高中数学必修五复习

得：an 2 3 3n1 an 3n 2
四．数列的求和
数列求和，一是把一个未知的数列变成若干个已知的数 列，利用公式求和；二是把数列整理化简，使某些项相约、 相消，成为关于n的一个代数式。归纳起来，常用的方法有 如下几种。
1．裂项求和
2．分组求和
3．错位相减
4．倒序相加
练习1 等比数列{an}共2n＋1项， 首项a1＝1，所有奇数项的和等 于85，所有偶数项的和等于42，
则n＝______.
【解析】a1＋a3＋＋a2n＋1＝85， 则a3＋a5＋＋a2n＋1＝q(a2＋a4＋＋a2n ) ＝42q＝84，所以q＝2，
则S2n＋1＝
a1
1 q2n 1 q
1
＝22n＋1－1＝85＋42＝127，
则22n＋1＝128，则n＝3.
例
已知数列an 的前n项和Sn＝ n 2
2 当n为奇数时，n－1为偶数，
Tn＝(a1＋a3＋＋an )＋(22＋24＋＋2n－1)
4
1
4
n 1 2
＝[2＋4＋6＋＋(n＋1)]＋
1 4
＝
n
2
1
2
n
1
＋
4
(2n－1－1)
2
3
＝ n2 4n 3 4 (2n－1－1).
4
3
当n为偶数时，
Tn＝(a1＋a3＋＋an－1)＋(22＋24＋＋2n )
2
3n
.
1 求数列an 的通项公式；
2
若数列cn
满足cn＝2ann
源自文库
(n是奇数)， (n是偶数)
求数列cn 的前n项和Tn .
【解析】1因为Sn＝ n2
2
3n
，
所以an＝Sn－Sn－1＝ n2
2
3n
(n
1)2
2
3(n
1)
＝n＋1(n 2，n N*)．
又a1＝S1＝2适合上式，所以an＝n＋1(n N*)．
mnk p
p、q、r成等差
等差数列
等比数列
d an am nm
qnm an am
an am (n m)d
an amqnm
an am ak a p
a p、aq、ar成等差
anam aka p
a p、aq、ar成等比
Sn、S2n Sn、S3n S2n Sn、S2n Sn、S3n S2n
1 2
n
，求an
a2
a1
1 1
2
a3
a2
1 2 2
an
an1
1 n1
2
相加得an
a1
1 1 2
1 2 2
1 n1 2
例：在an中，a1 1，an 3an1 4(n 2，n N )，求an
解 设：an t （ 3 an1 t） 得：an 3an1 2t 令2t 4，解得t 2 (an 2) 3(an1 2) {an 2}是以3为公比,以a1 2为首项的等比数列
例1：已知{an }满足Sn 2n an(n N )，求an
解：Sn 2n an，S1 2 a1 Sn1 2(n 1) an1，a1 1
相减得：an1 2 an1 an
an1
1 2
an
1
(an1
2)
1 2
(an
2)
{an
2}是以1 为公比的等比数列 2
an
2
1 2n1
3．利用递推关系，构造新数列。
n
＝(2＋4＋＋n)＋ 41 42 1 4
＝
n 2
2
n
＋4
(2n－1－1)＝ n2
2n
4
(2n－1－1)
2
3
4
3
祝 同 学 们 学 习 进 步 ！
Sn
(a1
an )n 2
Sn
na1
n(n
1)d 2
Sn an2 bn
是关于n 的不含常 数项的二次函数
an a1qn1
an kan
底数a就是公比
Sn
a1(1 qn )，（q 1q
1）
Sn
a1 anq 1q
,(q
1)
Sn kan k
a 的n 次幂的系数与常 数项互为相反 数。
3．性质
解法二：
∵{an }是等差数列，设Sn An2 Bn 由a1 S1 13，S3 S11，代入得9AAB3B13121A 11B 解得A 1，B 14， Sn n2 14n
．(2010·福建理) 设等差数列{an}的前n项
和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则
当Sn取得最小值时，n等于( A )
例如：自然数列、奇偶数列、自然数平方数列、倒数数列、 幂数列、符号数列等。
2．利用前n项和与通项的关系求通项公式
an
S1 ( n Sn
1) Sn1
(n
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
也成等差
也成等比
若an、bn是等差数列， 若an、bn是等比数列，
则an k、kan、an bn 则kan、ank 、an bn
也是等差数列
也是等比数列
例 : 等差数列{an }中，a1 13，S3 S11，求Sn
解法一：由S3 S11，得a4 a5 a11 0， a4 a11 0，由a1 13，解得d 2 Sn n2 14n
①an an1 f (n)型
累加法
②an an1· f (n)型
累乘法
③an pan1 q( p 1，q 0)型
可设an t p(an1 t ) 求出t，可得{an t}为一等比数列 其公比为p，首项为a1 t
例：已知a1
an1 an
1，an1
1 n 2
an
高中数学(北师大版）必修5 第一章
数 列 复习
一知识结构
数列的概念 递推公式 通项公式
定义 通项公式
数
等差数列 性质
列
数列
前n项和公式
的
定义 通项公式
应
等比数列 性质
用
前n项和公式
数列求和
二．等差数列和等比数列
等差数列
等比数列
1．通项公式 特征
2．前 n 项和
特征
an a1 (n 1)d an kn b n 的系数k就是公差
A．6
B．7
C．8
D．9
例：在等比数列an 中，
若a3a5a7a9a11＝243，则
a92 a11
的值为
______
．
答案：3 点评：运用等比数列的性质求解等比数 列问题，是一个基础考点，是数列的重 点内容之一．
三．如何求数列的通项
１．归纳法： 对于数列中所给出的一些项，逐项分析项与项数n的关
系，由此归纳出一般的公式。 在使用这种方法时要经常用到一些基本数列的通项公式，