路程2km 以内（含2km ）按起步价8元收取，超过2km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10km 后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9(150%) 2.85⨯+=元/km ）（1）若020x <≤，将乘客搭乘一次出租车的费用()f x （单位：元）表示为行程x （单位：km ）的分段函数；（2）某乘客行程为16km ，他准备先乘一辆出租车行驶8km ，然后再换乘另一辆出租车完成余下路程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱？【答案】（1）8(02)4.2 1.9(210)2.85 5.3(1020)x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-<≤⎩（2）换乘更省钱【分析】（1）仔细审题，由题意即可列出乘客搭乘一次出租车的费用f （x ）（元）表示为行程x 的分段函数．（2）求出只乘一辆车的车费，换乘2辆车的车费，通过比较即可得到结论. 【详解】解：（1）由题意得车费()f x 关于路程x 的函数为：()()8(02)8 1.92(210)8 1.98 2.8510(1020)x y x x x x ⎧<≤⎪=+-<≤⎨⎪+⨯+⨯-<≤⎩8(02)4.2 1.9(210)2.85 5.3(1020)x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-<≤⎩（2）只乘一辆车的车费为： 2.87516 5.340.3(y 元）=⨯-= 换乘2辆车的车费为：()24.2 1.9838.8（元）+⨯= 40.3＞38.8∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．【点睛】本题考查分段函数在生产实际中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)

专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

湖南省长沙市一中、湖南师大附中2025届高考数学三模试卷含解析

湖南省长沙市一中、湖南师大附中2025届高考数学三模试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A ．323B ．643 C ．16 D ．322．已知函数2()ln(1)f x x x -=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -4．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x a x bx =+的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b 5．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃＝（）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7} 6．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（） A ． B ． C ． D ．7．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥ 8．使得()3n x n N x x +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．已知函数()()()1sin ,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1n i i i a b =+∑的值为（） A ．5022449+ B ．5022549+ C ．4922449+ D ．4922549+10．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．函数()()ln 12f x x x =+-的定义域为（） A ．()2,+∞ B ．()()1,22,-⋃+∞ C ．()1,2- D ．1,212．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（）A ．17种B ．27种C ．37种D ．47种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学高一上期末经典习题(含答案解析)(1)

一、选择题1．(0分)[ID ：12117]设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<2．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．(0分)[ID ：12095]已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-4．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．(0分)[ID ：12085]已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]7．(0分)[ID ：12107]德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>9．(0分)[ID ：12082]设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]10．(0分)[ID ：12077][]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（） A ．1 B ．2C ．3D ．411．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<12．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,213．(0分)[ID ：12065]已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．114．(0分)[ID ：12064]下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =15．(0分)[ID ：12050]已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞二、填空题16．(0分)[ID ：12204]已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.17．(0分)[ID ：12190]己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.18．(0分)[ID ：12185]如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数22logy x=，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.19．(0分)[ID ：12176]若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.20．(0分)[ID ：12171]对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________21．(0分)[ID ：12165]已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 22．(0分)[ID ：12163]对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭，则b a -=____． 23．(0分)[ID ：12154]已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.24．(0分)[ID ：12152]已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.25．