角的相关计算和证明(讲义)
角和余角补角-讲义(教师版)
角和余角补角一、课堂目标1.掌握角的定义和表示，会比较角的大小．2.理解角平分线的定义，能正确完成角度的相关计算和换算．3.理解余角补角的定义与性质，能正确完成余角补角的相关计算．【备注】【目标解读】a.关联知识：本讲属于初中数学——几何初步这个模块，学好本讲知识将在后面的几何知识学习中帮助学生完成角的计算或数量关系的确定；本讲知识在阶段性考试中属于必考内容.b.本讲解读：本讲重点内容是角的相关计算，请教师通过【经典例题】的讲解来展示角度计算的思路和完整的解答过程，并在后面的【题目练习】中重点关注学生解题过程的书写；本讲的难点内容是：余角补角的性质，请教师先讲解余角补角性质、再展示直接运用性质完成计算或确定数量关系.c.能力素养：主要培养学生的几何直观能力和计算能力.二、知识讲解1. 角的概念及运算角的概念从静的角度认识角从动的角度认识角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．角的表示方法角的表示三个大写字母一个大写字母数字小写希腊字母或【备注】【教学建议】提醒学生注意：①用三个大写字母表示时，表示顶点的字母必须写在中间．其他两个字母可以调换位置，如图也可记为，但不能写成或等．②用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③当在一个顶点处有两个或两个以上的角时，其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示．④在角的内部靠近顶点处画弧线，用单独的一个数字来表示．⑤用同一个数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角．经典例题1A.就是B.可以用表示C.和是同一个角D.和不是同一个角A 选项：B 选项：【解析】如图所示，下列说法中正确的是（ ）．【答案】B 是单独一个角，不明确，故错误；，故正确；C 选项：D 选项：【标注】与是两个不同的角，故错误；与是同一个角，故错误．故选 B .【知识点】角的表示方法思路梳理知识点：1、2、3、题目练习1A.与表示同一个角B.表示的是C.也可用表示D.图中共有三个角，，【标注】如图所示，下列表示角的方法错误的是（）．【答案】C【知识点】角的表示方法角的换算与大小比较以度、分、秒为基本单位的角的度量值，叫做角度值．①把一个周角等分，每一份就是度的角，记作．②把的角等分，每一份就是分的角，记作．③把的角等分，每一份就是秒的角，记作．，，．，，．周角，平角．【注意】由大化小乘以进率，由小化大除以进率经典例题2A.B. C.D.【解析】【标注】若，，，则有（ ）．【答案】C ∵，，∴，∵，∴，∴．故选．【知识点】角的大小比较思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习21.【标注】【答案】【能力】运算能力【知识点】角度换算A.一定大于B.一定小于C.一定等于D.可能大于、等于或小于2.已知是直线上一点（点在点、之间），是一条射线，则与的大小关系是（）．。
《圆周角》 讲义
《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
需要注意的是，角的顶点必须在圆上，角的两边必须与圆相交。
为了更好地理解圆周角的定义，我们来看几个例子。
比如，图中∠AOB 不是圆周角，因为顶点 O 在圆心而不在圆上；而∠ACB 是圆周角，因为顶点 C 在圆上，且两边 CA、CB 都与圆相交。
二、圆周角定理圆周角定理是我们研究圆周角的重要依据，其内容为：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
为了证明这个定理，我们可以分三种情况进行讨论。
第一种情况，当圆心O 在圆周角∠BAC 的一边上时，如图1 所示。
因为 OA=OC，所以∠A=∠C。
又因为圆心角∠BOC 是∠A 的两倍，所以∠A ＝ 1/2∠BOC。
第二种情况，当圆心 O 在圆周角∠BAC 的内部时，如图 2 所示。
连接 AO 并延长交圆于点 D。
由第一种情况可知：∠BAD ＝ 1/2∠BOD，∠CAD ＝ 1/2∠COD。
所以∠BAC ＝ 1/2(∠BOD ＋∠COD) ＝ 1/2∠BOC。
第三种情况，当圆心 O 在圆周角∠BAC 的外部时，如图 3 所示。
连接 AO 并延长交圆于点 E。
同样由第一种情况可知：∠BAE ＝ 1/2∠BOE，∠CAE ＝1/2∠COE。
所以∠BAC ＝ 1/2(∠BOE ∠COE) ＝ 1/2∠BOC。
综上，无论哪种情况，圆周角定理都成立。
三、圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角也相等。
这是因为它们都等于所对弧所对圆心角的一半。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
半圆所对的圆心角是 180°，所以半圆所对的圆周角是 90°。
反之，如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦是直径。
四、圆周角的应用圆周角在解决与圆相关的几何问题中有着广泛的应用。
2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】
三角函数一、知识点 (一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边，终边称为角的三要素。
角可以是任意大小的。
(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。
集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。
2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
任一已知角α的弧度数的绝对值rl =α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ； rad 01745.01801≈π= 。
3、特殊角的三角函数值0 3045 60 90 120 135 150 1800 6π4π 3π 2π 32π 43π 65ππ sin 0 2122 23 1 232221 0 cos 1 232221 0 21- 22- 23- 1- tan 0 331 3 ⨯3- 1- 33- 0210 225 240 270 300 315 330 36067π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2sin21- 22- 23- 1- 23- 22- 21- 04、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅nπk 2 第一象限角平分线36045⋅+nπ+πk 24 x 轴负半轴 360180⋅+n π+πk 2 第二象限角平分线 360135⋅+nπ+πk 243 x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线 360225⋅+nπ+πk 245 y 轴正半轴 36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+nπ+πk 247 y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223 第一、三象限角平分线 18045⋅+n π+πk 4y 轴 18090⋅+nπ+πk 2 第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43 坐标轴 90⋅n 2πk 象限角平分线 9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。
四年级下册数学奥数讲义-角的分类和角的计算 含答案
角 角，既可以用静止的眼光来观察，也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形，称为角．角也是几何学的基本图形之一，与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题，类似于解与线段相关的问题，常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．例题【例1】如图是一个3× 3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 ．思路点拨 除∠3＝∠5＝∠7＝45°外，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律，关键是对图形进行恰当的处理．【例2】 如图．A 、O 、B 在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是( )．A ．21∠2一∠lB ．21∠2一23∠1 C ．21（∠2一∠l ） D ．（∠2+∠1）思路点拨 ∠1的余角表示为90°一∠1，化简这个代数式，直至与选择项相符为止．注：概念是数学的基础与出发点，几何的学习贯彻着丰富的概念，为掌握重要的几何概念，应注意以下几点：(1)重视概念的图化，即用田来反映出概念，做到图意相通．