考研数学核心公式汇总

正次数的公因式的分式，称为最简分式（或既约分式）.
2.基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变，既有
A B

mA mB
（m≠0）.
分式的基本性质主要应用在分式的通分和约分上。
分式运算:
①加减运算：
a b

c d

ad bc bd
②乘除运算：
a b

c d

ac bd
a

a，a 0 a, a＜0
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值还是零。
绝对值的几何意义：表示一个实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
其中: x a 表示与原点的距离为a的点; x b a 表示与b点的距离为a。
二．绝对值的性质
1.对称性: a a ，即互为相反数的两个数绝对值相等。
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②因式定理：多项式 F x含有因式 x a ，即 F x被 x a 整除的充要条件是 F a 0（即 r=0）
三.分式及运算
A
1.定义：若 A、B 表示两个整式，且B≠0，B 中含有字母，则称 B 是分式。分子和分母没有
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MBA 大师郑州运营中心 更多资料请添加小助手微信号：MBA966666/MBA866666 最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。 10.公倍数与最小公倍数：几个自然数共有的倍数称为这几个自然数的公倍数；其中除 0 以 外最小的一个公倍数，称为这几个数的最小公倍数。 11.奇数：不能被 2 整除的整数。 12.偶数：能被 2 整除的整数，包括 0。 13.偶数奇数运算性质： 奇数±奇数=偶数， 奇数±偶数=奇数， 偶数±偶数=偶数； 奇数×奇数=奇数， 奇数× 偶数=偶数， 偶数×偶数=偶数。
总结：大于取两边，小于取中间
比与比例
一.比
a
两个数相除，又称为这两个数的比，即a：b= b
二.比例的基本性质
1.两个外项的积等于两个内项的积，即 a : b c : d ad : bc ； 2.比的前项后项同时乘或除以相同的数（除 0），比值不变； 3. a : b c : d b : a d : c a : c b : d c : a d : b 。 三.比例的基本定理
1.平底锅型： f x x a x b ，此种函数表达式，没有最大值，只有最小值。且在两个
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MBA 大师郑州运营中心 更多资料请添加小助手微信号：MBA966666/MBA866666 零点之间取得最小值 a b 。图像的表现为两头高，中间平，类似于平底锅。
2.等价性： a2 a , a 2 a2 a R .
3.自比性：
a
a
a
，进而推理可得
x x

x x

1，x＞0 1, x＜0
。
4.非负性： a 0 即任何实数a的绝对值非负。其他具有非负性的因素：平方数（或偶次乘
方），如a2，a4；开偶次根号， a , 4 a 。 5.同号异号性质： x y x y xy 0 ，
设n个数x1,x2,x3...,xn,称 x = n 为这n个数的算术平均值，简记为 x =
n
。
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二．几何平均值
n
n
设n个正整数x1,x2,x3...,xn，称xg=
x1x2...xn
根与系数的关系（韦达定理）：
x1

x2


b a
;
x1

x2

c a
利用韦达定理可以求出关于两个根的扩展式：
11
①： x1 x2
x1 x2 x1x2
1
1
x1 x2 2 2 x1x2
②： x12
x22
x1x2 2
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代数式
有理式 无理式
整式 分式
单项式 多项式
二.整式（单项式、多项式）
1.常用公式
平方差公式： a2 b2 a ba b 完全平方公式： a b2 a2 2ab b2
立方和与立方差公式： a3 b3 a b a2 ab b2
;
a b

c d

ad bc
③乘方、开方：
a b
; k
ak k
bk
a b
ka kb
④裂项运算：
1
nnk

1 k
1 1
n nk
方程与不等式
一.方程
1.一元一次方程、二元一次方程组
一元一次方程的形式是ax+b=0，其中a≠0，它的根为
x


b a
二元一次方程组的形式是
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算术与代数
一、实数的分类
正整数
正有理数
有理数
0
正分数 负整数
有限小数，无限循环小数
实数（R）
负有理数 负分数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
二. 数的概念和性质 1.自然数（N）：零和正整数统称为自然数。 2.整数（Z）：正整数、零、负整数，统称为整数。 3.分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数叫做分数。 4.百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“%”表示。 5.质数：大于 1 的正整数，如果除了 1 和自身之外，没有其他约数的数就称为质数（素 数）。 6.合数：一个正整数除了能被 1 和自身整除之外，还能被其他正整数整除，这样的正整数 就称为合数。 7.互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。 8.倍数与约数：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，称b为a的约数。 9.公约数与最大公约数：几个自然数公有的约数，称为这几个自然数的公约数；公约数中
2.多项式因式的分解 把一个多项式表示成几个整式之积的形式，叫作多项式的因式分解。在指定数集内因式分解时，通 常要求最后结果中的每一个因式均不能在该数集内继续分解。多项式因式分解常用方法如下： 方法一：提公因式法 方法二：公式法（乘法公式从右至左，即为因式分解公式） 方法三：求根法 若方程 a0 xn a1xn1 a2 xn2 ... an 0 有 n 个根 x1, x2 ,..., xn 则多项式
a1x a2 x