(0分)[ID ：12131]高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题26．(0分)[ID ：12327]某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x （130x ≤≤，x +∈N ）天的单件销售价格（单位：元20,115()50,1530x x f x x x +≤<⎧=⎨-≤≤⎩,第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格⨯销售量）. （1）求m 的值；（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？27．(0分)[ID ：12280]为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足()8f x =+1()124g x x =+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）（Ⅰ）求(8)F 的值.（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入.28．(0分)[ID ：12258]已知函数21()f x x x =-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()220f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围. 29．(0分)[ID ：12238]已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.30．(0分)[ID ：12231]已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C 13．B 14．A 15．C二、填空题16．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f（x）是定义域在R上的偶函数将f （m﹣2）>f（2m﹣3）转化为再利用f（x）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x）是定义域在R上的偶函数且f17．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与18．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函19．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【20．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：21．【解析】【分析】由题意可得f（x）g（x）的图象均过（﹣11）分别讨论a＞0a＜0时f（x）＞g（x）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题22．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R上为减函数并且由题意可知：由于函数在R上封闭故有解得：所以23．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇24．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像25．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题三、解答题26．27．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．C解析：C 【解析】【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <，又函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】【分析】当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=，且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=-故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.4．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.5．A解析：A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.11.11=>=， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>．故选A ．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．B解析：B【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.7．D解析：D 【解析】【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则110102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ．【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．8．C解析：C 【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 334a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.9．D解析：D 【解析】【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤，所以a 的取值范围是02a ≤≤，故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.10．B解析：B 【解析】【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点，易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->，即()()230f f <所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．11．C解析：C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．12．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.13．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 14．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A15．C解析：C 【解析】【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.二、填空题16．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f 解析：（﹣∞，1）（53，+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|，所以3m 2﹣8m +5>0，所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0，解得m <1或m 53>，故答案为：（﹣∞，1）（53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即210,a a a --==（舍去），或152a （舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.18．