(2)图文互译，由图说出概念，由概念的文字叙述画出图，做到会说、会写、会画．(3)注意概念判定与性质在解题中的双重作用．【例3】 已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，求证∠3=21 (∠l 一∠2)．思路点拨 依据互补、互余的概念得到含∠l 、∠2、∠3的两个等式，盯住所要达到的目的，恰当处理两个等式．31【例4】 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE=21∠EOC ，∠DOE= 72°，求∠EOC 的度数．思路点拨 设∠AOB=x 度，∠BOC= y 度，建立x 、y 的方程组，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【例5】(1)如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分之∠BOC ，求∠MON 的度数．(2) 如果(1)中∠AOB=α，其他条件不求，求∠MON 的度数．(3) 如果(1)中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不求，求∠MON 的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．思路点拨 本例层层设问，由易到难，从特殊入手，观察归纳，发现一般规律，并运用类比的方法(线段与角相关概念类比)提出问题，是一个从模仿到创造的过程，根据条件，结合图形寻找图形中各种数量之间的关系是解这类问题的常用方法．注：互余、互补的概念在角的计算与证明中占有重要地位，由这两个概念得到的两个等式，是几何问题代数化的桥梁，方程(组)的应用，可以简洁、清晰地表示出几何量之间的数量关系。
角的计算方法与技巧
角的计算方法与技巧角是平面几何中非常重要的概念，它是由两条射线共同端点所构成的图形。
在实际生活和数学领域中，角的计算方法和技巧是非常重要的，它们被广泛应用在各种问题的解决中。
本文将从基本概念开始，以及角的计算方法和技巧展开讨论。
一、基本概念1.角的定义角是由平面上两条射线共同端点构成的图形，其中这两条射线被称为角的边，它们的共同端点被称为角的顶点。
2.角的记号通常情况下，角的记号是以角顶点为中心标记一个点，然后用这个点的上面加一个角的字母。
3.角的分类按照角的大小，角可以被分为三类：锐角、直角和钝角。
4.角的度量角的度量通常用角度来表示，1个直角等于90度，1个圆周等于360度。
二、角的计算方法1.角的度量单位角的度量单位有度、弧度和梯度。
度是常用的角的度量单位，弧度是物理学和数学上常用的角的单位，梯度则常用于工程和建筑领域。
2.角的度数制在度数制下，角的度数是用箭头表示的角对应的圆周弧长所占圆的半径的百分比。
3.角的弧度制在弧度制下，角的度量是指这个角所对应的圆周上的弧所占整个圆周的比例。
1个完整的圆周等于2π弧度。
4.角的换算在不同的度量单位之间，可以相互换算。
例如，1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。
5.角的运算在数学运算中，角可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，两个角的和等于它们的对应的圆周弧的和所对应的角。
6.角的三角函数三角函数是用角度作为自变量的函数，常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在解决角的计算问题中起着重要的作用。
三、角的计算技巧1.利用三角函数在实际问题中，有时候可以利用三角函数来解决角的计算问题。
例如，在三角形中，可以通过三角函数关系来求解各个角的大小。
2.利用相似三角形相似三角形在角度和边长的比例上具有一定的特点，可以通过相似三角形的性质来计算角的大小。
3.利用角的平分线和高度在一些几何形状中，可以利用角的平分线和高度的性质来计算角的大小，例如直角三角形中的角度。
《角的和差》 讲义
《角的和差》讲义一、角的基本概念在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
角通常用三个大写英文字母表示，例如∠AOB，其中 O 为顶点，A 和B 分别为角的两条边。
此外，还可以用一个大写英文字母来表示角，但要注意的是，当顶点处有多个角时，不能用这种方法。
角也可以用数字来表示，如∠1、∠2 等，或者用一个希腊字母来表示，如∠α、∠β 等。
角的度量单位通常为度、分、秒。
1 度等于60 分，1 分等于60 秒。
二、角的大小比较角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。
张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
比较角的大小有以下几种方法：1、度量法：使用量角器测量出角的度数，然后比较度数的大小。
2、叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。
三、角的和差1、角的和如果有两个角，∠A 和∠B，它们的和就是把两个角的度数相加，即∠A ＋∠B。
例如，∠A ＝ 30°，∠B ＝ 40°，则∠A ＋∠B ＝ 70°2、角的差角的差是指用较大角的度数减去较小角的度数。
例如，∠C ＝ 60°，∠D ＝ 20°，则∠C ∠D ＝ 40°3、角平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠BOC ＝ 1/2 ∠AOB四、角的和差的实际应用1、在三角形中三角形的内角和为 180°。
如果已知三角形中的两个角的度数，就可以通过角的和差求出第三个角的度数。
例如，在△ABC 中，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 60°，则∠C ＝ 180° 50°60°＝ 70°2、在时钟问题中时钟的表盘被分为 12 个大格，每个大格的角度为 30°（360°÷12 ＝30°）。
线与角的相关计算与证明 (讲义及答案)
线与角的相关计算与证明（讲义）➢课前预习1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________．2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是_______________________________________________________________________________________________________．ACB3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做这个角的平分线．4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是_____________________________________________________________________________________________________．ACO B➢知识点睛几何题的处理思路：①读题标注；②走通思路；③条理表达．当角平分线出现时，为了计算方便，通常采用________的方式表达．➢ 精讲精练1. 如图，已知线段AB 和CD 的公共部分1134BD AB CD ==，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10 cm ，求AB ，CD 的长．F E D CB A2. 如图，同一直线上有A ，B ，C ，D 四点，已知2=3DB AD ，5=2AC CB ，CD =4 cm ，求AB 的长．DC B A3. 如图，已知线段AB =6，C 是AB 延长线上一点，D ，E 分别是AC ，BC 的中点．（1）若BC =4，则DE =__________； （2）若BC =8，则DE =__________；（3）通过以上计算，你能发现AB 与DE 之间的数量关系吗？并说明理由．E D CB A4. 如图，B 是线段AD 上一动点，沿A →D 以2 cm/s 的速度运动，C 是线段BD的中点，AD =10 cm ，设点B 的运动时间为t 秒． （1）当t =2时： ①AB =__________cm ； ②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．B DA C5. 如图，点O ，A ，B 在同一直线上，OC 平分∠AOD ，OE 平分∠FOB ，∠COF =∠DOE =90°，求∠AOD 的度数．FED C BAO6. 如图，点O 在直线AB 上，∠COA =90°，∠DOE =90°，若∠COE =15∠BOD ，求∠COE ，∠BOD ，∠AOE 的度数．OED CBA7. 已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC =40°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线． （1）求∠MON 的大小；（2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小是否发生改变？为什么？CBA OM N8. 如图，∠AOC 比∠BOC 小30°，∠AOC =50°，OD 平分∠AOB ．