山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中2015届高三第二次四校联考数学(理)试题 Word版含答案

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山西省四校联考答案

山西省四校联考答案【篇一：山西省2015届高三第三次四校联考数学(理)试卷带答案】=txt>数学试题（理）命题：临汾一中康杰中学长治二中忻州一中（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）1. 已知集合a?{x|x2?4,x?r},b?{x|x?4,x?z},则a?b? a.(0,2)b.[0,2]c. {0,1,2}d. {0,2}2?4i（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 1?ia.(3,1)b.(?1,3)c.(3,?1)d.(2,4)2. 复数z?3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 a.? b.8316?c.8? d.16? 34. 等比数列{an}的前n项和为sn，若an?0,q?1， a.31 b. 36c. 42d.48a3?a5?20,a2a6?64，则s5??x?2y?0?5. 设z?x?y，其中实数x,y满足?x?y?0，若z的最大为6，则z的最小值为?0?y?k?a.?3b.?2c.?1d.06. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每一名的不同分派方法种数为a.150b.180c.200d.280 7. 执行如图的程序框图，则输出s的值为a. 2016 b. 2 c.8. 若(x?6个班至少去1d.21xx)n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于a.3b.4c.5d.69. 已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为把函数f(x)的图象沿x轴向左平移?的等差数列，2?个单位，得到函数g(x)的图象.关于函数g(x)，下列说法正确的是 6 ???a. 在[,]上是增函数b. 其图象关于直线x??对称424?2c. 函数g(x)是奇函数d. 当x?[,?]时，函数g(x)的值域是[?2,1]63- 1 -2xsin(?6x)10. 函数y?的图象大致为 x4?111. 在正三棱锥s?abc中，m是sc的中点，且am?sb,底面边长ab?则正三棱锥s?abc的外接球的表面积为a. 6?b.12?c.32?d.36??x2y222212. 过曲线c1:2?2?1(a?0,b?0)的左焦点f1作曲线c2:x?y?a的切线，设切点为m，延长abf1m交曲线c3:y2?2px(p?0)于点n，其中c1、c3有一个共同的焦点，若mf1?mn，则曲线c1的离心率为11d.12第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知a?(1,?2),a?b?(0,2)，则|b|?____________.214. 设随机变量x～n(3,?)，若p(x?m)?0.3，则p(x?6?m)?____________.?1?x2,x?1115. 函数f(x)??，若方程f(x)?mx?恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是2?lnx,x?1____________.16. 设数列?an?的前n项和为sn，且a1?a2?1，?nsn?(n?2)an?为等差数列，则?an? 的通项公式an?____________.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分)在?abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，面积为s，已知acos （1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若b?2ca3?ccos2?b 222?3,s?43，求b.18.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球. （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量x，求x的分布列和数学期望.- 2 -19. (本小题满分12分)e，f 直三棱柱abc?a1b1c1 中，aa1?ab?ac?1，分别是cc1、bc 的中点，ae?a1b1，d为棱a1b1上的点. （1）证明：df?ae;（2）是否存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二b1面角的余若存在，说明点d的位置，若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)x2y24b椭圆c:2?2?1(a?b?0)的上顶点为a,p(,)是c上的一点，以ap为直径的圆经过椭圆c的右焦33ab点f．（1）求椭圆c的方程；（2）动直线l与椭圆c有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由． 21. (本小题满分12分) 函数f(x)?a?lnx（e,f(e))处的切线与直线e2x?y?e?0垂直（其中e为自，若曲线f(x)在点x然对数的底数）.（1）若f(x)在(m,m?1)上存在极值，求实数m的取值范围；f(x)2ex?1（2）求证：当x?1时，. ?xe?1(x?1)(xe?1)请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆o外有一点p,作圆o的切线pm,m为切点,过pm的中点n,作割线nab,交圆于a、 b两点,连接pa并延长,交圆o于点c,连接pb交圆o于点d,若mc?bc. （1）求证:△apm∽△abp;（2）求证:四边形pmcd是平行四边形.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程?轴建立极坐标系．- 3 -?x?1?cos?(?为参数)．以o为极点，x轴的非负半轴为极?y?sin?（1）求圆c的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2?sin(??交点为q，求线段pq的长．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设f(x)=|x?1|?|x?1|. （1）求f(x)?x?2的解集; （2）若不等式f(x)??3)?om:???3与圆c的交点为o、p，与直线l的|a?1|?|2a?1|对任意实数a?0恒成立，求实数x的取值范围.|a|2015届高三年级第三次四校联考理科数学参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)- 4 -1-5： cabaa 6-10：abcdd 11-12：bd 二、填空题(每小题5分，共20分)130.7 15. (,三、解答题：17.解：（1）由正弦定理得：sinacosn11) 16. n?122eca3?sinccos2?sinb 2221?cosc1?cosa3?sinc?sinb ???2分即sina222∴sina?sinc?sinacosc?cosasinc?3sinb即sina?sinc?sin(a?c)?3sinb ???4分∵sin(a?c)?sinb∴sina?sinc?2sinb 即a?c?2b∴a、b、c成等差数列。

山西省忻州一中等四校高三数学第四次联考试题理

2015届高三年级第四次四校联考数学试题（理）命题：忻州一中临汾一中康杰中学长治二中（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集,U R =集合},12161|{Z x x A x ∈<≤=-，},0)1)(3(|{Z x x x x B ∈≥+-=，则()U C B A =A .}4,32,10{，，B .}32,1{，C .}2,10{， D. }2,1{ 2. 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i -=+(i 为虚数单位)，则实数a 的值为A . 3-B . 3C .13-D. 133. 已知双曲线12222=-a x y 过点)2,1(-，则该双曲线的渐近线方程为A.x y 225±= B.x y ±=C.x y 2±=D.x y 22±=4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A.1B.2C.3D.45. 把函数)2|(|)2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3(π-对称，则=-)2(πf A.21-B. 21C. 23-D. 236. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是A. 61B. 21C. 32D. 657. 在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为1的正三角形，⊥SC 面ABC ,2=SC ,则三棱锥ABC S -外接球的表面积为A. π6B. 316πC. 940πD. 38π8. 已知)4,0(),0,2(πβπα∈-∈，ββα22tan 1tan 2sin 21+=-，则有A.22παβ=- B.22παβ=+C.22παβ-=- D.22παβ-=+9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是 A. 5 B. 6C.7 D. 2210. 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P =满足，设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN=16，则椭圆的方程为A. 110814422=+y xB. 17510022=+y xC. 1273622=+y xD. 1121622=+y x11. 已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A.1212--n B.2214--n C.n 212-D. 1214--n12. 设函数x e xx g x x x f ==)(,ln )(2，若存在],[21e e x ∈,]2,1[2∈x ,使得)()()2(1223x kf x g k e ≥-成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是A . 2≥kB . 20≤<kC . 2863++≥e e k D. 28063++≤<e e k第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 的展开式中4x 的系数是 . 14. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数x y z 23-=的最大值为 .15. 已知，且4,3,0===⋅BC AB BC AB M 为线段BC 上一点，且),(||||R AC AC AB AB AM ∈+=μλμλ, 则λμ的最大值为 .16. 在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a -)5cos 72(-=A b ，则C cos 的最小值为 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差⎰-=22cos ππxdxd ，562224=-a a ；等比数列}{n b 满足：11=b ，512642=b b b ，*N n ∈（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n b n S c n nn ,,2，求n c c c c 2321++++ .18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：日产量 400 500 批发价 8 10 概率0.40.6概率0.50.5（1）设随机变量X 表示生产这种零件的日利润，求X 的分布列及期望；（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率. (注：以上计算所得概率值用小数表示)20. (本题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设,,21GD PG FD PF λλ==试问21λλ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.21. (本题满分12分)FE C 1B 1A 1CBA已知函数11ln )(+-+-=x aax x x f（1）当41=a 时，求函数()y f x =的极值；（2）当)1,31（∈a 时，若对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，求实数a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC ∠的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED ∠=∠.（2）若AC=AP ,求PCPA 的值.23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sin cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x ，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==)(54453为参数t ty t x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集是[0,4] （1）求m 的值；（2）若,a b 均为正实数，且a b m +=，求22a b +的最小值.DEPCBAO2015届高三年级第四次四校联考数学试题答案（理）A 卷一、选择题1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA 二、填空题:13．-20 14．9 15．415 16．21-17．解：（1）公差2cos 22==⎰-ππxdx d ，5622))((324242224=⋅=-+=-d a a a a a a a 73=a ………2分∴ 721=+d a ∴31=a ∴12)1(23+=-+=n n a n ………4分设等比数列}{n b 的公比为q∵51234642==b b b b ∴84=b 即1b 83=q ∴2=q 即1112--==n n n q b b ………6分（2）由12,31+==n a a n 得：)2(+=n n S n∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-为偶数，为奇数n 2,)2(21n n n n n c 即⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为偶数，为奇数n 2,21n 11n n n n c ………8分∴n c c c c 2321 +++=)()(2421231n n c c c c c c +++++- ………10分=)222()]121121()5131()311[(123-++++--++-+-n n n=)14(3212241)41(21211-++=--++-n n n n n ………12分18.（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. ……… 2分设11AB AA ==，则11633,,222B F EF B E ===.∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥. ………4分又AFEF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF . ………6分（2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则12221(0,0,0),(,0,0),(0,,1),(0,,)2222F A B E -，221(,,)222AE =--，122(,,1)22AB =-.………8分由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF 的法向量12(0,,1)2m FB ==.设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由12210,0,220,2220222220,022x y z n AE x y z nAB x y z x y z ⎧--+=⎪⎧⎧=+-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--=⎪⎪⎪⎩⎩-++=⎪⎩∴可取(3,1,22)n =-. ………10分设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则222222203(1)12262cos |cos ,|6||||20()13(1)(22)2m nm n m n θ⨯+⨯-+⨯=<>===+-+⨯+-+.zyxABCA 1B 1C 1EF∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为66. ………12分19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200 随机变量X 可以取：4000,3000.，2200 ………1分 P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分 ∴X 的分布列为:EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 ………6分 (2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8∴Y ～)8.0,3(B ………8分 ∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分至少有2天利润不少于3000的概率为：896.02.08.08.0223333=⋅⋅+⋅=C C P ………12分解：（1）由已知:直线m 的方程为1-=x y ，代入px y 22=得：01)1(22=++-x p x 设),(),,(2211y x B y x A ，则),2(121p x x +=+ 23|AB |21+=++=p p x x 且线段AB 的中点为),1(p p +， ………3分由已知222)223(17+=++p p ）（）（，解得2=p 或514-=p （舍去）所以抛物线C 的方程为：x y 42= ………6分设直线l ：y=kx+2(k ≠0)，则)0,2(k D -，与.42x y =联立得 04)1(422=+-+x k x k由0>∆得21>k ,设),(),,(4433y x G y x F则24322434,4-4k x x k k x x ==+ ………8分 X 4000 3000 2200 P 0.3 0.5 0.2);,2()2,();,2()2,(442442331331y x k y x GD PG y x k y x FD PF ---=-⇒=---=-⇒=λλλλ 所以2,2244233331+-=+-=--=kx kx kx kx x k x λλ ………10分则4(2)(22224343243432443321+++++-=+-+-=+）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx λλ 将24322434,4-4k x x k k x x ==+代入上式得.121-=+λλ 即21λλ+为定值1- ………12分21.解：（1）由已知14341ln )(++-=x x x x f ，则224)3)(1(43411)('x x x x x x f ---=--=………1分所以当)1,0(∈x 和),3(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <单调递减；当），,10(∈x 时，)(,0)('x f x f >单调递增； ………2分所以当1=x 时，)(x f 有极小值为23，当3=x 时，)(x f 有极大值为213ln +. ………4分（2）由已知22)1)(1(11)('x aax x a xa a x x f ----=---=.①当)21,31（∈a 时，11210a a a a ---=> ，于是(0,1)x ∈和1(,)ax a -∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(1,)ax a -∈时，'()0,()f x f x >单调递增；又因为21<-a a ，要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ≤，即a a a 2212122ln -≤+-+-，解得2ln 21a ≥-，因为12ln 212≥-所以12ln 21;2a -≤< ………7分②当12a =时，11a a -=，221(1)2'()x f x x --=，在(0,)x ∈+∞上，恒有'()0f x ≤，且仅有'(1)0f =，故()f x 在(0,)+∞上单调递减.显然成立. ………8分③当112a <<时，11120,10a a a a a a --->-=< ，于是1(0,)ax a -∈和(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(,1)a x a -∈时，'()0,()f x f x >单调递增；要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()a f f a -≤，即11ln (1)12ln 420;a a a a a a a a ----+-≤-⇔+-≤ ……10分令11()ln 42,(,1)2a g a a a a -=+-∈，21(21)'()40(1)(1)a g a a a a a -=+=<--，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1()()02g a g <=，所以此时1(,1)2a ∈ 综上所述：)1,12ln 2[-∈a ………12分 22．解：(1)∵ PA 是切线，AB 是弦，∴ ∠BAP=∠C ， ………2分又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED ． ………5分 (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,∴ △APC ∽△BPA, ∴PC CAPA AB =, ………7分∵ AC=AP , ∴ ∠APC=∠C=∠BAP ,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴ ∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°．在Rt △ABC 中，CA AB =3, ∴ PC CA PA AB ==3． ………10分23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x ………2分直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为012sin 3cos 4=+-θρθρ ………5分(2)01234),sin ,cos 2(=+-y x l P 为直线设αα 则512)cos(73512sin 3cos 8++=+-=ϑαααd 所以最大值为57312+，最小值为57312-。