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A Ax 在函数y x=的图像上，所以2Ax =，即212A x ==⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C Cy 在函数2x y ⎛=⎝⎭的图像上，所以4124C y ⎛== ⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【解析：25[,)6-+∞ 【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．【详解】设x x t e e -=-，1xxx x t e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤，不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t -≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-．综上，256a ≥-．故答案为：25[,)6-+∞．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．20．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ，由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ，当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ，当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ，综上可得：1b c d ++=- .21．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．22．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R 上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R 上为减函数并且由题意可知：由于函数在R 上封闭故有解得：所以解析：6 【解析】【分析】利用定义证明函数()y f x =的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可. 【详解】44()()11x xf x f x x x--=-==-+-+，则函数()f x 在R 上为奇函数设120x x ≤<，4()1xf x x=-+ ()()()2112121212444()()01111x x x x f x f x x x x x --=-+=>++++，即12()()f x f x > 结合奇函数的性质得函数()f x 在R 上为减函数，并且(0)0f = 由题意可知：0,0a b <>由于函数()f x 在R 上封闭，故有4141()()a bab f a b f b aa b-=-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩-=+⎪⎪⎩ ，解得：3,3a b =-=所以6b a -= 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.23．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可. 【详解】因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数，因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用.24．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x x f x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点; 当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.25．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析：{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解. 【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++， 11x e +>，1011xe ∴<<+， 2201xe ∴-<-<+， 19195515x e ∴-<-<+，所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，{}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1- 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.三、解答题 26．（1）40m =；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．【解析】【分析】（1）利用分段函数，直接求解(20)(20)600f g =．推出m 的值．（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可．【详解】（1）销售价格20,115,()50,1530,x x f x x x +<⎧=⎨-⎩第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），当20x时，由(20)(20)(5020)(20)600f g m =--=，解得40m =．（2）当115x <时，(20)(40)y x x =+-2220800(10)900x x x =-++=--+，故当10x =时，900max y =，当1530x 时，22(50)(40)902000(45)25y x x x x x =--=-+=--，故当15x =时，875max y =，因为875900<，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．27．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元.【解析】【分析】（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入.【详解】（Ⅰ）由题意知11()8(20)122544F a a a =+-+=-+，所以1(8)825394F =-⨯+=（万元）. （Ⅱ）依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨-⎩.故1()25(218)4F a a a =-+.令t =t ∈，2211()25(5744G t t t =-++=--+，显然在上()G t 单调递增，所以当t =18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =.所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元.【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.28．（1）证明见解析（2）m 1≥【解析】【分析】（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据单调性得到221x x m ++>，即()221212m x x x >--=-++，得到答案.【详解】（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，()()()()2221121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22110x x > ∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减；（2）()()2201f x x m f ++<=，故221x x m ++>， ()221212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.【点睛】本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 29．