（1）求∠DOC 的度数；（2）若去掉条件∠AOC =50°，∠DOC 的度数求得出来吗？若求得出来，是多少？DCBAO9. 如图，已知∠MON =150°，∠AOB =90°，OC 平分∠MOB ．（1）若∠AOC =35°，则∠BOC =__________°， ∠NOB =__________°；（2）若∠NOB =10°，则∠BOC =__________°， ∠AOC =__________°；（3）若∠AOC =α，∠NOB =β，请直接写出α与β之间的数量关系．ABCMNO10. 如图1，∠AOC 与∠BOD 都是直角，∠BOC =50°．（1）∠AOB =_______，∠DOC =_______；（2）若∠BOC 的具体度数不稳定，其他条件不变，∠AOB 和∠DOC 大小关系是∠AOB _______∠DOC ；（3）试猜想∠AOD 与∠COB 在数量上是什么关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗？（4）当∠BOD 绕点O 旋转到图2位置时，∠AOD 与∠COB 在数量上是什么关系？请直接写出．图1DCB A图2O DCBA11. 如图，OC 是∠AOB 内一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线．（1）如图1，当∠AOB =80°时，∠DOE 的度数为_____°；（2）如图2，当射线OC 在∠AOB 内绕点O 旋转时，∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC 在∠AOB 外如图3所示位置时，（2）中三个角：∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由； （4）当射线OC 在∠AOB 外如图4所示位置时，∠BOE ， ∠EOD ，∠DOA 之间的数量关系是________________．EABDO图1CE ABD O图2CEABDO图3CEA BD O图4C【参考答案】 ➢ 课前预习1. 中点2. AC =BC ，BC =AC12AC AB =，12BC AB =AB =2AC ，AB =2BC 3. 射线，射线4. ∠AOC =∠BOC ，∠BOC =∠AOC ，∠AOC =12∠AOB ，∠BOC =12∠AOB∠AOB =2∠AOC ，∠AOB =2∠BOC➢ 知识点睛1. 设元➢ 精讲精练1. AB 的长为12；CD 的长为16；过程略2. AB 的长为3；过程略3. （1）3（2）3（3）12DE AB =；过程略 4. （1）①4；②CD 的长度为3 cm ；（2）EC 的长度不变，为5 cm ，理由略． 5. ∠AOD 的度数为60°6. ∠COE 的度数为30°；∠BOD 的度数为150°；∠AOE 的度数为120°；过程略7. （1）∠MON =45°（2）不发生改变，证明略8. （1）∠DOC 的度数为15°；过程略（2）∠DOC 的度数为15°；过程略 9. （1）55；40（2）70；20（3）1=152αβ+︒10.（1）40°；40°（2）=（3）∠AOD+∠BOC=180°；过程略（4）∠AOD+∠BOC=180°11.（1）40°；（2）∠EOD=∠BOE+∠DOA；（3）（2）中的结论不成立，∠EOD=∠DOA-∠BOE；（4）∠EOD=∠BOE+∠DOA．。
第11讲 角的相关概念和大小比较-2021-2022学年七年级数学上册讲义(机构专用,北师大版)
教师讲义A B CD （4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。
度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=21∠ABC ；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 8、角的计算。
四、典型例题【例1】在下列说法中，正确的是（ ）①两条射线组成的图形叫做角；①角的大小与边的长短无关；①角的两边可以一样长，也可以一长一短；①角的两边是两条射线．A 、①①B 、①①C 、①①D 、①①【例2】如图所示，下列说法错误的是（ ）A 、①DAO 就是①DACB 、①COB 就是①OC 、①2就是①OBCD 、①CDB 就是①1【例3】下列说法正确的是（ ）A 、平角的始边与终边在一条直线上B 、一条射线是一个周角C 、两条射线组成的图形叫做角D 、两边在一直线上的角是平角【例4】下列对角的表示方法理解错误的是（ ）A 、角可用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，每边上的点写在两旁B 、任何角都可以用一个字母表示C 、记角时可靠近顶点处加上弧线，注上数字表示D 、记角时可靠近顶点处加上弧线，注上希腊字母来表示【例5】如图，钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（ ）A 、30°B 、60°C 、75°D 、90°【例6】下图中表示①ABC 的图是（ ）A 、B 、C 、D 、【例7】如图所示，OC ，OD 分别是①AOB ，①AOC 的平分线，且①COD=25°，则①AOB 为（ ）A 、100°B 、120°C 、135°D 、150°【例8】已知点P 和①MAN ，现有四个等式：①①PAM=①NAP ；①①PAN=12①MAN ；①①MAP=①MAN ；①①MAN=2①MAP ，其中一定能推出AP是角平分线的等式有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【例9】现在的时间是9时20分，此时钟面上时针与分针夹角的度数是_________度．【例10】如图所示，直线AB，CD交于点O，OB平分①DOE，若①BOE=40°，则①COE=_________度．【例11】（1）18°15′=_________度，（2）18.15°=_________度_________分_________秒．【例12】分针1分钟转动了_________度的角，15分钟时针转了_________个小格为_________度．【例13】如图所示，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分①AOB ，OE 在①BOC 内，①BOE=12①EOC ，①DOE=70°，则①EOC= _________ 度．【例14】如图所示2×2正方形格中，连接AB ，AC ，AD ，则①1+①2+①3的度数 _________度．【例15】如图所示，已知OE 是①AOC 的平分线，OD 是①BOC 的平分线．（1）若①AOC=120°，①BOC=β，求①DOE ； _________ ；（2）若①AOC=α，①BOC=β（α＞β），求①BOE ． _________ ．【例16】如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则①ABC 等于多少_________度．【例17】如图所示，已知①AOB=90°，①AOC是锐角，ON平分①AOC，OM平分①BOC，求①MON的度数．五、课堂练习1、如图，下列说法：（1）①ECG和①C是同一个角；（2）①OGF和①OGB是同一个角；（3）①DOF和①EOG是同一个角；（4）①ABC和①ACB不是同一个角，其中正确的说法有（）A、1个B、2个C、3个D、①4个2、如图，图中小于180°的角共有（）A、7个B、9个C、8个D、10个3、如图是一块手表，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是（）A、60°B、80°C、120°D、150°4、下列说法正确的个数有（）（1）直线是平角，（2）射线是周角，（3）平角是一条直线，（4）周角是一条直线．A、0个B、1个C、2个D、3个5、下列语句正确的是（）A、由两条射线组成的图形叫做角B、如图，①A就是①BACC、在①BAC的边AB延长线上取一点DD、对一个角的表示没有要求，可任意书定6、下图中，能用①AOB，①O，①1三种方法表示同一个角的图形是（）A、B、C、D、7、已知①α=18°18′，①β=18.18°，①γ=18.3°，下列结论正确的是（）A、①α=①βB、①α＜①βC、①α=①γD、①β＞①γ8、如图所示，如果①AOD＞①BOC，那么下列说法正确的是（）A、①COD＞①AOBB、①AOB＞①CODC、①COD=①AOBD、①AOB与①COD的大小关系不能确定9、如图所示，OC是①AOB平分线，OD平分①AOC，且①AOB=60°，则①COD为（）A、15°B、30°C、45°D、20°10、如图所示，下列说法中错误的是（）A、图（1）的方位角是南偏西20°B、图（2）的方位角是西偏北60°C、图（3）的方位角是北偏东45°D、图（4）的方位角是南偏西45°11、时钟共12格，每格度数为_________度，3时时针所转角度为_________度．12、如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若①AOD=145°，则①BOC=_________度．13、如图，O是直线AB上的一点，OD是①COA的平分线，OE是①BOC的平分线，则①AOD+①BOE=_________度．14、已知①AOB=3①BOC，若①BOC=30°，则①AOC=_________度．