山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中高三数

12016届高三年级第二次四校联考数学（理）试题2015.12命题：康杰中学临汾一中忻州一中长治二中【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1．已知集合{}|1M x x =>，集合{}2|20N x x x =-<，则M N I 等于 A ．{}|12x x << B ．{}|01x x << C ． {}|02x x <<D ．{}|2x x >2．i 是虚数单位，若21ia bi i+=++(,)a b R ∈，则lg()a b +的值是 A ．2-B ．1-C ．0D ．123. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为A. 64B. 73C. 512D. 5854. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+A. 1+B. 1-3+D.3-5. 已知|a |＝1，|b r |＝2，且()a a b ⊥-r r，则向量a r 与向量b r 的夹角为A.6π B. 4π C.3πD.23π6. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60[)[)60,80,80,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是2A ．45B ．50C ．55D ．607. "0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A．28+ B．60+ C．56+D ．30+9.将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是A. 6π B.12πC. 3πD.56π10. 已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于A ．－5B ．5C ．90D ．18011. 设抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上， 5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为A ．2248y x y x==或 B ．2228y x y x ==或C ．22416y x y x ==或D ．22216y x y x ==或 12. 已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A．⎛-∞ ⎝ B．(-∞ C．⎛ ⎝ D．⎛⎝二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015届高考数学一轮总复习阶段性测试题9(立体几何)

阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·抚顺二中期中)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下述命题中真命题的是()A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥bB．若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC．若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥βD．若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β[答案] D[解析]由a⊥c，b⊥c知，a与b可平行可相交，也可异面，故A错；由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B错；当α∩β＝l，a⊥l，b∥c∥l时，可满足C的条件，故C错；∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊂β，∴α⊥β，∴D正确．2．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是()A．l∥m，l∥β，则m∥βB．α∩β＝m，l⊂α，则l∥βC．α⊥β，l⊥α，则l∥βD．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β[答案] D[解析]l⊄β，l∥m，m⊂β时，l∥β，故A错；α∩β＝m，当l⊂α且l∥m时，l∥β，当l与m 相交时，l与β相交，故B错；α⊥β，当l⊂β，l与α和β的交线垂直，l⊥α时，但l∥β不成立，故C错；∵l⊥m，l⊥α，∴m⊂α或m∥α，又m⊥β，∴α⊥β，故D正确．3．(2014·山东省博兴二中质检)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积值最大的是()A．8B．6 2C．8 2 D．10[答案] D[解析]由三视图知，该几何体直观图如图，其中△ABC为以B为直角的直角三角形，AB＝4，BC＝3，高P A＝4，∴S△ABC＝12×4×3＝6，S△P AB＝12×4×4＝8，S△PBC＝12PB·BC＝12×42×3＝62，S△P AC＝12AC·P A＝12×5×4＝10，故选D.4．(2014·河南淇县一中模拟)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()[答案] B[解析]在侧视图中，D1的射影为C1，A的射影为B，D的射影为C，AD1的射影BC1为实线(右下到左上)，B1C为虚线，故选B.5．(文)(2014·浙北名校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．4B ．8C ．4 3D ．8 3[答案] B[解析] 作出几何体的直观图如图，这是一个三棱锥P －ABC ，其中P 在底面射影为D 点，PD ＝23，AD ＝3，CD ＝1，E 为AC 的中点，BE ⊥AC ，BE ＝23，故几何体的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12·AC ·BE )·PD ＝8，故选B.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥P －ABC ，其中底面△ABC 为直角三角形，∠A 为直角，顶点P 到A ，C 的距离相等，P 点在底面的射影D ，满足AC ∥BD ，且BD ＝12AC ＝1，PD ＝3，画出其直观图如图所示，其体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12×2×1)×3＝1.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6πB ．24＋4πC ．28＋6πD ．28＋4π [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体为组合体，其上部为半球，半球的直径为22，下部为长方体，长、宽、高为2,2,3，其表面积为2×4×3 ＋12×4π·(222)2＋π·(222)2＝24＋6π，故选A.7．(2014·高州四中质量监测)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为( )A ．24－π3B ．24－π2C ．24－32πD ．24－π[答案] C[解析] 由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为3、4、2的长方体内挖去一个底半径为1，高为3的半圆柱后剩余部分，其体积V ＝3×4×2－12(π×12×3)＝24－32π.8．(2014·山西曲沃中学期中)已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2.∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533[答案] C[解析] 设球心为O ，△ABO 所在平面截球O 得截面如图，∵OA ＝OB ＝AB ＝OS ＝OC ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，∴SC ⊥平面ABO ，V S －ABC ＝V S －ABO ＋V C －ABO ＝2V S －ABO ＝2×13×(34×22)×2＝433，故选C.9．(文)(2014·陕西工大附中四模)如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C[解析] 若俯视图为A ，则该几何体是棱长为1的正方体，体积V ＝1；若俯视图为B ，则该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，其体积V ＝π·(12)2·1＝π4；若俯视图为D ，则该几何体是底半径为1，高为1的圆柱的14，其体积V ＝14·π·12·1＝π4；若俯视图为C ，则该几何体是直三棱柱，底面直角三角形两直角边长为1，棱柱高为1，体积为V ＝(12×1×1)×1＝12，因此选C.(理)(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ， ∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.10．(2014·绵阳市南山中学检测)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．②③[答案] D[解析] 由两个平面平行的性质知②正确；∵n ⊥α，n ⊥β，∴α∥β，又m ⊥α，∴m ⊥β，∴③正确，故选D.11．(文)(2014·云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个半径为1的球，截去14，故其体积为V ＝34·(4π3·13)＝π.(理)(2014·吉林延边州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )[答案] C[解析] 由条件知AE ∥平面DD 1C 1C ，平面AEC 1与平面DD 1C 1C 相交，故交线与AE 平行，∵E 为BB 1的中点，故取DD 1的中点F ，∴AE 綊C 1F ，故截面为AEC 1F (如图1)，截去正方体的上半部分后，剩余部分几何体直观图如图2，故其左视图形状与直角梯形FD 1A 1A 相同，且C 1E 的射影为虚线，由于B 1E ＝12AA 1，故E 点射影在直角梯形下底的中点，故选C.12．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知正三棱锥P －ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若P A 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( )A. 2B. 3C.33D.233[答案] C[解析] 由条件知，以P A 、PB 、PC 为三棱作长方体P ADB －CA 1D 1B 1，则该长方体内接于球，体对角线PD 1为球的直径，由于三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴AB ＝AC ＝BC ，∴P A ＝PB ＝PC ，设P A ＝a ，则3a ＝23，∴a ＝2.设球心到截面的距离为h ，则由V A －PBC ＝V P －ABC 得， 13(12×2×2)×2＝13×34×(22)2×(3－h )， ∴h ＝33. (理)(2014·成都七中模拟)平面四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝2，CD ＝CB ＝5，且AD ⊥AB ，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A ′BD ，则在△A ′BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A ′C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( )A ．1 B.12 C.33D. 3[答案] C[解析] 如下图，OA ＝1，OC ＝2，在△ABD 绕直线BD 旋转过程中，OA 绕点O 旋转形成半圆，显然当A ′C 与圆相切时，直线A ′C 与平面BCD 所成角最大，最大角为30°，其正切值为33，选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13.(2014·山西省太原五中月考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________．[答案]8＋2 6[解析] 由题意可知，△BCC 1为等腰直角三角形，∵AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，∠ACB ＝90°，∴∠A 1B ＝10，BC 1＝2，∵A 1B 2＝A 1C 21＋BC 21，∴∠AC 1B 为直角，将△BCC 1与△A 1BC 1所在平面铺平如图，设A 1C 交BC 1于Q ，则当点P 与Q 重合时，CP ＋P A 1取到最小值，最小值为A 1C .A 1C ＝A 1C 21＋C 1C 2－2A 1C 1·C 1C cos135° ＝6＋2－2×6×2×(－22)＝8＋2 6.14．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．[答案] 12π[解析] 由V ＝13Sh ＝13×(3)2·h ＝322知，h ＝322，设正方形ABCD 的中心为M ，则MA ＝62，∴OA 2＝OM 2＋MA 2＝(322)2＋(62)2＝3，∴S 球＝4π·OA 2＝12π.(理)(2014·抚顺二中期中)右图是一个空间几何体的三视图，如果主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，那么该几何体的体积为________．[答案]433[解析] 由三视图知，几何体是正四棱锥，底面正方形边长为2，棱锥的斜高为2，故高h ＝22－12＝3，∴体积V ＝13×4×3＝433.15．(文)(2014·西安市长安中学期中)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．[答案]3(8－π)6[解析] 根据三视图，该几何体是一个组合体，其中左侧是半个圆锥，右侧是底面为正方形的四棱锥，由于侧视图是一个边长为2的等边三角形，所以高为 3.所以其体积为V ＝13·(12π·12＋22)·3＝3(8＋π)6.(理)(2014·浙江台州中学期中)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C －ABD ，它的主视图与俯视图如图所示，则二面角C －AB －D 的正切值为________．[答案] 2[解析] 三棱锥C －ABD 直观图如图，由主视图与俯视图知，平面CBD ⊥平面ABD ，CO ⊥平面ABD ，作OE ∥AD ，∵AD ⊥AB ，∴OE ⊥AB ，连结CE ，则CE ⊥AB ，∴∠CEO 为二面角C －AB －D 的平面角，在Rt △COE 中，OE ＝12AD ＝12，CO ＝22，∴tan ∠CEO ＝COOE＝ 2.16．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________． [答案] ①②④[解析] ①VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ，∵BC 1∥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C ，∴BC 1∥平面AD 1C ，∴无论P 在BC 1上任何位置，P 到平面AD 1C 的距离为定值，∴三棱锥A －D 1PC 的体积不变，∴①正确；②∵A 1C 1∥AC ，BC 1∥AD 1，A 1C 1∩BC 1＝C 1，AC ∩AD 1＝A ，∴平面A 1BC 1∥平面AD 1C ，∵A 1P ⊂平面A 1BC 1，∴A 1P ∥平面ACD 1，∴②正确；③假设DP ⊥BC 1，∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BC 1， ∴BC 1⊥平面ABCD ，与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1矛盾， ∴③错误；④∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面B 1BD ，∴AC ⊥B 1D ，同理可证AD 1⊥B 1D ，∴B 1D ⊥平面ACD 1，∵B 1D ⊂平面PDB 1，∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，∴④正确．(理)(2014·成都七中模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是BC 1的中点，P 是BB 1一动点，则(AP ＋MP )2的最小值为________．[答案] 52[解析] 将平面ABB 1A 1展开到与平面CBB 1C 1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP )2最小．AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ×BM cos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·天津市六校联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，已知BC ＝1，∠BCC 1＝π3，AB ＝CC 1＝2.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； (3)(理)在(2)的条件下，求AE 和平面ABC 1所成角正弦值的大小． [解析] (1)∵BC ＝1，∠BCC 1＝π3，CC 1＝2，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC 1⊥BC ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴BC 1⊥AB 且BC ∩AB ＝B ， ∴BC 1⊥平面ABC .(2)E 为C 1C 的中点．连接BE ，∵BC ＝CE ＝1，∠BCC 1＝π3，等边△BEC 中，∠BEC ＝π3，同理：B 1C 1＝C 1E ＝1，∠B 1C 1E ＝2π3，∴∠B 1EC 1＝π6，∴∠BEB 1＝π2，∴EB 1⊥EB ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，EB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴EB 1⊥AB 且EB ∩AB ＝B ，∴B 1E ⊥平面ABE ，EA ⊂平面ABE ，∴EA ⊥EB 1. (3)∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ⊂平面ABC 1， ∵平面BCC 1B 1⊥平面ABC 1，过E 作BC 1的垂线交BC 1于F ，则EF ⊥平面ABC 1，连接AF ，则∠EAF 为所求， ∵BC ⊥BC 1，EF ⊥BC 1，∴BC ∥EF ， ∵E 为C 1C 的中点，∴F 为C 1B 的中点，∴EF ＝12，由(2)知AE ＝5，∴sin ∠EAF ＝125＝510.18．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7，AE 、DF是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC ，四边形ABCD 是正方形．(1)求证BC ⊥BE ；(2)求四棱锥E －ABCD 的体积． [解析] (1)∵AE 是圆柱的母线，∴AE ⊥底面EBC ，又BC ⊂底面EBC ，∴AE ⊥BC ，又∵截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面ABE ，又BE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥BE .(2)∵母线AE ⊥底面EBC ，∴AE 是三棱锥A －BCE 的高，由(1)知BC ⊥平面ABE ，BC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABE ，过E 作EO ⊥AB ，交AB 于O ，又∵平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，EO ⊂平面ABE ， ∴EO ⊥平面ABCD ，即EO 就是四棱锥E －ABCD 的高，设正方形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ， BE ＝AB 2－AE 2＝x 2－4，又∵BC ⊥BE ，∴EC 为直径，即EC ＝27，在Rt △BEC 中，EC 2＝BE 2＋BC 2，即(27)2＝x 2＋x 2－4，∴x ＝4， ∴S 四边形ABCD ＝4×4＝16，OE ＝AE ·BE AB ＝2×42－44＝3，∴V E －ABCD ＝13·OE ·S 四边形ABCD ＝13×3×16＝1633.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，点D 是棱B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求证：AB 1∥平面A 1DC ； (3)求二面角D －A 1C －A 的余弦值．[解析] (1)证明：因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，所以AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1.因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1D ，又因为CC 1∥AA 1，所以CC 1⊥A 1D ，又因为A 1B 1＝A 1C 1，D 为B 1C 1中点，所以A 1D ⊥B 1C 1. 因为CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ，因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为AC 1中点，又D 为B 1C 1中点，所以OD 为△AB 1C 1中位线，所以AB 1∥OD ，因为OD ⊂平面A 1DC ，AB 1⊄平面A 1DC ，所以AB 1∥平面A 1DC .(3)因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A －xyz . 设AB ＝1，则C (0,1,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，D (12，12，1)．A 1D →＝(12，12，0)，A 1C →＝(0,1，－1)，设平面A 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝0，n ·A 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．又因为AB ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1的法向量为AB →＝(1,0,0)，设二面角D －A 1C －A 的平面角为θ，则θ＝π－〈n ，AB →〉， ∴cos θ＝cos(π－〈n ，AB →〉) ＝－n ·AB →|n |·|AB →|＝－13＝－33，所以，二面角D －A 1C －A 的余弦值为－33. 19．(本小题满分12分)(文)(2014·黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ＝2，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)设D 是A 1C 1的中点，判断并证明在线段BB 1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC 1；若存在，求三棱锥E －ABC 1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有A 1A ⊥平面ABC .∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面ABC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1.(2)存在，E 为BB 1的中点．取A 1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B 1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC 1， ∴平面EFD ∥平面ABC 1，则有ED ∥平面ABC 1. 当E 为BB 1的中点时，V E －ABC 1＝V C1－ABE＝13×2×12×1×1＝13. (理)(2014·保定市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，∠DAB ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，梯形上底AD ＝1.(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)在PC 上是否存在一点E ，使得DE ∥平面P AB ？若存在，请找出；若不存在，说明理由； (3)求平面PCD 与平面P AB 所成锐二面角的正切值． [解析] (1)证明：∵BC ∥AD 且∠DAB ＝90°，∴BC ⊥AB ，又P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ，而P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .(2)延长BA 、CD 相交于Q 点，假若在PC 上存在点E ，满足DE ∥平面P AB ，则由平面PCQ 经过DE 与平面P AB 相交于PQ 知DE ∥PQ ，∵AD ∥BC 且AD ＝1，BC ＝3， ∴PE CP ＝QD CQ ＝AD BC ＝13，故E 为CP 的三等分点，PE ＝12CE .(3)过A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，连DH ，由(1)及AD ∥BC 知：AD ⊥平面P AQ ， ∴AD ⊥PQ ，又AH ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面HAD ，∴PQ ⊥HD .∴∠AHD 是平面PCD 与平面PBA 所成的二面角的平面角．易知AQ ＝32，PQ ＝352，∴AH ＝AQ ·P A PQ ＝355，∴tan ∠AHD ＝AD AH ＝53，所以平面PCD 与平面P AB 所成二面角的正切值为53. 20．(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，P A ⊥AC ，AB ⊥BC .设D 、E 分别为P A 、AC 中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求证：BC⊥平面P AB；(3)试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：因为点E是AC中点，点D为P A的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.(2)证明：因为平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，又P A⊂平面P AC，P A⊥AC，所以P A⊥平面ABC.所以P A⊥BC.又因为AB⊥BC，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.(3)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC.又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．(理)(2014·山东省博兴二中质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)设点M 在线段PC 上，PM MC ＝12，求证：P A ∥平面MQB ；(3)在(2)的条件下，若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．[解析] (1)连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形，又Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ .∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ ，又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)连接AC 交BQ 于点N ，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12.又PM MC ＝12，∴PM MC ＝ANNC.∴P A ∥MN . ∵MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，∴P A ∥平面MQB . (3)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，∴PQ ⊥平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0，3)．设平面MQB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·QB →＝0，n ·MN →＝0.∵P A ∥MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·QB →＝0，n ·P A →＝0.∴⎩⎨⎧3y ＝0，x －3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0,1)．取平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.故二面角M －BQ －C 的大小为60°.21．(本小题满分12分)(文)如图，E 是以AB 为直径的半圆弧上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F . ①求证：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E －ADF 的体积．[解析] (1)∵E 是半圆上异于A ，B 的点，∴AE ⊥EB ，又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，且CB ⊥AB ，由面面垂直性质定理得CB ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴CB ⊥AE ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面CBE ，又EC ⊂平面CBE ，∴AE ⊥EC .(2)①由CD ∥AB ，得CD ∥平面ABE ，又∵平面CDE ∩平面ABE ＝EF ， ∴根据线面平行的性质定理得CD ∥EF ，又CD ∥AB ，∴EF ∥AB .②V E －ADF ＝V D －AEF ＝13×12×1×32×1＝312.(理)(2014·浙江台州中学期中)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上，过点E作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(折起后的点A 记作点P )，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)在Rt △ABC 中，∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ， ∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又∵EB ∩EP ＝E ，∴EF ⊥平面PEB . 又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB .(2)解法一：∵EF ⊥平面PEB ，EF ⊂平面BCFE ，∴平面PEB ⊥平面BCFE ，过P 作PQ ⊥BE 于点Q ，垂足为Q ，则PQ ⊥平面BCFE ，过Q 作QH ⊥FC ，垂足为H .则∠PHQ 即为所求二面角的平面角．设PE ＝x ，则EQ ＝12x ，PQ ＝32x ，QH ＝(PE ＋EQ )sin π4＝324x ，故tan ∠PHQ ＝PQ QH ＝63，cos ∠PHQ ＝155，即二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 解法二：在平面PEB 内，经P 点作PD ⊥BE 于D ，由(1)知EF ⊥平面PEB ，∴EF ⊥PD .∴PD ⊥平面BCFE .在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .以B 点为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)又∵AB ＝BC ＝4，∴BE ＝4－x ，EF ＝x ，在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，∴PD ＝32x ，DE ＝12x ， ∴BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，∴C (4,0,0)，F (x,4－x,0)，P (0,4－32x ，32x )．从而CF →＝(x －4,4－x,0)，CP →＝(－4,4－32x ，32x )．设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，则 n 1·CF →＝0，n 1·CP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0(x －4)＋y 0(4－x )＝0，－4x 0＋(4－32x )y 0＋32xz 0＝0，∴⎩⎨⎧x 0－y 0＝0，3x 0－z 0＝0，取y 0＝1，得，n 1＝(1,1，3)．又平面BCF 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)．设二面角P －FC －B 的平面角为α，则 cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 22．(本小题满分14分)(文)(2014·广东执信中学期中)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析] (1)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形， ∴AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AA 2⊥平面ABCD .连接BD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴AA 2⊥BD . ∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵AA 2∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 2A 2，根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ，平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥BD . ∴B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， ∴S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1300(cm 2)．又∵四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，等腰梯形的高h ′＝132－(20－102)2＝12.所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h ′＝202＋4×12(10＋20)×12＝1120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1300＋1120＝2420(cm 2)，故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2420＝484(元)．(理)(2014·西安市长安中学期中)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值． [解析] (1)∵BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴BC ＝DQ ，又∵AD ∥BC ，∴BC ∥DQ ，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BQ ⊥平面P AD ，又BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)解法1：∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD . 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)， ∵M 是PC 中点，∴M (－12，32，32)，∴AP →＝(－1,0，3)，BM →＝(－12，－32，32)，设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AP →，BM →〉|＝AP →·BM →|AP →|·|BM →|＝277，∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277.解法2：连接AC 交BQ 于点O ，连接OM ，则OM ∥P A ，所以∠BMO 就是异面直线AP 与BM 所成的角．OM ＝12P A ＝1，BO ＝12BQ ＝32，由(1)知BQ ⊥平面P AD ，所以BQ ⊥P A ，∴BQ ⊥OM ， ∴BM ＝BO 2＋OM 2＝(32)2＋12＝72， ∴cos ∠BMO ＝OM BM ＝172＝277.。