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围.【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足AB =∅.②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >- 又A B =∅，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥.综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.30．（1）()222f x x x =-+；（2）增区间为()1,+∞，减区间为(),1-∞；（3）最小值为1，最大值为5.【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组，即可求函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数()f x 的单调区间；（3）利用函数的对称轴与[]1,2x ∈-，直接求解函数的最大值和最小值．【详解】（1）由()02f =，得2c =，又()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-，故221a ab =⎧⎨+=-⎩ 解得：1a =，2b =-.所以()222f x x x =-+；（2）函数()()222211f x x x x =-+=-+图象的对称轴为1x =，且开口向上，所以，函数()f x 单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(),1-∞；（3）()()222211f x x x x =-+=-+，对称轴为[]11,2x =∈-，故()()min 11f x f ==，又()15f -=，()22f =，所以，()()max 15f x f =-=.【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次函数单调区间与最值的求解，解题时要结合二次函数图象的开口方向与对称轴来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题(解析版)

河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3,4},{|3}A B x x =-=<，则A B ⋂=（） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{|3}x x <【答案】A【解析】根据集合的交运算，结合已知，进行求解. 【详解】由集合的交运算，可得{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．已知22,0,()log ,0x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩，若()(2)1f f -=-，则实数a 的值为（）A ．2-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】由已知条件，利用分段函数性质，先求出1(2)4f -=，再算出14f ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出a . 【详解】由题意得：已知函数22,0,()log ,0,x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩所以1(2)4f -=，则()1(2)214f f f a ⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭得1a =，故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的概念，还涉及函数的性质和函数值的求法，同时考查运算能力.3．函数1()lg f x x=+ ） A ．(],2-∞- B ．(]0,2C ．()(]0,11,2D ．(]1,2-【答案】C【解析】由函数解析式可知，根据对数真数大于0，分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0，即可求出定义域. 【详解】由题意可得0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，化简得02x <≤且1x ≠，即()(]0,11,2x ∈⋃.故选：C. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域的方法，注意函数的定义域是函数各个部分的定义域的交集.4．若()y f x =的定义域为R ，值域为[1,2]，则(1)1y f x =-+的值域为（） A ．[2,3] B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解. 【详解】因为(1)1y f x =-+是将原函数()f x ，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域，故(1)1y f x =-+的值域为[]2,3. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响. 5．函数21()log 1xf x e x=--的零点所在的区间是（） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】C【解析】将选项中区间左右端点代入函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间. 【详解】因为1202f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，而()110f e =-> 则()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知函数零点所在区间为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6．设0.20.343,log 0.4,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <=，0.30.3log 0.4log 0.31?b =<=且0b >， 44log 0.2log 10c =<=，故a b c >>，故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，一般地，先与1和0进行比较，即可区分. 7．设m R ∈，幂函数1()(22)m f x m x +=+，且(1)(2)f a f a +>-，则a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．(1,2]-D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由()f x 是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可. 【详解】因为1()(22)m f x m x+=+是幂函数，故221m +=，解得12m =-，则()f x x =，其在[)0,+∞为单调增函数，则不等式(1)(2)f a f a +>-等价于102012a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利用函数单调性求解不等式. 8．函数|1|1()10x f x -=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进行选择. 【详解】因为|1|1()10x f x -=定义域为R ，故排除C 、D 选项；又1101x ->，故()()0,1f x ∈，故排除B . 故选：A. 【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.一般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进行选择.9．已知函数()22()log 2f x x x a =-+的最小值为3，则a =（） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】判断函数的单调性，找到最小值点对应的自变量，代值计算即可. 