15、计算下列各题：（1）153°19′42″+26°40′28″；（2）90°3″﹣57°21′44″；16、如图所示，OE平分①BOC，OD平分①AOC，①BOE=20°，①AOD=40°，求①DOE的度数．17、在下列说法中，正确的个数是_________个．①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；①钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；①钟表上十二点整时，时针和分针形成的角是周角；①钟表上差﹣刻六点时，时针和分针形成的角是直角；①钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角六、课堂小结学生总结,老师补充七、课后作业1、如图，下列说法正确的是（）A、①1就是①ABCB、①2就是①ADBC、以B为顶点的角有三个，它们是①1，①2，①ABCD、①ADB也可表示为①D2、下列说法中正确的是（）A、角是两条射线组成的图形B、延长一个角的两边C、周角是一条射线D、反向延长射线OM得到一个平角3、下列关于角的说法正确的是（）A、两条射线组成的图形叫做角B、延长一个角的两边C、角的两边是射线，所以角不可以度量D、角的大小与这个角的两边长短无关4、从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（）A 、28B 、21C 、15D 、65、下列各角中，是钝角的是（ ）A 、14周角B 、23周角 C 、23平角 D 、14平角 6、下列关于平角、周角的说法正确的是（ ）A 、平角是一条直线B 、周角是一条射线C 、反向延长射线OA ，就形成一个平角D 、两个锐角的和不一定小于平角 7、在①AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在（ ）A 、①AOB ＞①AOC B 、①AOB ＞①BOC C 、①BOC ＞①AOCD 、①AOC ＞①BOC8、用一幅三角板可以画出的角共有（ ）A 、三个锐角，一个直角，两个钝角，一个平角B 、四个锐角，一个直角，三个钝角，一个平角C 、五个锐角，一个直角，五个钝角，一个平角D 、五个锐角，一个直角，四个钝角，一个平角9、如图所示，①AOB 是直角，①COD 也是直角，①AOC=α，则①BOD 等于（ ）A 、90°+αB 、α+180°C 、180°﹣αD 、90°﹣α 10、如图所示，下列说法错误的是（ ）A 、OA 的方向是北偏西22°B 、OB 方向是西南方向C 、OC 的方向是南偏东60°D 、OD 的方向是北偏东60°11、轮船航行到B 处测得小岛A 的方向为北偏东32°，那么从A 观测到B 处的方向为（ ）A、东偏南68°B、南偏西32°C、南偏西68°D、东偏南32°12、一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成_________次平角，_________次周角．13、若①AOB=60°，OC平分①AOB，则①AOC=_________度．14、如图所示，①AOB：①BOC：①COD：①DOA=1：2：3：x，若①COD=108°，则①AOB=_________度，①BOC= _________度，①DOA=_________度．15、如图所示，①AOC=90°，①AOB=①COD，则①BOD=_________度．19、已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使①AOB=50°，①BOC=10°，求①AOC的度数．20、如图所示，①AOB=70°，①COD=80°，求①AOD﹣①BOC的度数．21、如图所示，BD平分①ABC，BE分①ABC成2：5的两部分，①DBE=27°，求①ABC的度数．22、如图所示，OB，OC是①AOD内任意两条射线，OM平分①AOB，ON平分①COD，若①MON=α，①BOC=β，试用α，β表示①AOD．23、如图所示，OM平分①AOB，ON平分①COD，①MON=90°，①BOC=26°，求①AOD的度数．附答案典型例题例1：B例2：B例3：A例4：B例5：C 例6：C例7：A 例8：A例9：解：①“4”至“9”的夹角为30°×5=150°，时针偏离“9”的度数为30°×13=10°，①时针与分针的夹角应为150°+10°=160°．例10：解：利用角平分线的定义和平角的定义可求：=175°16′30″﹣7°﹣55′+12°38′30″=187°54′60″﹣7°55′=180°18.解：（1）①分针每分钟走1小格，时针每分钟走112小格， ①1点20分时，时针与分针的夹角是[20﹣（5+112×20）]×360°60=80°， 2点15分时，时针与分针的夹角是[15﹣（10+112×15）]×360°60=22.5°． （2）从1点15分到1点35分，时钟的分针共走了20分钟， ①分针转过的角度是（35﹣15）×360°60=120°， 时针转过的角度是0.5×20=10度．19.解：有两种情况：第一种情况：如答图①所示：①AOC=①AOB+①BOC=50°+10°=60°① ①第二种情况：如答图①所示：①AOC=①AOB ﹣①BOC=50°﹣10°=40°答：①AOC 的度数为60°或40度．20.解：①AOD ﹣①BOC=①AOB+①COD=80°+70°=150°． 故填150°．21.解：设①ABC=α，则①ABD=a 2，①ABE=27α①①DBE=①ABD ﹣①ABE。
小学四年级 三角形： 三角形的内角和 讲义
三角形第3节三角形的内角和【知识梳理】1.三角形的内角和外角三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形，这三条线段就是三角形的三条边，在三角形内部三角形的两条边所成的角是三角形的内角，三角形一边的延长线与另一边所成的角是三角形的外角，三角形有三个内角三个外角。
2.三角形内角和三角形内角和180°。
得到这个结论可以用两种方法（1）方法一：量一量用量角器测量三个内角并求和，重复多次即可发现三角形的内角和180°，测量时有时候会出现误差，不能肯定三角形的内角和就是180°，因此还需要用实验的方法来加以验证。
（2）方法二：剪一剪将三角形的三个内角剪下来拼一拼，若能够拼成一个平角，则证明三角形的内角和为180°，在运用拼剪法时，原三角形中的每个内角一定要标上记号，以防拼时用错角。
通过拼剪可以发现三角形的三个内角之和正好是一个平角，因为平角是180°，进而验证了三角形内角和为180°。
3.三角形内角的范围三角形有三个内角，因为三角形的内角和为180°，所以三角形的内角的范围在0°到180°之间，即大于0°小于180°。
三角按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，其中，锐角三角形的三个内角都是锐角，直角三角形有一个直角两个锐角，钝角三角形有一个钝角，两个锐角。
因此，三角形中至多有一个直角或一个钝角，至少有两个锐角。
【诊断自测】一、选择题1．一个三角形的两个内角和小于第三个内角，这个三角形是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．等腰2．三角形的三个内角（）A．至少有两个锐角 B．至少有一个直角 C．至多有两个钝角 D．至少有一个钝角3．一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．何类三角形不能确定二、填空题1.三角形一个内角的度数是108°，这个三角形是（）三角形2.一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角形是（）三角形。
《角的度量》 讲义
《角的度量》讲义一、角的基本概念在数学的广阔天地里，角是一个非常重要的概念。
当两条射线从同一个端点出发，就形成了角。
这个共同的端点叫做角的顶点，两条射线则是角的两条边。
角的大小与边的长短没有关系，而是取决于两条边张开的程度。
想象一下，把扇子慢慢打开，角就逐渐变大；再慢慢合上，角又逐渐变小。
为了更方便地描述和研究角，我们给角进行了分类。
小于 90 度的角叫做锐角，直角是正好 90 度的角，而大于 90 度小于 180 度的角称为钝角。
平角是 180 度的角，就好像一条直线，但要注意，这可不是真正的直线哦，因为它还是有顶点和两条边的。
周角则是 360 度，转了整整一圈。
二、角的度量单位那怎么来准确地度量角的大小呢？这就需要用到角的度量单位。
我们常用的角的度量单位是度，用符号“°”来表示。
把一个圆平均分成 360 份，每一份所对的角的大小就是 1 度。
除了度，还有分和秒。
1 度等于 60 分，1 分等于 60 秒。
比如说，一个角是 30 度 25 分 30 秒，就可以写成30°25′30″。
在实际度量角的时候，我们会用到量角器。
量角器是一个半圆形的工具，上面标有刻度，从 0 度到 180 度。
三、用量角器度量角的方法首先，把量角器的中心和角的顶点重合。
然后，让量角器的 0 刻度线与角的一条边重合。
接下来，看角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
这里要特别注意，读数的时候要分清内圈刻度和外圈刻度。
如果角的一边对应的 0 刻度线在内圈，就读内圈刻度；如果在外圈，就读外圈刻度。
四、角的大小比较当我们有多个角需要比较大小时，可以用量角器分别量出它们的度数，度数大的角就大。