山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2015届高三第一次联考数学文试题含解析

山西省忻州一中等四校2015届高三第一次联考数学试题（文）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养运算能力的考查.知识考查注重基础、突出主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、概率等；考查学生分析问题解决问题的综合能力，是份较好的试卷.第Ⅰ卷客观卷共60分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）【题文】1. 已知集合{}12≥=xx M ，{}2≤=x x N ，则=N MA. [1,2]B. [0,2]C. [-1,1]D. (0,2) 【知识点】集合运算A1【答案解析】B 由题意得M= [)0,+∞ N= []2,2- ∴=N M [0,2]故选B 【思路点拨】先算出两个集合再求交集。

【题文】2. 若为虚数单位，则=+-+-iii 11 A. i 2- B. 0 C. i 21D. i 2 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】A =+-+-i i i 11-i-22i -=-i-i=-2i 故选A【思路点拨】先化简分式子分子分母同时乘以1-i 得到结果【题文】3. 集合{}{}3,2,1,3,2==B A ，从集合B A ,中各任意取一个数，则这两个数的和等于4的概率是 A. 23 B. 12 C. 13 D. 16【知识点】古典概型 K2【题文】4. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为A.y=±2xB. y=±2xC. y=±22xD. y=±12x 【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案解析】C ∵e ＝c a ＝＝2k ，c ＝，则得b ＝，∴渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±2x ，故选C ．【思路点拨】由离心率的值，可设a ＝2k ，c ＝,则得b ＝而得到渐近线方程．【题文】5. 已知等差数列{}n a 的前13项之和为39，则=++876a a a A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【知识点】等差数列的钱n 项和D2【思路点拨】根据等差数列的前n 项和的公式列得s 13=39，化简得到一个关系式，然后利用等差数列的通项公式表示出所求的式子，整体代入可得值。

山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中高三数学上学期第二次联考试题理

12016届高三年级第二次四校联考数学（理）试题2015.12命题：康杰中学临汾一中忻州一中长治二中【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1．已知集合{}|1M x x =>，集合{}2|20N x x x =-<，则M N I 等于 A ．{}|12x x << B ．{}|01x x << C ． {}|02x x <<D ．{}|2x x >2．i 是虚数单位，若21ia bi i+=++(,)a b R ∈，则lg()a b +的值是 A ．2-B ．1-C ．0D ．123. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为A. 64B. 73C. 512D. 5854. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+ A. 12+B. 12-C.322+D.322-5. 已知|a r |＝1，|b r |＝2，且()a a b ⊥-r r r，则向量a r 与向量b r 的夹角为A.6π B. 4π C.3πD.23π6. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60[)[)60,80,80,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是2A ．45B ．50C ．55D ．607. "0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A ．2865+B ．60125+C ．56125+D ． 3065+9. 将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是A. 6π B.12πC. 3πD.56π10. 已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于A ．－5B ．5C ．90D ．18011. 设抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上， 5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为A ．2248y x y x==或 B ．2228y x y x ==或C ．22416y x y x ==或D ．22216y x y x ==或 12. 已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A ．e ⎛-∞ ⎝B ．(e -∞C ．e e ⎛ ⎝D ．,e e ⎛- ⎝二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中高三数学第二次四校联考试题文新人教A版

数学试题（文）命题：康杰中学长治二中忻州一中临汾一中【满分150分，考试时间120分】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U R =，集合{}2|2A x x =>，则U C A 是A．(B．(),-∞⋃+∞C. ⎡⎣D．(),-∞⋃+∞2. 复数()22i iZ --=（i 为虚数单位），Z 在复平面内所对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个,则取出的这两数字之和为偶数的概率是 A ．16B ．13 C. 12 D ．154. 已知212sin =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，02<<-απ，则cos()3πα-的值是A.21B.23C.21-D.15. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 A ．6B ．5 C. 4D ．36. 已知直线b x y +=与曲线()0122>=+x y x 有交点，则A . 11<<-b B. 21<<-bC. 22≤≤-b D. 12<≤-b7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <,则当n S 最大时n 的值是11111俯视图侧（左）视图正视图A ．8B ．4 C. 5 D ．38. 设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+0302063y y x y x ，且目标函数z y ax =+的最小值为-7，则a的值为 A.-2B.-4C.-1D.19. 如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A.35+B. 325+C. 422+D. 423+10. 设()23ln,3,2234.1===c b a ,则a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >>C. c a b >>D ．b a c >>11. 函数3cos391x xxy =-的图像大致为12. 函数121()4cos 2(35)32x y x x π-=+--≤≤，则此函数的所有零点之和等于（）A.4B.8C.6D.10二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知||=2a ，(cos ,sin ),()3b a a b αα=⋅+=，则向量a 与b 的夹角为 . 14. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x R ∈，恒有()()11f x f x -=+成立，当[1,0]x ∈-时，()21xf x =-，则=)2013(f .15. 已知正四棱锥ABCD S -的所有棱长均为2，则过该棱锥的顶点S 及底面正方形各边中点的球的体积为 .16. 已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆922=+y x 的两条切线，切点记作,C D ，双曲线的右顶点为E ，150CED ∠=，则双曲线的离心率为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

江西2015年高考数学二轮复习小题精做系列之集合与常用逻辑用语3

一．基础题组1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则（）A ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈≥B ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈≥C ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈>D ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈>2. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】不等式21ax <解集为Q ，{}0p x x =≤，若104R Q C P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则a 等于（） A. 14 B.12 C.4 D. 23. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞【答案】B【解析】试题分析：∵{|21}A x x =-≤≤，{|0}B x x =<，∴{|1}AB x x =≤.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的并集的运算.4. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是（）A ．M N R =B ．R NC M R = C ．R M C N R =D ．M N M =5. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=（）A. {x|-1＜x≤3}B. {x|2≤x﹤3}C. {x|x=3}D.φ6. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】复数iai z -=3在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件考点：1.复数的除法运算；2.复数和点的对应关系；3.充分必要条件.7. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】设全集=U R ，已知集合{|1}A x x =≥，{|(2)(1)0}B x x x =+-<，则（）A ．AB U = B ．A B φ=C ．U C B A ⊆D ．U C A B ⊆二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】三．拔高题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知命题p ：∀x ∈（0，∞+），3x ＞2x，命题q ：∃x ∈（∞-，0），x x ->2，则下列命题为真命题的是（）A . p ∧qB .（￢p ）∧q C.（￢p ）∧（￢q ） D.p ∧（￢q ）。

山西省临汾、康杰、忻州一中、长治高三数学第二次联考试题文

高三第二次四校联考（数学文）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合∈=y A {Z ∈=x x y ,sin R }，则集合A 的子集的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 2．若复数iiz 212+-=，则复数z 的虚部为( ) A ．i - B ．i C ． 1- D ．13．1)4(cos 22--=πx y 是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 4．已知命题∈∃x p :R ，x x 212<+；命题:q 若012<--mx mx 恒成立，则40m -<≤ 那么( )A ．""p ⌝是假命题B ．“q ⌝”是真命题C ．“p q ∧”为真命题D ．“p q ∨”为真命题5．曲线12-+=x xe y x 在0=x 处的切线方程为( )A ．31y x =-B ．31y x =--C ．13+=x yD ．21y x =--6．设不等式组22,22x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的区域为W ，圆:C 4)2()2(22=-+-y x 及其内部区域记为D ．若向区域W 内投入一点，则该点落在区域D 内的概率为( ) A ．4π B ．8π C ．16π D ．32π7．在等差数列{}n a 中，若,421053=++a a a 则=13S ( )A ．13B ．14C ．15 D ．168．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A．0 C ．2 D ．2- 9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(),2-∞B ．]813,(-∞ C ．(],2-∞ D ．)2,813[10．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的方程为( )A ．16222=-y xB ．12622=-y xC ．141222=-y xD ．112422=-y x 11．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆ 的面积分别为2、2、2( ) A ．2πB ．6πC． D ．24π12．若曲线1C ：0222=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围为( ) A ．)33,0()0,33( -B ．)33,33(-C ．]33,33[-D ．),33()33,(+∞--∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知 2=a ，4=b ，且)(b a+与a 垂直，则a 与b 的夹角为．14．,x y 满足约束条件22040y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩,则521-+=y x z 的最小值为．15．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为．16．已知函数()f x 满足)()1(x f x f -=+，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，2)(x x f =；若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k=--有4个零点，则实数k 的取值范围为．正视图俯视图侧视图三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）若数列{}n a 满足∈==+n a a a n n (3,111N *)．（1）求{}n a 的通项公式;（2）等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，且153=T ，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．18．（本小题满分12分）若平面向量)2cos ,(cos ),2sin 2,3(xx x-=-=（∈x R ），函数n m x f ⋅=)(．（1）求函数)(x f 的值域；（2）记△ABC 的内角C B A 、、的对边长分别为c b a 、、，若3)(=A f ，且c b 2=，求角C 的值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直；底面ABCD 是菱形，60ADC ∠=，M 为PB 的中点．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求证：PA ⊥平面CDM ． 20．（本小题满分12分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：甲： 78 76 74 90 82乙： 90 70 75 85 80（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．21．（本小题满分12分）19题图B已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)23,1(--M ，离心率为23．（1）求椭圆的方程；（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点，求实数a 的取值范围；（2）1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求实数m 的取值范围；（3）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．2012届高三年级第二次四校联考数学（文）试题参考答案一、选择题：DCADA CACBD BA 二、填空题:13．23π14．27- 15．332 16．1(0,]4．三、解答题：17．解：（1）由条件可得数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．……………2分∴13n na -=．………………4分（2）设数列{}n b 的公差为d ，由315T =可得12315b b b ++=，则25b =．………6分设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得10,221-==d d ∵数列{}n b 的各项均为正，∴0d >，∴2d =．………8分则()213222n n n T n n n -=+⨯=+．………………10分18．解：（1）由)3sin(2sin cos 3)(π+=+=x x x x f ，得函数)(x f 的值域为]2,2[-．…………………4分（2）3)(=A f ，23)3sin(=+∴πA ．又),0(π∈A ，3π=∴A ．…6分由c b 2=及A bc c b a cos 2222-+=得 c a 3= 则3sin sin ==c a C A ，21sin =∴C ………………………………10分 c a > ，C A >∴，则6π=C ．………………………………12分19．解：（1）作PO CD ⊥于O ,则24ABCD S ==则23323131=⨯⨯=⋅=-PO S V ABCD ABCD P ． ………………4分（2）连接OA ．由侧面PDC 与底面ABCD 垂直，则PO ⊥平面ABCD ，所以PO CD ⊥．又由060ADC ∠=,1,2DO AD ==得090DOA ∠=,即OA CD ⊥，所以CD ⊥面POA , 所以CD PA ⊥． ………6分取PA 中点N ，连接ON,MN ．由M 为PB 中点，得四边形MNOC 为平行四边形，所以CM ∥ON ．又在三角形POA 中3==OA OP ,N 为PA 中点，所以PA ON ⊥,所以CM PA ⊥．又C DC CM = ，所以PA ⊥面CDM ． …………12分20．解：（1）19题图B………………3分（2）从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况如下：（78，90）（78，70）（78，75）（78，85）（78，80）（76，90）（76，70）（76，75）（76，85）（76，80）（74，90）（74，70）（74，75）（74，85）（74，80）（90，90）（90，70）（90，75）（90，85）（90，80）（82，90）（82，70）（82，75）（82，85）（82，80）共有25种，而甲大于乙的情况有12种，．2512=∴P ． ………………8分（3）80=甲x ，80=乙x ，而32s 2=甲，50s 2=乙．22s 乙甲s < ，，∴选甲参加更合适．………………12分 21．解：（1）由题设得143122=+b a ① ，且2322=-a b a ②．…………2分由①、②解得1,2==b a ．则椭圆的方程为224y x +=1．……………4分（2）显然0x =不满足题意，可设l 的方程为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ．…6分联立22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩△2223(16)4(14)120,4k k k =-+⋅>∴>．且1212221216,1414kx x x x k k∴=+=-++．………………8分又AOB ∠为锐角，0OA OB ∴⋅>，12120x x y y ∴+>，1212(2)(2)0x x kx kx ∴+++>．222121222212164(4)(1)2()4(1)2()40141414k k k x x k x x k k k k k -∴++++=++-+=>+++．…………10分24,k ∴<又234k >，2344k ∴<<，3(2,(,2)k ∴∈-．……………12分 22．解：（1）由题设可知，方程/22()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，∴/2/2(1)320(1)3200f a a f a a a ⎧=+-<⎪-=--<⎨⎪>⎩，解得3a >． ………4分（2）当1a =时32()f x x x x m =+-+，∵()f x 有三个互不相同的零点，∴32()0f x x x x m =+-+=即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根．令32()g x x x x =--+，则/2()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+ ∵()g x 在(,1)-∞-和1(,)3+∞均为减函数，在1(1,)3-为增函数， ∴15()(1)1,()()327g x g g x g =-=-==极小极大所以m 的取值范围是5(1,)27-． ………………8分（3）∵/22()323()(),3a f x x ax a x x a =+-=-+又0a >，∴当x a <-或3a x >时，/()0f x >；当3a a x -<<时，/()0f x <．∴函数()f x 的递增区间为(,)(,),3a a -∞-+∞和单调递减区间为(,)3aa -当[]3,6a ∈时， []1,2,33aa ∈-≤-，又[]2,2x ∈-，∴{}max ()max (2),(2)f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<，∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++，又∵()1f x ≤在[]2,2-上恒成立，∴2max ()18421f x a a m ≤-+++≤即，即[]29423,6m a a a ≤--∈在上恒成立．∵2942a a --的最小值为87-， ∴87.m ≤- ………12分。

