静力平衡

如图所示，自重不计的横梁的一端用绞链固定在墙壁洼的A 点，另一端B 用绳悬挂在墙壁上的C 点，当重为G 的物体由融在梁上的B 点处逐渐移至A 点的过程中，横梁始终保持静止。

问此过程中，A 点处绞链对横梁作用力F 的大小和CB 绳对横梁的拉力T 的大小是如何变化的?
如图，小圆环A 吊着一个重为1G 的砝码套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线其一端拴在小圆环A 上，另一端跨过固定在大圆环最高点B 的一个小滑轮后吊着一个重为2G 的砝码。

如果小环、滑轮、绳子的大小和质量以及摩擦都可以忽略不计，绳子又不可以伸长，求平衡时弦AB 所对的圆心角ϕ。

、
有一半径为R 的均匀圆柱，今在其内平行于轴凿一个半径为2
R 的孔，孔的中心1O 与圆柱的中心。

相距为2
R ，然后将此圆柱放在一小块木板上，慢慢抬高板的一端，要使圆柱在板上还能保持平衡状态，求板的最大倾角0θ是多少?已知圆柱与板间的静摩擦因数足够大，能保证圆柱在木板上的平衡不至由于发生滑动而被破坏。

在一倾角为α的粗糙斜面上，装有两个固定在斜面上的光滑滑轮，一轻绳绕过此两滑轮，绳两端分别系有一个物块A 和一个物块B ，置于斜面上，如图所示。

设两物块与斜面间的静摩擦因数均为()tan μεεα=<，绳子不与斜面接触，且不可伸长，求此系统能在斜面上稳定的条件。

已知A 的质量为M ，B 的质量为m 。

有一水平放置的半径为R 的圆柱形光滑槽面，其上放有两个半径均为r 的光滑圆柱体A 和B ，图为其截面图。

图中O 为圆柱面的圆心，A 、B 分别为两圆柱体的圆心，OQ 为竖直线。

已知A 、B 两圆柱分别重1G 和2G ，且3R r =。

求此系统平衡时，OA 线与OQ 线之间的夹角α?
6．如图所示，一锁链由2n 个相同的链环组成，各链环间光滑连接，链环两端挂在水平铁丝上，链环与铁丝间的静摩擦因数为μ。

试求链环处于临界平衡状态时，末端链环与竖直方向间的夹角θ=?
7．在钉入墙内的钉子上系一根绕在线团上的细线，线团靠墙悬挂如图所示。

线团轴的
半径为05 r cm =．
，线团侧板的半径为10 R cm =，线团侧板与墙面之间的静摩擦因数为0.1μ=。

求线团处于临界平衡时，悬线与墙面间的夹角α=?
8．如果转动锥子，就容易刺穿孔眼，这是什么原因?为什么从墙里拔出钉子时，若将钉子转动，则能比较容易地拔出?
9．重为G 、半径为R 的实心球，放在竖直墙和板AB 之间，板AB 可绕A 端自由转动，其B 端用水平绳BC 拉住，如图所示。

若已知AB 板长为l ，板与墙面间夹角为θ，且板的重量可以忽略不计。

求
(1)绳的拉力为多大?
(2) θ角为何值时，绳的拉力最小?
10·有一轻木板，其自重可忽略不计，A 端用绞链固定在竖直墙面上，另一端用水平绳拉住，板上依次放着三个圆柱体，其半径均为r ，重力均为G ，如图所示。

木板与墙面的夹角为θ，一切摩擦均忽略不计，求水平绳对板的拉力为多大?
v
11·有两个质量分别为1m 和2m 的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环上，两环以细线相连，如图所示。

已知细线所对的圆心角为α，求系统平衡时细线与竖直方向间所夹的角θ为多少?
12．底边长a 、高度为b 的长方体均匀物块置于斜面上。

斜面和物块之间的静摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ。

当θ足够小时，物块静止在斜面上，如图所示。

如果将倾角逐渐增大，当日取某个临界值0θ时，物块或将开始滑动，或将翻倒。

试分别求出发生滑动和翻倒时的0θ，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒。

13．半径为R 的均匀半球体，其重为G ，重心与球心相距为38
R 。

半球放在水平面上，球面与水平面相接触，今在半球的平面上放一小物体，小物体重为
8G ，与半球平面间的静摩擦因数为0.2。

求小物体静止在半球平面上时与球心的距离。

14．A 、B 为两个很长的圆柱形滚筒，半径均为10 r cm =，两筒的轴在同一水平面上且
互相平行，它们各自绕自己的轴沿图示方向以角速度30 rad
s ω=／．转动(如图所示)。