但如果没有量角器，也可以通过观察来进行简单的比较。
比如，两个锐角，开口越大的角越大；钝角一定比锐角大。
五、角的和与差角之间也可以进行加减运算。
比如，已知一个角是 30 度，另一个角是 50 度，那么它们的和就是80 度。
角的计算与证明竞赛讲义
角的计算与证明一、角的概念1．角的概念几何图形角的概念几何表示①角的静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．① ∠ABC ； ② ∠B ； ② ∠1②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．2．角的分类我们在初中阶段接触到的角有锐角、直角、钝角、平角、周角．通常情况下，我们默认角的范围在 0°～180°之间． 3．方位角：是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角． 例1．（1）下列关于角的说法正确的个数是（ ） ①由两条射线组成的图形叫做角；②角的边越长，角越大；③角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关； ④角的两边是两条射线⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍 ⑥角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个（2）下列4个图形中，能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一角的图形是（ ）（3）已知βα，都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算)(61βα+的结果依次为28°，48°，88°，60°．其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁1ABCA O1 BA ．B ． O1BA 1AOC BC ．D ．OBDA 1（4）有四人在同一地点观察同一建筑物时所报出的方位角分别如下，其中表述正确的是（ ）A ．西偏南20°B ．北偏西110°C ．南偏西70°D ．东偏南160°练习巩固1．判断题：（1）一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角． （ ） （2）一个钝角减去一个锐角，其差必为一个直角． （ ） （3）平角是一条直线． （ ） 2．如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50°． （1）若∠AOC = ∠AOB ，则OC 的方向是 ; （2）OD 是OB 的反向延长线，OD 的方向是 ; （3）∠BOD 可看作是OB 绕点O 逆时针方向至OD ，作∠BOD 的平分线OE ，并用方位角表示OE 的方向是 ．二、角度的单位换算4．角的度量单位与换算： 角的度量单位：度、分、秒 角的换算：1° = 60′ 1′ = 60″ 例2．角度的运算 （1）单位换算① 3.62° = ο ′ ′′ ② 25ο12′ = ο（2）计算① 78° - 47°34′56″ ② 25.5° ÷ 4练习巩固3．计算①=ο25.25 ο′ ②34.8° = ο ′ ③48°59′ + 57°38′ ④ 12°34′ × 5北A15°B西50° OC 东D南三、时钟上的角度问题5．时钟上的角度问题：6．角度的计算例4．过直线MN 上一点引射线OA 和OB ，使OA 、OB 在MN 同侧，已知AOB MOA ∠=∠2，BON ∠比AOB ∠小ο12，求这三个角的度数．例5．如图，111OA A ∠是一个平角，=∠-∠=∠-∠23341223OA A OA A OA A OA A =∠-∠=9101011OA A OA A Λ2°．求1011OA A ∠的度数．例6．如图，已知OB 、OC 、OD 为锐角∠AOE 内的三条射线． （1）图中共有多少个角？（2）若OB 、OC 、OD 为∠AOE 的四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE 的度数；（3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和．AB C D EOA 2A 3A 4A 5...A 10A 11A 1O练习巩固4．如图，AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE = 60°，则∠AOC 的度数是 ．5．如图，将一幅三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ，则DOB AOC ∠+∠的度数为 ．6．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，∠COE 是直角，OF 平分∠AOE ，∠COF = 34°， 则∠BOD 为 ．7．如图，BD 平分∠ABC ，BE 分∠ABC 分2:5两部分，∠DBE = 21°，则∠ABC 的度数为 ．8．如图，是一个3×3方格，试求∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠9的度数．ABEDC1 472 5 8369ABC DOABCOD第6题第5题CAOE B DFEC AO BD 第7题五、角的平分线7．角的平分线几何图形定义 数学语言从一个角顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．∠AOM=∠BOM=12∠AOB例7．如图，已知∠AOB = 90°，OM ，ON 分别平分∠BOC 和∠AOC ， 若∠AOC = 40°，则∠MON 的度数为 ； 若∠AOC = α，则∠MON 的度数为 ； 若∠BOC = β，则∠MON 的度数为 ；由（1）（2）（3）的结果，你发现了什么规律，请写出结论，并说明理由．例8．已知：如图所示，∠AOB 被分成::2:3:4AOC COD DOB ∠∠∠=，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠DOB ，且90MON ∠=︒，求∠AOB 的度数．练习巩固9．已知∠AOB = 50°，OC 为∠AOB 内一射线，且∠BOC = 30°，则∠AOC = °． 10．已知∠AOB = 50°，∠BOC = 30°，则∠AOC = °．AMO BBMO A N CBNDC M AO11．如图，已知90,30AOB BOC ∠=︒∠=︒（1）OM 是∠AOB 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线，则∠MON 的度数为 ．（2）OM 是∠AOB 的角平分线，ON 是∠AOC 的角平分线，则∠MON 的度数为 ．（3）OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线，则∠MON 的度数为 ．拓展训练1．以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使4:5:=∠∠BOC AOC ．若=∠AOB 15°，求AOC ∠与BOC ∠的度数．2．求证：过点O 任意作7条直线，那以O 为顶点的角中必有一个小于26°．AOCN B M AOB CMNAOCBM N3．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC = 120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方． （1）将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ．问：此时直线ON 是否平分∠AOC ？请说明理由．（2）将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ，则t 的值为 （直接写出结果）． （3）将图1中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，求∠AOM - ∠NOC 的度数．4．如图1，已知∠AOB = 80°，∠COD = 40°，OM 平分∠BOD ，ON 平分∠AOC ． （1）将图1中的∠COD 绕O 点逆时针旋转，使射线OC 与射线OA 重合（∠AOC = 0°，ON 与OA 重合，如图2）其它条件不变，请直接写出∠MON 的度数；CAM ONBCMOBNCN OBAM 图1 图2 图3图1ACBND O图2ADBMOM（2）请将图2中∠COD 绕O 点逆时针旋转α度，其它条件不变，①οο10040<<α，请完成图3，并求∠MON 的度数；②οο180140<<α，请完成图4，并求∠MON 的度数．5．（1）现有一个19°的“模板”（如图所示），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对于（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．图3AOB图4AOB19°课后练习1．单位换算（1）57.32︒ = ° ′ ″ （2）0.25° = ′ = ″ 2．单位换算（1）2700″ = ′ = ° （2）17︒14'24″ = ° 3．