山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中高三第二次四校联考——数学(理)数学(理)

山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中2015届高三第二次四校联考数学（理）试题【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合，{}2,N x x a a M ==∈，则集合A. B. C. D. 2. 复数为纯虚数，若(为虚数单位)，则实数的值为A ．B ．C ．D ． 3. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为A ．B ．2C ．D ．4. 如图所示的程序框图，若输入的值为0，则输出的值为 A ． B ．0 C ．1 D5. 已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 A.B ．C ．D ．6. 已知实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则的最大值为A ．B ．C ．D ．7. 设数列的前项和为，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则 A ． B ． C ． D ．8. 在三棱锥中，， ,二面角的余弦值是，则三棱锥外接球的表面积是 A. B. C. D .9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ． B.C. D.10. 设为抛物线上不同的两点，为坐标原点,且,则面积的最小值为 A ． B ． C ． D ． 11. 在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图像在点处的切线交轴于点.过点作的垂线交轴于点，设线段的中点（第4题图）的横坐标为，则的最大值是 A ． B ．C ．D ．12.已知函数2|lg |0()10x x f x xx >⎧=⎨-≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知，，，则向量与的夹角是___________. 14. 若函数)20)(sin()(πϕωϕω<>+=且x x f 在区间上是单调减函数，且函数值从减小到，则___________.15. 抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，若，则的最小值为___________.16. 已知数列，则=+⋅⋅⋅+++100321a a a a ___________.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分)在中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ．已知（1）求; （2）若，求S 的最大值. 18．（本小题满分12分）如图1，直角梯形中，∥, ,是底边上的一点，且. 现将沿折起到的位置，得到如图2所示的四棱锥且.（1）求证：平面;（2）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）在等差数列中，为其前项和，已知;正项数列满足：022121=--++n n n n b b b b ，.（1）求数列和的通项公式；（2）设求数列的前项和. 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，分别为椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点,为短轴的一个端点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为. （1）求椭圆的方程；（2）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围.21. ( 本小题满分12分)设函数（其中28．．．），，已知它们在处有相同的切线. (1) 求函数,的解析式； (2) 求函数在上的最小值；(3) 若对，恒成立，求实数的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，边AB 上的高，（1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆；（2）若CQ =4，AQ =1，PF =，求CB 的长.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数222)(--+=x x x f （1）解不等式;（2）设，对任意都有，求的取值范围.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题：17、 (本小题满分12分)解：（1）条件可化为ab c b a C ab 2sin 212222+-+= …2分由余弦定理可得，03cos 8cos 52=++C C …6分0)1)(cos 3cos 5(=++C C )(1cos 53cos 舍或-=-=C C故 …8分（2）10)2(5252sin 212=+≤==b a ab C ab S 当且仅当时“＝”成立 …12分18、 (本小题满分12分) 解：（1）设121===BC AB AD ，则 21221D C AD A C =+ ∴ ………2分又，45222=+=∴BE AB AE ∴2122149E C AE A C ==+ ∴ ………4分又∩∴平面 ………5分（2）由（1）知：平面且,分别以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分则)0,1,0(),0,21,1(),1,0,0(),0,0,1(1D E C B是的中点 ∴ ∴ ………8分设平面的法向量为 )1,1,0(),0,21,1(1-=-=D C DE 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001C 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-021z y y x 令得 ………10分设直线与平面所成角为，则94||||sin ==n BM θy∴ 直线与平面所成角的正弦值为. ………12分 19、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列的公差为。

山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届高三数学上学期第二次联考试卷理(含解析)

山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届高三上学期第二次联考数学（理）一、选择题：共11题1．已知集合，集合，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算.=，，所以.选A.2．i是虚数单位，若，则的值是A.−2B.−1C.0D.【答案】C【解析】本题考查复数的概念与运算，对数运算.==,所以, ,所以=.选C.3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出S的值为A.64B.73C.512D.585【答案】B【解析】本题考查流程图.第一次,,;第二次,; 第三次,；所以输出.选B.4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查等差数列和等比数列的性质.因为成等差数列，所以a1+2a2；即a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，解得q=；而数列的各项都是正数，所以q=；所以=q2=.选C.5．已知||＝1，||＝，且，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.因为,所以；所以，可得，所以向量与向量的夹角为.选B. 【备注】等价于6．某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是___.A.45B.50C.55D.60【答案】B【解析】本题主要考查频率分布直方图,意在考查考生利用“频率/组距”将纵轴上的数据准确换算成频率,从而计算频数的能力. 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2,则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为 m,则=0.3,m=50.7．是“函数在区间内单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查函数的单调性、充要条件.当时，，其在区间内单调递增；当时，，其在区间内单调递增；当时，在区间内有增有减；即“函数在区间内单调递增”等价于；所以是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件.选C.8．将函数的图像向左平移个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查三角变换，三角函数的图像. 函数图像向左平移()个单位后,可得，因为为偶函数,所以；因为，所以的最小值是.选A.【备注】辅助角公式:9．已知=，则等于A.－5B.5C.90D.180【答案】D【解析】本题考查二项式定理的应用.因为=；因为,所以.选D.【备注】二项展开式的通项公式：.10．设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为A.或B.或C.或D.或【答案】C【解析】∵抛物线C方程为y2=3px(p＞0),∴焦点F坐标为( ,0),可得|OF|=,∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴设A(0,2),可得AF⊥AM,Rt△AOF中,|AF|= ,∴sin∠OAF= ,∵根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于A点,∴∠OAF=∠AMF,可得Rt△AMF中,sin∠AMF= ,∵|MF |=5,|AF |=,∴ ,整理得4+= ,解之可得p = 或p =,因此,抛物线C 的方程为或,故选C.11．已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查指数、对数函数，函数与方程.由题意得：存在，使得成立，即在区间上有解；构造函数，而单增，且当时，；当，时，；由零点存在定理可得：在区间上有零点，即在区间上有解；当时，，解得；所以的取值范围是.选B.二、填空题：共4题12．定积分= .【答案】【解析】本题考查定积分的几何意义.表示以原点为圆心,以4为半径的圆的面积的,所以=.13．已知满足约束条件，求的最小值是.【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域(如图三角形所示)，：；表示到区域内点的距离的平方；当圆D与直线相切时，取得最小值；，所以的最小值为.【备注】体会数形结合思想.14．若三棱锥P-ABC的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 .【答案】【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积. 三棱锥P-ABC如图所示，其四个顶点全部位于正方体的顶点处，其中为正方体的对角线；而正方体的外接球半径，即三棱锥的外接球半径；所以此三棱锥的外接球的体积.【备注】体会数形结合思想.15．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2016＝______.【答案】【解析】本题考查数列求和.由题意得，，，，而，所以；当为奇数时，数列{a n}是以为首项、为公比的等比数列，当为偶数时，数列{a n}是以为首项、为公比的等比数列，所以+=+=+=.【备注】等比数列中，.三、解答题：共8题16．Δ中,角所对边分别是,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.【答案】====.由余弦定理:==≥=.∴，当且仅当时有最大值,∴.【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，余弦定理，三角形的面积公式.===；由余弦定理得=≥，∴，而，∴.【备注】三角函数常考查：诱导公式，三角恒等变换，正余弦定理，三角形的面积公式等.17．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 (男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X) .附表及公式.【答案】(1)由表中数据得的观测值.所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为，由几何概型；即乙比甲先解答完的概率为.(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种；其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，的分布列为：.【解析】本题考查独立性检验，古典概型，几何概型. (1)，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；(2)基本事件满足的区域为，由几何概型可得；(3)可能取值为，，，，可得的分布列与.【备注】统计与概率的相关知识: 独立性检验,古典概型，频率分布直方图，二项分布，随机变量的分布列与数学期望.18．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA.(1)求证：BE⊥平面PAC；(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB.由∠BCA=90°，可得AC⊥CB；又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，而BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE；∵PB=BC, E为PC中点，∴BE⊥PC；∵PC∩AC=C，BE⊥平面PAC.(2)如图，以B为原点、BC所在直线为轴、BP为轴建立空间直角坐标系.则，. 设平面的法向量.由得，即,(1),(2)取，则,.，，；所以直线与平面所成角的正弦值.19．已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程;(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点,问:在轴上是否存在点,使为定值？若存在,试求出点的坐标和定值,若不存在,说明理由.【答案】(1)由，①又以原点为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为且与直线相切,所以,代入①得c=2,所以.所以椭圆的方程为.(2)由得,设,所以,根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值,则有=...要使上式为定值,即与k无关,则应,即,此时为定值,定点为.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离、平面向量的数量积、根与系数的关系、方程思想.(1)由椭圆的离心率可得，根据以原点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切，利用点到直线的距离公式即可求得a的值，进而求出c、b，可得椭圆方程;(2) 由，消去y可得关于x的一元二次方程，设,则可得，根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值,化简求解即可.20．已知函数(1)求曲线在处的切线方程;(2)证明：.【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e；故曲线在处的切线方程为;(2)证明：由(1)知，f(x)＝e x ln x＋e x-1，从而f(x)>1等价于x ln x>x e-x－设函数g(x)＝x ln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0；故g(x)在上单调递减，在上单调递增；从而g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g＝－.设函数h(x)＝x e-x－，则h′(x)＝e-x(1－x)；所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1,＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减；从而h(x)在(0,＋∞)上的最大值为h(1)＝－.因为g (x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以当x>0时，g(x)>h(x)；即f(x)>1.【解析】本题考查导数的几何意义，导数在研究函数中的应用. (1)由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故切线方程为；(2) f(x)>1等价于x ln x>x e-x－;求导可得g(x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以当x>0时，g(x)>h(x)；即f(x)>1.【备注】合理构造函数，体会分类讨论思想、化归与转化思想.21．已知△ABC中，AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E, 延长AD交BC的延长线于F.(1)求证：∠CDF=∠EDF；(2)求证：.【答案】证明：、B、C、D四点共圆，∴∠CDF=∠AB C.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB且∠ADB=∠ACB，∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,∴∠CDF=∠EDF由得∠ADB=∠ABF，又∵∠BAD=∠FAB，所以△BAD与△FAB相似；，；又,，根据割线定理得，所以.【解析】本题考查四点共圆，圆周角定理，三角形相似，切割线定理.【备注】常考查：三角形相似，圆周角定理，弦切角定理，切割线定理等.22．已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.(2)若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.【答案】∵曲线的参数方程为(α为参数)∴曲线的普通方程为曲线表示以为圆心，为半径的圆.将代入并化简得：即曲线的极坐标方程为.∵直线的直角坐标方程为，∴圆心到直线的距离为；∴弦长为.【解析】本题考查曲线的参数方程，直线的极坐标方程.【备注】极坐标与参数方程常考查：极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，相交弦长等内容. 体会化归与转化思想、数形结合思想.23．已知函数的解集为.(1)求的值；(2)若，成立，求实数的取值范围.【答案】，所以，，或，又的解集为. 故.等价于不等式，=，故，则有，即，解得或.即实数的取值范围【解析】本题考查绝对值不等式.【备注】常考查绝对值不等式的求解：转化为分段函数或利用绝对值的几何意义.考查考生的运算求解能力.。

