浙江省高三数学上学期12月月考题 理

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浙江省2013届高三上学期12月月考数学理试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,4}U A B ===，则()U A
C B ( )
A ．｛1，3｝
B ．｛2，4｝
C ．｛1，2，3，5｝
D ．｛2，5｝ 2. 函数3log ,0()2,0
x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则(9)(0)f f +=( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
4．已知等比数列{}n a 中，12345640,20a a a a a a ++=++=， 则前9项之和等于（ ）
A ．50
B ．70
C ．80
D ．90 5．已知m a 、都是实数，且0a ≠，则“{,}m a a ∈-”是“||m a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．已知向量(1,3)=a ，(2,)m =-b ，若a 与2+a b 垂直，则m 的值为 （ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
1
-
D ．
2
1 7．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A ．若αβ⊥，l β⊥，则α//l B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l C ．若l α⊥，l ∥β，则βα⊥ D ．若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥
8．若1sin(
)34π
α-=
，则cos(2)3π
α+=
A ．78-
B ．14-
C ．14
D ．78
9．若方程x
x 2
)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．1-或2
D ． 1-或1
正视图
侧视图
俯视图
2
10．设函数)(x f y =的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，
}))((|{},)(|{x x f f x B x x f x A ====，则 （ ）
Ａ.
B A ≠
⊂
Ｂ. A B ≠
⊂ Ｃ. Ａ＝Ｂ Ｄ. φ≠B A
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分。

把答案填在答题卷的相应位置 11．公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于 。

12．在边长为1的正三角形ABC 中，1
2
BD DC =
，则AD CD ⋅的值等于 。

13．已知偶函数[)()0,f x +∞在上单调递增，且(lg )(1)f x f =，则x 的值等于 。

14．已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪+≤⎩
,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值
是 ．
15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，若向量
222(2,)a b c =+-p ，(1,2)S =q 满足p ∥q ，则角C = ．
16．正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为ABC ∆的中心，则直线EF 与平面ABC 所成的角的正切值是 。

17．已知函数
()||,f x x x a =-若对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且
1212,()x x x x ≠-12[()()]0f x f x ->恒成立，则实数a 的取值范围为 。

三、解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18．（本小题满分14分）
已知函数2
2()(
)2cos 4
f x x x π
=++-
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为,,,3,()2a b c c f C ==且，若向量
(1,sin )(2,sin )m A n B ==与共线，求,a b 的值。

3
F P
E
A
D
C
B
第19题图
19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2
PA AB ==，
E F 、分别为CD PB 、的中点，AE =
（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．
（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．
20．（本题满分14分）
已知数列{}n a 满足113,33(*)n n n a a a n N +=-=∈，数列{}n b 满足3n
n n b a -=.
（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3
12345
2
n n a a a a S n =++++
+，求满足不等式
211
1284n n S S <<的所有正整数n 的值.
4
21.（本题满分15分）已知函数()ln f x x x x =+． （1）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；
（2）若k ∈Z ，且()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值；
5
22．(本小题满分15分)已知函数()ln f x x =，)0(2
1)(2
≠+=
a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求
b 的取值范围； （II ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作
x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N
处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
6 答案 数学
高三年级第二次月考数学（理科）答案 一、选择题、 ADABB BCADD 二、填空题
11、18 12、
19 13、10或110
14、m=6 15、
4
π
16、
17、]-2∞（， 三、解答题
18.（1）f(x)=2sin(2x+
6
π
)+1 最小正周期T=π，递增区间为-+k ,()36k k Z π
π
ππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦ （7分）
（2）f(C)=2sin(2C+
6π)+1=2, 3
c π
=，因为向量(1,sin )(2,sin )m A n B ==与共线， 所以sinB=2sinA,，
∴b=2a,
由余弦定理可得2
2
2
1
c 29,2
a b ab a b =+-⨯=∴==（14分）
19．证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，
∴2AD CD AB ===．
在ADE ∆
中，AE =，1DE =， ∴222AD DE AE =+．
∴90
AED
∠=︒，即AE CD
⊥．
又AB CD
//，∴AE AB
⊥．…………………2分
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE．又∵PA AB A
=，
∴AE⊥平面PAB，………………………………………4分
又∵AE⊂平面AEF，
平面AEF⊥平面PAB．………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAB………………………7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA CD
⊥．
由（Ⅰ）知AE CD
⊥，又PA AE A
=
∴CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAE．…………………………9分
∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面．
所以，APE
∠就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．……10分在Rt PAE
∆中，222347
PE AE PA
=+=+=，即PE=．……………11分又2
PA=，
∴cos APE
∠==
所以，平面PAB与平面PCD14分
理（Ⅱ）解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz
-，如图所示．因为2
PA AB
==，AE，所以，
(0,0,0)
A、(0,0,2)
P、E、C，…………7分
则(0,2)
PE=-，(1,0,0)
CE=-，(0,
AE=
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAB，
故平面PAB的一个法向量为
1
(0,1,0)
n=
x。