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．135°4．已知：如图，O 是直线AB 上一点，∠AOC =∠BOD ，射线OE 平分∠BOC ，∠EOD = 42︒， 则∠EOC= ．5．将一副三角板放在同一平面，使直角顶点重合于点O ．（1）如图1，若∠AOB = 145°，求∠DOC 的度数．你发现∠AOB 与∠DOC 存在怎样的数量关系？用式子直接表示出来： ．（2）如图2，当△AOC 与△BOD 不重叠时，（1）中∠AOB 与∠DOC 关系式是否成立，请简要说明理由．6．已知∠AOB = α，过O 任作一射线OC ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，如图， （1）当OC 在∠AOB 内部时，试探寻∠MON 与α的关系；（2）当OC 在∠AOB 外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由．O A BCDEOAMCNBBAC第3题 DCAO B图1CDAOB图27．如图，是一个4×4的方格，（1）求图中∠ 1 + ∠2 + ∠3 + ∠ 4 + … + ∠16的和． （2）求∠1 - ∠2 + ∠3 - ∠4 + … + ∠15 - ∠16．8．如图，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且②AOB = 100︒，OF 平分∠BOC ，∠AOE = ∠DOE ，∠EOF = 140︒，求∠COD 度数．9．已知ο40=∠AOB ，向O 点引射线OC ，若AOC ∠:COB ∠= 2:3，求OC 与AOB ∠的平分线所成角的度数．10．已知将一副三角板（直角三角板OAB 和直角三角板OCD ，∠AOB = 90°，∠COD = 30°）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上．将直角三角板OCD 绕点O 逆时针方向转动，变化摆放如图位置（1）如图1，当点O 、A 、C 在同一条直线上时，∠BOD 的度数是 ；如图2，若要OB 恰好平分∠COD ，则∠AOC 的度数是 ．1234567891011 121314 15 16OBFOAEC DO ACBDOABDC图1 图2（2）如图3，当三角板OCD 摆放在∠AOB 内部时，作射线OM 平分∠AOC ，射线ON 平分∠BOD ，如果三角板OCD 在∠AOB 内绕点O 任意转动，∠MON 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．11．已知：如图，OB 、OC 分别为定角∠AOD 内的两条动直线．（1）当OB 、OC 运动到如图的位置时，110AOC BOD ∠+∠=︒，50AOB COD ∠+∠=︒，求∠AOD ；（2）在（1）的条件下，射线OM 、ON 分别为∠AOB 、∠COD 的平分线，当∠COB 绕着O 点旋转时，下列结论：AOM DON ∠-∠的值不变；∠MON 的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．12．如图1，射线OC 、OD 在∠AOB 的内部，且∠AOB = 150°，∠COD = 30°，射线OM 、ON 分别平分∠AOD 、∠BOC ． （1）求∠MON 的大小，并说明理由；（2）如图2，若∠AOC = 15°，将∠COD 绕点O 以每秒x °的速度逆时针旋转10秒钟，此时 ∠AOM : ∠BON = 7 : 11，如图3所示，求x 的值．NBDC M OANBDM C AO BND C M OA图1 图2 图3OA BMNCD图3DCB AO。
六年级数学角的运算与证明
六年级数学角的运算与证明角的概念在数学中十分重要。
六年级学生需要学习角的运算与证明，掌握角的基本运算法则和证明方法。
本文将介绍角的定义、角的运算法则以及角的证明方法，帮助六年级学生更好地理解和掌握这一知识。
一、角的定义角是由两条射线共同起源于一个点而形成的图形。
角的起始点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两边。
角可以用大写字母来表示，如∠ABC。
在图中，∠ABC表示由射线AB和射线BC所形成的角。
二、角的运算法则1. 角的比较在比较两个角的大小时，可以通过比较两个角的度数来进行。
通常，我们认为度数较大的角更大。
2. 角的加减两个角的和等于它们对应边的和。
例如，若∠ABC和∠CBD是两个角，那么∠ABC + ∠CBD = ∠ABD。
3. 角的乘除两个角的乘积等于它们对应边的乘积。
例如，若∠ABC和∠CBD是两个角，那么∠ABC ×∠CBD = ∠ABD。
4. 角的互补和补角两个角的和为直角（90°）时，它们互为补角。
例如，若∠ABC + ∠CBD = 90°，则∠ABC与∠CBD互为补角。
两个角的和为180°时，它们互为互补角。
例如，若∠ABC + ∠CBD = 180°，则∠ABC与∠CBD互为互补角。
5. 角的平分线若一条直线将一个角分成两个相等的角，那么这条直线称为该角的平分线。
三、角的证明方法在数学证明中，角的证明常常采用反证法、等腰三角形、全等三角形等方法。
1. 反证法当我们要证明某个结论时，可以先假设该结论不成立，然后通过一系列推理和论证，得出矛盾的结论，从而证明原先的假设是错误的，进而证明该结论是正确的。
2. 等腰三角形若一条边上的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
在证明角相等的问题中，我们可以利用等腰三角形的性质来进行推导。
3. 全等三角形若两个三角形的对应边和对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形。
在证明角相等的问题中，我们可以利用全等三角形的性质来进行推导。
《角的度量》讲义
《角的度量》讲义同学们，今天咱们要学习一个特别有趣的内容，那就是角的度量。
大家都在四年级啦，已经学过不少数学知识，像数的加减法、乘除法这些，现在咱们要进入一个全新的几何小实践的领域啦。
一、什么是角1. 生活中的角同学们，角在我们生活中可太常见啦。
你们看，咱们教室的墙角，那就是一个角。
还有书的角，三角尺的角，到处都是角呢。
我给大家讲个事儿啊，有一次我去放风筝，风筝的骨架就是由好多角组成的。
我发现风筝飞起来的时候，风一吹，风筝的形状会变，但是那些角还是在那。
这就说明角是一种很稳定的存在。
角啊，就是由两条有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点就叫做角的顶点，这两条射线就叫做角的边。
就像我们的三角尺，每个角都有一个顶点和两条边。
2. 角的大小那角有没有大小呢？当然有啦。
大家想象一下，我们把三角尺的一个角慢慢变大或者变小，这就是角的大小在变化。
但是角的大小和什么有关呢？可不是边的长短哦。
我再给大家举个例子，就像我们用两根小棍，不管这两根小棍多长或者多短，只要它们张开的程度一样，那这个角就是一样大的。
角的大小只和两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
二、角的度量单位1. 度的概念那我们怎么知道角到底有多大呢？这就需要一个度量单位啦，这个单位就是“度”，用符号“°”来表示。
这个度就像是我们量身高用的厘米一样，是专门用来量角的大小的。
那这个度是怎么来的呢？其实是把一个圆平均分成360份，每一份所对的角的大小就是1度。
这就像把一个大蛋糕平均分成360小块，每一小块对应的角就是1度。
2. 特殊的角在角里面，还有一些特殊的角呢。
比如说直角，直角就是90°的角。
大家看三角尺上，就有一个直角。
那直角有什么特别的呢？直角就像是一个标准，很多时候我们都用直角来判断其他角的大小。
还有平角，平角是180°的角，就像一条直线，但是它又和直线不一样，因为它有一个顶点。
周角是360°的角，就像一个圆一样。
《圆周角》 讲义
《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
需要注意的是，圆周角必须满足两个条件：一是顶点在圆上；二是角的两边都和圆相交。
例如，在圆 O 中，∠AOB 是圆心角，而∠ACB 就是圆周角。
二、圆周角的性质1、同弧或等弧所对的圆周角相等同一条弧所对的圆周角有无数个，但它们的度数都相等。
比如在圆O 中，弧 AB 所对的圆周角∠ACB、∠ADB 等度数相等。
2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角半圆所对的圆周角∠ACB ＝ 90°，因为半圆的圆心角是 180°，所以同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即 90°。
3、圆内接四边形的对角互补如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，圆内接四边形的对角互补。
例如，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，那么∠A ＋∠C ＝ 180°，∠B ＋∠D ＝ 180°。
三、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明：假设圆心为 O，圆周角为∠ACB，圆心角为∠AOB。
连接 CO 并延长交圆于点 D。
因为 OA ＝ OC，所以∠A ＝∠ACO。