【解析】山西省康杰中学等四校2015届高三第二次联考考数学文

【解析】山西省康杰中学等四校2015届高三第二次联考考数学文【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、三角函数，数列，椭圆，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷. 一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)【题文】1. 已知集合}{1log 4<=x x A ，集合{}82<=xx B ，则AB 等于A ．()4,∞-B ．()4,0C ． ()3,0D ．()3,∞-【知识点】集合及其运算A1 【答案】C【解析】A={}04x x <<，B={}3x x <，则A B =()3,0【思路点拨】先求出A,B 再求交集。

【题文】2. 已知复数iiz -=1(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】B 【解析】iiz -=1=-1-i, 则复数z =-1+I=i, 对应的点在第二象限. 【思路点拨】先化简z,再求出象限。

【题文】3. 已知数列{}n a 满足12=a ,031=++n n a a )(*∈N n ，则数列{}n a 的前10项和10S 为A ．)13(4910- B ．)13(4910+ C ．)13(4910+- D ．)13(4910-- 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3 【答案】D【解析】031=++n n a a ，则113n n a a +=-，数列{n a }为等比数列，公比为13-，213a-=-3110(1)1n a q S q-=-=109(31)4--。

山西省康杰中学、长治二中、临汾一中、忻州一中2015届高三上学期第一次联考数学理试题 Word版含答案

山西省康杰中学、长治二中、临汾一中、忻州一中2015届高三上学期第一次联考数学理试题）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集为R ，集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ，则=N MA ．[-2，2]B ．)2,(--∞C ．),2(+∞D ．),2(+∞- 2. 已知i 是虚数单位，则复数2)i1i 2(-的值为 A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为A ．2B ．2±C ．－2或－3D ．2或－34. 实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ，则y x z -=的最大值是A ．－1B ．0C ．3D ．4 5. 二项式102)2(xx +展开式中的常数项是 A ．180 B ．90C ．45D ．3606. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为A B C D 7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为A ．x 2y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=8. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0323=+S S ，则公比q =A ．－2B ．2C ．3D ．－39. 点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC 3=AD ,则该球的表面积为正视图俯视图A ．π7B ．π14C ．27π D ．3147π 10. 若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则=p A ．2 B ．4 C ．6 D ．812. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为A ．１B ．２C ．３D ．４二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知b a ⊥，2=a ，3=b ，且b a 2+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 ▲ .14. 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，)1(121≥+=+n S a n n ，则}{n a 的通项公式为 ▲ . 15．函数)432(31sin 232sin3)(2ππ≤≤-=x x x x f 的最小值是 ▲ . 16．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-+⋅⋅⋅+-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 ▲ .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+. （1）求A ; （2）若35=a ，54cos =B ,求c . 18.（本小题满分12分）BCD如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 面⊥,BC AD //，︒=∠90BAD ,2,1,===⊥PA AD BC BD AC ,F E ,分别为AD PB ,的中点.（1）证明：EF AC ⊥；（2）求直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值. 19. (本小题满分12分)为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X 表示抽得甲班志愿者的人数，求X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．B A 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于F E 、两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值． 21. (本小题满分12分)已知函数)1ln()1()(--=x x x f .（1）设函数)()1()(x f x a x g +--=在区间]1,2[2+e 上不单调，求实数a 的取值范围；（2）若Z k ∈,且0)2(1)(>---+x k x x f 对2>x 恒成立，求k 的最大值.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、，若102==PB PA . （1）求证：ABAC 2=；（2）求DE AD ⋅的值.PE22题图23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围. 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知正实数b a 、满足：ab b a 222=+. （1）求11+的最小值m ;一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：CDDCA 6-10：BCABC 11-12：BB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 2914. n n a 3= 15. 13- 16. 7 三、解答题： 17 (本小题满分12分)解：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分由A 是内角，∴ 060=A ………6分（2）由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………10分由正弦定理得：343sin sin +==ACa c ………12分18 (本小题满分12分)解：(1)易知AB,AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB,AD, AP 所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(,0,1)2tE (0,1,0)F . ………2分从而(,1,1)2tEF =--,AC ＝(,1,0)t ，BD ＝(,2,0)t -．因为AC BD ⊥，所以AC ·BD ＝2200t -++=.解得t =t =舍去)． ………4分于是EF ＝(2-，1，－1)，AC ＝(2，1,0)．因为AC ·EF ＝－1＋1＋0＝0，所以AC ⊥EF ，即AC EF ⊥． ………6分(2)由(1)知，PC ＝，PD ＝(0，2,-2)．设(,,)x y z =n 是平面PCD 的一个法向量，则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220.y z y z +-=-=⎪⎩令z =n ＝(1． ………9分设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，EF 〉|＝|EFEF ⋅⋅n n |＝15.即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15. ………12分19. 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15,20,10,5…2分从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有2501225C =种，这两名志愿者来自同一班级的取法共有215C +220C +210C +25C =350. ………5分∴721225350p ==. ………6分（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10.X 的可能取值为0,1,2， ………8分==)0(X P 203225210=C C ， 21)1(225110115===C C C X P ， 207)2(225215===C C X P . ∴X 的分布列为：x………11分………12分20.(1) 由题意知：c e a =＝3 ∴222222c a b e a a -===34，∴224a b =. ……2分又∵圆222x y b +=与直线0x y -=相切， ∴1b =，∴24a =， ……3分故所求椭圆C 的方程为2214y x += ………4分（2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得：22(4)4k x +=，故21x x =-=．① ………5分又点E F ，到直线AB 的距离分别为1h ==2h ==．AB ==………7分所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+21525(4)k =+=………9分=== ………11分当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2. ………12分 21.解：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 ………1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<a a ∴的取值范围为)3,1(. ………4分（2）由题知21)1ln()1(--+--<x x x x k 对2>x 恒成立. ………5分令=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x 则=')(x u 2)2(3)1ln(--+--x x x令3)1ln()(-+--=x x x v 12111)(--=--='x x x x v 0)(2>'∴>x v x 即)(x v 在),2(+∞上递增 ………8分又022ln 2)5(,013ln )4(>+-=<+-=v v )5,4(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),4(0x 上递减，在)5,(0x 上递增. ………10分 2)1()1ln()1()()]([00000min --+--==∴x x x x x u x u)4,3(12)1()3)(1(00000∈-=--+--=x x x x x1)]([0min -=<x x u k 又k Z k ∴∈, 的最大值为3. ………12分 22. 解：（1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ ………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分（2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分 23. 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为(3,0)，半径为2的圆. 直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分 ∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分（2）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24. 解：（1）∵ab b b 2a a 222≥+= 即ab ≥ab ∴1a ≤b ………2分又2ab211≥≥+b a 当且仅当b =a 时取等号 ∴m =2 ………5分（2）2|1||1|||)(f ≥+≥++-=tt tx t x x ………9分 ∴满足条件的实数x 不存在. ………10分。

山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中高三数学12月第二次四校联考理【会员独享】

2011届高三年级第二次四校联考数学试题（理科）本试卷分必考题和选考题两部分第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}13|,3|2≤≤-=-==x x N x y x M ，且N M 、都是全集I 的子集，则右图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}13|≤≤-x xB ．{}13|≤≤-x xC ．{}33|-<≤-x xD ．{}31|≤<x x2．已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为（） A ．-1B ．-2C ．12D ．23．已知向量的夹角为6π2,3== （）A ．1B ．2C ．3D ．44．直线sin 20x α+=的倾斜角的取值范围是（）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃ 5．曲线)0(12≠+-=a ax ax y 在点(0，1)处的切线与直线012=++y x 垂直，则=a（）A ．31B ．31-C ．21D ．21-6．已知22x ,10,x ,10,R mx q R x mx q ∃∈+≤∀∈++>∨p ：：若p 为假命题，则实数m的取值范围为（）A ．2≥mB ．2m ≤-C ．2,m 2m ≤-≥或D ．22≤≤-m7．已知幂函数()m f x x =的图像过点1A 22（，），则不等式2|)(|f ≤x 的解集是（）A ．}20|{≤<x xB ．}40|{≤≤x xC ．{|x x ≤D ．}44|{≤≤-x x8．设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是（）A ．27B ．3C ．818D ．729．若定义在R 上的偶函数)()2()(x f x f x f =+满足，且当x x f x =∈)(]1,0[时，，则函数x x f y 4log )(-=的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．610．设1,1,>>∈b a R y x 、，若2==yx b a ，a+b=4，则2x +1y 的最大值为（）A ．4B ．3C ．2D ．111．设)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数R y x ∈、，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若))((,211*∈==N n n f a a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围为（）A ．)2,21[B ．]2,21[C ．]1,21[D ．)1,21[12．已知抛物线bx c bx ax y -=++=y 2与直线交于A,B 两点，其中a b c >>，0a b c ++=，设线段AB 在X 轴上的射影为11A B ，则||11B A 的取值范围是（）A ．)323(，B ．），（∞+3 C ．），（30 D ．），（32 2第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4个小题。