【详解】若220x x a -+>在R 上恒成立，则根据复合函数的单调性可知，()f x 区间(),1-∞单调递减，则()1,+∞单调递增，故()()()21log 13min f x f a ==-=，解得9a =，此时满足2290x x -+>在R 上恒成立，若220x x a -+>在R 上不恒成立，则该函数没有最值. 综上所述：9a =. 故选：D. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10．常见的三阶魔方约有194.310⨯种不同的状态，将这个数记为A ，二阶魔方有85603⨯种不同的状态，将这个数记为B ，则下列各数与AB最接近的是（）（参考数据：43 4.3log 10 2.1,0.63560-≈≈⨯） A ．280.63-⨯ B ．280.610⨯ C ．280.63⨯ D ．320.63⨯【答案】C【解析】根据题意，结合参考数据，应用对数运算法则，对数据进行估算. 【详解】由题可知：A B =1984.3105603⨯两边取对数可得1933384.310log log log 5603A B =+4198333333log log log 3log 10log 35A B -≈++- 333log log 419 2.185A B -≈-+⨯-35log 27.93A B ⨯≈故27.9533A B ≈⨯ 解得：27.90.63A B ≈⨯，故与之最接近的为280.63⨯. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进行处理，是解决本题的重要思路.11．已知函数2()x x x xe e xf x e e--++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（） A ．1 B ．2C ．211e e ++ D ．221ee ++ 【答案】B【解析】对()f x 分离参数，构造一个奇函数，再进行求解. 【详解】因为2()x x x xe e xf x e e--++=+=1+2x x x e e -+ 不妨令()2x xxh x e e-=+，显然()h x 为奇函数，故()()max 0min h x h x +=，则()()()()max 22max min min f x f x h x h x +=++=. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数.12．设函数222,2,()54, 2.x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+⎩若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2(2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2[4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2(4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】分段考虑函数的零点，结合一元二次方程根的分布，对参数进行讨论. 【详解】为方便说明，不妨令()22?(2)?h x a x =-<，()()22542g x x ax ax =-+≥因为()h x 是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1；对()g x ，因为290a =≥，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当()f x 有两个零点，只有下面两种可能： ①当()40,4a -∈时，即()0,4a ∈时，()h x 在其定义域内有1个零点，此时只要保证()g x 在其定义域1个零点即可，等价于方程22540x ax a -+=有1个根在区间[)2,+∞，只需()20g <，即：241040a a -+<，解得1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()20g =且522a <，解得12a =，故1,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②当()40,4a -∉，即(][),04,a ∈-∞⋃+∞时，()h x 在其定义域内没有零点，此时只要保证()g x 在其定义域2个零点即可等价于方程22540x ax a -+=有2个根在区间[)2,+∞，只需()52220ag ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，解得[)4,a ∈+∞综上所述：[)1,24,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及二次方程根的分布，其难点是对参数进行分类讨论.二、填空题13．已知函数2(0,1)x y a a a =+>≠且的图象恒过点M ，则M 的坐标为________. 【答案】(0,3)【解析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点()0,1即可求得. 【详解】因为xy a =恒过定点()0,1，又函数2x y a =+是由xy a =向上平移2个单位得到，故2xy a =+恒过定点()0,3.故答案为：()0,3. 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，其一般思路为，根据函数图像变换进行求解. 14．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为___________. 【答案】3【解析】由集合A 的元素，以及2A ∈，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数m 的值. 【详解】由题可得，若2m =，则2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去；若2322m m -+=，解得3m =或0m =，其中0m =不满足集合元素的互异性，舍去，所以3m =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.15．已知函数()log (0,1)a f x x b a a =+>≠的定义域、值域都是[1,2]，则a b +=__________．【答案】52或3. 【解析】分析：分类讨论a 的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 详解：当01a <<时，易知函数()f x 为减函数，由题意有()()122log 21a fb f b ===+=，解得：1,22a b ==，符合题意，此时52a b +=；当1a >时，易知函数()f x 为增函数，由题意有()()112log 22a fb f b ===+=，解得2,1a b ==，符合题意，此时3a b +=.综上可得：+a b 的值为52或3. 故答案为：52或3. 点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 21【解析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称，且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称，故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根，此时()21log 12x +=，解得21x =.21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.三、解答题17．