b1 y c1 0 b2 y c2 0
如果 a1b2 a2b1 0 则方程组有唯一解。
2.一元二次方程
一元二次方程的形式是 ax2 bx c 0a 0
判别式： b2 4ac
求根公式： x
b
b2 4ac 2a
③： x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2
3.二次函数图像与根的关系
二次函数的图像： y ax2 bx c a
x

b 2a
2 4acb2 4a
，其图像是以
x


b 2a
为对称轴，
,b 4acb2 2a 4a
a0 xn a1xn1 ... an a0 x x1 x x2 ...x xn
方法四：二次三项式的十字相乘法 方法五：分组分解法 方法六：待定系数法 3.余数定理和因式定理
①余数定理： F x a0 xn a1xn1 ... an ，则 F x除以一次因式 x a 所得的余数一定是 F a； 因为 F x x agx r ，令 x a ，必有 F a r .
x y x y xy 0 ，
x y＞ x y xy＜0 ，
x y ＜ x y xy＞0 。
三．三角不等式： a b ab a b
（其中：左边等号成立条件： ab＜0且 a＞b ； 右边等号成立条件： ab 0 ） 推论： a b a b a b ，此时，左边等号成立条件为 ab 0且 a＞b ；右边等号成立条 件为 ab 0 。 两个特殊绝对值模型
n
为这n个数的几何平均值，简记为xg=

i 1
xi
。
三．均值不等式
当x1,x2,x3...,xn为n个正数时，他们的算术平均值不小于几何平均值，即
x1x2x3...xn n
n
≥
x1x2...xn
，当且仅当x1=x2=x3=...=xn时，等号成立。
（注意此关系在求最值的应用！）
用上述不等式求函数最值时，必须注意以下三点，既“一正二定三相等”：
三.实数的运算
乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简）：
axa y

a x y
ax ；ay

a x y
； ab x

a xbx ；
a b
m

am bm
； ay
x a xy ；
am

1 am
n
；am
m an
；
n
a
m
n
am
np ；
a mp
一正——各项均为正；
二定——和或积为定值（有时候需通过“凑配法”凑出定值来）；
和定积最大，积定和最小
三相等——当且仅当各项相等时，取得上述最值；若各项不能都相等，则不能取得上述最值。
四．其他定理
1.若a＞0，b＞0，则
ab 2

ab ，当且仅当a=b时等号成立。
2.当
a

1 a

2
（a＞0），即对正数而言互为倒数的两个数之和不小于2，且当a=1时取得最小
值2.
五．方差和标准差
①方差 2 ：各个数据与算术平均值之差的平方的算术平均值.

2

1 n
n

i 1
xi

x
2
（ x 为这组数据的算术平均值）
②标准差 ：方差的算术平方根.

1 n
n

i 1
xi

x
2
.
代数式
一.代数式的分类
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三元完全平方和公式： a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 完全立方和公式： a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
a b2 a c2 b c2 2 a2 b2 c2 ab ac bc
2.Z 字型： f x x a x b ，此种函数表达式，既有最大值也有最小值，分别在零点的
两侧取得且两个最值为 a b 。图像的表现为两头平，中间斜。 四．基本不等式
适合不等式 x＜aa＞0的实数所有对应的就是全部与原点距离小于a的点， 即 x＜a a＜x＜aa＞0 ；同理可得 x＞a x＜ a或x＞aa＞0 。
1.合比定理：
a b

c d

ab b

cd d
2.分比定理：
a b

c d

ab b

cd d
3.合分比定理：
a b

c d

a mc b md
a
4.等比定理： b

c d

e f

a b

ace bd f
平均值：
一．算术平均值
n

i1
xi
x1 x2 x3... xn
n
am
a0
注意： a0 1a 0.
对数函数运算性质：
log10 x lg x （常用数）； loge x ln x （自然对数）； loga M N loga M loga N ;
loga
M N

log a
M
loga
N
Fra Baidu bibliotek
; loga
Mk

k loga
为顶点的抛物线.
＞0
( )= )
+ + (>
( ) = 的根
y X1 x2
有两相异实根
x1, x2 x1＜x2
( ) > 的解集
x x＜x1或x＞x2
M
； logak
M

1 k
log a
M
; log an
bn

log a
b；
log am
bn

n m
log a
b
log a
b logb
a
1 ； loga
b

logc b logc a
（a＞0，a≠1；c≠1；b＞0）
绝对值
一．绝对值定义 1. 实数a的绝对值定义为：
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