山西省2015届高三年级第二次四校联考文科数学试题

山西省2015届高三年级第二次四校联考文科数学试题【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 已知集合}{1log 4<=x x A ，集合{}82<=xx B ，则AB 等于A ．()4,∞-B ．()4,0C ． ()3,0D ．()3,∞-2. 已知复数iiz -=1(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知数列{}n a 满足12=a ,031=++n n a a )(*∈N n ，则数列{}n a 的前10项和10S 为A ．)13(4910- B ．)13(4910+ C ．)13(4910+- D ．)13(4910-- 4. 已知函数x x x f 2)(2+=，若)2(2)()(f a f a f ≤+-，则实数a 的取值范围是A ．[]2,2-B ．(]2,2-C ．[]2,4-D ．[]4,4-5．已知命题p ：()0,∞-∃x ，xx 32<，命题q ：()1.0∈∀x ，0log 2<x 则下列命题为真命题的是A. q p ∧B ．)(q p ⌝∨C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧ 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A. 144 B ．36C ．49D ．1697．已知向量,1=2=，3-=∙，则与的夹角为 A ．32π B ．3πC ．6πD ． 65π8. 已知圆:C 0218622=++++y x y x ,抛物线x y 82=的准线为l ,设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ,则PC d +的最小值为A ．41B ．7C ．6D ．99．已知函数x x f x +=3)(，x x x g 3log )(+=，33log )(x x x h -=的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是A ．1x >2x >3xB ．2x >1x >3xC ．1x >3x >2xD ．3x >2x >1x10. 已知α是第二象限角,54)3sin(=-απ,函数)2cos(cos cos sin )(x x x f -+=παα 的图像关于直线0x x =对称,则=0tan xA ．53-B. 34- C. 43- D. 54-11.A．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++12. 已知函数⎩⎨⎧>≤-=-0,lg 0,22)(x x x x f x ，则方程)0()2(2>=+a a x x f 的根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的离心率为_______. 14. 点),(y x M 满足不等式12≤+y x ，，则y x +的最大值为________. 15. 已知三棱锥ABC D -中，1==BC AB ，2=AD ，5=BD ，2=AC ，AD BC ⊥，则三棱锥ABC D -的外接球的表面积为________.16. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：①对于任意的R x ∈，都有)(1)1(x f x f =+；②函数)1(+=x f y 是偶函数；③当(]1,0∈x 时，xxe x f =)(，则)23(-f ，)421(f ，)322(f 从小到大．．．．的排列是______. 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)（第11题）正视图侧视图俯视图在公差不为0的等差数列{}n a 中，已知11=a ，且2a ，5a ，14a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n n a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. (本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形， ⊥PA 平面ABCD ，E 为PD 的中点. （1）证明://PB 平面AEC ;（2）设1==AB AP ,3=AD ,求点P 到平面AEC 的距离. 19. (本小题满分12分)已知向量()x x m sin 3,sin =，()x x n cos ,sin -=，设函数()n m x f ∙=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，边c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，角A 为锐角，若()162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-+πA A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长. 20. (本小题满分12分)已知动圆C 过定点A )0,3(-，且与圆B :64)3(22=+-y x 相切，点C 的轨迹为曲线T ，设Q 为曲线T 上(不在x 轴上)的动点，过点A 作OQ （O 为坐标原点）的平行线交曲线T 与N M ,两点. （1）求曲线T 的方程；（2）是否存在常数λ，使2AM λ=∙总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由. 21. (本小题满分12分)设函数x xppx x f ln 2)(--=（R p ∈）. （1）若函数)(x f 在其定义域内为单调递增函数，求实数p 的取值范围；（2）设xex g 2)(=，且0>p ，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得>)(0x f )(0x g 成立，求实数p 的取值范围.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CF ABC ∆是边AB 上的高，,.FP BC FQ AC ⊥⊥ PABC DE（1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆；（2）若14==AQ CQ ，，354=PF ，求CB 的长.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数).（1）写出曲线C 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线l 的倾斜角α的值．24．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲已知函数122)(--+=x x x f （1）解不等式2)(-≥x f ；（2）对任意[)+∞∈,a x ，都有)(x f a x -≤成立，求实数a 的取值范围.2015四校二联文科数学试题答案一选择题 1-6 CBDACB 7-12DADCCA 二填空题 13. 35或4514. 1 15. 6π 16. )23(-f <)322(f <)421(f 三解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题知，14225a a a ⋅=， (1)分11=a )131)(1()41(2d d d ++=+∴， (2)分即022=-d d ，又0≠d ，2=∴d (4)分)1(21-+=∴n a n ，12-=∴n a n (5)分（2） n n n b 2)12(⋅-=， ……………6分n n n T 2)12(252321321⨯-++⨯+⨯+⨯=∴ ① 14322)12(2)32(2523212+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ②①-②得11432)12(2222++⨯--++++=-n n n n T ……………9分122)12(21282++⨯----+=n n n 122)12(282++⨯--+-=n n n )122(261+-+-=+n n )23(261n n -+-=+ ……………11分)32(261-+=∴+n T n n ……………12分18.（1）连结BD 交AC 与点O ，连结EO∵底面ABCD 为矩形 ∴O 为BD 的中点又∵E 为PD 的中点 ∴OE 为△PBD 的中位线，则OE ∥PB ………4分又AEC OE 平面⊂，A E C PB 平面⊄∴PB ∥平面AEC ……………6分（2）∵PB ∥平面AEC∴P 到平面AEC 与B 到平面AEC 的距离相等∴V P-AEC =V B-AEC =V E-ABC ……………8分又S △ABC =233121=⨯⨯,且E 到平面ABC 的距离为2121=PAAC=2，EC=2，AE=1， ∴S △AEC =47……………10分设P 到平面AEC 的距离为h ，则2123314731⨯⨯=⨯⨯h ，可得h =721 ∴P 到平面AEC 的距离为721……………12分 19.（1）()x x x n m x f cos sin 3sin 2-=⋅=PAB C DEx x 2sin 2322cos 1--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=62sin 21πx ……………3分由()Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2236222，得)(326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ ∴)(x f 的单调递增区间为)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ ……………6分（2）()12cos 2162sin 62sin 2162sin =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+A A A A A f πππ ∴211cos 22cos 2-=-=A A 又A 为锐角，∴21cos =A ，3π=A …………9分S △ABC =32sin 21=A bc ， ∴8=bc ，则bc bc c b A bc c b a --+=-+=2)(cos 2222225=∴5=a ……………12分 20.(1)∵)0,3(-A 在圆B 的内部 ∴两圆相内切，所以AC BC -=8，即AB AC BC >=+8∴C 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且长轴长82=a ，4=a ，3=c ，79162=-=∴b ∴曲线T 的方程为：171622=+y x ……………4分（2）当直线MN 47==,72=OQ∴λπ7cos ||||=⋅⋅=⋅AN AM AN AM ，则167-=λ ……………5分当直线MN 斜率存在时，设),(11y x M ，),(22y x N ，MN:)3(+=x k y ，则OQ:kx y =，由⎩⎨⎧+==+)3(11216722x k y y x 得011214496)167(2222=-+++k x k x k ，则 222116796k k x x +-=+，2221167112144k k x x +-=⋅ ……………7分 ∴()()[]()[]222121221221167499333kk x x x x k x x k y y +-=+++=++= ()()222121167)1(4933k k y y x x AN AM ++-=+++=⋅ ……………9分由⎩⎨⎧==+kx y y x 11216722得112167222=+x k x ，则22167112k x +=，∴()()222222216711121k k x k y x OQ ++=+=+=，由2OQ AN AM λ=⋅可解得167-=λ。

山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中高三数学上学期第二次联考试卷理(含解析)

山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届高三上学期第二次联考数学（理）一、选择题：共11题1．已知集合，集合，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算.=，，所以.选A.2．i是虚数单位，若，则的值是A.−2B.−1C.0D.【答案】C【解析】本题考查复数的概念与运算，对数运算.==,所以, ,所以=.选C.3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出S的值为A.64B.73C.512D.585【答案】B【解析】本题考查流程图.第一次,,;第二次,; 第三次,；所以输出.选B.4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查等差数列和等比数列的性质.因为成等差数列，所以a1+2a2；即a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，解得q=；而数列的各项都是正数，所以q=；所以=q2=.选C.5．已知||＝1，||＝，且，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.因为,所以；所以，可得，所以向量与向量的夹角为.选B. 【备注】等价于6．某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是___.A.45B.50C.55D.60【答案】B【解析】本题主要考查频率分布直方图,意在考查考生利用“频率/组距”将纵轴上的数据准确换算成频率,从而计算频数的能力. 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2,则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为 m,则=0.3,m=50.7．是“函数在区间内单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查函数的单调性、充要条件.当时，，其在区间内单调递增；当时，，其在区间内单调递增；当时，在区间内有增有减；即“函数在区间内单调递增”等价于；所以是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件.选C.8．将函数的图像向左平移个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则的最小值是A. B. C. D.【解析】本题考查三角变换，三角函数的图像. 函数图像向左平移()个单位后,可得，因为为偶函数,所以；因为，所以的最小值是.选A.【备注】辅助角公式:9．已知=，则等于A.－5B.5C.90D.180【答案】D【解析】本题考查二项式定理的应用.因为=；因为,所以.选D.【备注】二项展开式的通项公式：.10．设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为A.或B.或C.或D.或【解析】∵抛物线C方程为y2=3px(p＞0),∴焦点F坐标为( ,0),可得|OF|=,∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴设A(0,2),可得AF⊥AM,Rt△AOF中,|AF|= ,∴sin∠OAF= ,∵根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于A点,∴∠OAF=∠AMF,可得Rt△AMF中,sin∠AMF= ,∵|MF |=5,|AF |=,∴ ,整理得4+= ,解之可得p = 或p =,因此,抛物线C 的方程为或,故选C.11．已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查指数、对数函数，函数与方程.由题意得：存在，使得成立，即在区间上有解；构造函数，而单增，且当时，；当，时，；由零点存在定理可得：在区间上有零点，即在区间上有解；当时，，解得；所以的取值范围是.选B.二、填空题：共4题12．定积分= .【答案】【解析】本题考查定积分的几何意义.表示以原点为圆心,以4为半径的圆的面积的,所以=.13．已知满足约束条件，求的最小值是.【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域(如图三角形所示)，：；表示到区域内点的距离的平方；当圆D与直线相切时，取得最小值；，所以的最小值为.【备注】体会数形结合思想.14．若三棱锥P-ABC的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 .【答案】【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积. 三棱锥P-ABC如图所示，其四个顶点全部位于正方体的顶点处，其中为正方体的对角线；而正方体的外接球半径，即三棱锥的外接球半径；所以此三棱锥的外接球的体积.【备注】体会数形结合思想.15．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2016＝______.【答案】【解析】本题考查数列求和.由题意得，，，，而，所以；当为奇数时，数列{a n}是以为首项、为公比的等比数列，当为偶数时，数列{a n}是以为首项、为公比的等比数列，所以+=+= +=.【备注】等比数列中，.三、解答题：共8题16．Δ中,角所对边分别是,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.【答案】====.由余弦定理:==≥=.∴，当且仅当时有最大值,∴.【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，余弦定理，三角形的面积公式.===；由余弦定理得=≥，∴，而，∴.【备注】三角函数常考查：诱导公式，三角恒等变换，正余弦定理，三角形的面积公式等.17．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 (男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X) .附表及公式.【答案】(1)由表中数据得的观测值.所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为，由几何概型；即乙比甲先解答完的概率为.(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种；其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，的分布列为：.【解析】本题考查独立性检验，古典概型，几何概型. (1)，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；(2)基本事件满足的区域为，由几何概型可得；(3)可能取值为，，，，可得的分布列与.【备注】统计与概率的相关知识: 独立性检验,古典概型，频率分布直方图，二项分布，随机变量的分布列与数学期望.18．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA.(1)求证：BE⊥平面PAC；(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB.由∠BCA=90°，可得AC⊥CB；又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，而BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE；∵PB=BC, E为PC中点，∴BE⊥PC；∵PC∩AC=C，BE⊥平面PAC.(2)如图，以B为原点、BC所在直线为轴、BP为轴建立空间直角坐标系.则，. 设平面的法向量.由得，即,(1),(2)取，则,.，，；所以直线与平面所成角的正弦值.19．已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程;(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点,问:在轴上是否存在点,使为定值？若存在,试求出点的坐标和定值,若不存在,说明理由.【答案】(1)由，①又以原点为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为且与直线相切,所以,代入①得c=2,所以.所以椭圆的方程为.(2)由得,设,所以,根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值,则有=...要使上式为定值,即与k无关,则应,即,此时为定值,定点为.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离、平面向量的数量积、根与系数的关系、方程思想.(1)由椭圆的离心率可得，根据以原点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切，利用点到直线的距离公式即可求得a的值，进而求出c、b，可得椭圆方程;(2) 由，消去y可得关于x的一元二次方程，设,则可得，根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值,化简求解即可.20．已知函数(1)求曲线在处的切线方程;(2)证明：.【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e；故曲线在处的切线方程为;(2)证明：由(1)知，f(x)＝e x ln x＋e x-1，从而f(x)>1等价于x ln x>x e-x－设函数g(x)＝x ln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0；故g(x)在上单调递减，在上单调递增；从而g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g＝－.设函数h(x)＝x e-x－，则h′(x)＝e-x(1－x)；所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1,＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减；从而h(x)在(0,＋∞)上的最大值为h(1)＝－.因为g (x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以当x>0时，g(x)>h(x)；即f(x)>1.【解析】本题考查导数的几何意义，导数在研究函数中的应用. (1)由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故切线方程为；(2) f(x)>1等价于x ln x>x e-x－;求导可得g(x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以当x>0时，g(x)>h(x)；即f(x)>1.【备注】合理构造函数，体会分类讨论思想、化归与转化思想.21．已知△ABC中，AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E, 延长AD交BC的延长线于F.(1)求证：∠CDF=∠EDF；(2)求证：.【答案】证明：、B、C、D四点共圆，∴∠CDF=∠AB C.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB且∠ADB=∠ACB，∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,∴∠CDF=∠EDF由得∠ADB=∠ABF，又∵∠BAD=∠FAB，所以△BAD与△FAB相似；，；又,，根据割线定理得，所以.【解析】本题考查四点共圆，圆周角定理，三角形相似，切割线定理.【备注】常考查：三角形相似，圆周角定理，弦切角定理，切割线定理等.22．已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.(2)若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.【答案】∵曲线的参数方程为(α为参数)∴曲线的普通方程为曲线表示以为圆心，为半径的圆.将代入并化简得：即曲线的极坐标方程为.∵直线的直角坐标方程为，∴圆心到直线的距离为；∴弦长为.【解析】本题考查曲线的参数方程，直线的极坐标方程.【备注】极坐标与参数方程常考查：极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，相交弦长等内容. 体会化归与转化思想、数形结合思想.23．已知函数的解集为.(1)求的值；(2)若，成立，求实数的取值范围.【答案】，所以，，或，又的解集为. 故.等价于不等式，=，故，则有，即，解得或.即实数的取值范围【解析】本题考查绝对值不等式.【备注】常考查绝对值不等式的求解：转化为分段函数或利用绝对值的几何意义.考查考生的运算求解能力.。