计算（1）142110.2542216--⎛⎫⎛⎫⨯--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()3334839322log 2log log 8log 3log 3log 2log 29-+-++ 【答案】（1）4-（2）34【解析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果；（2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】解：（1）原式14421242444⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=⨯--=--22=-4（2）原式232233log 2log 3log 328log log 2322329⨯⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭323111533log 9log 3log 212232624⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯⨯+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18．已知集合{}2{|32},|log 3,{|13}A x x B x x C x m x m =-<<=<=-<<+. （1）求R A C B ⋂；（2）若()C A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|30}x x -<（2）(,4]-∞【解析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C 是否为空集进行讨论，分别求解.【详解】（1）∵函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，∴由2log 3x <得08x <<，∴{|08}B x x =<<.∴{|08}R B x x x =或.∴(){|30}R A B x x ⋂=-<.（2）{|38}A B x x ⋃=-<<.若C =∅，则13m m -+，解得1m -.若C ≠∅，则13,13,38,m m m m -<+⎧⎪--⎨⎪+≤⎩，解得14m -<.∴实数m 的取值范围为(,4]-∞.【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19．已知函数21()2x x f x a-=+的图象经过点11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的定义域和值域；（3）判断函数()f x 的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）()f x 是奇函数，证明见详解.【解析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()f x 与()f x -之间的关系.【详解】（1）由题意知11112112(1)1232f a a -----===-++，解得1a =.（2）因为212()12121x x x f x -==-++. ∵20x >，∴211x +>，∴()f x 的定义域为R .∵2(0,)x ∈+∞，∴2(0,2)21x ∈+， ∴()f x 的值域为(1,1)-.（3）函数()f x 是奇函数.证明如下：∵()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， ∴()f x 是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20．某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益P 与投入a满足30P =-，乙项目的收益Q 与投入a 满足1505Q a =+.设甲项目的投入为x . （1）求两个项目的总收益关于x 的函数()F x .（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”）【答案】（1）1()260,3009005F x x x =-+≤≤；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万元；360万元【解析】(1)由题意得，分别代入甲和乙的收益函数即可得出两个项目的总收益关于x 的函数()F x ；(2)利用换元法，令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦，得出关于t 的二次函数，根据已知区间内的二次函数即可求出最大值以及对于的x 值，即可得出答案.【详解】（1）由题知，甲项目投资x 万元，乙项目投资1200x -万元.所以11()4530(1200)504526055F x x x x x =-+-+=-++ 依题意得3001200300x x ≥⎧⎨-≥⎩解得300900x ≤≤. 故1()45260,3009005F x x x x =-++≤≤ （2）令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦.221145260(105)36055y t t t =-++=--+ 当105t =，即500x =，y 的最大值为360.所以当甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【点睛】本题考查函数模型的应用以及二次函数的性质，利用换元法及二次函数求最值. 21．已知函数2()22f x x kx =-+.（1）若函数(1)f x -是偶函数.求k 的值，并在坐标系中画出()y f x =的大致图象；（2）若当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）4k =-，图像见解析；（2）8,43⎡-⎣【解析】（1）根据(1)f x -是偶函数，得出()f x 的对称轴，结合二次函数对称轴，求出k ，便可以得出()f x 解析式，即可画出二次函数图像；（2）由条件，得出min ()4f x ≥-，分类讨论对称轴和所给区间比较，结合单调性，分别求出每种情况的最小值，分析加以排除，即可得出k 的取值范围.【详解】（1）由题得，函数(1)f x -是偶函数，可得函数()f x 的图象关于1x =-对称，即14k =-，得4k =- 则2()242y f x x x ==++的大致图象如图所示.（2）因为当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，所以min ()4f x ≥-.由题可知()f x 的对称轴为4k x =. 当14k ≤-，即4k ≤-时，()f x 在[]1,2-上单调递增，此时min ()(1)224f x f k =-=++≥-，得8k ≥-，所以84k -≤≤-；当24k ≥，即8k ≥时，()f x 在[]1,2-上单调递减，此时min ()(2)8224f x f k ==-+≥-，得7k ≤，不符合条件；当124k -<<，即48k -<<时，()f x 在(1,)4k -上单调递减，在,24k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，此时22min()()24484k k k f x f ==-+≥-，得4343k -≤≤443k -<≤综上所述，k 的取值范围是8,43⎡-⎣.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，利用偶函数性质以及二次函数的对称轴、单调性、最值，同时还考查二次函数图像的画法和分类讨论思想，以及数形结合思想.22．设a R ∈,函数 ()1,11ln ,1ax x f x x a x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩,且()()3f f e -=()1求()f x 的最大值()2若方程()()0f x f x --=在区间[)(),1k k k Z +∈上存在实根,求出所有可能的k 值【答案】（1）3；（2）3,0,2-【解析】（1）由(3)()f f e -=求得a ，分段考查函数值的取值范围可得最大值．（2）由()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩，分类讨论，分11x -<<，1x ≥和1x ≤-三类讨论其零点，其中1x ≤-可由1x ≥得出，主要是()()0f x f x --=的解都是成对出现的．