同理，∠B ＝∠BCO。
所以∠AOB ＝∠A ＋∠B ＝ 2∠ACB，即∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
四、圆周角定理的推论1、同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
五、圆周角的应用1、求角度在解决与圆有关的角度问题时，常常需要运用圆周角的性质和定理。
例如，已知圆 O 中，弦 AB 所对的圆周角为 40°，求圆心角的度数。
因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以圆心角为 80°。
2、证明直角在几何证明中，如果条件中涉及到直径，往往可以考虑利用直径所对的圆周角是直角这一性质来证明直角。
(完整word版)三角函数及差和倍角公式讲义
教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：高一 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目:数学 学科教师：课 题 三角函数和差公式和倍角公式授课日期及时段教学目的1、学习并掌握三角函数的和差公式的推导过程；2、理解并掌握倍角公式的推导过程及其应用;3、能灵活利用和差公式进行分析求解问题.教学内容一、上次作业检查与讲解；二、学习要求及方法的培养：三、知识点分析、讲解与训练：一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:(1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。
如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）三角函数名互化（切割化弦），(3）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
(4）三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。
角的相关计算和证明(讲义及答案)
角的相关计算和证明（讲义）课前预习背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的外角等于______________________________．知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．F ED CBA2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．EDBAG FEDCBA第2题图 第3题图3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．GF E DCBAG FEDCBA第4题图 第5题图5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDCBA7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E BA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 如图，直线AD 分别与直线BF ，EG 相交于点C ，D ．若∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．FEDCBAE DCA10.如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）∵CP平分∠ACE （_____________________）∴∠ACE=______=_______ （_____________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE =∠ABC+∠A （_____________________）∴_____=_____+∠A （_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴___________________（_____________________）∴β=______+_______（_____________________）∴2β=2α+2∠P（_____________________）∴∠A=2∠P （_____________________）11.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求证：1902D A∠=︒+∠．AB CDCBA【参考答案】课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．（2）相等；相等；相等．（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 精讲精练 1. 20° 2. 40° 3.25°4. 65°，70°5. 125°6. 60°7. 证明：如图，21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90°（已知） ∴∠1=∠2（同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 8. 解：如图，E D C BA在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC （已知） ∴∠BAE =12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（等式的性质）9.解：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B （已知）∴∠ACF=∠D（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）在△FEG中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）∴∠EFG =180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （已知）∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）∵CP平分∠ACE （已知）∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）∴∠PCE=∠PBC+∠P （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴β=α+∠P （等量代换）∴2β=2α+2∠P（等式的性质）∴∠A=2∠P （等式的性质）11.证明：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠DBC=2α（角平分线的定义）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠ACB=2∠DCB=2β（角平分线的定义）∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形的内角和等于180°）∴2α+2β+∠A=180° （等量代换）∴1902∠Aαβ++=︒（等式的性质）∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）∴α+β+∠D=180°（等量代换）∴1902D A∠=︒+∠（等式的性质）。
《角》 讲义
《角》讲义一、角的定义在数学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
我们可以想象一下，比如一个钟面，时针和分针从一个固定的点出发，分别向不同的方向延伸，它们之间所形成的区域就是一个角。
角的大小与边的长短无关，而是取决于两条边张开的程度。
这就好比扇子，扇子张开得越大，角就越大；扇子张开得越小，角就越小。
二、角的表示方法角通常有以下几种表示方法：1、用三个大写字母表示，比如∠AOB，其中 O 是顶点，A 和 B 是角的两条边上的任意两点，且顶点字母必须写在中间。
2、用一个大写字母表示，比如∠A，但要注意的是，当顶点处有多个角时，不能用这种方法，否则会产生混淆。
3、用一个数字表示，比如∠1。
4、用一个希腊字母表示，比如∠α。
三、角的度量为了准确地测量角的大小，我们引入了度作为角的度量单位。
将一个圆平均分成 360 等份，每一份所对的角的大小就是 1 度，记作 1°。
除了度，还有分和秒的概念。
1 度等于 60 分，1 分等于 60 秒。
在实际测量中，我们会使用量角器来测量角的度数。
使用量角器时，要将量角器的中心与角的顶点重合，0 刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对应的刻度就是角的度数。
四、角的分类根据角的度数大小，角可以分为以下几类：1、锐角：大于 0°小于 90°的角。
2、直角：等于 90°的角。
3、钝角：大于 90°小于 180°的角。
4、平角：等于 180°的角。
5、周角：等于 360°的角。
我们可以通过日常生活中的一些例子来理解这些角。