两筒的中心轴间相距为25 d cm =，两筒上搁着一个较短的圆柱体C ，C 的半径为15 R cm =，质量为9 m kg =。

今用一个与A 、B 轴平行的力F 拉着C 以速度0 4 v m s =／匀速运动。

若c 与A 、B 之间的滑动摩擦因数都是
μ=。

求 (1)F =?
(2)若0v 增大，则F 的大小如何变化?
15．有一长为l 、重为0W 的均匀杆AB ，A 端顶在竖直的粗糙墙上，杆端与墙面之间的静摩擦因数为μ；B 端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁上的C 点。

杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ。

如图所示。

(1)求杆能保持平衡时μ与θ应满足的条件；
(2)杆保持平衡时，杆上有一点P 存在，若在A 点与P 点间任一点悬挂一重物，则当重物重量W 足够大时总可以使平衡破坏；而在P 点与B 点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。

求这一P 点与A 点的距离。

16。

两个质量为M 、半径为R 的相同圆球A 和B ，用两根长为()2l l R =的绳悬挂于O 点，在两球上另有一个质量为()m m nM =、半径为1()2
r r R =的圆球C ，如图所示。

已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角θ与n 的关系。

17．如图所示，一架均匀梯子AB ，质量为M ，长10AB m =，靠在光滑墙壁上，A 、B 两端到墙角O 的距离分别为8 AO m =、 6 BO m =，已知梯子与水平地面间的静摩擦因数
为05μ=．。

试回答下列问题： (1)地面对梯子的作用力为多大?
(2)一个质量为5M 的人沿此梯子向上爬，他能沿梯子上升多远而不致使梯子倾倒?
18．内壁为半径r 的光滑半球形碗，放在水平桌面上，一均匀棒斜靠在碗口边缘，一端置于碗内，一端伸出碗外，已知其在碗内部分的长度为a ，求：
(1)棒的全长为多少?
(2)对于一定的r 来说，a 为何值时本题才有解?
19．求均匀半圆弧的重心位置，已知半圆弧的半径为R 。

20．求均匀半球壳的重心位置。

21．一薄壁圆柱形烧杯，半径为r ，质量为m ，重心位于中心线上，离杯底的距离为H 。

今将水慢慢注入杯中，问烧杯连同杯内的水的共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少?为什么?已知水的密度为ρ
22．有一个半径为a 、高为4a 、重为W 的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之后将半径为r 、重为G 的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图所示。

当22a r a <<时，试求使圆筒不翻倒的条件。

23．用三根均匀、长为2a 、重为G 的刚性杆做成一个三角架，上端光滑地绞接，下端
支在粗糙的水平地面上形成一个等边三角形，杆与水平地面间的静摩擦因数为μ。

在此三角架上固定一架重为W 的照相机，欲使此三角架能保持平衡，试确定在水平地面上所形成的等边三角形的边长的最大值。

24．一个半径为r 的均匀球靠在竖直墙边，球与墙面之间和球与水平地面之间的静摩擦因数都是μ，球重为G 。

如图所示，若在球上加一个竖直向下的力F 。

问力F 的作用线离球心O 的水平距离s 为多大时．才能使球作逆时针方向的转动？
25．图中，AOB 是一把等臂夹子，轴O 处的摩擦可忽略不计，若想在A 、B 处用力去夹住一个圆形物体C ，则能否夹住与哪些因素有关?如果这一装置能夹住C ，这些因素应满足什么条件(不考虑圆柱形物体所受的重力)?
如图所示，有一固定的、半径为a 、内壁光滑的半球形碗(碗口处于水平位置)，O 为球心。

碗内搁置一质量为m 、边长为a 的等边三角形均匀薄板ABC 。

板的顶点A 位于碗内最低点，碗的最低点处对A 有某种约束使顶点A 不能滑动(板只能绕A 点转动)。

(1)当三角形薄板达到平衡时，求碗对顶点A 、B 、c 的作用力的大小各为多少。

(2)当板处于上述平衡状态时，若解除对A 点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能。

例1一半径为R 的刚性球固定在水平桌面上，有一个质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长2a π，2
R a =，绳圈的弹性系数为k (绳圈伸长s 时，绳中弹性张力为ks )。