山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学理试题

2015届高三年级第四次四校联考数学试题（理）命题：忻州一中临汾一中康杰中学长治二中（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集,UR 集合},12161|{Z x x A x，},0)1)(3(|{Z xx x x B ，则()U C B AA .}4,32,10{，，B .}32,1{，C .}2,10{， D. }2,1{2. 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i (i 为虚数单位)，则实数a 的值为A .3B . 3C .13D.133. 已知双曲线12222ax y过点)2,1(，则该双曲线的渐近线方程为A.xy 225 B.x y C.xy2 D.xy224. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A.1B.2C.3D.45. 把函数)2|(|)2sin()(x x f 的图象向左平移6个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3(对称，则)2(f 23A.21 B.21 C.D.236. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是A.61 B.21 C.32 D.657. 在三棱锥ABC S中，ABC 是边长为1的正三角形，SC面ABC ,2SC,则三棱锥ABC S 外接球的表面积为A. 6B.316 C.940 D.38试题类型： A8. 已知)4,0(),0,2(，22tan1tan2sin21，则有A. 22B. 22C. 22D. 229. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是A. 5 B. 6C.7D.2210. 设椭圆)0(12222ba by ax 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P 满足，设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN =16，则椭圆的方程为A. 110814422yxB. 17510022yxC.1273622y x D.1121622y x 11. 已知定义在),0[上的函数)(x f 满足)2(2)(xf x f ，当)2,0[x时，x xx f 42)(2，设)(x f 在)2,22[n n上的最大值为)(*N na n ,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A.1212n B. 2214n C. n212D. 1214n 12. 设函数xex x g x x x f )(,ln )(2，若存在],[21e e x ,]2,1[2x ,使得)()()2(1223x kf x g ke 成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是A . 2k B . 2k C .2863eekD.28063e ek第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.6211xxx 的展开式中4x 的系数是.14. 已知实数x ，y 满足003042yx y x y x，则目标函数x y z 23的最大值为.15. 已知，且4,3,0BC ABBCAB M 为线段BC 上一点，且),(||||R AC AC AB AB AM , 则的最大值为.16. 在ABC 中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a )5cos 72(A b ，则C cos 的最小值为.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差22cos xdx d，562224aa；等比数列}{n b 满足：11b ，512642b b b ，*N n（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令为偶数为奇数n b n S c n nn,,2，求n c c c c 2321.18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C 中，侧棱1AA 平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC，且1,,ABAA E F 分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F 的余弦值.19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：日产量400 500 批发价8 10 概率0.40.6概率0.50.5（1）设随机变量X 表示生产这种零件的日利润，求X 的分布列及期望；（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率.(注：以上计算所得概率值用小数表示)20. (本题满分12分)已知抛物线)0(2:2p px yC ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设,,21GD PGFD PF试问21是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.FEC 1B 1A 1CBA21. (本题满分12分)已知函数11ln )(xa axx x f （1）当41a时，求函数()y f x 的极值；（2）当)1,31（a 时，若对任意实数[2,3]b，当(0,]xb 时，函数()f x 的最小值为()f b ，求实数a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC 的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED .（2）若AC=AP ,求PC PA的值.23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sincos 2为参数yx ，直线l 的参数方程为)(54453为参数t t yt x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲DEPCBAO已知关于x 的不等式|2|1m x 的解集是[0,4]（1）求m 的值；（2）若,a b 均为正实数，且a bm ，求22a b 的最小值.2015届高三年级第四次四校联考数学试题答案（理）A 卷一、选择题1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA二、填空题:13．-2014．915．415 16．2117．解：（1）公差2cos 22xdx d，5622))((324242224da a a a a aa73a ………2分∴721d a ∴31a ∴12)1(23n n a n………4分设等比数列}{n b 的公比为q∵51234642bb b b ∴84b 即1b 83q ∴2q 即1112n n nqb b ………6分（2）由12,31n a a n得：)2(n n S n∴为偶数，为奇数n 2,)2(21n n n n n c 即为偶数，为奇数n 2,21n 11n n n n c ………8分∴n c c c c 2321=)()(2421231n n c c c c c c ………10分=)222()]121121()5131()311[(123n n n =)14(3212241)41(21211nnnn n ………12分18.（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 的中点，∴AFBC .又三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，∴面ABC 面11BBC C ，∴AF 面11BB C C ，1AFB F .……… 2分设11ABAA ，则11633,,222B FEFB E.∴22211B F EF B E ，∴1B F EF .………4分又AFEFF ，∴1B F平面AEF .………6分（2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11ABAA ，则12221(0,0,0),(,0,0),(0,,1),(0,,)2222F A B E ，221(,,)222AE ，122(,,1)22AB .………8分由（Ⅰ）知，1B F平面AEF ，∴可取平面AEF 的法向量12(0,,1)2mFB .设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z ，由12210,0,220,2220222220,22x y z n AE x y z n AB xyzxyz∴可取(3,1,22)n .………10分设锐二面角1B AE F 的大小为，则222222203(1)12262cos |cos ,|6||||20()13(1)(22)2m n m n m n .zyxA BCA 1B 1C 1EF∴所求锐二面角1B AE F 的余弦值为66. ………12分19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200随机变量X 可以取：4000,3000.，2200 ………1分P(X=4000)=0.6×0.5=0.3P(X=2200)=0.4×0.5=0.2P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分∴X 的分布列为:EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140………6分(2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8∴Y ～)8.0,3(B ………8分∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分至少有2天利润不少于3000的概率为：896.02.08.08.0223333CCP………12分20.解：（1）由已知:直线m 的方程为1xy，代入pxy22得：1)1(22x p x设),(),,(2211y x B y x A ，则),2(121p x x 23|AB |21p px x 且线段AB 的中点为),1(p p ，………3分由已知222)223(17p p ）（）（，解得2p或514p（舍去）所以抛物线C 的方程为：xy 42………6分（2）设直线l ：y=kx+2(k0)，则)0,2(kD ，与.42x y联立得4)1(422x k xk 由0得21k ,设),(),,(4433y x G y x F 则24322434,4-4kx x kkx x ………8分);,2()2,();,2()2,(442442331331y x ky x GD PGy x k y x FD PF 所以2,2244233331kx kx kx kx x kx ………10分则4(2)(22224343243432443321）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx X 4000 3000 2200 P0.30.50.2将24322434,4-4k x x kk x x 代入上式得.121即21为定值1………12分21.解：（1）由已知14341ln )(xxx x f ，则224)3)(1(43411)('xxx x x x f ………1分所以当)1,0(x 和),3(x 时，)(,0)('x f x f 单调递减；当），,10(x 时，)(,0)('x f x f 单调递增；………2分所以当1x 时，)(x f 有极小值为23，当3x时，)(x f 有极大值为213ln . ………4分（2）由已知22)1)(1(11)('xaa xx a x a axx f .①当)21,31（a 时，11210aa aa，于是(0,1)x 和1(,)a xa时，'()0,()f x f x 单调递减；1(1,)a xa时，'()0,()f x f x 单调递增；又因为21aa ，要对任意实数[2,3]b，当(0,]x b 时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ，即a aa2212122ln ，解得2ln 21a，因为12ln 212所以12ln 21;2a………7分②当12a时，11a a，221(1)2'()x f x x，在(0,)x 上，恒有'()0f x ，且仅有'(1)0f ，故()f x 在(0,)上单调递减.显然成立.………8分③当112a 时，11120,10a a a aa a，于是1(0,)a x a和(1,)x 时，'()0,()f x f x 单调递减；1(,1)a x a时，'()0,()f x f x 单调递增；要对任意实数[2,3]b ，当(0,]x b 时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()a f f a，即11ln(1)12ln 420;a a a a aaaa……10分令11()ln42,(,1)2a g a a aa，21(21)'()40(1)(1)a g a a a a a ，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1()()02g a g ，所以此时1(,1)2a综上所述：)1,12ln 2[a ………12分22．解：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C ，………2分又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, ∴∠ADE=∠AED ．………5分(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA, ∴△APC ∽△BPA, ∴PC CA PAAB, ………7分∵AC=AP, ∴∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC=90°, ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°．在Rt △ABC 中，CA AB=3, ∴PC CA PAAB=3．………10分23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为1422y x………2分直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为012sin 3cos 4………5分(2)01234),sin ,cos2(y x l P 为直线设则512)cos(73512sin 3cos8d 所以最大值为57312，最小值为57312。