【详解】（1）由()()3f f e -=得31131a a -+=---,解得3a = 当1x <时,()3143311x f x x x +==+<-- 当1x ≥时,()3ln f x x =-单调递减,()()13f x f ≤=所以()f x 的最大值为3（2）由（1）知()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩ 当11x -<<时,11x -<-<由()()0f x f x --=得3131011x x x x +-+-=---,解得0x =,因为[)00,1∈,故可取0k = 当1x >时,1x -<-，由()()0f x f x --=得313ln 01x x x -+--=--,整理得4ln 01x x -=+ 设()()4ln 11g x x x x =-≥+,易知()g x 在[)1,+∞上单调递减又因为()()42ln 20,31ln 303g g =->=-<,所以()g x 在[)2,3上存在唯- -点, 从而原方程在[)2,3,上有且仅有一个实根.故可取2k =当非零实数0x 满足()()000f x f x --=时,0x -也满足()()000f x f x --=,即原方程的非零实根总是成对出现,所以在[)3,2--上也仅有一个实根,故可取3k =-. 综上所述,k 的值可以为3,0,2-．【点睛】本题考查对数型复合函数的最值，考查函数的零点问题．通过零点存在定理可确定函数零点所在区间．对分段函数一般需要分类讨论．。

湘教版必修第一册3.1.3简单的分段函数作业(2)(2)

【精品】3.1.3简单的分段函数作业练习一．单项选择1．函数y =lg x的定义域为（）A ．(2，+∞)B ．(1，2]C ．(0，2]D ．(1，+∞)2．下列各组函数中表示同一函数的是（）A ．，B ．，C ．， D ．，3．函数f (x） A ．[0，+∞) B ．[3，+∞)C ．D ．[0] 【题文】已知的定义域为，求函数的定义域，即求函数，的值域.4．已知函数则不等式的解集为（） A ． B ．C ．，D ．5．已知函数，若f (x )在(-∞，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(12，1]B ．(12，+∞)C ．[1，+∞）D ．[1，2]22()x x f x x +=()2g x x =+2()3f x x x =-2()3g t t t =-2()f x =()g x x =()f x =()g x x =()y f g x ⎡⎤=⎣⎦D ()y f x =()g x x D ∈22,0()1,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()f x x ≤[]1,3-(][),13,-∞-+∞[3-1](][),31,-∞-+∞22,1()(21)36,1x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩6．已知函数的定义域为，求的定义域，即令，求的取值范围，就是函数的定义域；7．下列函数f （x ）与g （x ）是相同函数的是（）A ．；g （x ）＝x ﹣1B ．；g （x ）＝x +1 C ．f （x ）＝lg （x +1）+lg （x ﹣1）；g （x ）＝lg （x 2﹣1） D ．f （x ）＝e x +1.e x ﹣1；g （x ）＝e 2x 8．设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．设集合，，给出下四个图形，其中能构成从集合到集合的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f (x )＝，在(0，a －5)上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[6，8]B ．[6，7]C ．(5，8]D ．(5，7]11．如图，将水注入下面四种容器中，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么容器的形状是（）()y f x =D ()y f g x ⎡⎤=⎣⎦()g x D ∈x ()y f g x ⎡⎤=⎣⎦()f x =21()1x f x x -=-()2,03,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩()()40f f -=()22f -=-x ()f x x={|02}M x x =≤≤{|02}N y y =≤≤M N 221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩A ．B ．C ．D ．12．下列对应是从集合 A 到集合 B 的函数的是（）A ．B ．C ．A={x|x 是三角形}，B={y|y 是圆}，每一个三角形对应它的内切圆D ．A={x|x 是圆}，B={y|y 是三角形}，每一个圆对应它的外切三角形13．如图一直角墙角，两边的长度足够长，P 处有一棵树与两墙的距离分别是am ．4 m ，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为S （单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（）:f A B →{}{}|,|0,10:A x x B y y f y x ==≥=＞{}{}2|,|00:,A x x B y y f y x =≥==＞:f :f 012a <<2m ()S f a=A ．B ．C ．D ．14．若定义在上的函数对任意的，均有，则称函数具有性质．现给出如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）．则上述函数中具有性质的函数有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．下列各组函数表示相等函数的是（）A ．与B ．与C ．与．与R ()f x ,a b ∈R ()()()f a b f a f b +≤+()f x P ()21f x x =-()2f x x =()sin f x x=()2xf x =P ()0f x x =()1g x =()21f x x =+()22x xg x x +=()2|1|f x x =-()g t =()()()0,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩()||g x x =参考答案与试题解析1．【答案】C 【解析】要使得函数有意义，则，解得. 即函数的定义域为.故选：C. 2．【答案】B【解析】A.的定义域为，的定义域为R ，故不是同一函数；B. 与定义域都为R ，且解析式相同，故是同一函数； C. 的定义域为，的定义域为R ，故不是同一函数；D.与解析式不同，故不是同一函数；故选：B 3．【答案】A 【解析】当时，令，解得或，当时，令，解得.画出和的图象如下图所示，由图可知的解集为.故选：A 4．【答案】D 【解析】因为函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（﹣∞，1），（1，+∞）上均单调递增，且﹣12+2a ×1≤（2a ﹣1）×1﹣3a +6，故有a ≥1，2a -1＞0， -1+2 a ×1≤(2a -1)×1-3a +6，解得1≤a ≤2．所以实数a 的取值范围是[1，2]．故选：D ． 5．【答案】C 【解析】0420x x >⎧⎨-≥⎩02x <≤(]0,222()x xf x x +={}|0x x ≠()2g x x =+2()3f x x x =-2()3g t t t =-2()f x ={}|0x x ≥()g x x=()f x x==()g x x =0x ≥22x x x -=0x =3x =0x <1xx =1x =-()f x y x =()f x x ≤[]1,3-，，函数的值域是.故选：C6．【答案】D 【解析】对于A ，对应关系不同，如f(-2)=3,g(-2)=-3，所以不是同一函数，对于B ，定义域不同，f(x)定义域（-∞，1）∪（1，+∞），g(x)定义域为R ，不是同一函数，对于C ，定义域不同，f(x)定义域（1，+∞），g(x)定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），不是同一函数，对于D ，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数. 故选：D . 