比如，锐角就像一个很窄的通道；直角就像一个直角的墙角；钝角就像一把打开得比较大的扇子；平角就像一条笔直的直线；周角就像一个完整的圆。
五、角的运算角的运算包括角的加法和减法。
当两个角相加时，度数相加即可。
例如，一个角是 30°，另一个角是 40°，那么它们的和就是 70°。
数学讲义：和角公式
和角公式一、基本题 ：【1】试求sin23︒ cos112︒ - sin292︒ sin67︒ = 。
【解答】22 【详解】原式 = - sin23︒ cos68︒ + sin68︒ cos23︒ = sin(68︒-23︒ ) = sin45︒ =22 【2】化简sin100。
sin(－160。
)＋cos200。
cos(－280。
)得(A)－1 (B) 2 (C)－21(D)－2 (E)21。
[解答]：(C)【详解】：sin100。
sin(－160。
)＋cos200。
cos(－280。
)＝sin80。
(－sin20。
)＋(－cos20。
)cos80。
＝－(cos20。
cos80。
＋sin20。
sin80。
)＝－cos(80。
－20。
)＝－cos60。
＝－21【3】设α，β均为锐角，若cos α＝71，cos(α＋β)＝－1411，则cos β＝ 。
[解答]：21【详解】：∵ cosα＝71且α为锐角，∴ sin α＝734……∵ cos(α＋β)＝－1411且α、β为锐角βα+⇒第二象限1435)sin(=+⇒βα 令cos β＝[]αβααβααβαsin )sin(cos )cos()(cos +++=-+＝7341435711411⋅+⋅- ＝21【4】设0＜α＜2π＜β＜π，cos α＝257，cos β＝－53，则：(1) sin(α＋β)＝ 。
(2) α＋β＝ 。
[解答]：(1)21(2)43π【详解】：因0＜α＜2π，cos α＝257251sin =⇒α；因2π＜β＜π，cos β＝－5354sin =⇒βsin(α＋β)＝215425753251sin cos cos sin =⋅+-⋅=+βαβα sin(α＋β)＝4321πβα=+⇒【5】设α，β，γ为△ABC 的三内角，若sin α＝135，cos β＝－54，则cos γ＝ ， 而a ：b ：c ＝ 。
[解答]：6563；25：39：16 【详解】：(1)∵ α，β，γ为△ABC 的三内角⇒∴ α＋β＋γ＝π⇒γ＝π－(α＋β) ∴ cos γ＝cos[π－(α＋β)]＝－cos(α＋β)＝－(cos αcos β－sin αsin β)∵ sin α＝135，cos β＝－54⇒∴ cos α＝1312，sin β＝53故cos γ＝－[53 135)54( 1312．－－．]＝656365156548＝＋(2)∵ cos γ＝6563 ∴ sin γ＝6516；又sin α＝135，sin β＝53∴ 由正弦定理a ：b ：c ＝sin α：sin β：sin γ＝651653 135：：＝25：39：16二、进阶题 ：【1】设sin α + sin β + sin γ = 0，cos α + cos β + cos γ = 0，则cos(α - β) + cos(β - γ) + cos(γ - α)之值为 。
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角的相关计算和证明（讲义）➢ 课前预习背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的外角等于______________________________．➢ 知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．➢ 精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．F ED CBA2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．EDCBAG FEDCBA第2题图 第3题图3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．GF E DCBAG FEDCBA第4题图 第5题图5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDBA7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．1O E BA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 如图，直线AD 分别与直线BF ，EG 相交于点C ，D ．若∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．FEDCBAE DCA10.如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）∵CP平分∠ACE （_____________________）∴∠ACE=______=_______ （_____________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE =∠ABC+∠A （_____________________）∴_____=_____+∠A （_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴___________________（_____________________）∴β=______+_______（_____________________）∴2β=2α+2∠P（_____________________）∴∠A=2∠P （_____________________）11.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求证：1902D A∠=︒+∠．AB CDCBA【参考答案】➢课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．（2）相等；相等；相等．（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．➢知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． ➢ 精讲精练 1. 20° 2. 40° 3.25°4. 65°，70°5. 125°6. 60°7. 证明：如图，21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90°（已知） ∴∠1=∠2（同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 8. 解：如图，EDC BA在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC （已知） ∴∠BAE =12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（等式的性质）9.解：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B （已知）∴∠ACF=∠D（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）在△FEG中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）∴∠EFG =180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （已知）∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）∵CP平分∠ACE （已知）∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）∴∠PCE =∠PBC +∠P （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴β=α+∠P （等量代换）∴2β=2α+2∠P （等式的性质） ∴∠A =2∠P （等式的性质） 11. 证明：如图，设∠DBC =α，∠DCB =β∵BD 平分∠ABC （已知）∴∠ABC =2∠DBC =2α（角平分线的定义） ∵CD 平分∠ACB （已知）∴∠ACB =2∠DCB =2β（角平分线的定义）∵∠ABC +∠ACB +∠A =180°（三角形的内角和等于180°） ∴2α+2β+∠A =180° （等量代换）∴1902∠A αβ++=︒（等式的性质）∵∠DBC +∠DCB +∠D =180°（三角形的内角和等于180°） ∴α+β+∠D =180°（等量代换）∴1902D A ∠=︒+∠（等式的性质）角的相关计算和证明（随堂测试）1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =70°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠FDE 的度数是______．EF D C2. 已知：如图，CD ∥AB ，∠DCB =70°，∠CBF =20°，∠F =130°．求证：EF ∥AB ． 证明：如图，FEDC BA【参考答案】1. 20°2. 证明：如图，FEDC BA。