将绳圈从球
的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使之保持水平并最后停留在某个静力平衡位置，设此
时绳圈的长度为2b π，b =，考虑重力，忽略摩擦，求绳圈的弹性系数k =?(用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度)
如图，三根长度均为l 的轻杆用绞链连接并固定在水平天花板上的A 、B 两点，AB 两点相距为2l 。

今在绞链C 上悬挂一个质量为m 的重物，要使CD 杆保持水平，则在D 点上应施的最小力为多大?
例3 如图所示，在一个置于水平面上的表面光滑的半径为R 的半圆柱面上，置有一条长为R π的均匀链条，链条的质量为m ，其两端刚好分别与两侧的水平面相接触，求此链中张力的最大值为多少?
例4如图所示，屋架由同一竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为l 、2…9，其中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。

各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力2
P ，点1承受有竖直向下的压力P ，求绞接点3和4间杆的内力。

例5如图所示，一人对一均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直，要将杆从地板上无
滑动地慢慢抬到竖直位置，试求杆与地板之间的静摩擦因数至少应为多大?
例6 图表示一根细棒，上端A处用绞链与天花板相连，下端用绞链与另一细棒相连，两棒长度相等。

两棒限制在图示平面内运动，且不计绞链处的摩擦。

当在其C端加一个适当的外力(在纸面中表示为棒所在的竖直平面内)时，可使两棒平衡在图示位置处，即两棒间夹角
为90o且c端处在A的正下方。

试说明，不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?
例7如图，一个均匀长方体，厚度为危，静止地放在半圆柱的顶面上，长方体底面恰呈水平状态。

若半圆柱的半径为R，且长除体与半圆柱间的静摩擦因数足够大，试讨论长方体的平衡属何种性质的平衡?
由于热胀冷缩，盖在房顶上的均匀铅板有缓慢下滑的现象。

设铅板长
01
l m
，房顶的坡度
=30o ϕ，铅板与屋架间的动摩擦因数07μ=．
，铅板的线膨胀系数为51310K α--=⨯。

忽略屋架自身的热胀冷缩，请估算在昼夜温差出一10℃的情况下，一个月内铅板下滑了多少?
例9图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、
B 、
C 、
D 处，桌腿竖立在水平粗糙刚性地面上。

已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。

现于桌面中心O 至角A 的连线0A 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令OP c OA
=，求桌面对桌腿1的压力1F 。

例10有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面上，如图所示。

开始时，木板与墙面间夹角为15o ，在此夹角中有一正圆柱形木棍，截面半径为r ，在木板
外侧加一外力F 使其保持平衡，木棍的端面上画有一条竖直向上的箭头，已知木棍与墙面之间和木棍与板之间的静摩擦因数分别为1 1.00μ=和
20.577μ=≈，若极缓慢地减小所加的力F ，使夹角慢慢张开，木棍下落。

问当夹角张到60o 时，木棍端面上的箭头指向什么方向?附三角函数表如下
例11 如图所示，半径分别为1r 和2r 的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P 。

设所有接触处的静摩擦因数均为μ。

为使在力P 的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问μ应满足何条件?
例12四个半径均为R 的光滑球，静止于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰在同一水平面上。

现将一个相同的第五个球放在前述四球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少?
例13如图，质量为m 的n(n>3)个均匀圆柱体，依次搁置在倾角为30o 的斜面上，并以铅垂设置的挡板挡住，挡板长l ，其下端以绞链固定，挡板可绕其下端自由转动。

圆柱体半径均为R ，各圆柱体与斜面间和圆柱体与挡板间的静摩擦因数均为13
μ=，而各圆柱体之问的摩擦则可忽略不计。

今以水平力P 作用于挡板的上端而维持此系统的平衡，试求P 的最大值为多少?
例14重为G的圆柱位于可动的水平平板与固定的倾角为α的斜面之间，如图所示，圆柱体
μ，圆柱体与斜面间的动摩擦因数和静摩擦因与水平板间的动摩擦因数和静摩擦因数均为
1
μ。

为使水平板能向左匀速运动，至少要对它施以多大的力?不考虑圆柱以外的物体数均为
2
施于水平板的阻力。