7．【答案】C 【解析】由可得，解之可得，再由可得，解之可得，故，令可得，或，解之可得x ＝3，或x ＝﹣1，或x ＝﹣2 故选：C 8．【答案】D【解析】由函数的定义，集合中的每一个值，在集合中都有唯一确定的一个值与之对应，结合图象得出结论．详解：由函数的定义，集合中的每一个值，在中都有唯一确定的一个值与之对应.图象A 不满足条件，因为当时，集合中没有值与之对应；图象B 不满足条件，因为图象对应的范围是；图象C 不满足条件，因为对于集合中的每一个值，在集合中有233x +≥≥∴()f x =)+∞()()40f f -=164b c c -+=4b =()22f -=-422b c -+=-2c =()242,03,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩()f x x=2420x x x x ⎧++=⎨⎩30xx =⎧⎨>⎩{|02}M x x =≤≤x {|02}N y y =≤≤y {|02}M x x =≤≤x {|02}N y y =≤≤y 12x <≤N y x 12x -≤≤{|02}M x x =<≤x N2个值与之对应，不满足函数的定义；只有D 中的图象满足对于集合中的每一个值，在集合中都有唯一确定的一个值与之对应.故选：D 【点睛】本题考查了函数的定义，考查学生对函数概念的理解. 9．【答案】D 【解析】函数，画出函数的大致图象，如图所示：函数在上单调递减，由图象可知：，解得：，故实数的取值范围是：,.故选：. 10．【答案】A【解析】根据题意，利用特殊值分析，当时，它的纵坐标对应的值与容器容积的一半进行比较，从而即可排除一些选项，得到正确答案详解：解：由题意得，考虑当向高为的容器中注水为高的一半时，注水量与水深的函数关系，如图所示，此时注水量与容器容积关系是：容器的容积的一半，只有A 选项符合题意，y {|02}M x x =≤≤x {|02}N y y =≤≤y 221,1()43,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩()fx ()f x (0,5)a -∴052a <-≤57a <≤a (57]D 2Hh =H H V h V V <故选：A【点睛】此题考查函数的图像分析，注意分析题干中函数的图像的横纵轴，属于基础题 11．【答案】A【解析】根据函数的定义逐个分析可得答案. 详解：对于选项，符合函数的定义，故正确；对于选项，集合的元素0在集合中没有元素与之对应，故不正确；对于选项，因为集合不是数集，故正确；对于选项，因为集合不是数集，故不正确.故选：A . 【点睛】本题考查了函数的定义，属于基础题. 12．【答案】C【解析】为求矩形面积的最大值，可先将其面积表达出来，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．详解：解：设长为，则长为又因为要将点围在矩形内，则矩形的面积为，当时，当且仅当时，当时，A AB A B BC ,A B CD ,A B D ABCD S P ABCD AD x CD 16x -P ABCD 12a x ∴ABCD (16)x x -08a <8x =64S =812a <<(16)a a S =-64,08(16),812a S a a a <⎧=⎨-<<⎩分段画出函数图形可得其形状与接近故选：．【点睛】解决本题的关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式，属于基础题． 13．【答案】A 【解析】对（1），，，显然不成立，故（1）错误；对（2），令，则，，故（2）错误；对（3），，故（3）正确；对（4），，，，故（4）错误；故选：A.14．【答案】C 【解析】解：对于A 选项，函数的定义域为，的定义域为，故不相等；对于B 选项，函数的定义域为，的定义域为，故不相等；对于C 选项，与的定义域均为，且，故是相等函数；对于D 选项，函数的定义域为，的定义域为，故不相等；故选：CC C S S ()2()1f a b a b +=+-()()2()2f a f b a b +=+-()()()f a b f a f b +≤+3a b ==()(6)36f a b f +==()()2(3)2918f a f b f +=⨯=⨯=|sin()||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |a b a b a b a b a b +=⋅+⋅≤⋅+⋅|sin ||cos ||cos ||sin ||sin ||sin |a b a b a b =⋅+⋅≤+2a b ==4()216f a b +==22()()228f a f b +=+=()0f x x ={}0x x ≠()1g x =R ()22x xg x x +={}0x x ≠()21f x x =+R ()21f x x =-()g t =R ()21g t t ==-()()()00x x f x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩{}0x x ≠()g x x =R。

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解析式、分段函数、函数图像作业
题型一分段函数1．已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩，则
3[()]2f f f ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭的值为2．设函数23,0()(2),0
x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则(3)f -=_____
3．设(
)()121,1
x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()12f a =，则a =4.分段函数已知函数3,0,
()4,0.
x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩(1)画函数图像(2)求((1))f f -；(3)若0()2f x >,求0x 的取值范围.
题型二解析式
1.求下列函数的解析式
（1）已知2()f x x x =+，求(1)f x -的解析式
（2）若1)f x +=+
()f x 的解析式（3）如果1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1x x
-，则当x ≠0，1时，求()f x 的解析式（4）已知2112f x x x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，求()f x 的解析式2.求下列函数的解析式
（1）已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式；
（2）已知
()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式
（3）已知函数f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x，求()f x 的解析式．
（4）已知函数()f x 的定义域是一切非零实数，且满足13()24f x f x x ⎛⎫+=
⎪⎝⎭
．求()f x 的解析式．
3.已知函数()21f x x =-，2,0,(){1,0,x x g x x ≥=-<求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式．题型三函数图像
1.画出函数2)(x x f =的图像，并用变换的方法画出以下函数的图像。

（1）2)(2+=x x f （2）2)1()(-=x x f （3）2)2()(2
+-=x x f （4）32)(2+-=x x x f （5）542)(2
-+=x x x f 2.画出下列函数函数的图像。

（1）11
)(-=x x f （2）21)(+=x x f （3）32
1)(+-=x x f （4）3241)(--=x x f （5）231)(+-=x
x f 3.画函数12
x y x -=-的图像4.画下列函数的图像
（1）()3f x x =-（2）f（x）=|x 2﹣6x+8|（3）2
x
y x =+（4）223y x x =-++（5）1
2||
y x =-。